Đáp án Tuyển tập tổng hợp đề thi Đại Học môn Toán từ 2002-2014

bộ giáo dục đào tạo - Câu ý I Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm môn toán khối A Nội dung ĐH m = y = x + 3x x = y' = x2 = Tập xác định x R y ' = 3x + x = 3x( x 2) , y" = x + = 0, CĐ 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ y" = x = Bảng biến thiên x y' + + lõm U CT CĐ lồi x = y=0 , x = Đồ thị: + + y" y y (1) = y -1 x ( Thí sinh lập bảng biến thiên) I Cách I Ta có x + x + k 3k = x + x = k + 3k Đặt a = k + 3k Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình x + x = a có nghiệm phân biệt < a < < k + 3k < < k < 0k Cách II Ta có x + x + k 3k = ( x k ) x + (k 3) x + k 3k ] = có nghiệm phân biệt f ( x) = x + (k 3) x + k 3k = có nghiệm phân biệt khác k = 3k + 6k + > < k < 2 k k k + k 3k + k 3k [ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - - 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ Cách I x = m y' = x2 = m + Ta thấy x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x y1 = y ( x1 ) = m + 3m y = y ( x ) = m + 3m + Phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị M m 1; m + 3m M m + 1; m + 3m + là: y ' = x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , ( ) ( ) x m + y + m 3m + = y = 2x m2 + m ' Cách II y = x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , Ta thấy ' = 9m + 9(1 m ) = > y ' = có nghiệm x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x Ta có y = x + 3mx + 3(1 m ) x + m m m = x 3x + 6mx + 3m + x m + m 3 Từ ta có y1 = x1 m + m y = x m + m Vậy phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị y = x m + m ( II 0,5 đ 0,5 đ ) Với m = ta có log x + log x + = 3 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t 1+ t = t + t = t = t2 = 2 t1 = (loại) , t = log 32 x = log x = x = 0,25 đ 0,5 đ x = thỏa mãn điều kiện x > (Thí sinh giải trực tiếp đặt ẩn phụ kiểu khác) 1,0 đ 1,0 đ log x + log x + 2m = (2) 3 Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t + t m = t + t 2m = (3) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x [1,3 ] log x t = log 32 x + Vậy (2) có nghiệm [1,3 ] (3) có nghiệm [ 1,2 ] Đặt f (t ) = t + t Cách Hàm số f (t ) hàm tăng đoạn [1; 2] Ta có f (1) = f (2) = Phơng trình t + t = 2m + f (t ) = 2m + có nghiệm [1;2] f (1) 2m + 2 m + m f (2) 2m + 2 m + Cách TH1 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn < t1 t < t +t Do = < nên không tồn m 2 TH2 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn t1 t t1 t 2m(4 2m ) m (Thí sinh dùng đồ thị, đạo hàm đặt ẩn phụ kiểu khác ) III cos x + sin 3x sin x + = cos x + Điều kiện sin x + sin x cos 3x + sin x sin x + sin x sin x + cos x + sin x Ta có sin x + = + sin x + sin x sin x + cos x cos x + cos x + sin x (2 sin x + 1) cos x =5 =5 = cos x + sin x + sin x Vậy ta có: cos x = cos x + cos x cos x + = cos x = (loại) cos x = x = + 2k (k Z ) 3 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x = Ta thấy x1 , x thỏa mãn điều 3 kiện sin x Vậy nghiệm cần tìm là: x1 = x = 3 (Thí sinh sử dụng phép biến đổi khác) Vì x (0 ; ) nên lấy x1 = y 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ -1 -1 x Ta thấy phơng trình | x x + |= x + có nghiệm x1 = x = Mặt khác | x x + | x + x [0;5] Vậy ( ) ( ) ( 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 1đ 1đ ) S = x + | x x + | dx = x + x + x dx + x + + x x + dx 0 ( ) + x + x + x dx ( ) ( ) ( ) S = x + x dx + x x + dx + x + x dx 1 3 5 1 S = x3 + x + x3 x + 6x + x3 + x 2 13 26 22 109 S= + + = (đ.v.d.t) 3 (Nếu thí sinh vẽ hình không thiết