bài giảng trọng tâm về hàm số

bài giảng trọng tâm về hàm số

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 1 §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ Chương trình Luyện thi Đại học SAP NĂM HỌC 2013 - 2014 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 2 1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC  Nguyên tắc: + Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn. + Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng xét dấu. + Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó. + Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.  Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau a) 2 ( ) 3. 3 4 + = + − x f x x b) 1 3 ( ) 2 . 1 = − − − f x x x c) ( 3)(3 2 ) ( ) . 1 + − = − x x f x x d) 4 2 2 1 5 ( ) . 3 2 4 − + = − − x x f x e) 2 3 2 ( ) . 1 − + = − − x x f x x x f) 2 2 ( ) . 3 1 2 1 + − = − + − x x f x x x g) 2 1 1 2 ( ) . 1 − = + − + + x f x x x x x h) 1 2 3 ( ) . 2 2 = + − − + f x x x x Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau a) 1 2 3 . 3 2 + < + + x x x b) 2 2 1 4 . 2 2 2 − + ≤ + + x x x c) 2 2 2 3 4 15 . 1 1 1 − − + + + ≥ − + − x x x x x x x d) 4 3 2 2 3 2 0. 30 − + > − − x x x x x e) 4 2 2 4 3 0. 8 15 − + ≥ − + x x x x f) ( ) 3 2 3 3 0. 2 − − + > − x x x x x 2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC  Nguyên t ắ c: + f(x) chia cho g(x) đượ c h(x) và d ư là k thì ta có th ể vi ế t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= + ⇔ = + f x k f x g x h x k h x g x g x + Để chia đ a th ứ c b ằ ng l ượ c đồ Hoocner ta ph ả i s ắ p x ế p đ a th ứ c chia theo l ũ y th ừ a gi ả m d ầ n, s ố h ạ ng nào khuy ế t ta cho h ệ s ố b ằ ng 0. + Th ự c hi ệ n chia theo quy t ắ c: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo .  Các ví d ụ đ i ể n hình: Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau a) 4 3 2 3 2 3 + − + = + x x x x x ……… b) 3 2 3 2 10 1 − + − + = − x x x x ……… c) 2 2 1 + + = − x mx m x ……… d) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 + − + = + x m x x ……… 3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Bài mở đầu: CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 3 Xét phương trình: ( ) ( ) 4 3 2 0, 1 . = + + + + =f x ax bx cx dx e N ế u x = x o là m ộ t nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1) thì ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 0 ′ ′ ′ ⇔ = − + + + = o f x x x ax b x c x d ( ) 3 2 ′ ′ ′ → = + + + − o f x ax b x c x d x x  Nguyên tắc: + Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1. + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1. + Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như 0; ±1; ±2… + Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.  Các ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) ( ) 4 3 2 2 4 3 2 1 = + − − − f x x x x x b) ( ) 3 2 4 2 7 1 = − − − f x x x x c) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 1 = − + − − + − f x x m x m x m Hướng dẫn giải : a) ( ) 4 3 2 2 4 3 2 1 = + − − − f x x x x x Xét phương trình ( ) 4 3 2 0 2 4 3 2 1 0 = ⇔ + − − − = f x x x x x Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 4 3 2 2 4 3 2 1 0 1 . 2 4 3 2 1 1 + − − − = ⇔ − = + − − − → = − x x x x f x x g x x x x x g x x Dùng lược đồ Hoocner ta được ( ) ( ) 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 2 4 3 2 1 2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1 1 + − − − = + + + → + − − − = − + + + − x x x x x x x x x x x x x x x x b) ( ) 3 2 4 2 7 1 = − − − f x x x x Xét ph ươ ng trình ( ) 3 2 0 4 2 7 1 0 = ⇔ − − − = f x x x x T ổ ng h ệ s ố b ậ c ch ẵ n là −2 − 1 = −3, t ổ ng h ệ s ố b ậ c l ẻ c ủ a ph ươ ng trình là 4 − 7 = −3 T ừ đ ó ta th ấ y ph ươ ng trình có m ộ t nghi ệ m x = −1. Khi đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 4 2 7 1 1 . 