Các chuyên đề toán cực hay -Megabook

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu x1 , x2 x1 , x2 nghiệm phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở phương pháp là: hàm số bậc đạt cực đại cực tiểu x1 , x2 f '( x1 )  f '( x2 )  + Phân tích y  f '( x) p( x)  h( x ) Từ ta suy x1 , x2 y1  h( x1 ); y2  h( x2 )  y  h( x ) đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=  a Ví dụ 1) Tìm m để f  x   x  mx  x  có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7 Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  f '( x)  3x  2mx   có nghiệm phân biệt    m  21   m  21 Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có:  7m 1 f  x    x  m  f   x    21  m  x   Với m  21 f’(x)=0 có nghiệm x1, x2    9 3 phân biệt hàm số f(x) đạt cực trị x1,x2 http://megabook.vn 7m   f  x1   (21  m ) x1    f ( x1 )  Do  nên   f ( x2 )   f  x   (21  m ) x   m 2  9  7m 21  m x   9  m  21  m  21  m  21 10    Ta có     y  x     3   45  m   2  21  m  1 21  m  m  2 9   Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình    : y      3) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox góc  + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k  tan  Ví dụ 1) Cho hàm số y  x  x  mx  (1) với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Giải: Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt 2m m  2) x     '   3m   m  3 y  x  x  mx   ( x  1) y ' ( 3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình 2m m y  (  2) x   3  m6   6m Đường thẳng cắt trục Ox Oy tai A ;0 , B  0;    2(m  3)   Tam giác OAB cân OA  OB  m6 6m  2(m  3)  m  6; m   ; m   2 Chú ý: Ta giải toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc đường thẳng   m   ( L) 2m k   tan 45  1    1    m   (TM )   Với m = A  B  O so với điều kiện ta nhận m   http://megabook.vn 4) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b góc  + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu k a + Giải điều kiện  tan   ka Ví dụ ) Tìm m để f  x   x  3(m  1) x  (2m  3m  2) x  m(m  1) có đường thẳng qua 1 x  góc 450 Giải: Gọi hệ số góc đường thẳng qua CĐ, CT k, từ điêu kiện toán suy ra: k  1    5k k   k  k    4 4    tg 450   k    k     4  1  k  5  k   k   3k  5  k      4  4    4 2 Hàm số có CĐ, CT  f ( x)  x  6(m  1) x  (2m  3m  2)  có nghiệm phân biệt CĐ, CT tạo với y   3   3     3(m  3m  1)    m    m   (*)     Thực phép chia f(x) cho) f’(x ta có f ( x)   x  (m  1) f ( x )   m  3m  1  x  (m  1)  3 với m thoả mãn điều kiện (*) f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt ccực trị x1,x2 2     f  x1   (m  3m  1)  x1   m  1  f ( x1 )   Do  nên   f  x   2 m2  3m   x   m  1   f ( x2 )    2    2 Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình    : y   m  3m  1  x   m  1    1 2 Ta có    tạo với y  x  góc 450  m  3m   1 3  15 kết hợp với điều kiện (*) ta có m  5) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy A,B cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm giao điểm với trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y + S MAB  d M / AB AB Từ tính toạ độ A, B sau giải điều kiện theo giả thiết  http://megabook.vn  Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât Giải: Có: y '  x  3m có nghiệm phân biệt m  Khi tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số M    m ;  2m x , N  m ;  2m x  - Phương trình đường thẳng MN là: 2mx  y   ˆ - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I A,B mà tam giác IAB có 2.S IAB  IA.IB.sin AIB  , ˆ dấu xảy AIB  900 , lúc khoảng cách từ I đến MN 2m  1 3 Do ta có pt: d  I , MN      m  1 ;m  1 2 2 4m  Ví dụ 2) Cho hàm số y  x3  3mx  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B cho tam giác IAB có diện tích 18 , I 1;1   Lời giải: Ta có y '  x  3m  x  m Để hàm số có CĐ CT  m     m ;  2m m  4m m m   x  m   y   2mx m Gọi A, B cực trị A  m ;  2m m ; B  PT đường thẳng qua AB là: y   2m Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB d  I ; AB   Mà diện tích tam giác IAB S  18     2m  độ dài đoạn AB  4m  16m3 4m  1 2m  4m  16m3  18 2 4m    4m  16m3  2m  1  4m  4.18  m  2m  1  18    4m3  4m  m  18    m   4m2  4m    m  6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách điểm M cho trước: + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B điều kiện MA=MB 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B điều kiện là: Đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b trung điểm AB thuộc đường thẳng y=ax+b http://megabook.vn Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x)  x  x  m x  m có CĐ CT đối xứng qua   : y  x  2 Giải: Hàm số có CĐ, CT  f   x   x  x  m  có nghiệm phân biệt     3m    m2  m  m2 x  1 f ( x)  m  x  m  3 với m  f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f(x) đạt cực trị x1, x2 thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x)     m2 y1  f  x1   m  x1  m   f   x1    3 Do  nên  Suy đường thẳng qua CĐ, CT  f   x2    y  f  x   m2  x  m  m  2  3  2 m có phương trình  d  : y  m  x  m 3 Các điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  đối xứng qua    : y  x   d     trung 2 2  m   2; xI  m  điểm I AB phải thuộc (d)    m0 m(m  1)   m   m  m  1  3 2  Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  x  mx   Cm            Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số cách đường thẳng d : x  y   Giải: Ta có y '  x  x  m; y '   3x  x  m  (1) Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu phương trình (1) có nghiệm phân biệt  m  Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai điểm cực trị hàm số (Cm), ( x1 , x2 nghiệm (1)) m  x 1 m  Vì y  y '       1 x   y '  x1   y '  x2   nên phương trình đường thẳng  3   m m  qua A,B y    1 x    d '  Do điểm A,B cách đường thẳng (d) 3  trường hợp sau: m  TH1: (d’) phương với (d)       m  (không thỏa mãn) 3  TH2: Trung điểm I AB nằm (d) Do I trung điểm AB nên tọa độ I là: http://megabook.vn w w w V N M A T H c o m x1  x2  x   Vì I nằm (d) nên ta có  m    m  (thỏa mãn)   y  y1  y2  m   Chú ý: Cần phân biệt rõ khái niệm cách đối xứng qua đường thẳng 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách điểm cực đại cực tiểu max, + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B Tính độ dài AB theo tham số Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x)  x  mx  x  m  có khoảng cách điểm CĐ, CT nhỏ Giải: Do f   x   x  2mx   có   m2   nên f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực trị x1, x2 với điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  2  x  m  f ( x)  m  x   m  1   3 3   2 2   y1  f ( x1 )   m  1 x1   m  1  f ( x1 )    Do  nên   f ( x2 )   y  f ( x )  2  m  1 x   m  1 2    3   2 2 Ta có AB   x2  x1    y2  y1    x2  x1    m  1  x2  x1  2    x2  x1   x1 x2  1   m  1     Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x )    2 13   4   4m2   1  m    1    AB       9  Min AB=  13 xảy  m=0 9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn hệ thức cho trước + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x1 , x2 hai nghiệm phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x)  x  mx  mx  đạt cực trị x1, x2 thoả mãn x1  x2  http://megabook.vn www.VNMATH.com Giải: Hàm số có CĐ, CT  f ( x)  x  2mx  m  có nghiệm phân biệt     m  m    m     m  1 với điều kiện f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực trị x1, x2 với x1+x2=2m x1x2=m Ta có BPT: x1  x2   x1  x2  64   x1  x2   x1 x2  4m2  4m  64  m  m  16    65    65  m  m       thoả mãn điều kiện  m     m  1 Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  x  mx  1 11 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách từ điểm I ( ; ) đến đường thẳng nối điểm cực đại cực tiểu lớn Giải: Ta có y '  3x  x  m Hàm số có cực