phải nêu bất đẳng thức | x x + | x + x [0;5] ) IV S N I M A C 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ K B Gọi K trung điểm BC I = SK MN Từ giả thiết a MN = BC = , MN // BC I trung điểm SK MN 2 Ta có SAB = SAC hai trung tuyến tơng ứng AM = AN AMN cân A AIMN (SBC )( AMN ) (SBC ) ( AMN ) = MN Mặt khác AI(SBC ) AISK AI ( AMN ) AIMN Suy SAK cân A SA = AK = a 3a a a SK = SB BK = = 4 2 2 SK AI = SA SI = SA = Ta có S AMN 3a a a 10 = a 10 = MN AI = (đvdt) 16 ý 1) Có thể chứng minh AIMN nh sau: BC(SAK ) MN(SAK ) MNAI 2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ: Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho a a a a K (0;0;0), B ;0;0 , C ;0;0 , A 0; ;0 , S 0; ;h h độ dài đờng cao SH hình chóp S ABC 2a) Cách I Phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng có dạng: (x y + z 4) + (x + y z + 4) = ( + ) ( + )x (2 ) y + ( )z + = r r Vậy n P = ( + ;2 + ; ) Ta có u = (1;1;2 ) // M (1;2;1) r r n P u = = (P ) // Vậy (P ) : x z = M (1;2;1) (P ) M (P ) 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ - 0,5 đ - 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta chuyển phơng trình sang dạng tham số nh sau: x = 2t ' Từ phơng trình suy x z = Đặt x = 2t ' : y = 3t '2 z = 4t ' r M (0;2;0) , u1 = (2;3;4) // (Ta tìm tọa độ điểm M cách cho x = y = z = Cách II r 1 1 = (2;3;4) ) tính u1 = ; ; 2 1 r Ta có u = (1;1;2 ) // Từ ta có véc tơ pháp mặt phẳng (P) : r r r n P = [u1 , u ] = (2;0;1) Vậy phơng trình mặt phẳng (P) qua M (0;2;0 ) r n P = (2;0;1) là: x z = Mặt khác M (1;2;1) (P ) phơng trình mặt phẳng cần tìm là: x z = 2b) b)Cách I H H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) MH = (t 1; t + 1;2t 3) MH = (t 1) + (t + 1) + (2t 3) = 6t 12t + 11 = 6(t 1) + đạt giá trị nhỏ t = H (2;3;3) Cách II H H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) r MH nhỏ MH MH u = t = H (2;3;4) V 2 2 Ta có BC I Ox = B(1;0 ) Đặt x A = a ta có A(a; o) ( 1đ ) xC = a y C = 3a Vậy C a; 3a 2a + (a 1) xG = ( x A + x B + x C ) ; Từ công thức ta có G yG = ( y A + y B + yC ) Cách I Ta có : AB =| a |, AC = | a |, BC = | a | Do 0,25 đ S ABC = Ta có Vậy (a 1)2 AB AC = 2 2S (a 1) | a 1| = r= = = AB + AC + BC | a | + | a | +1 | a |= + 0,25 đ 0,25 đ 7+4 6+2 ; TH1 a1 = + G1 3 ; TH2 a = G2 3 Cách II y C 0,25 đ - I O B A x Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Vì r = y I = x xI = Phơng trình BI : y = tg 30 0.( x 1) = TH1 Nếu A O khác phía B x I = + Từ d ( I , AC ) = 7+4 6+2 a = x I + = + G1 ; 3 TH Nếu A O phía B x I = Tơng tự ; ta có a = x I = G2 3 0,25 đ 0,25 đ đ Từ 0,25 đ C n3 = 5C n1 ta có n n! n! n(n 1)(n 2) =5 = 5n n 3n 28 = (n 1)! 3!(n 3)! n1 = (loại) n2 = Với n = ta có x21 C 0,25 đ 0,25 đ 3x = 140 35.2 x 2.2 x = 140 x = x = 0,5 đ Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối A Nội dung điểm 2điểm điểm Câu 1) x2 + x 1 = x x x + Tập xác định: R \{ } Khi m = y = + y ' = + ( x 1) = x2 + x x=0 y'= x = ( x 1) + lim [ y ( x)] = lim = tiệm cận xiên đồ thị là: y = x x x x lim y = tiệm cận đứng đồ thị là: x = 0,25 đ x Bảng biến thiên: x y + y + CĐ + + CT + 0,5 đ Đồ thị không cắt trục hoành Đồ thị cắt trục tung điểm (0; 1) y O 0, 25 đ 1 x 2) điểm Đồ thị hàm số y = mx + x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x dơng phơng trình f ( x) = mx + x + m = có nghiệm dơng phân biệt khác m0 = 4m > f (1) = 2m + S = > 0, P = m > m m Vậy giá trị m cần tìm là: m0 m 0, tha h: ; A x + y = ng thng AC i qua A v vuụng gúc vi d2, suy AC cú phng trỡnh: x 3y = x y = ; C Ta C(x; y) tha h: x y = ; v bỏn kớnh IA = ng trũn (T) cú ng kớnh AC, suy tõm ca (T) l I 2 x 0,25 Ta cú: SABC = 2 Phng trỡnh (T): x + + y + =1 Trang 3/4 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn im (1,0 im) G ng thng cú vect ch phng v = (2; 1; 1) v mt phng (P) cú G vect phỏp tuyn n = (1; 2; 1) G G n = cos v, n Gi H l hỡnh chiu ca M trờn (P), ta cú cos HMC M ( ) C P G G n = MC cos v, n d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC ( ) H = Ta cú: z = (1 + 2 i) (1 VII.a (1,0 im) = 5+ z = | 1| = 6 i) 0,25 0,25 0,25 0,25 i, suy ra: 0,25 i 0,25 Phn o ca s phc z bng: VI.b 0,25 0,25 (1,0 im) (2,0 im) Gi H l trung im ca BC, D l trung im AH, ta cú AH BC Do ú ta D(x; y) tha h: A D E d B C x + y = D(2; 2) H( 2; 2) x y = 0,25 ng thng BC i qua H v song song d, suy BC cú phng trỡnh: x + y + = 0,25 im B, C thuc ng thng BC: x + y + = v B, C i xng qua H( 2; 2), ú ta B, C cú dng: B(t; t), C( t; t) JJJG JJJG im E(1; 3) nm trờn ng cao i qua nh C ca tam giỏc ABC, suy ra: AB CE = (t 6)(5 + t) + ( 10 t)( t) = 0,25 2t2 + 12t = t = hoc t = Ta c: B(0; 4), C( 4; 0) hoc B( 6; 2), C(2; 6) 0,25 H (1,0 im) A B C M VII.b (1,0 im) G ng thng i qua im M(2; 2; 3), nhn v = (2; 3; 2) lm vect ch phng JJJG G JJJG Ta cú: MA = (2; 2; 1), v, MA = (7; 2; 10) G JJJG v, MA 49 + + 100 Suy ra: d(A, ) = = = G 4+9+4 v 0,25 0,25 Gi (S) l mt cu tõm A, ct ti B v C cho BC = Suy bỏn kớnh ca (S) l: R = 0,25 Phng trỡnh (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 0,25 Ta cú: (1 3i )3 = 0,25 Do ú z = = 4i, suy z = + 4i i 0,25 z + i z = 4i + ( + 4i)i = 8i 0,25 Vy: z + iz = 0,25 - Ht - Trang 4/4 B GIO DC V O TO CHNH THC P N THANG IM THI TUYN SINH I HC NM 2011 Mụn: TON; Khi A (ỏp ỏn - thang im gm 05 trang) P N THANG IM Cõu I (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) Tp xỏc nh: D = \ \ S bin thiờn: Chiu bin thiờn: y ' = ( x 1) 0,25 < 0, x D 1 Hm s nghch bin trờn cỏc khong ; v ; + 2 1 Gii hn v tim cn: lim y = lim y = ; tim cn ngang: y = x x + 2 lim y = , lim + y = + ; tim cn ng: x = 1 x x Bng bin thiờn: 2 x y y 0,25 + 0,25 + y th: (C) O 2 x 0,25 (1,0 im) Honh giao im ca d: y = x + m v (C) l nghim phng trỡnh: x + m = x +1 2x 1 (x + m)(2x 1) = x + (do x = khụng l nghim) 2x + 2mx m = (*) ' = m2 + 2m + > 0, m Suy d luụn ct (C) ti hai im phõn bit vi mi m 0,25 0,25 Gi x1 v x2 l nghim ca (*), ta cú: k1 + k2 = 4( x1 + x2 ) x1 x2 4( x1 + x2 ) + 1 = (2 x1 1) (2 x2 1) (4 x1 x2 2( x1 + x2 ) + 1) Theo nh lý Viet, suy ra: k1 + k2 = 4m2 8m = 4(m + 1)2 Suy ra: k1 + k2 ln nht bng 2, v ch m = Trang 1/5 0,25 0,25 Cõu II (2,0 im) ỏp ỏn im (1,0 im) iu kin: sin x (*) Phng trỡnh ó cho tng ng vi: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 sin2xcosx + sin2x + cos2x = 2 cosx (do sinx 0) cosx (cosx + sinx cosx = x = ) = + k, tha (*) 0,25 0,25 0,25 ) = x = + k2, tha (*) 4 Vy, phng trỡnh cú nghim: x = + k; x = + k2 (k Z) cosx + sinx = sin(x + 0,25 (1,0 im) x y xy + y 2( x + y ) = (1) 2 (2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) Ta cú: (2) (xy 1)(x2 + y2 2) = xy = hoc x2 + y2 = xy = 1; t (1) suy ra: y4 2y2 + = y = Suy ra: (x; y) = (1; 1) hoc (x; y) = (1; 1) x2 + y2 = 2; t (1) suy ra: 3y(x2 + y2) 4xy2 + 2x2y 2(x + y) = 2 6y 4xy + 2x y 2(x + y) = (1 xy)(2y x) = xy = (ó xột) hoc x = 2y Vi x = 2y, t x2 + y2 = suy ra: 10 10 10 10 (x; y) = ; ; hoc (x; y) = 5 10 10 10 10 Vy, h cú nghim: (1; 1), ( 1; 1), ; ; , 5 III (1,0 im) I = 4 ( x sin x + cos x) + x cos x dx = x sin x + cos x dx + x cos x x sin x + cos x dx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cú: dx = x 04 = v IV (1,0 im) 0,25 x cos x dx = x sin x + cos x d(x sin x + cos x) x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x ) = ln + Suy ra: I = + ln + 4 (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi (ABC) SA (ABC) S n l gúc gia (SBC) v AB BC SB BC SBA n = 60o SA = AB tan SBA n = 2a (ABC) SBA Mt phng qua SM v song song vi BC, ct AC ti N H MN //BC v N l trung im AC D N C A BC AB MN = = a, BM = = a M 2 B ( BC + MN ) BM 3a = Th tớch: VS.BCNM = S BCNM SA = a 3 Din tớch: SBCNM = 2 Trang 2/5 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn im K ng thng i qua N, song song vi AB H AD (D ) AB // (SND) d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) H AH SD (H SD) AH (SND) d(A, (SND)) = AH Tam giỏc SAD vuụng ti A, cú: AH SD v AD = MN = a d(AB, SN) = AH = V (1,0 im) SA AD = 2a 39 13 0,25 0,25 SA2 + AD 1 + (*), vi a v b dng, ab Trc ht ta chng minh: + a + b + ab Tht vy, (*) (a + b + 2)(1 + ab ) 2(1 + a)(1 + b) (a + b) ab + ab a + b + 2ab b )2 0, luụn ỳng vi a v b dng, ab Du bng xy ra, v ch khi: a = b hoc ab = p dng (*), vi x v y thuc on [1; 4] v x y, ta cú: x 1 P= + + + 3y 2x + 3y + z + x x 2+ 1+ y z x y 0,25 ( ab 1)( a Du " = " xy v ch khi: x z x = hoc = y y z 0,25 (1) x t2 + = t, t [1; 2] Khi ú: P 2t + + t y t t (4t 3) + 3t (2t 1) + 9) t2 < Xột hm f(t) = + , t [1; 2]; f '(t ) = 2t + + t (2t + 3) (1 + t ) f(t) f(2) = 0,25 34 x = x = 4, y = (2) ; du " = " xy v ch khi: t = y 33 34 T (1) v (2) suy du " = " xy v ch khi: x = 4, y = v z = 33 34 Vy, giỏ tr nh nht ca P bng ; x = 4, y = 1, z = 33 P VI.a 0,25 (1,0 im) (2,0 im) A ng trũn (C) cú tõm I(2; 1), bỏn kớnh IA = n = MBI n = 90o v MA = MB T giỏc MAIB cú MAI I SMAIB = IA.MA B M 0,25 MA = IM = IA2 + MA2 = M , cú ta dng M(t; t 2) IM = (t 2)2 + (t + 3)2 = 25 2t2 + 2t 12 = 0,25 t = hoc t = Vy, M(2; 4) hoc M( 3; 1) 0,25 0,25 (1,0 im) x y z + = Gi M(x; y; z), ta cú: M (P) v MA = MB = ( x 2) + y + ( z 1) = x + ( y + 2) + ( z 3) = Trang 3/5 0,25 Cõu ỏp ỏn im x y z + = x + y z + = ( x 2) + y + ( z 1) = 0,25 x = y z = 3y y 11y + = 0,25 12 12 ; Vy cú: M(0; 1; 3) hoc M ; ; 7 7 (x; y; z) = (0; 1; 3) hoc ; VII.a Gi z = a + bi (a, b R), ta cú: z = z + z (a + bi)2 = a2 + b2 + a bi (1,0 im) 2 a b = a + b + a a b + 2abi = a + b + a bi a = 2b b(2a + 1) = 0,25 1 hoc (a; b) = 2 1 1 Vy, z = hoc z = + i hoc z = i 2 2 (a; b) = (0; 0) hoc (a; b) = ; (2,0 im) 0,25 0,25 2ab = b VI.b 0,25 ; 0,25 (1,0 im) Gi A(x; y) Do A, B thuc (E) cú honh dng v tam giỏc OAB cõn ti O, nờn: y A H O B 0,25 x2 B(x; y), x > Suy ra: AB = 2| y | = Gi H l trung im AB, ta cú: OH AB v OH = x Din tớch: SOAB = x x 2 x = x (4 x ) Du " = " xy ra, v ch x = 0,25 0,25 2 2 Vy: A 2; hoc A 2; v B 2; v B 2; 0,25 (1,0 im) (S) cú tõm I(2; 2; 2), bỏn kớnh R = Nhn xột: O v A cựng thuc (S) Tam giỏc OAB u, cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip r = OA = 3 (P) i qua O cú phng trỡnh dng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 (*) (P) i qua A, suy ra: 4a + 4b = b = a Khong cỏch: d(I, (P)) = d(I, (P)) = 2(a + b + c) 2 a +b +c 0,25 R2 r = = 2c 2a + c 2c 2a + c = 2a2 + c2 = 3c2 c = a Theo (*), suy (P): x y + z = hoc x y z = Trang 4/5 0,25 0,25 0,25 Cõu VII.b (1,0 im) ỏp ỏn Gi z = a + bi (a, b R), ta cú: (2z 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 i) = 2i [(2a 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) bi](1 i) = 2i (2a 2b 1) + (2a + 2b 1)i + (a b + 1) (a + b + 1)i = 2i 3a 3b = a + b = (3a 3b) + (a + b 2)i = 2i a= 1 , b = Suy mụun: | z | = a + b = 3 - Ht - Trang 