SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT (Lần 1) Năm học: 2011 – 2012 Môn: Toán - Ngày thi thứ hai Đáp án gồm 04 câu, 02 trang Câu Nội dung ab + bc + cd + da + ac + bd abc + bcd + cda + dab ≥ ab + bc + cd + da + ac + bd abc + bcd + cda + dab ⇔ ÷ ≥ ÷ điểm điểm điểm 2 2 abc + bcd + cda + dab ab(c + d) + cd(a + b) (ab) (c + d) + (cd) (a + b) = ≤ ÷ ÷ 4 2 2 2 ab(a + b) (c + d) + cd(c + d) (a + b) (ab + cd)(a + b) (c + d) ≤ = 32 32 Điểm Với k > v (b + c) = k ta có v (a + b + c ) = v (b + c) k k k k k k ⇒ v (a + b + c ) ≤ Max{v (a + b + c), v (a + b + c ), , v (a k0 + b k0 + c k ), v (b + c)}∀k ∈ N * Do số nguyên n thỏa mãn: n > Max{1;v (a + b + c), v (a + b + c ), , v (a k + b k + c k ), v (b + c)} thỏa mãn đề n i =0 j= i i Giả sử P(x) = ∑ a i x , Q(x) = ∑ bi x , a m ≠ 0, b n ≠ 0, a i < b ∀i=0;m *) Nếu bi < b ∀i=0;n ta có: n m n m i =0 j= i =1 j=1 P(b) = Q(b) ⇒ ∑ a i b i = ∑ b i b i ⇒ ∑ a i b i − ∑ b i b i = b − a ⇒ b − a Mb ⇒ a = b n m i=2 j= 2(ab + cd) + 2(a + b)(c + d) ab + bc + cd + da + ac + bd ≤ ÷ = ÷ 64 k k k TH1 : a, b, c lẻ ⇒ a + b + c ≡ 1(mod2)∀k ∈ N ⇒ đfcm TH2 : Trong hai số có hai số chẵn số lẻ ⇒ a k + b k + ck ≡ 1(mod2)∀k ∈ N ⇒ đfcm TH3: Trong hai số có số chẵn hai số lẻ, giả sử a chẵn, b c lẻ *) Nếu k chẵn a k + bk + ck ≡ 2(mod4) *) Nếu k lẻ ta có: v (b k + c k ) = v ((b + c)(b k −1 − b k − 2c + + c k −1 )) = v (b + c), v (a k ) ≥ k m ⇒ ∑ a i bi −1 − ∑ bi bi −1 = b1 − a1 ⇒ b1 − a1 Mb ⇒ a1 = b1 … m = n ⇒ ⇒ P(x) = Q(x) a i = bi ∀i=1;m *) Giả sử i số nhỏ thỏa mãn bi ≥ b, bi = pi b + ri , ≤ ri < b, pi ≥ 1 0,5 0,5 0,5 1 0,5 i −1 n j= j= i + j i i+1 j Xét Qi (x) = ∑ b jx +ri x +(p i +b i+1 )x + ∑ b jx ⇒ Qi (b) = Q(b) = P(b) , i −1 n n j= j= i + j= 1,5 Qi (a) = ∑ b ja j +ri a i +(p i +b i+1 )a i+1 + ∑ b ja j = ∑ b ja j − p i (b − a)a i < Q(a) = P(a) Làm tương tự sau số hữu hạn lần ta Q k (b) = Q(b) = P(b), Q k (a) < Q(a) = P(a) hệ số Qk(x) nhỏ b 0,5 Vì Q k (b) = P(b) hệ số Qk(x) nhỏ b ⇒ P(x) ≡ Q k (x) ⇒ P(a) ≡ Q k (a) ⇒ Mâu thuẫn 1 A N O M điểm C B K I E F D Gọi E, F thứ tự giao điểm đường thẳng AB, AC d Kẻ đường thẳng qua A song song với IM cắt d K, suy IK = ID OM = ON ⇔ [KDEF]=-1 ⇔ ID = IE.IF ⇔ IB.IC=IE.IF ⇔ B,C,E,F đồng viên Mà (BA,BC)=(DA,DC)=(DA,DF)+(DF,CF)+(CF,DC)=(DF,CF) (mod π ) Hay (BE,BC)=(FE,FC)⇒B,C,E,F đồng viên ⇒ ĐFCM 0,5 2,5 1