4 2 7 1 1 . 1 − − − = + ⇔ − − − = + → = + x x x f x x g x x x x x g x g x x Dùng l ượ c đồ Hoocner ta đượ c ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 4 2 7 1 4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1 1 − − − = = − − → = − − − = + − − + x x x g x x x f x x x x x x x x c) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 1 = − + − − + − f x x m x m x m T ổ ng các h ệ s ố đ a th ứ c là ( ) ( ) 1 1 1 2 1 0 − + − − + − = m m m nên f(x) = 0 có m ộ t nghi ệ m x = 1. Ti ế n hành chia đ a th ứ c ta đượ c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 2 1 1 2 1 = − + − − + − = − − − + f x x m x m x m x x mx m Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) ( ) 4 2 3 2 6 = − − + + f x x x x = …………………………………………………………… b) ( ) 3 2 4 6 1 = + − + f x x x x = ……………………………………………………………… c) ( ) 3 2 = + − − f x x mx x m = ………………………………………………………………. d) ( ) ( ) 3 2 2 1 = − + − + f x x x m x m = ………………………………………………………. e) ( ) 3 2 6 8 = + − − f x x x x = ………………………………………………………………. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 4 f) ( ) 3 2 2 4 4 = − − + − f x x x x = ……………………………………………………………. 4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Xét phương trình bậc hai: ( ) ( ) 2 0, 1 = + + =f x ax bx c a) Giải và biện luận phương trình (1):  N ế u a = 0 thì ( ) ( ) 1 0, * ⇔ + =bx c + n ế u b = 0 và c = 0 thì (*) nghi ệ m đ úng v ớ i m ọ i x. + n ế u b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghi ệ m. + n ế u b ≠ 0 thì ( ) * ⇔ = − c x b  Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức ( ) 2 2 4 ; 2  ∆ = −  ′ ′ ′ ∆ = − =   b ac b ac b b + n ế u ∆ > 0 thì (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t 2 1;2 4 . 2 2 − ± ∆ − ± − = = b b b ac x a a + n ế u ∆ = 0 thì (1) có nghi ệ m kép . 2 − = b x a + n ế u ∆ = 0 thì (1) vô nghi ệ m. b) Hệ thức Vi-ét: Khi (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t x 1 và x 2 thì ta có h ệ th ứ c Vi-ét: 1 2 1 2  = + = −     = =   b S x x a c P x x a M ộ t s ố các k ế t qu ả c ầ n l ư u ý:  ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 + = + − = − x x x x x x S P  ( ) ( ) 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 + = + − + = − x x x x x x x x S SP  ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x S P P + = + − = − −  ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 − = + − = − x x x x x x S P c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:  Ph ươ ng trình có hai nghi ệ m dương phân bi ệ t khi 2 1 2 1 2 1 2 4 0 0 0 ; 0 0   − >  ∆ >  −  ⇔ = + = >   >    = = >   b ac b S x x x x a c P x x a  Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 2 1 2 1 2 1 2 4 0 0 0 ; 0 0   − >  ∆ >  −  ⇔ = + = <   <    = = >   b ac b S x x x x a c P x x a  Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 5  Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 0 4 0 0 0 2 α 2α 2α α α α 0 α α 0 α α 0    − > − >  ∆ >   ∆ >   − −   ⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >     >     − − >    − + + >  + + >   b ac b ac b b x x S x x S x x x ,x a a x x c b x x x x . a a  Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 0 4 0 0 0 2 α 2α 2α α α α 0 α α 0 α α 0    − > − >  ∆ >   ∆ >   − −   ⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <     <     − − >    − + + >  + + >   b ac b ac b b x x S x x S x x x ,x a a x x c b x x x x . a a  Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi ( ) 2 1 2 0 0 0 ; α α 0 α α 0 ∆ > ∆ >  ∆ >     ⇔ ⇔    ≠ ≠ + + ≠     x x g a b c  Ph ươ ng trình có m ộ t nghi ệ m và nghi ệ m này l ớ n h ơ n α khi ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 α α α α 2 2 2 2 0 0 0 0 α α α 0 α α 0 α α 0  ∆ =   ∆ =  ∆ =    ∆ =         −   − − −  = = >     = = > = = > = = >           ⇔ ⇔ ⇔     ∆ >    ∆ > ∆ >  ∆ >                < < − − < − + + < + + <             b b b b x x x x x x x x a a a a c b x x x x x x x x . a a  Ph ươ ng trình có m ộ t nghi ệ m và nghi ệ m này nh ỏ h ơ n α khi ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 α α α α 2 2 2 2 0 0 0 0 α α α 0 α α 0 α α 0  ∆ =   ∆ =  ∆ =    ∆ =         −   − − −  = = <     = = < = = < = = <           ⇔ ⇔ ⇔     ∆ >    ∆ > ∆ >  ∆ >                < < − − < − + + < + + <             b b b b x x x x x x x x a a a a c b x x x x x x x x . a a Ví dụ 1: Cho phương trình ( ) ( ) + + + + = 2 1 4 2 3 0, 1 m x mx m a) Giải và biện luận phương trình đã cho. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn − −− −1. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Gi ả i và bi ệ n lu ậ n ph ươ ng trình.  N ế u m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì ( ) 5 1 4 5 0 . 4 x x ⇔ − − = ⇔ = −  N ế u m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là ph ươ ng trình b ậ c hai có ( ) ( ) 2 2 4 1 2 3 2 5 3 m m m m m ′ ∆ = − + + = − − + Nếu 2 1 0 2 5 3 0 3 2 m m m ′ ∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < thì (1) vô nghiệm. + Nếu 2 3 0 2 5 3 0 1 2 m m m m =   ′ ∆ = ⇔ − − = ⇔  = −  thì (1) có nghiệm kép 2 . 1 b m x a m ′ − = − = + + N ếu 2 3 0 2 5 3 0 1 2 m m m m >   ′ ∆ > ⇔ − − > ⇔  < −  thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 1;2 2 2 5 3 . 1 m m m x m − ± − + = + Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 6 b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ( ) 2 3 0 2 5 3 0 * 1 2 m m m m >   ′ ∆ > ⇔ − − > ⇔  < −  G ọ i hai nghi ệ m phân bi ệ t là x 1 ; x 2 v ớ i x 2 > x 1 . Theo đị nh lí Vi-ét ta có 1 2 1 2 4 1 2 3 1 b m x x a m c m x x a m  + = − =   +  +  = =  +  Hai nghi ệ m đề u d ươ ng khi 1 2 1 2 1 0 4 0 0 1 1 . 0 2 3 3 0 1 2 o m m x x m m vn x x m m m − < <   − >   + >    > − +  ⇔ ⇔ →     > +    >  < −   +    c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 4 4 1 4 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 4. 1 4 4 2 2 2 2 0 1 1 1 m m m m x x x x x x m m m m m m m x x x x m m m + − +   − < <  − + > >    + + >  + + + >      + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < < >       + < − + < −         − < − − > < −     + +   Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho phương trình ( ) ( ) ( ) + + − + = 2 2 2 1 0, 1 x x mx m . a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm. c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa mãn + + < 2 2 2 1 2 3 7. x x x Hướng dẫn giải : a) Ta có ( ) ( ) 2 2 1 ( ) 2 1 0, 2 x g x x mx m = −  ⇔  = + − + =   Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2. Điều đó xảy ra khi ( ) ( ) 2 2 4 2 5 0 4 1 2 0 8 4 0 4 2 5 * 4 5 ( 2) 0 4 2 2 1 0 5 4 g m m m m m m m g m m m   > − +   ∆ >   − − > + − >    < − −   ⇔ ⇔ ⇔     ≠ − ≠ − − + ≠       ≠   Vậy với 4 2 5 4 2 5 5 4 m m m   > − +    < − −     ≠   thì ph ươ ng trình đ ã cho có 3 nghi ệ m phân bi ệ t. b) Do nghi ệ m x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghi ệ m trong đ ó 2 nghi ệ m âm thì (2) ph ả i có hai nghi ệ m trái d ấ u. T ừ đ ó ta có 1 0 1 2 0 . 2 P m m < ⇔ − < ⇔ > Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm. c) Không mất tính tổng quát, giả sử x 1 = −2. Khi đó x 2 ; x 3 là hai nghiệm phân biệt của (2). Theo định lí Vi-ét ta được 2 3 2 3 1 2 x x m x x m + = −   = −  Khi đ ó ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 7 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1. x x x x x x x m m m m m + + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < < K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c 4 2 5 1 m − + < < là giá tr ị c ầ n tìm. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho ph ươ ng trình ( ) 2 1 2 1 0. − − + + = m x mx m Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 7 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1. b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình. c) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức 1 2 2 1 5 0. 2 + + = x x x x Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x 2 + mx + m). a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0. b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3 c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3 thỏa mãn 2 2 2 1 2 3 4. + + < x x x d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2. Bài 3: Cho phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình thoả mãn x 1 + 4x 2 = 3. d) Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 4: Cho phương trình 2 1 0 − + − = x mx m , (v ớ i m là tham s ố ). a) Ch ứ ng t ỏ r ằ ng ph ươ nh trình có nghi ệ m x 1 , x 2 v ớ i m ọ i m. Tính nghi ệ m kép (n ế u có) c ủ a ph ươ ng trình và giá tr ị c ủ a m t ươ ng ứ ng b) Đặ t 2 2 1 2 1 2 6 . = + − A x x x x  Ch ứ ng minh A = m 2 – 8m + 8.  Tìm m để A = 8,  Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a A và giá tr ị c ủ a m t ươ ng ứ ng. c) Tìm m sao cho ph ươ ng trình có nghi ệ m này b ằ ng hai l ầ n nghi ệ m kia. d) Tim m để ph ươ ng trình có hai nghi ệ m đề u l ớ n h ơ n 1. Bài 5: Cho ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 1 2 3 0. x x mx m − + + − = a) Tìm m để ph ươ ng trình có ba nghi ệ m phân bi ệ t. b) Tìm m để ph ươ ng trình có ba nghi ệ m phân bi ệ t đề u d ươ ng. c) Tìm m để ph ươ ng trình có ba nghi ệ m phân bi ệ t x 1 ; x 2 ; x 3 th ỏ a mãn 2 2 2 1 2 3 15. x x x+ + = d) Tìm m để ph ươ ng trình có ba nghi ệ m phân bi ệ t, trong đ ó có hai nghi ệ m âm. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 8 DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA Xét hàm số bậc ba : 3 3 2 3 3 ′ = + + + ⇒ = + + y ax bx cx d y ax bx c DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  N ế u a = 0 thì 3 0 3 ′ ′ = + → = ⇔ = − c y bx c y x b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.  Nếu a ≠ 0 : + Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − − − 3 2 1 1 1 3 y x m x mx tùy theo giá trị của tham số m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 2 1 . ′ = + − + y x m x m  Hàm s ố không có c ự c tr ị khi y′ không đổ i d ấ u trên mi ề n xác đị nh (hay hàm s ố luôn đồ ng bi ế n ho ặ c ngh ị ch bi ế n trên mi ề n xác đị nh), đ i ề u đ ó x ả y ra khi y′ = 0 vô nghi ệ m ho ặ c có nghi ệ m kép. T ừ đ ó ta có đ i ề u ki ệ n ( ) 2 2 3 5 3 5 0 1 0 3 1 0 . 2 2 − + ′ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m  Hàm s ố có hai c ự c tr ị khi y′ đổ i d ấ u trên mi ề n xác đị nh, đ i ề u đ ó x ả y ra khi y′ = 0 có hai nghi ệ m phân bi ệ t. 2 3 5 2 0 3 1 0 3 5 2  + >   ⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔  − <   m m m m Kết luận : - Hàm số không có cực trị khi 3 5 3 5 2 2 − + ≤ ≤m - Hàm số có hai cực trị khi 3 5 3 5 ; . 2 2 + − ≥ ≤m m Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( ) = + − + + − 3 2 2 2 3 y mx m x mx m tùy theo giá tr ị c ủ a tham s ố m. Hướng dẫn giải: Ta có ( ) 2 3 2 2 2 . ′ = + − + y mx m x m TH1 : m = 0. Khi đó 4 ; 0 0 ′ ′ = − = ⇔ = y x y x , trong trường hợp này hàm số có một cực trị. TH2 : m ≠ 0.  Hàm số không có cực trị khi 2 0 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 2 2 6 2 2 6 5 5 ≠    − +  ≥ − +   ≠  ≠    ≥   ⇔ ⇔ ⇔     ′ ∆ ≤  + − ≥  − −     ≤ − −   ≤      m m m m m m m m m Bài 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 9  Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 6 2 2 6 0 0 5 5 0 5 4 4 0 0  − − − + ≠  ≠  < <   ⇔ ⇔ ⇔    ′ ∆ > + − <     ≠  m m m m m m Kết luận : - Hàm số không có cực trị khi 2 2 6 2 2 6 ; . 