Hướng dẫn chấm thi Môn Toán Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9, năm học 2010-2011 Câu Câu (4,5) Điểm Hướng dẫn chấm 1)(2,5 điểm): Ta có M= 2x ( x +2 2x = = = ( )( ) ( x +1 ) ( ( + x +1 x +3 )( + ) ( x +1 x + 10 x +3 ) ( x + ) + ( x + 10 ) ( x + 3) ( x + ) ( x + 1) x + + x +1 )( x +2 ) 0.5 ) x +1 0.5 x x + x + x + 11 x + + x + 11 x + 10 x x + x + 5x + x + x + ( x x + x + 11 x + 0.5 ) 0.5 x x + 11 x + x + =2 Câu (4,5) 0.5 2) (2,0 điểm): Ta có A = (2x-3y)2 + (x-2)2 Suy A ≥ với x,y Vậy giá trị nhỏ A 1.0 0.5 x = 2 x − y = ↔ x − = y = 0.5 1) ( 2,5 điểm): Xét phương trình x2 = kx+1 ↔ x2 -kx-1=0 (1) +) HS chứng minh pt (1) có hai nghiệm phân biệt x ,x với k 0.5 x1 + x2 = k x1 x2 = −1 +) Theo định lý vi ét ta có +) Tọa độ hai điểm M,N M(x1;kx1+1); N(x2;kx2+1) +) Theo ycbt MN=2 10 ↔ ( x2 − x1 ) + k ( x2 − x1 ) = 10 ↔ + k x2 − x1 = 10 ↔ + k + k = 10 ↔ (1 + k )(4 + k ) = 40 ↔ k + 5k − 36 = Học sinh giải phương trình tìm giá trị k k = ±2 2 0.5 0.5 0.5 0.5 2) (2,0 điểm): +) Ta cã: 3x3 - 5x2 + 5x - 2= 3x3 - 3x2 + 3x - 2x2 + 2x - = 3x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1) (3x - 2) Suy 3x-2 ≥ ↔ x ≥ 0.5 +) Phương trình ban đầu ↔ ( x − x + 1)(3x − 2) = ( x − x + 1) + (3x − 2) 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si ta cã: (x2 - x + 1) + (3x - 2) ≥ 0.5 (x ) − x + ( 3x − ) 0.5 x2 -x +1 = 3x -2 ⇔ x2 - 4x + = Dấu xẩy x = ⇔ x = 0.5 Vậy phương trình có tập nghiệm T = { 1,3} Câu (6,0) 1) (4,5 điểm) Hình vẽ a) (2,0 điêm): A P O I B Hình vẽ M C N Gọi N trung điểm BC Ta có: OI ⊥ AM ⇒ OA2 − OM = IA2 − IM 0.5 0.5 ⇒ OC − OM = IA2 − IP ⇒ NC − NM = AP ⇒ ( NC − NM )( NC + NM ) = AP ⇒ MB.MC = AP 0.5 0.5 b) (2,5 điểm): Đặt BC = a, CA = b, AB = c, p = (a +b +c)/2 Khi MB = p-b; MC = p-c; PA = p-a Theo câu a) ta có MB.MC = AP ⇒ ( p − b)( p − c) = ( p − a) (*) +) Đẳng thức (*) ⇒ p − b ( p − a) = p − c ( p − c) 0.5 0.5 (1) 0.5 +) Cộng hai vế (*) với (p-a)(p-c) ta được: (p-b)(p-c)+(p-a)(p-c)=(p-a)2+(p-c)(p-a) ↔ ( p − c).c = ( p − a ).b ↔ p−a b = (2) p−c c 0.5 p − b b2 MB AB = = Từ (1) (2) suy Hay p − c c2 MC AC 0.5 2) (1,5 điểm): Hình vẽ ¼ = BAH ¼ Trên tia HC lấy điểm D cho DAH ¼ , suy DC = DB (1) Khi AD tia phân giác BAC AC 0.5 AB Theo giả thiết DB=2BH=6cm Trong tam giác vuông HAB có AB = HA2 + HB = 45 = Thay vào (1) suy AC = DC 5 = DC Trong tam giác vuông HAC có HA + HC = AC ↔ 36 + (3 + DC ) = DC 2 0.5 Suy DC= 30 cm Vậy diện tích tam giác ABC S = AH BC = 108 (cm ) 0.5 Câu (2,5) Nhân tương ứng hai vế ba phương trình ta [ ( x + y )( x + z )( y + z )] 1.0 = 3600 ↔ ( x + y )( x + z )( y + z ) = 60 Kết hợp với hệ phương trình ta x + y = x = y + z = ↔ y = x + z = z = Câu (2,5) 1.5 Ta có x + y ( x − y ) + xy = = ( x − y) + x− y x− y x− y 1.5 1.0 ≥ = ( Học sinh không cần dấu xẩy Nếu học sinh có dấu xẩy mà lại sai trừ 0,5 điểm) Hình vẽ 2: A B H D C Chú ý: Trên trình bày lời giải cho toán Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa Trong hình học sinh không vẽ hình vẽ sai hình không chấm Điểm thi không làm tròn