Bài giảng trọng tâm về hàm số

Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 ĐặNG VIệT HùNG BI GING TRNG TM V HM S Chng trỡnh Luyn thi i hc SAP NM HC 2013 - 2014 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi m u: CHUN K NNG I S K NNG XẫT DU CA BIU THC Nguyờn tc: + Phõn tớch biu thc cn xột du hay bt phng trỡnh v dng tớch, ri loi b nhng hng t l ly tha bc chn + Sp xp cỏc nghim ca cỏc hng t sau ó lc cỏc hng t chn theo th t t n ln bng xột du + Tin hnh xột du theo quy tc an du bit du ca mt khong no ú + Vic xột du biu thc chỳng ta ch c quy ng mu s m khụng c nhõn chộo Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d 1: Xột du cỏc biu thc sau x+2 + 3 4x ( x + 3)(3 x) c) f ( x) = x x 3x + e) f ( x) = x x 1 x g) f ( x) = + x x +1 x + x a) f ( x ) = x x 4x 2x + d) f ( x) = x+2 x2 f) f ( x) = 3x + x 1 h) f ( x) = + x2 x+2 x b) f ( x) = Vớ d 2: Gii cỏc bt phng trỡnh sau a) + < x x+3 x+2 x x x + x + 15 + x x +1 x2 x4 4x2 + e) x x + 15 c) + x + 2 x + 2x x x3 + x d) > x x 30 x3 x x + f) > x(2 x) b) K NNG S DNG LC HOOCNER CHIA A THC Nguyờn tc: f ( x) k g ( x) g ( x) + chia a thc bng lc Hoocner ta phi sp xp a thc chia theo ly tha gim dn, s hng no khuyt ta cho h s bng + f(x) chia cho g(x) c h(x) v d l k thỡ ta cú th vit f ( x ) = g ( x ) h ( x ) + k = h( x) + + Thc hin chia theo quy tc: u ri - nhõn ngang - cng chộo Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d: Thc hin cỏc phộp chia sau x + x3 x + x = x+3 x + mx + m c) = x a) 3x + x x + 10 = x x2 + ( m ) x2 + d) = 2x + b) K NNG NHM NGHIM CA PHNG TRèNH A THC Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Xột phng trỡnh: f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e = 0, (1) Facebook: LyHung95 ( ) Nu x = xo l mt nghim ca phng trỡnh (1) thỡ (1) f ( x ) = ( x xo ) ax3 + bx + cx + d = f ( x) x xo = ax + bx + cx + d Nguyờn tc: + Nu tng cỏc h s ca phng trỡnh bng thỡ phng trỡnh cú mt nghim x = + Nu tng cỏc h s bc chn ca x bng tng h s bc l ca x thỡ phng trỡnh cú mt nghim x = + Nu phng trỡnh khụng tuõn theo hai quy tc trờn thỡ chỳng ta nhm nghim bt u t cỏc nghim n gin nh 0; 1; + Vi cỏc phng trỡnh cú cha tham s, nhm nghim ca phng trỡnh ta cho phn h s ca tham s m bng 0, c nghim x ta thay vo phng trỡnh kim tra li Cỏc vớ d in hỡnh: Vớ d 1: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t a) f ( x ) = x + x3 3x x b) f ( x ) = x x x c) f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m a) f ( x ) = x + x3 3x x Hng dn gii : Xột phng trỡnh f ( x ) = x + x3 3x x = Ta nhn thy phng trỡnh cú tng cỏc h s bng nờn cú mt nghim l x = x + x3 3x x Khi ú f ( x ) = ( x 1) g ( x ) = x + x3 3x x g ( x ) = x Dựng lc Hoocner ta c x + x3 3x x = x3 + x + x + x + x3 x x = ( x 1) x + x + x + x b) f ( x ) = x x x ( ) Xột phng trỡnh f ( x ) = x3 x x = Tng h s bc chn l = 3, tng h s bc l ca phng trỡnh l = T ú ta thy phng trỡnh cú mt nghim x = x3 x x Khi ú f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) x3 x x = ( x + 1) g ( x ) g ( x ) = x +1 Dựng lc Hoocner ta c x3 x x g ( x) = = x x f ( x ) = x3 x x = ( x + 1) x x x +1 c) f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m ( ) Tng cỏc h s a thc l ( m + 1) ( m 1) + 2m = nờn f(x) = cú mt nghim x = ( ) Tin hnh chia a thc ta c f ( x ) = x3 ( m + 1) x ( m 1) x + 2m = ( x 1) x mx 2m + Vớ d 2: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t a) f ( x ) = x x + x + = b) f ( x ) = x3 + x x + = c) f ( x ) = x3 + mx x m = d) f ( x ) = x3 x + (1 m ) x + m = e) f ( x ) = x3 + x x = Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 f) f ( x ) = x3 x + x = K NNG X Lí VI TAM THC BC HAI V PHNG TRèNH BC HAI Xột phng trỡnh bc