đại cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt   '   m  (0,25 điểm) x 2m m - Chia đa thức y cho y’ ta có y  y ' (  )  (  2) x   Lập luận suy đường thẳng 3 3 2m m qua cực đại cực tiểu  y  (  2) x   Dễ dàng tìm điểm cố định mà đường 3 thẳng cực đại cực tiểu qua A( ;2) (0,25 điểm) - Hệ số góc đường thẳng IA k  Hạ IH vuông góc với  ta có IH  d I /   IA  4 Đẳng thức xảy IA   (0,25 điểm) 2m - Suy       m  (0,25 điểm) k Ví dụ 3) Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m3  4m  (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị A, B với gốc O tạo thành tam giác vuông O Giải:Điều kiện để hàm số có cực trị y’=0 có hai nghiệm phân biệt:  x  m 1 (0,25 điểm) y '  x  6mx  3(m2  1)   '     x  m 1  1 Ta có y  y '( x  m)  x  3m  Gọi A, B điểm cực trị 3 A( m  1; m  3); B ( m  1; m  1) (0,25 điểm)      m  1 Suy OA(m  1; m  3); OB (m  1; m  1)  2m  2m     (0, 25 điểm) m  Kết luận: Có hai giá trị m cần tìm m=-1 m=2 http://megabook.vn x  m.x  m  x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1; x2 độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh  Ví dụ 4) Tìm giá trị m để hàm số y  huyền  Giải: Cách 1: Miền xác định: D  R có y '  x  mx  m  3; y '   x  mx  m   Hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn yêu cầu toán PT y '  có nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu đổi dấu qua nghiệm 4  m  2  m         S   m   m    m  (*) P     m    m  m     x1  x2  m Theo Viet ta có:  Mà  x1 x2  m   14 2 x1  x2    x1  x2   x1x2   2m  m    m   2 14 Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị m  thỏa yêu cầu toán   B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: y  ax  bx  c *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có cực đại cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn y’=0 có nghiệm x=0, để y’=0 có nghiệm phân biệt sau tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc lại có nghiệm phân biệt khác không VD: y  x  2mx  y '  x  4mx  y '   x   x   m  điều kiện m0 Với m>0 f’(x)=0  x1  m  B  m ; m4  m  2m    x2 0  A 0; m  2m   x3  m  C m ; m  m  2m  Suy BBT hàm số y=f(x) m  m    ABC   AB  AC   AB  AC  AB  BC  AB  BC         m    m    m4  m  m m   m  3 m m    m4  m  4m   Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  2mx  2m 4 , m tham số thực Xác định m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải: Mxđ: D R Có y '  x3  4mx   y ' 0  x3  4mx 0  x 0  x m Hàm số có cực trị  m  (*)    Gọi A 0; 2m  , B    m ; m  , C  m ; m  điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy A thuộc Oy nên tam giác ABC cân A Kẻ AH  BC có S ABC  AH BC 2  yB  y A xB 2  2m m m 1 Đối chiếu với điều kiện (*) có m  giá trị cần tìm   Ví dụ 3) Cho hàm số y  x   m x m 1 Tìm m để hàm số cho có điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải: y '  x3  x  m   x  0, x 1  m2   hàm số có cực trị  m 1 Khi tọa độ điểm cực đại A  0;1  m  , tọa độ hai điểm    m ; cực tiểu B  m2 ; m , C diện tích tam giác ABC S ABC   m2  d  A; BC  BC   m2  ĐS: m  http://megabook.vn  1 Dấu “=” xày m  www.VNMATH.com Ví dụ 4) Cho hàm số y  x  2mx  có đồ thị (Cm) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua 3 9 D ;  5 5 Giải: Có y '  x3  4mx 0  x  0; x  m  m 0  Vậy điểm thuộc đường tròn (P)    ngoại tiếp điểm cực trị A  0;  , B  m ; m  , C 3 9 m ; m  , D  ;   5   Gọi I  x; y  tâm đường tròn (P)   IA2  ID 3 x  y 1      IB  IC  2 x y 2 x m   2  IB  IA  x  m  y  m2    Vậy m  giá trị cần tìm     x  0; y  1; m  0( L), m    x2   y  2 Phần hai: Các toán liên quan đến tiếp tuyến đường tiệm cận *) Xét hàm số y  f ( x ) Giả sử M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) ( Chú ý trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn y0 theo dạng f ( x0 ) ) 2x 1 Ví dụ: Xét điểm M thuộc đồ thị hàm số y  điểm M có toạ độ x 1 2x 1 M ( x0 ; ) x0  *) Ta gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M k  f '( x0 ) *) Đường thẳng  có hệ số góc k qua M ( x0 ; y0 ) có dạng y  k ( x  x0 )  y0 Điều kiện để  tiếp tuyến hàm số y=f(x) hệ phương trình sau có nghiệm k ( x  x0 )  y0  f ( x )  k  f '( x ) Khi số nghiệm hệ số tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đồ thị hàm số y=f(x) *) Mọi toán viết phương trình tiếp tuyến quy việc tìm tiếp điểm sau viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi thường gặp phần 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc k  f '( x0 ) + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k  f '( x0 ) a Giải phương trình tìm x0 sau viết phương trình tiếp tuyến theo (1) http://megabook.vn  x2 − 4x + y + =  22  2 log ( x − ) − log  y=0 ( x, y ∈ ℝ ) ĐS: ( 3;1) ∨ ( 4; −2 )  y + − 2x − =  23  ( x, ( y ∈ ℝ ) ) ĐS: ( 2;3) ∨ ( 6;11) log 3 22 x + y + 2 x − y − = ( y + 1) log 2 =    1− x 2 x + xy + = y 24  ĐS: ( x y ) = (2; − )  x y + 2x − 2x y − 4x + =   x − y sin x e = sin y  π 25  x, y ∈  0;  ĐS: x = y =  4 3 x + + = y − y + + y   + 42 x − y 51− x + y = + 22 x − y +1  26  ĐS: x = 0; y = −1 y + x + + ln( y + x) =   ( ) ( ) ( ) x  x + x + log = y + y + y  27   y − xy + =   x =  ĐS:  y =   x = log e x + e y + ( x − y ) ( x + y + ) + ln ( x + xy − y ) − ln ( xy ) =   28  ĐS:  x y x 2 − 3.6 − 4.3 =  y = log    x = −2 ĐS:  y =1  log1− x ( − xy − x + y + ) + log 2+ y ( x − x + 1) =  29  log1− x ( y + ) − log 2+ y ( x + ) =    19  y x =  x + − − x =  − x +  30  ĐS:   x   y = −1  y + log x =  ( )  x3 + x − + ln ( x − x + 1) = y  31  y + y − + ln ( y − y + 1) = z   z + z − + ln ( z − z + 1) = x   x − x + 6.log ( − y ) = x   32  y − y + 6.log ( − z ) = y   z − z + 6.log ( − x ) = z  x =  ĐS:  y = z =  x =  ĐS:  y = z =  62 http://megabook.vn x =  ĐS:  y =  2 log ( x + y ) = log3 ( + x + y )  33  ln ( x + x + 1) + x + 21 = y   1 log ( x − y ) − log   = 34   y  2  x + y = 25 ĐS:  3log ( x )2 − log y =  35   x −1 + − y =  ĐS:  23 x +1 + 2 y − = 3.2 y +3 x  36   x + + xy = x +  1  x =    x = log + − 1 ĐS:  ∨ y = log   11  y = − log +  x = y = x = y = ( ( ) ) x = y =  e x − y + e x + y = + 3x − y +  37  x + y e = x − y +  ĐS:  (1 + x − y ) 51− x + y = + 3x − y +  38   x2 − y y − = − y x   1± x = y = ĐS:  x = y = ±   y − x2 x + = e y +1 39  3log ( x + y + ) = log ( x + y + ) + 2  x =  y = −4 ĐS:    y + y2 +  ( x − y ) ( x + xy + y − ) = ln    x + x2 +  40      x − 2x +1 = y  π  2π  3π   x = cos  x = cos  x = cos ĐS:  ∨ ∨  y = cos π  y = cos 2π  y = cos 3π       BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 1+ 1−t 1) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 2) Cho phương trình ( ) ( +1 x + mx + 3) Cho phương trình nghiệm thuộc (0;2) x ) + − 52 x −1 x −1 + mx + + m − (a + 2).31+ 1−t + 2a + = + m = Tìm m để phương trình có nghiệm = x + 2mx + m Tìm m để phương trình có 63 http://megabook.vn 4) Cho phương trình: m.2 x −5 x + + 21− x = 2.26−5 x + m(1) c) Giải phương trình với m=1 d) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 5) Cho phương trình: 5x + mx + 2 −5 x + mx +2 = x + 2mx + m d) Giải biện luận phương trình c) Giải phương trình với m = − x2 − x + 1 = m4 − m2 + 6) Với giá trị m phương trình:   5  7) Tìm m dương để bất phương trình sau có nghiệm: (2 + 3) x + x − m + m + m +1 ( + 2− 8) Tìm tham số m để phương trình log ) x + x − m + m + m −1 ≤8+ ( mx − x ) + log ( −14 x 2 ) + 29 x − = có nghiệm phân biệt  y − x2 x + e = 9) Giải hệ pt sau:  y +1  3 log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) +  2 10) Tìm m để phương trình (x − 1)log ( x + 1) − m 2(x − 1) log( x + 1) + m + = có hai nghiệm thực thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 11) Tìm m để bất phương trình , phương trình sau có nghiệm: ( x − 1) ( ) ( + x − x − 2 x − x + ln ) x2 − 2x = m C M ƠN TH Y NGUY N TRUNG KIÊN 64 http://megabook.vn MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC I) D NG IS C AS PH C D ng 1) Bài toán liên quan n bi n i s ph c Ví d 1) Tìm s nguyên x, y cho s ph c z=x+yi tho mãn z = 18 + 26i Gi i:  x3 − xy = 18  z = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  ⇔ 18 ( 3x y − y ) = 26 ( x3 − 3xy ) 3 x y − y = 26  Gi i phương trình b ng cách t y=tx ta c t = ⇒ x = 3, y = V y z=3+i Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = Tính z1 − z2 Gi i: a12 + b12 = a2 + b22 =  t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i T gi thi t ta có  2 ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) =  ⇒ ( a1b1 + a2b2 ) = ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = ⇒ z1 − z2 = 2 D ng 2) Bài toán liên quan n nghi m ph c Ví d 1) Gi i phương trình sau: z − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = Gi i: Ta có ∆ ' = 16(1 − i ) − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T ó tìm nghi m z1 = − 12i, z2 = + 4i Ví d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z − 4(2 − i ) z − − 3i = Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16 V y phương trình cho hai nghi m là: 2(2 − i ) + 4 − i (4 − i )(1 − i ) z1 = = = = − i 2(1 + i ) 1+ i 2 2(2 − i ) − − i (−i )(1 − i ) 1 z2 = = = =− − i 2(1 + i ) 1+ i 2 Ví d 3) Gi i phương trình z − z + 14 z − = Gi i: Ta có phương trình tương ương v i ( z − 1) ( z − z + ) = T ó ta suy phương trình có nghi m z1 = ; z2 = − i; z3 = + i Ví d 4) Gi i phương trình: z − z + z + + (2 z + 1)i = bi t phương trình có nghi m th c 2 z − z + 3z + = −1 tho mãn c Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  ⇒z= 2 z + = hai phương trình c a h :Phương trình ã cho tương ương v i ( z + 1) ( z − 3z + + i ) = Gi i phương trình ta tìm c z = − ; z = − i; z = + i http://megabook.vn Ví d 5) Gi i phương trình: z + (1 − 2i ) z + (1 − i) z − 2i = bi t phương trình có nghi m thu n o: Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình z=bi thay vào phương trình ta có ( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b + b − 2)i = b − b =  ⇔ ⇒ b = ⇒ z = i nghi m, t  −b + 2b + b − =  ó ta có phương trình tương ương v i ( z − i ) ( z + (1 − i ) z + ) = Gi i pt ta s tìm c nghi m Ví d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z = z Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi a − b = a ⇔ Gi i h ta tìm c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) V y phương 2 2ab = −b i trình có nghi m z = 0; z = 1; z = − ± 2 D ng 3) Các toán liên quan Ví d 1) Tìm s ph c z tho mãn z + − 2i = z − + i z − i = Gi i: n modun c a s ph c: ng th i i u ki n sau:  x + + ( y − 2)i = x − + (1 − y )i  Gi s z=x+yi (x,y s th c) T gi thi t ta có   x + ( y − 1)i |=  ( x + 1) + ( y − 2) = ( x − 2) + (1 − y )  y = 3x  ⇔ ⇔ x = 1, y = ho c ⇔ 2 10 x − x − =   x + ( y − 1) =  x = − , y = − V y có s ph c tho mãn i u ki n 5 i−m Ví d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R − m(m − 2i ) z z = a) Tìm m b)Tìm m z −i ≤ c) Tìm s ph c z có modun l n nh t Gi i: a) Ta có ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) i−m − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m + 2m ) z= = = − m + 2mi (1 − m + 2mi )(1 − m − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 http://megabook.vn = m(1 + m ) + i (1 + m ) (1 + m ) 2 ⇒ z z = 1 m m i⇒ z = i + − 2 1+ m 1+ m + m + m2 m2 + 1 ⇔ = ⇔ m + = ⇔ m = ±1 2 ( m2 + 1) b) Ta có z − i ≤ ⇔ = 1 m m m2   ⇔ + − 1 i ≤ ⇔ − i ≤ ⇔ 2 2 1+ m  1+ m 1+ m 1+ m  1 1 m2 m4 m2 + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m ≤ + m2 ⇔ − ≤m≤ 2 2 (1 + m ) (1 + m ) 16 1+ m 15 15 c) Ta có z = m2 + (m + 1) = m2 + ≤ ⇒| z |max = ⇔ m = Ví d 3) Trong s ph c z tho mãn i u ki n z − − 4i = Tìm s ph c z có modun l n nh t, nh nh t 2 Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy ( x − ) + ( y − ) = Suy t p h p i m M(x;y) bi u di n s ph c z ng tròn