Đề thi giáo viên giỏi THPT môn toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ THI LÝ THUYẾT: MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— I.PHẦN NHẬN THỨC CHUNG (4,0 điểm) Chỉ thị Bộ GD&ĐT nhiệm vụ trọng tâm năm học 2007-2008, xác định nhiệm vụ là: Gắn kết việc thực nghiêm túc hiệu Chỉ thị số 06-CT/TW Bộ Chính trị vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh” với việc thực Chỉ thị 33/2006/CT-TTg Thủ tướng Chính phủ chống tiêu cực khắc phục bệnh thành tích giáo dục, toàn ngành tiếp tục triển khai liệt vận động “Nói không với tiêu cực bệnh thành tích giáo dục” (“Hai không”) Đồng chí nêu nhận thức thân nhiệm vụ Liên hệ công việc triển khai nhà trường cá nhân đồng chí II.PHẦN CHUYÊN MÔN (16,0 điểm) Đồng chí giải toán sau: sin β sin α nghiệm phương trình x + px + q = Hãy tính giá trị cos β cos α biểu thức: M = sin (α + β ) + p sin(α + β ) cos(α + β ) + q cos (α + β ) theo p q Bài Biết Bài Giải biện luận phương trình: a | x + | + a | x − |= b , a, b tham số Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c P= + + 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Bài Một hình chóp cụt có diện tích đáy 8, diện tích đáy Cắt hình chóp cụt mặt phẳng song song với đáy để tạo thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện tạo thành —Hết— (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THPT NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ———————————— I.PHẦN NHẬN THỨC CHUNG: 4,0 điểm II.PHẦN CHUYÊN MÔN: 16,0 điểm Bài (4,0 điểm) Nội dung tan α + tan β = − p Theo định lý Viet có:  tan α tan β = q Mặt khác có: tan α + tan β −p tan(α + β ) = = (1) với tan α tan β ≠ ⇔ cos(α + β ) ≠ (q ≠ 1) − tan α tan β − q [ ] Khi đó: M = cos (α + β ) tan (α + β ) + p tan(α + β ) + q (2) 2 1 (1 − q ) = + tan (α + β ) ⇒ cos (α + β ) = = (3) cos (α + β ) + tan (α + β ) p + (1 − q ) Thay (1)&(3) vào (2) rút gọn M = q Xét trường hợp: q = ⇔ tan α tan β = ⇔ cos(α + β ) = ⇔ sin (α + β ) = ⇔ M = ⇔ M = q Vậy M = q với q thoả mãn p ≥ 4q Điểm 0.5 0.5 0.5 Có: 0.5 1.0 0.5 0.5 Bài (4,0 điểm) Nội dung Trường hợp 1: a=0 -Nếu b=0 phương trình nghiệm với giá trị x (có vô số nghiệm) -Nếu b ≠ phương trình vô nghiệm (số nghiệm PT 0) b Trường hợp 2: a ≠ 0, PT cho tương đương với: | x + | + | x − |= (1) a  − − x , − ∞ < x ≤ −2  − ≤ x ≤1 Đặt y VT(1), lập bảng xét dấu y ta có: y = 3 1 + x 1≤ x  Vẽ đồ thị hàm số y, từ đồ thị có: b -Nếu < (1) vô nghiệm a b -Nếu = (1) nghiệm với x ∈ [ − 2;1] a b -Nếu > (1) có nghiệm phân biệt a Điểm 1.0 1.0 1.0 1.0 Bài (4,0 điểm) Nội dung Đặt: x = 2b + 2c − a ; y = 2c + 2a − b ; 3z = 2a + 2b − c dễ thấy x, y , z > 1 Suy ra: a = ( y + z − x ) , b = ( z + x − y ) , c = ( x + y − z ) 3 Khi có: Điểm 1.0 1.0 1.0 1 (2 y + z − x) (2 z + x − y ) (2 x + y − z ) 3 P= + + 3x 3y 3z = 1  y x  y z z 2 +  + 2 +  + 2 + 9  x y  z y x     x   − 3 z  Áp dụng BĐT Côsi dễ thấy P ≥ , dấu xảy x=y=z hay a=b=c 1.0 Bài (4,0 điểm) Nội dung Điểm Xét với hình chóp cụt (T2) Gọi: a, b diện tích đáy (T2) với a>b (T1) hình chóp sinh (T2) (T1) hình chóp sinh hình chóp cụt xét m chiều cao (T2) m+x chiều cao (T1) V1 thể tích (T1); V2 thể tích (T2) Khi có: m+x a b = ⇒x=m x b a− b 1.0   x    b b    = V1 1 − Mặt khác ta có: V2 = V1 1 −   a a  m+ x      Bây cắt (T2) mặt phẳng song song với đáy, ta tạo nên hình chóp cụt có a diện tích đáy dưới, gọi c diện tích đáy hình chóp cụt Rõ ràng hình chóp cụt sinh từ (T 1) tích V1, thể tích hình  c c  chóp cụt tính là: V1 1 −  a a   Để hai phần thể tích chia mặt phẳng có diện tích thiết diện c ta phải c c 1 b b   (1) = 1 − có: − a a 2 a a    Giải phương trình (1) với ẩn c c = a a +b b thay số c =  16 +        1.0 0.5 0.5 1.0