hai: f ( x ) = ax + bx + c = 0, (1) a) Gii v bin lun phng trỡnh (1): Nu a = thỡ (1) bx + c = 0, (*) + nu b = v c = thỡ (*) nghim ỳng vi mi x + nu b = v c thỡ (*) vụ nghim c + nu b thỡ (*) x = b = b 4ac Nu a thỡ (1) l phng trỡnh bc hai cú bit thc = b ac; ( b = 2b ) + nu > thỡ (1) cú hai nghim phõn bit x1;2 = + nu = thỡ (1) cú nghim kộp x = + nu = thỡ (1) vụ nghim b 2a b b b 4ac = 2a 2a b) H thc Vi-ột: b S = x1 + x2 = a Khi (1) cú hai nghim phõn bit x1 v x2 thỡ ta cú h thc Vi-ột: P = x x = c a Mt s cỏc kt qu cn lu ý: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) x1 x2 = S P 3 x1 + x2 = ( x1 + x2 ) 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3SP ( x14 + x2 = x12 + x2 ) ( x12 x2 = S P ) 2P2 ( x1 x2 )2 = ( x1 + x2 )2 x1 x2 = S P c) Tớnh cht nghim ca phng trỡnh bc hai: b 4ac > > b Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit S = x1 + x2 = >0 a x1 ; x2 > c P = x1 x2 = a > b 4ac > > b Phng trỡnh cú hai nghim õm phõn bit S = x1 + x2 = Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du ac < Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u ln hn b 4ac > b 4ac > > > b b x1 + x2 > S = x1 + x2 = > S = x1 + x2 = > x1 ,x2 > a a x x >0 )( ) ( b x1 x2 ( x1 + x2 ) + > c a + a + > Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u nh hn b 4ac > b 4ac > > > b b x1 + x2 < S = x1 + x2 = < S = x1 + x2 = < a a x1 ,x2 < x x >0 )( ) ( b x1 x2 ( x1 + x2 ) + > c a + a + > > > > Phng trỡnh cú hai nghim phõn bit v u khỏc x1 ; x2 g ( ) a + b + c Phng trỡnh cú mt nghim v nghim ny ln hn = = = = x1 = x2 = b > x = x = b > x = x = b > x1 = x2 = b > 2 2a 2a 2a 2a > > > > c b x x ( x + x ) + < ( x1 )( x2 ) < x1 < < x2 + + < a a Phng trỡnh cú mt nghim v nghim ny nh hn = = = = x1 = x2 = b < b b x =x = x =x = x1 = x2 = b < < < 2 2a 2a 2a 2a > > > > c b x x ( x + x ) + < ( x1 )( x2 ) < x1 < < x2 + + < a a Vớ d 1: Cho phng trỡnh ( m + 1) x + 4mx + 2m + = 0, (1) a) Gii v bin lun phng trỡnh ó cho b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit, v c hai nghim u nh hn Hng dn gii : a) Gii v bin lun phng trỡnh Nu m + = m = thỡ (1) x = x = Nu m + m thỡ (1) l phng trỡnh bc hai cú = 4m ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 5m + Nu < 2m 5m < < m < thỡ (1) vụ nghim m = b 2m + Nu = 2m 5m = thỡ (1) cú nghim kộp x = = m = a m +1 m > thỡ (1) cú nghim phõn bit + Nu > 2m 5m > m < x1;2 = 2m 2m 5m + m +1 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 m > b) Phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > 2m 5m > m < Gi hai nghim phõn bit l x1 ; x2 vi x2 > x1 b 4m x1 + x2 = a = m + Theo nh lớ Vi-ột ta cú x x = c = 2m + a m +1 < m < 4m >0 m +1 x1 + x2 > m > Hai nghim u dng vno x1 x2 > 2m + > m < m +1 Facebook: LyHung95 ( *) c) Hai nghim u nh hn 2m + m m + < m < +1 > >0 ( x1 + 1)( x2 + 1) > x1 x2 + ( x1 + x2 ) + > m + m + m +1 m > < m < x1 + x2 < x1 + x2 < 4m < m > m < m +1 m +1 i chiu vi iu kin (*) v tn ti hai nghim phõn bit ta c < m < l giỏ tr cn tỡm ( ) Vớ d 2: Cho phng trỡnh ( x + ) x + mx 2m + = 0, (1) a) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit b) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit, ú cú hai nghim õm 2 c) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x1 + x2 + x3 < Hng dn gii : x = a) Ta cú (1) g ( x) = x + mx 2m + = 0, ( ) Phng trỡnh (1) cú ba nghim phõn bit phng trỡnh (2) cú hai nghim phõn bit v khỏc m > + g > m2 + 8m > m < m (1 2m ) > iu ú xy (*) g (2) 2m 2m + 4m m m > + Vy vi m < thỡ phng trỡnh ó cho cú nghim phõn bit m b) Do nghim x = < nờn (1) cú nghim ú nghim õm thỡ (2) phi cú hai nghim trỏi du T ú ta cú P < 2m < m > Giỏ tr ny tha iu kin (*) nờn l giỏ tr cn tỡm c) Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s x1 = Khi ú x2 ; x3 l hai nghim phõn bit ca (2) x2 + x3 = m Theo nh lớ Vi-ột ta c x2 x3 = 2m 2 Khi ú x12 + x2 + x3 < + ( x2 + x3 ) x2 x3 < m (1 2m ) < m + 4m < < m < Kt hp vi iu kin (*) ta c + < m < l giỏ tr cn tỡm BI TP LUYN TP: Bi 1: Cho phng trỡnh ( m 1) x 2mx + m + = Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr ca m b) Xỏc nh giỏ tr ca m phng trỡnh cú tớch hai nghim bng 5, t ú hóy tớnh tng hai nghim ca phng trỡnh x x c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho h thc + + = x2 x1 Bi 2: Cho hm s y = (x 1)(x2 + mx + m) a) Vi m = 2, tớnh y v gii phng trỡnh y = b) Tỡm m tip tuyn ti im cú honh x = song song vi ng thng d: y = 2x 2 c) Tỡm m phng trỡnh y = cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x12 + x2 + x3 < d) Tim m phng trỡnh y = cú ba nghim phõn bit, ú cú mt nghim ln hn Bi 3: Cho phng trỡnh mx2 2(m + 1)x + m = a) Tỡm m phng trỡnh cú nghim b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim trỏi du Khi ú hai nghim, nghim no cú giỏ tr tuyt i ln hn? c) Xỏc nh m cỏc nghim x1, x2 ca phng trỡnh tho x1 + 4x2 = d) Tỡm mt h thc gia x1, x2 m khụng ph thuc vo m Bi 4: Cho phng trỡnh x mx + m = , (vi m l tham s) a) Chng t rng phnh trỡnh cú nghim x1, x2 vi mi m Tớnh nghim kộp (nu cú) ca phng trỡnh v giỏ tr ca m tng ng b) t A = x12 + x2 x1 x2 Chng minh A = m2 8m + Tỡm m A = 8, Tỡm giỏ tr nh nht ca A v giỏ tr ca m tng ng c) Tỡm m cho phng trỡnh cú nghim ny bng hai ln nghim d) Tim m phng trỡnh cú hai nghim u ln hn Bi 5: Cho phng trỡnh ( x 1) ( x + 2mx + m 3) = a) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit b) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit u dng 2 c) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit x1; x2; x3 tha x12 + x2 + x3 = 15 d) Tỡm m phng trỡnh cú ba nghim phõn bit, ú cú hai nghim õm Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi 1: CC TR CA HM S DNG CC TR CA HM A THC BC BA Xột hm s bc ba : y = ax + bx + cx + d y = 3ax + 3bx + c DNG TèM IU KIN V S CC TR CA HM S Nu a = thỡ y = 3bx + c y = x = c 3b Trong trng hp ny hm s cú cc tr Nu a : + Hm s khụng cú cc tr y khụng i du, tc l phng trỡnh y = vụ nghim hoc cú nghim kộp, tc l + Hm s cú im cc tr y i du hai ln, tc l phng trỡnh y = cú hai nghiờm phõn bit T ú ta cú iu kin hm s cú hai cc tr l > Vy, vi hm bc ba thỡ hm s ch cú hai cc tr hoc khụng cú cc tr Vớ d 1: Bin lun s cc tr ca hm s y = x + (1 m ) x mx tựy theo giỏ tr ca tham s m Hng dn gii: Ta cú y = x + (1 m ) x + m Hm s khụng cú cc tr y khụng i du trờn xỏc nh (hay hm s luụn ng bin hoc nghch bin trờn xỏc nh), iu ú xy y = vụ nghim hoc cú nghim kộp 3+ T ú ta cú iu kin (1 m ) m m 3m + m 2 Hm s cú hai cc tr y i du trờn xỏc nh, iu ú xy y = cú hai nghim phõn bit 3+ m > > m 3m + > m < Kt lun : 3+ - Hm s khụng cú cc tr m 2 3+ 5 - Hm s cú hai cc tr m ; m 2 Vớ d 2: Bin lun s cc tr ca hm s y = mx + ( m ) x + 2mx + m tựy theo giỏ tr ca tham s m Hng dn gii: Ta cú y = 3mx + ( m ) x + 2m TH1 : m = Khi ú y = x; y = x = , trng hp ny hm s cú mt cc tr TH2 : m m + m m + m m Hm s khụng cú cc tr 5m + 4m m m Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Hm s cú hai cc tr y = cú hai nghim phõn bit + m m 5m + 4m < m Kt lun : + - Hm s khụng cú cc tr m ;m 5 - Hm s cú mt cc tr m = + 0, (*) + Tỡm iu kin ca tham s cc tr cú tớnh cht K no ú chng hn + i chiu giỏ tr tỡm c vi iu kin (*) c kt lun cui cựng Ta xột mt s dng tớnh cht in hỡnh Tớnh cht 1: Hm s t cc i, cc tiu ti im x = xo Cỏch (s dng bng bin thiờn) : + Hm s t cc tr ti x = xo y ( xo ) = m + Vi m tỡm c, thay vo hm s ri kho sỏt, t bng bin thiờn ta cú kt lun v