tâm I(2;4) bán kính R = D dàng có c M (2 + sin α ; + cos α ) Modun s ph c z dài véc tơ OM Ta có |z|2= OM = (2 + sin α ) + (4 + cos α ) = 25 + 5(sin α + cos α ) Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + cos α ) ≤ (1 + 4) ( sin α + cos α ) = ⇒ − ≤ sin α + cos α ≤ ⇒ ≤ z ≤ V y −1 ; cos α = | z |max = ⇔ sin α + cos α = ⇔ sin α = ; cos α = | z |min = ⇒ sin α + cos α = − ⇔ sin α = −2 ⇔ x = 1, y = ⇒ z = + 2i ⇔ x = 3, y = ⇒ z = + 6i Ví d 4) Trong s ph c tho mãn i u ki n z − − 4i = z − 2i Tìm s ph c z có moodun nh nh t Gi i: Xét s ph c z = x+yi T gi thi t suy 2 ( x − ) + ( y − ) = x + ( y − ) ⇔ x + y − = Suy t p h p i m M(x;y) bi u di n s ph c z ng th ng y=-x+4 Ta có z = x + y = x + (4 − x) = x − x + 16 = 2( x − 2) + ≥ 2 T ó suy z = 2 ⇔ x = ⇒ y = ⇒ z = + 2i D ng 4) Tìm t p h p i m bi u di n s ph c Ví d 1) Tìm t p h p i m M m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t: z b) z = z − + 4i c) z − i + z + i = a) =3 z −i http://megabook.vn Gi i: G i z=x+yi 9 a) T gi thi t ta có z = z − i ⇔ x + y = 9( x + ( y − 1) ) ⇔ x + ( y − ) = 64 V y t p h p i m M ng tròn tâm I (0; ), R = 8 2 2 b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ x + y = 25 V y t p h p i m M ng th ng 6x+8y-25=0 c) Gi s z =x+yi z − i + z + i = ⇔ x + ( y − 1) + x + ( y + 1) = ⇔ 2  x + ( y + 1) ≤    x + ( y + 1) ≤ 16 ⇔ ⇔   x + ( y − 1)2 = 16 − x + ( y + 1) + x + ( y + 1)2  x + ( y − 1) = y +   2  x + ( y + 1) ≤ 16(1)  x + ( y + 1)2 ≤ 16    x2 y2 2 ⇔  x + y + y + = y + y + 16 ⇔  + = 1(2)  y ≥ −4 3   y ≥ −4(3)   Ta th y i m n m hình tròn (1) Elip (2) tung i m n m (Elip) x2 y2 tho mãn i u ki n y >-4 V y t p h p i m M Elip có pt + = Ví d 2) Tìm t p h p i m bi u di n m t ph ng ph c s ph c ω = + i z + bi t r ng s ph c z tho mãn: z − ≤ ( Gi i: ) t z = a + bi ( a, b ∈ R ) Ta có z − ≤ ⇔ ( a − 1) + b ≤ (1) T ( ( ) x = a − b +  ) ω = + i z + ⇒ x + yi = + i ( a + bi ) + ⇔  T ( ó ( x − 3) + y − )  y = 3a + b   x − = a −1 + b  ⇔  y − = 3(a − 1) + b  ≤ ( a − 1) + b  ≤ 16 (1)   ( V y t p h p i m c n tìm hình tròn ( x − 3) + y − ) ( ) ≤ 16 ; tâm I 3; , bán kính R=4 Ví d 3) Xác nh t p h p i m M(z) m t ph ng ph c bi u di n s π z−2 có acgumen b ng ph c z cho s z+2 Gi i: http://megabook.vn z − ( x − ) + yi ( x − ) + yi  ( x + ) + yi    = = 2 z + ( x + ) + yi ( x + 2) + y Gi s z=x+yi, = x − + y + yi ( x + − x + ) ( x + 2) + y2 = x2 + y − ( x − 2) + y2 + 4y ( x − 2) + y2 i (1) π z−2 có acgumen b ng , nên ta có: z+2 π π x2 + y2 − 4y  + i = τ  cos + i sin  v i τ > 2 3  ( x − 2) + y ( x − 2) + y Vì s ph c  x2 + y2 − τ =  2  ( x − 2) + y ⇒ 4y τ  =  ( x − )2 + y 2  T ó suy y>0 (1) 2 4y 4y     = ⇔ x2 + y2 − = ⇔ x2 +  y −  =  (2) T (1) (2) suy 2 x + y −4 3  3  t p h p i m M ng tròn tâm n m phía tr c th c(Trên tr c Ox) D ng 5) Ch ng minh b t ng th c: 2z −1 Ví d 1) Ch ng minh r ng n u z ≤ ≤1 + iz Gi i: Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) z = a + b ≤ ⇔ a + b ≤ Ta có 4a + (2b − 1) 2 z − 2a + (2b − 1)i B t = = + iz (2 − b) + (2 − b) + a v i 4a + (2b − 1)2 (2 − b) + a 2 ng th c c n ch ng minh tương ương ≤ ⇔ 4a + (2b − 1) ≤ (2 − b) + a ⇔ a + b ≤ ⇒ dpcm Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn i u ki n z + ≤ Ch ng minh z3 ≤2 z Gi i: D dàng ch ng minh c v i s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 r ng: z + 3 1 1 1 1   Ta có  z +  = z + +  z +  ⇒ z + ≤ z3 + + z + ≤ + z + z z z z z z z   t z + =a ta có a − 3a − ≤ ⇔ ( a − )( a + 1) ≤ ⇒ dpcm z http://megabook.vn II) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C D ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁC Ví d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕ = a) + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ = 2sin 2 cos ϕ ϕ − 2i sin + 2i sin ϕ ϕ cos cos ϕ ϕ ϕ ϕ sin − i cos ϕ = tan = −i tan ϕ ϕ ϕ 2 cos + i sin ϕ  π ϕ  π  - Khi tan > d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −   2  2   ϕ  π  ϕ  π  - Khi tan < d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin    2 2   ϕ = d ng lư ng giác b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   - Khi tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  sin − i cos  cos  cos + i sin  2 2 2 2   π π   = 2sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −   2     - Khi sin ϕ = d ng lư ng giác không xác nh = 2sin ϕ   π π   - Khi sin ϕ > d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −   2     π π     - Khi sin ϕ < d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +   2     Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a s ph c: − ( cos ϕ + i sin ϕ ) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] a) + cos ϕ + i sin ϕ Gi i: ϕ ϕ − ( cos ϕ + i sin ϕ ) ϕ sin − i cos ϕ − cos ϕ − i sin ϕ a) = = tan = −i tan ϕ ϕ ϕ + cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin ϕ 2 cos + 2i sin cos 2 2 ϕ   π ϕ  π  Khi tan >0 d ng lư ng giác tan cos  −  + i sin  −     2   http://megabook.vn Khi tan ϕ d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −   2     π π     - Khi sin ϕ < d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +   2     D ng 2: MÔ UN VÀ ACGUMEN Ví d 1) Tìm ph n th c ph n o c a s ph c z, bi t z = −2 + 3i Gi i: Ta có: z = − + i ⇔ z =  co s π + i s in π      2π 2π   Do ó: z = −2 + 3i ⇔ z =  cos + i sin  3    2π 2π    z =  cos + i sin  z = 1+ i   ⇔ ⇔  π π   z = −1 − i   z = −2  cos + i sin  3   T ó suy ph n th c ph n o c a z tương ng ( ) ho c -1 − Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: z − + i bi t m t acgumen c a z b ng π 1  nên z = z +  2 i   1  Do ó: z − + i = ( z − 2)  + i 2   Gi i: z có m t acgumen b ng ( π ) ( ) - Khi z > , m t aacgumen c a z − + i ( ) π - Khi < z < , m t acgumen c a z − + i 4π http://megabook.vn ( ) - Khi z = z − + i =0 nên acgumen không xác nh Ví d 3) Cho s ph c z có mô un b ng Bi t m t acgumen c a z ϕ , tìm m t acgumen c a: d) z + z c) z + z a) 2z b) − 2z Gi i: z = , z có m t acgumen ϕ Do ó z = cos ϕ + i sin ϕ a) z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ z = ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) V y 2z2 có m t acgumen 2ϕ b) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) 1 = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 2z 1 ⇒− = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 2z có m t acgumen ϕ + π V y− 2z c) Ta có: z + z = cos ϕ N u cos ϕ > có m t acgumen N u cos ϕ < có m t acgumen π N u cos ϕ = acgumen không xác nh ⇒ d) z + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ z + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = cos = cos ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ cos + i.2 cos sin 2 2 3ϕ  ϕ ϕ  cos + i sin   2 V y acgumen z + z n u cos 3ϕ =0 ϕ n u cos Ví d 4) Cho s ph c z = − cos π 3ϕ ϕ 3ϕ < không xác > , + π n u cos 2 − i sin π nh Tính mô un, acgumen vi t z dư i d ng lư ng giác Gi i: π π π 8π  4π    Ta có: z =  − cos  + sin = 1 − cos  = 1 + cos  = cos 7 7     π 8π − sin sin = = cot 4π = tan  − π  t ϕ = arg ( z ) tan ϕ =   π 4π  14  − cos 2sin 7 http://megabook.vn Suy ra: ϕ = − π 14 + kπ , k ∈ z Vì ph n th c − cos π > , ph n o − sin π 4π   π   π  V y z = cos  cos  −  + i sin  −     14   14   < nên ch n m t acgumen − Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z cho z = acgumen c a 3π z − 1+ i π 14 m t Gi i: 1 z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 3 1 ⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 3 1 π π 2  Vì + i =  + i  =  cos + i sin   4  2 π π  z    = Nên  cos  −ϕ −  + i sin  −ϕ −   1+ i  4    π π π π 1 3π Do ó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ v y z =  cos + i sin  3 2 4 π z + 3i Ví d 6) Tìm s ph c z cho: = z+1 có m t ácgumen − z +i Gi i: T gi thi t Theo gi thi t z = ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x + ( y + 3) = x + ( y + 1) z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2 2  π  π τ t c z + = τ [cos  −  + i sin  − ] = − i v i r>0  6  6  τ x +1 =  ⇔ τ = Ta có z+1=x+1-2i suy  ⇒ z = − − 2i  x = −1  −2 = − τ    D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H P Ví d 1) Tính t ng sau n=4k+1 − a) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − + C2 nn+12 − C2 nn+1 z+1 có acgumen b ng − π ( ) n −1 2n+ b) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n+1 − + C2 n +1 − C2 n+11 Gi i: http://megabook.vn Xét n +1 ( + (1 + i ) = C20n+1 + iC2n+1 + i 2C22n+1 + + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 − C22nn+1 + i C21n+1 − C23n+1 + − C22nn++11 ) t khác ta l i có: M n +1  (2n + 1)π (2n + 1)π  π π n +1  + i =  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = + i sin cos  4 4    (2n + 1)π (2n + 1)π  (8k + 3)π (8k + 3)π    n = 2n cos + i sin + i sin  = 2 cos  4 4     3π 3π   = 2n cos + i sin  = −2n + i 2n 4   T ó ta có a) S=-2n b) S=2n Ví d 2) Tính t ng h u h n sau: a) S = − Cn2 + Cn − Cn + + b) S = Cn − Cn + Cn − Cn Gi i: n Xét (1 + i ) = Cn + iCn + i 2Cn2 + + i nCnn = − Cn + Cn4 − + i (Cn − Cn + Cn − Cn + ) n  π π nπ nπ  n  + i =  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = cos + i sin  4 4    T ó ta có k t qu n n nπ nπ b) S = sin a) S = cos 4 nπ  1 n Ví d 3) Ch ng minh r ng: + Cn + Cn + =  + cos  3  Gi i: Ta có 2n = Cn + Cn + Cn + Cn + Cnn (1) 2π 2π Xét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1 3 Ta có (1 + ε ) n (1 + ε ) 2 = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn + ε Cn + εn n n (2) 1 = Cn + ε 2Cn + ε 4Cn2 + nCn = Cn + ε 2Cn + ε Cn + Cn + ε 2Cn + ε2 n Ta có + ε + ε = 0;1 + ε = cos π − i sin π ;1 + ε = cos π + i sin C ng (1) (2) (3) theo v ta có 2n + (1 + ε ) + (1 + ε ) = ( Cn + Cn + Cn + ) ⇔ 2n + cos n n nπ  1 ⇔ + Cn + Cn + =  2n + cos  3  (3) π nπ = ( Cn + Cn + Cn + ) 10 http://megabook.vn M TS BÀI T P T LUY N 1) Gi i phương trình sau t p s ph c: c) z − ( z ) = 4i a) z = z b) z + z = + 4i d )z2 + 2z +1− i = g ) z − 2( z + z ) + = e) z + z + = f )(1 + i ) z + + 11i = 2) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình:  x + + 2i −  1+ i c)1 − log  − log x ≤ b) a) + 4i − 2− x ≤ ≥0 −1   3) Tìm s ph c z cho A = ( z − 2)( z + i ) s th c z + 7i s th c 4) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n z = 5; z +1 5) Tìm t p h p i m M m t ph ng ph c bi u di n s ph c z tho mãn i u ki n z − 2i a ) z − ( z ) = b) = c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − = e) z + ≥ z + i z + 2i z−2 +2 z − 2i ) >1 f ) z = z + − 3i g ) > h)2 z − i = z − z + 2i k ) log ( z + 2i z − −1 6) Trong s ph c tho mãn i u ki n z − + 3i = Tìm s ph c z có modun l n nh t,nh nh t 7) Tìm s ph c z tho mãn i u ki n ( z − 1)( z + 2i ) s th c z nh nh t 8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác bi t z + z i = z 9) Tìm s ph c z tho mãn z + z = z = 10) Gi i h pt sau t p s ph c:   z − i = z − z + 2i a)  2 z −z =4   z1 + z2 = − i  b)  1 + i z + z =   z − z2 + =  c)   z2 − z1 + =     d)     z − 12 = z − 8i z−4 =1 z −8  z3 + 2z + 2z +1 =  e)  2010 2011 z + z +1 =  11) Cho phương trình z − (2i + 1) z + (9i − 1) z + 5i = có nghi m th c Hãy tìm t t c nghi m c a phương trình 1 12) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t + w =1 w w 13) Tìm n nguyên dương s ph c sau s th c, s o:  − +i  a) z =   + 3i   n  + 6i  b) z =    −1 + 5i  n  + 4i  c) z =    − 3i  n  − 3i  d )z =    − 3i  11 http://megabook.vn 14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng 2nπ n C2 n − 3C2 n + 9C24n − 27C2 n + + ( −3 ) C2 nn = 2 n cos 15) Tìm s ph c z cho z = z − m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen c a z+2 c ng v i π 16) Gi i phương trình 2z a) = z + tan 100 + 4i − cos10 b) 2z = z + cot 120 + 6i − sin12 12 http://megabook.vn