5 5 − + − − ≥ ≤m m - Hàm s ố có m ộ t c ự c tr ị khi m = 0. - Hàm s ố có hai c ự c tr ị khi 2 2 6 2 2 6 5 5 0  − − − + < <    ≠  m m BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1. Tìm m để các hàm s ố sau đ ây có c ự c đạ i và c ự c ti ể u: a) ( ) 3 2 2 2 1 2 = − + − + y x mx m x b) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1 = − − + − + − − y x m x m m x m m Bài 2. Tìm m để hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 = + − + − + + y x m x m x m không có c ự c tr ị . Bài 3. Bi ệ n lu ậ n theo m s ố c ự c tr ị c ủ a hàm s ố ( ) ( ) 3 2 1 1 3 2 1 3 = + + + − + y m x mx m x DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại và cực tiểu). Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x 1 ; x 2 . Khi đó x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0. Theo định lí Vi-ét ta được 1 2 1 2  + = −     =   B x x A C x x A Phương pháp thực hiện : + Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*) + Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn. + Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng. Ta xét một số dạng tính chất điển hình. Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = x o  Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) : + Hàm số đạt cực trị tại ( ) 0 . ′ = ⇔ = → o o x x y x m + V ớ i m tìm đượ c, thay vào hàm s ố r ồ i kh ả o sát, t ừ b ả ng bi ế n thiên ta có k ế t lu ậ n v ề hàm s ố đạ t c ự c đạ i, hay c ự c ti ể u t ạ i đ i ể m x o hay không.  Cách 2 (s ử d ụ ng đ i ề u ki ệ n c ầ n, đ i ề u ki ệ n đủ ; hay y’’) : + Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ <   o o o y x x x m y x + Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i ( ) ( ) 0 . 0 ′  =  = ⇔ →  ′′ >   o o o y x x x m y x Chú ý: Hàm s ố đạ t c ự c tr ị t ạ i ( ) ( ) 0 0 ′  =  = ⇔  ′′ ≠   o o o y x x x y x Ví dụ mẫu: Cho hàm số = − + − + 3 2 1 ( 2) 1. 3 y x m x mx a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 10 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Hướng dẫn giải : Ta có ( ) 2 2( 2) 2 2 2 . ′ ′′ = − + − ⇒ = − +y x m x m y x m a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 1 0 5 4 0 4 > −  ′ ⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔  < −  m m m m b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.    Cách 1: + Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì ( ) 0 0 0. ′ = ⇔ = y m + Với m = 0 thì ta có 2 0 4 0 4 =  ′ = − = ⇔  =  x y x x x Ta có bảng biến thiên: x −∞ 0 4 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ +∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực đại tại ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2( 2) 0 0 0 ′  = =   = ⇔ ⇔ ⇔ =   − + < ′′ <    y m x m m y V ậ y m = 0 thì hàm s ố đ ã cho đạ t c ự c đạ i t ạ i x = 0. c) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i t ạ i x = 2.    Cách 1: + Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2 thì ( ) 4 2 0 4 4( 2) 0 5 4 . 5 ′ = ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = − y m m m m + V ớ i 2 2 2 4 4 4 12 4 2 2 0 2 5 5 5 5 5 5 =     ′ ′ = − → = − − + ⇔ = − + = ⇔    =     x m y x x y x x x Ta có b ả ng bi ế n thiên: x −∞ 2 5 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y CĐ + ∞ −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2. Vậy 4 5 = − m là giá trị cần tìm.    Cách 2: Hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 4 2 0 5 4 0 4 2 . 5 2 0 5 2 0 0  ′  = + = = −    = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −    − > ′′ >     <  y m m x m m y m V ậ y 4 5 = − m thì hàm s ố đ ã cho đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm s ố 3 2 (2 1) 2 3. = − + − + − y x m x mx a) Tìm m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u. b) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i t ạ i x = −1. c) Tìm m để hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i x = 3. [...]