hm s t cc i, hay cc tiu ti im xo hay khụng Cỏch (s dng iu kin cn, iu kin ; hay y) : y ( xo ) = + Hm s t cc i ti x = xo m y ( xo ) < y ( xo ) = m + Hm s t cc tiu ti x = xo y ( xo ) > y ( xo ) = Chỳ ý: Hm s t cc tr ti x = xo y ( xo ) x ( m + 2) x mx + a) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu b) Tỡm m hm s t cc i ti ti x = Vớ d mu: Cho hm s y = Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 c) Tỡm m hm s t cc tiu ti x = Hng dn gii : Ta cú y = x 2(m + 2) x m y = x ( m + ) m > a) Hm s cú cc tr phng trỡnh y = cú hai nghim phõn bit > m + 5m + > m < b) Tỡm m hm s t cc i ti ti x = Cỏch 1: + Hm s t cc i ti x = thỡ y ( ) = m = x = + Vi m = thỡ ta cú y = x x = x = Ta cú bng bin thiờn: x y + 0 + + C + y CT T bng bin thiờn ta thy hm s ó cho t cc i ti x = Vy m = l giỏ tr cn tỡm Cỏch 2: y ( ) = m = Hm s t cc i ti x = m=0 y ( ) < 2(m + 2) < Vy m = thỡ hm s ó cho t cc i ti x = c) Tỡm m hm s t cc tiu ti ti x = Cỏch 1: + Hm s t cc tiu ti x = thỡ y ( ) = 4(m + 2) m = 5m = m = x = 4 12 + Vi m = y = x x + y = x x + = x = 5 5 Ta cú bng bin thiờn: x + y + + C + y CT T bng bin thiờn ta thy hm s ó cho t cc tiu ti x = Vy m = l giỏ tr cn tỡm Cỏch 2: 5m + = m = y ( 2) = Hm s t cc tiu ti x = m= 2m > y ( ) > m < thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = BI TP LUYN TP: Cho hm s y = x3 + (2m 1) x + 2mx a) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu b) Tỡm m hm s t cc tiu ti ti x = c) Tỡm m hm s t cc i ti x = V y m = Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 10 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tỡm trờn th (C) hai im phõn bit M, N i xng qua trc tung 16 16 /s: M 3; , N 3; 2x Bi Cho hm s ( C ) : y = x +1 Tỡm trờn (C) hai im i xng qua ng thng MN bit M(3; 0) v N(1; 1) /s: A(0; 4), B(2; 0) x+2 Bi Cho hm s ( C ) : y = 2x Tỡm nhng im trờn th (C) cỏch u hai im A(2; 0) v B(0; 2) 5 1+ 1+ /s: , , ; 2 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 123 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Bi 6: BIN LUN S NGHIM PHNG TRèNH I PHNG TRèNH KHễNG CHA TR TUYT I Bi Cho hm s y = x3 mx2 + 3x + m a) Tỡm m hm s cú cc tr b) Kho sỏt v v th (C) ca hm s m = c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc ng thng y = 3x 15 d) Dựng (C) bin lun phng trỡnh: x3 3x2 + 3x + m = 0, tựy theo giỏ tr ca m Bi Kho sỏt v v th (C) ca hm s y = (x + 1)2(2 x) a) Dựng th (C) bin lun theo m s nghim phng trỡnh: x3 3x + m = b) Tỡm k phng trỡnh: x3 3x +1 2k = cú nghim phõn bit Bi Cho hm s y = x3 + 3x + a) Kho sỏt hm s ó cho, gi th l (C) b) Tỡm m phng trỡnh : x3 3x + 2m = cú ba nghim phõn bit Bi Cho hm s y = x4 + 2x2 a) Kho sỏt hm s b) Tỡm m phng trỡnh x4 2x2 + m = cú nghim phõn bit Bi Cho hm s y = x4 + 2x2 + a) Kho sỏt hm s b) Chng minh rng vi mi m < 2, phng trỡnh : x4 + 2x2 + m = cú nghim 2x Bi Cho hm s y = x+2 a) Kho sỏt v v th hm s 2sin x b) Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng nghim x [0; ] : =m sin x + Bi Cho hm s y = + 2x2 x4 a) Kho sỏt hm s ó cho b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh x4 2x2 = m4 2m2 II PHNG TRèNH Cể CHA TR TUYT I x +1 x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s b) T th (C) ó v, hóy suy th cỏc hm s sau: x +1 x +1 y= y= x x Bi Cho hm s y = x 6x 9x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s b) T th (C) ó v, hóy suy th cỏc hm s sau: (C1 ) : y = x + x + x + Bi Cho hm s y = y= x +1 x y= x +1 x (C ) : y = x x x (C3 ) : y = x x2 x Bi Cho hm s y = x3 6x2 + 9x a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s b) T th ca hm s ó cho hay suy th hm s y = x3 x + x c) Bin lun s nghim ca phng trỡnh x3 x + x + m = Bi Cho hm s y = 