5/5 im 0,25 0,25 0,25 0,25 B GIO DC V O TO CHNH THC P N THANG IM THI TUYN SINH I HC NM 2012 Mụn: TON; Khi A v A1 (ỏp ỏn thang im gm 04 trang) Cõu ỏp ỏn im a) (1,0 im) (2,0 im) Khi m = 0, ta cú: y = x x Tp xỏc nh: D = \ S bin thiờn: 0,25 Chiu bin thiờn: y ' = x3 x; y ' = x = hoc x = Cỏc khong nghch bin: ( ; 1) v (0; 1); cỏc khong ng bin: (1; 0) v (1; + ) Cc tr: Hm s t cc tiu ti x = 1, yCT = 1; t cc i ti x = 0, yC = Gii hn: lim y = lim y = + x Bng bin thiờn: 0,25 x+ x y' 0 + + + + + 0,25 y 1 th: y 0,25 O 2 x b) (1,0 im) Ta cú y ' = x 4( m + 1) x = x ( x m 1) th hm s cú im cc tr v ch m + > m > (*) Cỏc im cc tr ca th l A(0; m ), B( m + 1; 2m 1) v C ( m + 1; 2m 1) JJJG JJJG Suy ra: AB = ( m + 1; ( m + 1) ) v AC = ( m + 1; ( m + 1) ) JJJG JJJG Ta cú AB = AC nờn tam giỏc ABC vuụng v ch AB AC = ( m + 1) ( m + 1) = Kt hp (*), ta c giỏ tr m cn tỡm l m = Trang 1/4 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn im Phng trỡnh ó cho tng ng vi ( sin x + cos x 1) cos x = (1,0 im) cos x = x = + k (k ]) sin x + cos x = cos x = cos 3 + k (k ]) x = k hoc x = + k (k ]) Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + k, x = k v x = 3 3 ( x 1) 12( x 1) = ( y + 1) 12( y + 1) (1) (1,0 im) H ó cho tng ng vi: 12 12 + y+ = (2) x 2 1 1 T (2), suy x v y + x v y + 2 2 2 3 Xột hm s f (t ) = t 12t trờn ; , ta cú f '(t ) = 3(t 4) < , suy f(t) nghch bin 2 Do ú (1) x = y + y = x (3) 2 3 + x = x x + = x = hoc x = Thay vo (2), ta c x 2 2 3 Thay vo (3), ta c nghim ca h l ( x; y ) = ; hoc ( x; y ) = ; 2 2 dx dx t u = + ln( x + 1) v dv = , suy du = v v = (1,0 im) x +1 x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( + ln( x + 1) I= + x = + ln + 3 ( ( ) dx x( x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ) + ln x 1 + ln dx = x +1 x x +1 0,25 2 = + ln ln 3 (1,0 im) 0,25 0,25 S n l gúc gia SC v (ABC), suy SCH n = 60o Ta cú SCH a a Gi D l trung im ca cnh AB Ta cú: HD= , CD = , a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC.tan60o = 3 0,25 1 a 21 a a = VS ABC = SH S ABC = 3 12 0,25 K Ax//BC Gi N v K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca H trờn Ax v SN Ta cú BC//(SAN) v BA = HA nờn d ( SA, BC ) = d ( B,( SAN )) = d ( H ,( SAN )) Ta cng cú Ax ( SHN ) nờn Ax HK Do ú HK ( SAN ) Suy d ( H ,( SAN )) = HK 0,25 K A x N D C H B AH = 2a a , HN = AH sin 60o = , HK = 3 SH HN SH + HN Trang 2/4 = a 42 a 42 Vy d ( SA, BC ) = 12 0,25 Cõu ỏp ỏn im Ta chng minh 3t t + 1, t (*) (1,0 im) Xột hm f (t ) = 3t t , cú f '(t ) = 3t ln > 0, t v f (0) = , suy (*) ỳng 0,25 p dng (*), ta cú | x y | + | y z | + | z x | 3+ | x y | + | y z | + | z x | p dng bt ng thc | a | + | b | | a + b | , ta cú: (| x y | + | y z | + | z x |) = | x y |2 + | y z |2 + | z x |2 + | x y |(| y z | + | z x |) + | y z |(| z x | + | x y |) ( 2 ) 0,25 + | z x |(| x y | + | y z |) | x y | + | y z | + | z x | ( ) Do ú | x y | + | y z | + | z x | | x y |2 + | y z |2 + | z x |2 = x + y + z ( x + y + z ) 2 0,25 M x + y + z = 0, suy | x y | + | y z | + | z x | x + y + z Suy P = | x y | + | yz | + | zx | x + y + z Khi x = y = z = thỡ du bng xy Vy giỏ tr nh nht ca P bng Gi H l giao im ca AN v BD K ng thng qua H 7.a v song song vi AB, ct AD v BC ln lt ti P v Q (1,0 im) t HP = x Suy PD = x, AP = 3x v HQ = 3x A B Ta cú QC = x, nờn MQ = x Do ú AHP = HMQ, suy AH HM Hn na, ta cng cú AH = HM M 10 Do ú AM = MH = 2d ( M ,( AN )) = H Q P AAN, suy A(t; 2t 3) C D 11 45 10 N + 2t = MA = t 2 2 ) ( ( ) t 5t + = t = hoc t = Vy: A(1; 1) hoc A(4;5) ) JJJG JJJG JJG 2 IH AB IH a = t + 4t + t = t = IH = ; ; 3 3 Tam giỏc IAH vuụng cõn ti H, suy bỏn kớnh mt cu (S) l R = IA = IH = Do ú phng trỡnh mt cu cn tỡm l ( S ): x + y + ( z 3)2 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 9.a n(n 1)(n 2) n (1,0 im) 5Cn = Cn 5n = 0,25 n = (vỡ n nguyờn dng) n 0,25 0,25 JJG 8.a Vộc t ch phng ca d l a = (1; 2; 1) Gi H l trung im ca AB, suy IH AB JJJG (1,0 im) Ta cú H d nờn ta H cú dng H (t 1; 2t ; t + 2) IH = (t 1; 2t ; t 1) ( 0,25 0,25 7 2 x2 nx x Khi ú = = C7k x x k =0 14 7k ( 1x ) = (21)7kC7 x143k k k k 0,25 k=0 S hng cha x5 tng ng vi 14 3k = k = Do ú s hng cn tỡm l (1)3 C73 35 x = x5 16 Trang 3/4 0,25 Cõu ỏp ỏn 7.b (1,0 im) im Phng trỡnh chớnh tc ca (E) cú dng: y O x2 a2 + y2 b2 = 1, 0,25 vi a > b > v 2a = Suy a = A x Do (E) v (C) cựng nhn Ox v Oy lm trc i xng v cỏc giao im l cỏc nh ca mt hỡnh vuụng nờn (E) v (C) cú mt giao im vi ta dng A(t ; t ), t > 0,25 A(C) t + t = 8, suy t = 0,25 A(2;2) ( E ) 16 4 + = b2 = 16 b Phng trỡnh chớnh tc ca (E) l 8.b (1,0 im) M thuc d, suy ta ca M cú dng M(2t 1; t; t + 2) x2 y + = 16 16 0,25 0,25 MN nhn A l trung im, suy N(3 2t; t; t) 0,25 N(P) 2t t 2(2 t ) + = t = 2, suy M(3; 2; 4) 0,25 ng thng i qua A v M cú phng trỡnh : x y + z = = 9.b t z = a + bi (a, b \), z (1,0 im) 5( z + i ) = i (3a b 2) + (a 7b + 6)i = Ta cú z +1 0,25 0,25 3a b = a = a 7b + = b = 0,25 Do ú z =1+i Suy w = + z + z =1+1+ i + (1+ i )2 = + 3i 0,25 Vy w = + 3i = 13 0,25 - HT - Trang 4/4 P N THANG IM THI TUYN SINH I HC NM 2013 Mụn: TON; Khi A v A1 (ỏp ỏn - thang im gm 04 trang) B GIO DC V O TO CHNH THC Cõu (2,0 im) ỏp ỏn im a (1,0 im) Khi m = ta cú y = x3 + x Tp xỏc nh: D = \ S bin thiờn: 0,25 - Chiu bin thiờn: y ' = 3x + x; y ' = x = hoc x = Khong ng bin: (0; 2); cỏc khong nghch bin: (; 0) v (2; + ) - Cc tr: Hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = 1; t cc i ti x = 2, yC = - Gii hn: lim y = +; lim y = x 0,25 x+ - Bng bin thiờn: x y' + 0 + + y 0,25 th: y 0,25 O x b (1,0 im) Ta cú y ' = 3x + x + 3m Hm s (1) nghch bin trờn khong (0; + ) v ch y ' 0, x > m x x, x > Xột f ( x) = x x vi x > Ta cú f '( x) = x 2; f '( x) = x = 0,25 0,25 Bng bin thiờn: x f '( x) f ( x) + + + 0,25 Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr m tha yờu cu ca bi toỏn l m Trang 1/4 0,25 Cõu (1,0 im) ỏp ỏn im iu kin: cos x Phng trỡnh ó cho tng ng vi + sin x = 2(sin x + cos x) cos x (sin x + cos x)(2cos x 1) = sin x + cos x = x = 2cos x = x = 0,25 + k ( k ]) 0,25 + k (k ]) i chiu iu kin ta c nghim: x = (1,0 im) 0,25 + k hoc x = + k (k ]) x + + x y + = y (1) x + x( y 1) + y y + = (2) 0,25 0,25 iu kin: x T (2) ta c y = ( x + y 1) , suy y t u = x 1, suy u Phng trỡnh (1) tr thnh: Xột f (t ) = t + + t , vi t Ta cú f '(t ) = 2t t +2 u4 + + u = y + + y (3) + > 0, t 0,25 Do ú phng trỡnh (3) tng ng vi y = u, ngha l x = y + Thay vo phng trỡnh (2) ta c y ( y + y + y 4) = (4) Hm g ( y ) = y + y + y cú g '( y ) = y + y + > vi mi y M g (1) = 0, nờn (4) cú hai nghim khụng õm l y = v y = Vi y = ta c nghim ( x; y ) = (1; 0); vi y = ta c nghim ( x; y ) = (2; 1) Vy nghim ( x; y ) ca h ó cho l (1; 0) v (2; 1) (1,0 im) t u = ln x, dv = x2 x dx du = dx , v= x+ x x 0,25 0,25 0,25 2 1 Ta cú I = x + ln x x + dx x xx 1 0,25 1 = x + ln x x x x = ln 2 (1,0 im) 0,25 0,25 Gi H l trung im ca BC, suy SH BC M (SBC) vuụng gúc vi (ABC) theo giao tuyn BC, nờn SH (ABC) Ta cú BC = a, suy SH = S AB = BC cos30o = Do ú VS ABC = I B H C A 0,25 a a ; AC = BC sin 30o = ; 2 a 0,25 a3 SH AB AC = 16 Tam giỏc ABC vuụng ti A v H l trung im ca BC nờn