... www.moon.vn 15 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 1 3 ( 3m − 1 ) x x − + (3m − 2) x + m − 1 3 2 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2 3 3 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 28 2 2 d) hàm số đạt cực... −1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( 2m − 1) x 2 1 Bài 1: Cho hàm số y = x3 − − 2(2m + 1) x + 3 3 2 Tìm giá trị của m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm ( ) Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 17 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 4 4 c) hàm số. .. – www.moon.vn 19 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 5 x− 2 2 Đ/s : m = 0 Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = ± 2 2 Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 3(m +... = ± → 6 2  1   x1 x2 = − 4  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x + 2 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3 2 c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x2 < 10 d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1 Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 6 (... tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 1 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = x 2 Đ/s: m = 1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng ( d ) : x + 4 y − 5 = 0 một góc 450 1 Đ/s: m = − 2 Bài 3: Cho hàm số y... ⇔m=± 2 u d u AB = −1 2m − 1 = 0   Bài 15: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài 16: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 25 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831... Bài 25: Cho hàm số y = 1 3 x + x 2 + mx + m 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15 Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 29 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 Giải: Đạo hàm: y = x 2 + 2 x + m Ta có ∆ ' > 0 ⇔ 1 − m > 0 ⇔ m < 1 Nên m < 1 thì hàm số. .. dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 21 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Bài 4: Cho hàm số y = Facebook: LyHung95 1 3 1 2 x − mx + (m2 − 3) x 3 2 2 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho x1 + x2 = 5 2 Giải : TXĐ : D = R Ta có y ' = x 2 − mx + m 2 − 3 Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương thì PT y ' = x 2 −... Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 22 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95 2 + 2m − 1 = 0 1  Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên  ⇔ m = − (tm*) 9 3 2 2 9m − 4m + 12m − 3m + 4 − 2 = 0  Vậy m = − 1 là giá trị cần tìm 2 Bài 7: Cho hàm số y = 2 x3 − 3( m + 1) x 2 + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho AB = 2... 1 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2 Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 2 2 Bài 4: Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + ( m2 + 4m + 3) x + m + 2 Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm 3 s ố a) Tìm m để hàm số đạt cực trị . www.moon.vn 1 §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ Chương trình Luyện thi Đại học SAP NĂM HỌC 2013 - 2014 Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831. dụ 5: Cho hàm số ( ) = − + − + 3 2 3 3 1 1 2 m y x x m x Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. c) hàm số đạt cực đại tại x = 0. d) hàm số không. BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2. = + + − − + y x m x m x a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3. c) Tìm m để hàm