2x 2 x Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 124 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 2x x b) Chng minh rng vi mi k 0, ng thng y = kx luụn ct th (C) ti hai im phõn bit Bi Cho hm s y = x x + 2 a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi d : y = x + 4 c) Bin lun theo m s nghim phng trỡnh: x x + m = a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s, t ú suy th hm s y = Bi ( thi TSH B 2009) Cho hm s y = 2x4 4x2 a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s ó cho b) Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh x x = m cú ỳng nghim thc phõn bit Bi Cho hm s y = x4 6x2 + a) Kho sỏt hm s ó cho b) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x4 6x2 m = c) Tỡm k phng trỡnh cú nghim phõn bit x x + = k Bi Cho hm s y = x3 3x2 a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho b) Bin lun theo m s nghim phng trỡnh x3 3x = m Bi ( thi TSH A 2006) Cho hm s y = 2x3 9x2 + 12x a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh 2x3 9x2 + 12x m = c) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x x + 12 x = m Bi 10 Cho hm s y = x3 3x2 a) Kho sỏt v v th (C) ca hm s b) Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim phõn bit x3 + x log m = Bi 11 Cho hm s y = x3 + mx2 + 7x + a) Kho sỏt v v th ca hm s ó cho vi m = 5, gi th l (C) b) Da vo th hm s (C) bin lun s nghim ca phng trỡnh x3 + 5x2 + 7x m = c) Da vo th hm s (C) bin lun s nghim ca phng trỡnh x + x + x m = MT S V D GII MU: Baứi 21 Cho hm s y = x + x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm m phng trỡnh x x = m3 3m2 cú ba nghim phõn bit PT x x = m3 3m2 x + x + = m3 + 3m2 + t k = m3 + 3m + S nghim ca PT bng s giao im ca th (C) vi ng thng d: y = k Da vo th (C) ta cú PT cú nghim phõn bit < k < m (1;3) \ { 0;2} Baứi 22 Cho hm s y = x x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh : x x = Ta cú x x = m x m ( x x ) x = m, x Do ú s nghim ca phng trỡnh bng s x giao im ca y = ( x x ) x , (C ') v ng thng y = m, x f ( x ) x > Vi y = ( x x ) x = nờn ( C ' ) bao gm: f ( x ) x < Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 125 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 + Gi nguyờn th (C) bờn phi ng thng x = + Ly i xng th (C) bờn trỏi ng thng x = qua Ox Da vo th ta cú: m < m = 2 < m < vụ nghim nghim kộp nghim phõn bit m0 nghim phõn bit Baứi 23 Cho hm s y = x x + cú th (C) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Tỡm m phng trỡnh x x + = log12 m cú nghim Da vo th ta cú PT cú nghim log12 m = m = 12 = 144 12 Baứi 24 Cho hm s: y = x x + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s 2) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x x + + log2 m = (m > 0) x x + + log2 m = x x + = log2 m (*) + S nghim ca (*) l s giao im ca th y = x x + v y = log2 m + T th suy ra: 1 m =1 m >1 0 + y ' 0, x R a < + y ' 0, x R Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong (a ; b ) Ta cú: y = f ( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hm s f ng bin trờn (a ; b ) y 0, x (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) Trng hp 1: Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (*) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (**) thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) g( x ) (a ; b ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 128 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f ( x ) khụng a c v dng (*) thỡ t t = x a Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c a > > a > Hm s f ng bin trờn khong (; a) g(t ) 0, t < S > P a > > a > Hm s f ng bin trờn khong (a; +) g(t ) 0, t > S < P b) Hm s f nghch