HA = HB M SH (ABC), suy SA = SB = a Gi I l trung im ca AB, suy SI AB 0,25 AB a 13 = 4 3V 6V a 39 Suy d (C ,( SAB )) = S ABC = S ABC = S SAB SI AB 13 0,25 Do ú SI = SB Trang 2/4 Cõu (1,0 im) ỏp ỏn t x = im a b , y = Ta c x > 0, y > iu kin ca bi toỏn tr thnh xy + x + y = c c 3 32 y Khi ú P = 32 x + x2 + y2 3 ( y + 3) ( x + 3) (u + v)3 Vi mi u > 0, v > ta cú u + v = (u + v) 3uv(u + v) (u + v) (u + v)3 = 4 3 3 0,25 3 32 x3 + 32 y x + y = ( x + y ) xy + x + y xy + x + y + y +3 x+3 ( y + 3)3 ( x + 3)3 Thay xy = x y vo biu thc trờn ta c Do ú 3 32 x3 + 32 y ( x + y 1)( x + y + 6) = ( x + y 1)3 Do ú 2( x + y + 6) ( y + 3)3 ( x + 3)3 0,25 P ( x + y 1)3 x + y = ( x + y 1)3 ( x + y ) xy = ( x + y 1)3 ( x + y ) + 2( x + y ) t t = x + y Suy t > v P (t 1)3 t + 2t ( x + y)2 t2 nờn (t 2)(t + 6) Do ú t =t+ 4 t +1 Xột f (t ) = (t 1)3 t + 2t 6, vi t Ta cú f '(t ) = 3(t 1) t + 2t Ta cú = x + y + xy ( x + y ) + Vi mi t ta cú 3(t 1) v t +1 t + 2t = 1+ 0,25 + = , nờn 2 (t + 1) > Suy f (t ) f (2) = Do ú P Khi a = b = c thỡ P = Do ú giỏ tr nh nht ca P l Do C d nờn C (t ; 2t 5) Gi I l tõm ca hỡnh ch nht ABCD, suy I l trung im ca AC Do ú I t ; 2t + 2 Tam giỏc BDN vuụng ti N nờn IN = IB Suy IN = IA A D Do ú ta cú phng trỡnh f '(t ) 7.a (1,0 im) ) ( ( I N B 8.a (1,0 im) C M ) ( ) 2 t + 2t + = t + 2t + 2 t = Suy C (1; 7) Do M i xng vi B qua C nờn CM = CB M CB = AD v CM||AD nờn t giỏc ACMD l hỡnh bỡnh hnh Suy AC||DM Theo gi thit, BN DM, suy BN AC v CB = CN Vy B l im i xng ca N qua AC ng thng AC cú phng trỡnh: x + y + = ng thng BN qua N v vuụng gúc vi AC nờn cú phng trỡnh x y 17 = Do ú B(3a + 17; a ) Trung im ca BN thuc AC nờn 3a + 17 + a + = a = Vy B ( 4; 7) + 2 JG cú vộct ch phng l u = (3; 2;1) JG (P) qua A v nhn u lm vộct phỏp tuyn, nờn (P) cú phng trỡnh 3( x 1) 2( y 7) + ( z 3) = 3x + y z 14 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 M thuc nờn M (6 3t ; 2t ; + t ) 0,25 AM = 30 (6 3t 1) + (1 2t 7) + (2 + t 3)2 = 120 7t 4t = 51 ; ; 17 t = hoc t = Suy M (3; 3; 1) hoc M 7 7 Trang 3/4 ( ) 0,25 Cõu ỏp ỏn im 9.a (1,0 im) S phn t ca S l A37 = 210 S cỏch chn mt s chn t S l 3.6.5 = 90 (cỏch) 90 = Xỏc sut cn tớnh bng 210 Gi M l giao im ca tip tuyn ti A v B ca (C), H l giao im ca AB v IM Khi ú M (0; t ), vi t 0; H l trung im AB = 2 ca AB Suy AH = M 1 = + , suy AM = 10 2 AH AM AI B Do ú MH = AM AH = |t | , nờn t = Do ú M (0; 8) M MH = d ( M , ) = H ng thng IM qua M v vuụng gúc vi nờn cú phng I x + y = Do ú ta im H tha h trỡnh A x y = H (4;4) x + y = JJJG JJJJG Ta cú IH = IA2 AH = = HM , nờn IH = HM 4 Do ú I (5;3) 0,25 7.b (1,0 im) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vy ng trũn (C) cú phng trỡnh ( x 5) + ( y 3) = 10 8.b (1,0 im) (S) cú tõm I (1; 2;1) v bỏn kớnh R = 14 d ( I ,( P)) = | 2.1 + 3(2) + 1.1 11| = 14 = R Do ú (P) tip xỳc vi (S) 14 22 + 32 + 12 Gi M l tip im ca (P) v (S) Suy M thuc ng thng qua I v vuụng gúc vi (P) Do ú M (1 + 2t ; + 3t ;1 + t ) Do M thuc (P) nờn 2(1 + 2t ) + 3(2 + 3t ) + (1 + t ) 11 = t = Vy M (3;1; 2) 9.b (1,0 im) z = + 3i = + i = cos + i sin 3 5 Suy z = 25 cos + i sin = 16(1 3i ) 3 Do ú w = 16( + 1) + 16(1 3)i Vy w cú phn thc l 16( + 1) v phn o l 16(1 3) - Ht - Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 [...]