bin trờn (a ; b ) y 0, x (a ; b ) v y = ch xy ti mt s hu hn im thuc (a ; b ) Trng hp 1: Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (*) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x ) (a ; b ) Nu bt phng trỡnh f ( x ) h(m) g( x ) (**) thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) g( x ) (a ; b ) Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f ( x ) khụng a c v dng (*) thỡ t t = x a Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at + 2(3a + b)t + 3a + 2b + c a < > a < Hm s f nghch bin trờn khong (; a) g(t ) 0, t < S > P a < > a < Hm s f nghch bin trờn khong (a; +) g(t ) 0, t > S < P Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax + bx + cx + d n iu trờn khong cú di bng k cho trc a f n iu trờn khong ( x1; x2 ) y = cú nghim phõn bit x1 , x2 (1) > Bin i x1 x2 = d thnh ( x1 + x2 )2 x1 x2 = d (2) S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim Tỡm iu kin hm s y = a) ng bin trờn (; ) ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e b) ng bin trờn ( ; + ) c) ng bin trờn ( ; ) e adx + 2aex + be dc f ( x) Tp xỏc nh: D = R \ , y ' = = 2 d ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 129 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Trng hp Nu: f ( x ) g( x ) h(m) (i) Facebook: LyHung95 Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) , vi: a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g( x ) h(m), x < g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be dc a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g(t ) 0, t < (ii) e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) a > > a > (ii) S > P b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) e d g( x ) h(m), x > e d g(t ) 0, t > (iii) e d h(m) g( x ) [ ; + ) a > > a > (iii) S < P c) (2) ng bin trờn khong ( ; ) e d ( ; ) g( x ) h(m), x ( ; ) e ( ; ) d h(m) g( x ) [ ; ] Tỡm iu kin hm s y = a) Nghch bin trờn (; ) ax + bx + c (2), (a, d 0) dx + e b) Nghch bin trờn ( ; +) c) Nghch bin trờn ( ; ) e adx + 2aex + be dc f ( x) Tp xỏc nh: D = R \ , y ' = = 2 d ( dx + e ) ( dx + e ) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 130 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Trng hp Nu f ( x ) g( x ) h(m) (i) a) (2) nghch bin trờn khong (; ) Trng hp Nu bpt: f ( x ) khụng a c v dng (i) thỡ ta t: t = x Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) , vi: g(t ) = adt + 2a(d + e)t + ad + 2ae + be dc a) (2) ng bin trờn khong (; ) e d g( x ) h(m), x < e d h(m) g( x ) ( ; ] b) (2) nghch bin trờn khong ( ; +) Facebook: LyHung95 e d g(t ) 0, t < (ii) a < > a < (ii) S > P b) (2) ng bin trờn khong ( ; +) e d g( x ) h(m), x > e d g(t ) 0, t > (iii) e d h(m) g( x ) [ ; + ) a < > a < (iii) S < P c) (2) ng bin khong ( ; ) e d ( ; ) g( x ) h(m), x ( ; ) e ( ; ) d h(m) g( x ) [ ; ] Cho hm s y = (m 1) x + mx + (3m 2) x (1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn xỏc nh ca nú Baứi Tp xỏc nh: D = R y = (m 1) x + 2mx + 3m (1) ng bin trờn R y 0, x m (1) Baứi Cho hm s y = x + x mx 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (;0) Tp xỏc nh: D = R y = x + x m y cú = 3(m + 3) + Nu m thỡ y 0, x hm s ng bin trờn R m tho YCBT + Nu m > thỡ > PT y = cú nghim phõn bit x1 , x2 ( x1 < x2 ) Khi ú hm s ng bin trờn cỏc khong (; x1 ),( x2 ; +) > m > Do ú hm s ng bin trờn khong (;0) x1 < x2 P m (VN) S > > Vy: m Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 131 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Baứi Cho hm s y = x 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + cú th (Cm) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; +) Tp xỏc nh: D = R y ' = x 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) cú = (2m + 1)2 4(m + m) = > x = m y' = Hm s ng bin trờn cỏc khong (; m), (m + 1; +) x = m +1 Do ú: hm s ng bin trờn (2; + ) m + m Baứi Cho hm s y = x + (1 2m) x + (2 m) x + m + 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K = (0; + ) Hm ng bin trờn (0; +) y = x + 2(1 2m) x + (2 m) vi x (0; +) f ( x) = 3x + x + m vi x (0; +) 4x + 6(2 x + x 1) = x + x = x = 1; x = Ta cú: f ( x ) = 2 (4 x + 1) Lp BBT ca hm f ( x ) trờn (0; +) , t ú ta i n kt lun: f m m Cõu hi tng t: a) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (; 1) S: m 11 b) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (1; +) S: m 1 c) y = (m + 1) x (2m 1) x + 3(2m 1) x + (m 1) , K = (1;1) S: m Baứi Cho hm s y = (m 1) x + (m 1) x x + (1) (m 1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (;2) Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 1) x + 2(m 1) x t t = x ta c: y = g(t ) = (m 1)t + (4m + 2m 6)t + 4m + 4m 10 Hm s (1) nghch bin khong (;2) g(t ) 0, t < m2 < a < TH1: 3m 2m Vy: Vi m2 < a < >0 3m 2m > TH2: 4m2 + 4m 10 S>0 2m P >0 m +1 m < thỡ hm s (1) nghch bin khong (;2) Cho hm s y = (m 1) x + (m 1) x x + (1) (m 1) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s m = 2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (2; +) Baứi Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 1) x + 2(m 1) x t t = x ta c: y = g(t ) = (m 1)t + (4m + 2m 6)t + 4m + 4m 10 Hm s (1) nghch bin khong (2; +) g(t ) 0, t > Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 132 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 m2 < a < >0 3m 2m > m2 < a < TH1: TH2: 4m2 + 4m 10 3m 2m S < 2m P , y = cú nghim phõn bit: m , 0, Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m m < m Vy m ( ;1 Cõu hi tng t: a) Vi y = x 2(m 1) x + m ; y ng bin trờn khong (1;3) S: m mx + (1) x+m 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) Baứi 10 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {m} y = m2 ( x + m)2 Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh y < < m < hm s (1) nghch bin trờn khong (;1) thỡ ta phi cú m m (1) (2) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 133 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Kt hp (1) v (2) ta c: < m x 3x + m (2) x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (; 1) Baứi 11 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {1} y ' = 2x2 4x + m ( x 1) = f (x) ( x 1)2 Ta cú: f ( x ) m x x + t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (; 1) y ' 0, x (; 1) m g( x ) ( ;1] Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (; 1) x 3x + m (2) x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2; +) Baứi 12 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {1} y ' = 2x2 4x + m ( x 1)2 = f (x) ( x 1)2 Ta cú: f ( x ) m x x + t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (2; +) y ' 0, x (2; +) m g( x ) [2; + ) Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (2; +) x 3x + m (2) x Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (1;2) Baứi 13 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ {1} y ' = 2x2 4x + m ( x 1) = f (x) ( x 1)2 Ta cú: f ( x ) m x x + t g( x ) = x x + g '( x ) = x Hm s (2) ng bin trờn (1;2) y ' 0, x (1;2) m g( x ) [1;2] Da vo BBT ca hm s g( x ), x (; 1] ta suy m Vy m thỡ hm s (2) ng bin trờn (1;2) x 2mx + 3m2 (2) 2m x Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (;1) Baứi 14 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} y ' = x + 4mx m 2 ( x 2m) = f (x) ( x 2m)2 t t = x Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) = t 2(1 2m )t m + 4m m > Hm s (2) nghch bin trờn (;1) y ' 0, x (;1) g(t ) 0, t < (i) m = ' = m ' > m = (i) S > 4m > m + m2 4m + P Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 134 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Vy: Vi m + thỡ hm s (2) nghch bin trờn (;1) x 2mx + 3m2 (2) 2m x Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (1; +) Baứi 15 Cho hm s y = Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} y ' = x + 4mx m 2 ( x 2m) = f (x) ( x 2m)2 t t = x Khi ú bpt: f ( x ) tr thnh: g(t ) = t 2(1 2m)t m2 + 4m m < Hm s (2) nghch bin trờn (1; +) y ' 0, x (1; +) g(t ) 0, t > (ii) m = ' = m ' > (ii) m 4m < S < m2 4m + P Vy: Vi m thỡ hm s (2) nghch bin trờn (1; +) Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 135 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 TRCH THI TUYN SINH I HC TRONG MT S NM GN Y Bi 1: Cho hm s y = x3 x + (1) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit rng tip tuyn ú i qua im M (1; 9) Bi 2: Cho hm s y = x3 x + Chng minh rng mi ng thng i qua im I(1; 2) vi h s gúc k (k > 3) u ct th hm s (1) ti ba im phõn bit I, A, B ng thi I l trung im ca on thng AB Bi 3: Cho hm s y = x3 + 3mx + (m + 1) x + (1), m l tham s thc Tỡm cỏc giỏ tr ca tip tuyn ca th hm s (1) ti im cú honh x = i qua im A(1; 2) Bi 4: Cho hm s y = x x + (1) Tỡm cỏc giỏ tr thc ca tham s m ng thng y = mx tip xỳc vi th hm s (1) Bi 5: Cho hm s y = x3 x 3m(m + 2) x (1) , m l tham s thc Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai cc tr cựng du 3x + Bi 6: Cho hm s y = (1) x +1 Tớnh din tớch ca tam giỏc to bi cỏc trc ta v tip tuyn vi th hm s (1) ti im M (2;5) x+2 (1) 2x + Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1) bit tip tuyn ú ct trc honh ,trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc ta O Bi 8: Cho hm s y = x x (1) Bi 7: Cho hm s y = Vi cỏc giỏ tr no ca m, phng trỡnh x x = m cú ỳng nghim thc phõn bit Bi 9: Cho hm s y = x (3m + 2) x + 3m cú th l (Cm), m l tham s Tỡm m ng thng y = ct th (Cm) ti im phõn bit u cú honh nh hn 2x + Bi 10: Cho hm s y = x +1 Tỡm m ng thng y = 2x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho tam giỏc OAB cú din tớch bng Bi 11: Cho hm s y = x x + Lp phng trỡnh tip tuyn ca th, bit tip tuyn ú vuụng gúc ng thng y = x Bi 12: Cho hm s y = x x + (1 m) x + m 2 Tỡm m th ct Ox ti im phõn bit x1 , x2 , x3 tha iu kin x12 + x2 + x3 < Bi 13: Cho hm s y = x3 + 3x2 1, (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú honh x = Bi 14: Cho hm s y = x3 (2m 1) x + (2 m) x + Xỏc nh m hm s cú hai cc tr cú honh dng x + Bi 15: Cho hm s y = 2x Chng minh rng vi mi m ng thng y = x + m luụn ct thỡ (C) ti im phõn bit A v B Gi k1 v k2 ln lt l h s gúc ca cỏc tip tuyn vi (C) ti A v B Tỡm m tng k1 + k2 t giỏ tr ln nht Bi 16: Cho hm s y = x 2(m + 1) x + m (1), m l tham s Tỡm m th hm s (1) cú ba im cc tr A, B, C cho OA = BC, O l gc ta , A l cc tr thuc trc tung, B v C l hai im cc tr cũn li 2x + Bi 17: Cho hm s y = x +1 Tỡm k ng thng y = kx + 2k +1 ct th (C) ti hai im phõn bit A, B cho khong cỏch t A v B n trc honh bng Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 136 Bi ging trng tõm Hm s Thy ng Vit Hựng Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 MC LC CHUN K NNG I S 01 CC TR CA HM S .08 TIP TUYN CA TH HM S .36 S TNG GIAO CA HAI TH HM S 53 CC BI TON V KHONG CCH TRONG HM S 101 BI TON TèM IM TRấN TH 112 BIN LUN S NGHIM PHNG TRèNH BNG TH .123 TNH N IU CA HM S 128 TNG HP CC BI TON HM S TRONG THI I HC 136 Mi gúp ý xin gi v a ch: ng Vit Hựng Email: Hungdv95@gmail.com Facebook: LyHung95 Tel: 0985.074.831 Tham gia khúa LTH v Luyn gii dnh im Toỏn tr lờn k TSH 2014 www.moon.vn 137