... ±2 ⎩y = 4 0,25 0,50 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) và ( x; y ) = (−2; −2) -Hết - Trang 4/4 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) 1 (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thi n: 3 ; y < 0, ∀x ∈ D... TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007 Mơn: TỐN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I Nội dung 1 Điểm 2,00 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) x2 − 3 1 Khi m = −1 ta có y = = x −2+ x+2 x+2 • Tập xác định: D = \ \{−2} • Sự biến thi n: ⎡ x = −3 1 x 2 + 4x + 3 , y' = 0 ⇔ ⎢ y ' = 1− = 2 2 (x + 2) (x + 2) ⎣ x = −1 Bảng biến thi n:... 4 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang) Câu I Ý 1 Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4 • TXĐ: \ • Sự biến thi n: y ' = 6 ( x 2 − 3x + 2 ) , y ' = 0 ⇔ x = 1, x = 2 0,25 Bảng biến thi n: x -∞ y' + 1 0 2 0 _ +∞ + +∞... thi t: M = 0 ⇔ ⎨cos =1 2 ⎪ 1 ⎪ A ⎪sin 2 = 2 ⎩ 0,25 ⎧A = 90° ⎩B = C = 45°⋅ ⇔⎨ 0,25 4 Mang Giao duc Edunet - http://www.edu.net.vn BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 -Mơn: TỐN, Khối A (Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) Ý Nội dung Điểm 2,0 1,0 I.1 m= 1 1 1 ⇒ y= x+ 4 4 x a) TXĐ: \\{0} 0,25 b) Sự biến thi n:... ⇒ ΔBO ' D đều ⇒ BH = a 3 2 0,25 1 Vì AOO ' là tam giác vng cân cạnh bên bằng a nên: SAOO ' = a 2 2 2 3 1 3a a 3a = Vậy thể tích khối tứ diện OO ' AB là: V = 3 2 2 12 0,25 NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−ỵc ®đ ®iĨm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh Hết 5/5 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang... ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm 1 (1,0 điểm) Khảo sát… ⎧ 3⎫ • Tập xác định: D = \ \ ⎨− ⎬ ⎩ 2⎭ • Sự biến thi n: −1 - Chiều biến thi n: y ' = < 0, ∀x ∈ D 2 ( 2 x + 3) 0,25 3⎞ ⎛ ⎛ 3 ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ và ⎜ − ; +∞ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ - Cực... 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 và | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10 0,50 Trang 3/4 Câu Đáp án Điểm A = | z1 | 2 + | z2 | 2 = 20 VI.b (2,0 điểm) 0,25 1 (1,0 điểm) Tìm m (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 2 0,25 1 1 IA.IB.sin n AIB ≤ R 2 = 1; S lớn nhất khi và chỉ khi IA ⊥ IB 2 2 −2 − 2 m − 2 m + 3 R =1 ⇔ Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 2 1 + m2 Diện tích tam giác IAB : S = ⇔ (1 − 4m ) =... triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) • Từ giả thi t suy ra: C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = 220 Ck2n +1 (1) +1− k C2n 2n +1 , ∀k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên: 1 2n +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n +1 2 ( Từ khai triển nhị thức Niutơn của (1 + 1) 2n +1 +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n 2n +1 = (1 + 1) ) ( 2) 0,25 suy ra: 2n +1 = 22n +1 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 22n = 220... (1; −4 ) ; phương trình AB : x − 4 y + 19 = 0 0,25 2 (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm và tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = 5 Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = 2− 4−3− 4 3 = 3 < R; suy ra đpcm 0,25 Gọi H và r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu vng góc của I trên ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R 2 − IH 2 = 4... 2 0,25 Trang 1/4 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm 1 (1,0 điểm) Giải phương trình… 1 (*) 2 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) Điều kiện: sin x ≠ 1 và sin x ≠ − 0,25 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ 2 x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ π π 2π ⇔ x = + k 2π hoặc x = − + k 18 3 2 0,25 Kết hợp (*), ta được nghiệm: x = − π 18