Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 8 biến đổi DFT và FFT

Chương 8: Biến đổi DFT và FFT Xử lý số tín hiệu... Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc DFT  Công thức DTFT cho chuỗi thời gian rời rạc xn:  Nhận xét:  Xω là hàm liên tục -> kh

Chương 8:

Biến đổi DFT và FFT

Xử lý số tín hiệu

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời

rạc (DFT)

 Công thức DTFT cho chuỗi thời gian rời rạc x(n):

 Nhận xét:

 X(ω) là hàm liên tục -> không thể thực hiện trên phần

cứng các phép biến đổi tín hiệu trong miền tần số

 Cần rời rạc phổ của tín hiệu trong miền tần số hay lấy

mẫu tần số

 Lấy mẫu bao nhiêu là “đủ” để có thể khôi phục lại được tín

hiệu x(n) hay X(ω) ban đầu?

e n x

X(  ) ( )  Discrete Time Fourier Transform

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)

 Do phổ X(ω) lặp lại với chu kỳ 2, ta chỉ cần lấy

mẫu X(ω) trong khoảng [0,2]

 Giả sử trong khoảng tần số này ta lấy N mẫu cách đều nhau ω=2/N thì các mẫu này được cho bởi:

 Đổi biến n=m-lN với m=0,1,…,N-1, l=- ∞,…,∞

1 , ,

1 , 0

, )

e n x

k N

X

n

kn N

j 



1 , ,

1 , 0

, )

e lN m

x

k N X

N m

km N j

m x

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)

 có thể tính được từ x(n) bằng cách lặp lại x(n) sau mỗi N mẫu

 Giả sử x(n) dài L mẫu, ta có 2 trường hợp:

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)

), ( )

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời

rạc (DFT) (tt)

 Cách khôi phục lại x(n) từ X(k): do xp(n) tuần hoàn nên

có thể được biểu diễn bằng khai triển chuỗi Fourier: Trong đó:

 So sánh ck với X(2k/N):

 Suy ra:

1 0

,



1 0

, )

e n

x N

k

N kn j p

k



1 0

, )

e n x

k N X

N n

kn N j p





1 0

,

2 1

1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)

 Thế vào công thức của khai triển chuỗi Fourier ta suy ra cách khôi phục x(n) từ X(ω):

 Kết luận: Phổ của tín hiệu rời rạc bất kỳ có chiều dài

L có thể được khôi phục chính xác từ các mẫu của

nó ở các tần số ωk=2k/N nếu N ≥L

1 0

,

2

1 )

n

k

N kn

j 



2 Biến đổi DFT

 Do X(k) được lấy từ X(ω) bằng cách lấy mẫu ở N tần

số cách đều nhau nên biến đổi giữa X(k) và x(n)

được gọi là biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

 Công thức DFT N điểm của x(n):

 IDFT

 Tính chất của biến đổi DFT: (đọc thêm)

1 , ,

1 , 0

, )

( )

e n x k

n

N kn

j 

  , 0 , 1 , , 1

1 )

j 

2 Biến đổi DFT (tt)

 Ảnh hưởng của chiều dài N(số điểm DFT):

Giả sử x(n) có chiều dài L, ta thực hiện DFT N điểm cho tín hiệu này (N≥L) Do x(n) chỉ có L điểm, ta cần thêm vào N-L zero

⇒ Phổ X(k) thay đổi như thế nào khi tăng N?

Ví dụ: Tìm biến đổi DFT N điểm của x(n) cho bởi:

1 0

1 )

(

n

L

n n

x

2 Biến đổi DFT (tt)

Giải:

 Biến đổi Fourier của tín hiệu x(n):

) 2 / sin(

) 2 / sin(

2 , 1 0

0 )

(

L k

k

L k

X

) / sin(

) / sin(

)

1

/ 2

N k

N kL e

e k

n

N kn j

⇒ Việc giới hạn chiều dài x(n) tương đương với nhân x(n) với cửa sổ chữ nhật chiều dài L:

Với

) ( ) ( )

1 0

1 )

(

n

L

n n

w

 Theo lý thuyết, phổ X(ω) là 2 xung diract ở ±ω0

 Phổ của X’(ω) tập trung ở ±ω0 nhưng rải trong 1 khoảng tần số chứ ko tập trung tại 1 tần số như X(ω)

 Độ phân giải tần số hay khoảng cách tối thiểu của 2 tần số nằm gần nhau

có thể phân biệt đc trên phổ DFT chính bằng ½ độ rộng của cửa sổ chữ nhật 2  /L hay fs/L

2

1 )

(     0    0

X

2 / ) 1 (

) 2 / sin(

) 2 /

3 Biến đổi FFT

 Nhu cầu: cần một giải thuật thực hiện DFT hiệu quả

về mặt tính toán và đơn giản, dễ ứng dụng trên

1 , 0

, )

( )

3 Biến đổi FFT (tt)

Giải thuật FFT Radix-2:

 Giả sử N=2v, DFT N điểm của x(n) có thể được tính theo phương pháp chia nhỏ khối tính DFT thành nhiều khâu như sau:

 F1(k), F2(k) là DFT N/2 điểm của chuỗi x(2m) và x(2m+1)

1

0 ( ) )

(

n

kn N n

kn N

N n

kn

W n x k

2 / 0

2

) 1 2

( )

2

m

m k N

N m

m k

W m x

1 2 /

) (

1 2 /

2 1

) 1 2

( )

2 (

k F

N m

km N

k N k

F

N m

km

W m

3 Biến đổi FFT (tt)

 So sánh chi phí tính toán:

 DFT N điểm: N 2 phép nhân phức

 2 DFT N/2 điểm: N 2 /2+N/2 phép nhân phức

Khi N lớn: độ lợi tính toán:

⇒ Khi chia nhỏ khối DFT N điểm thành 2 khối DFT N/2 điểm, ta giảm được ½ chi phí tính toán!

⇒ Càng chia nhỏ càng tiết kiệm được chi phí tính toán!

2

1 2

N

3 Biến đổi FFT (tt)

Cách thực hiện FFT: giả sử ta cần tính DFT 8 điểm:

8-point DFT

X(4)

X(5) X(6)

X(7)

3 Biến đổi FFT (tt)

Chia khối DFT 8 điểm thành 2 khối DFT 4 điểm:

4-point DFT

4-point DFT

3 Biến đổi FFT (tt)

Chia khối DFT 4 điểm thành 2 khối DFT 2 điểm:

2-point DFT

X(3) X(4) X(5)

X(6) X(7)

2-point DFT

2-point DFT

X(3) X(4) X(5)

X(6) X(7)

-1 -1 -1 -1

-1 -1

-1

-1

-1

-1

có N/2 sơ đồ bướm Như vậy chi phí tính toán là:

 (N/2)log2N phép nhân phức (Tính trực tiếp cần N 2 )

3 Biến đổi FFT (tt)

Nhận xét (tt):

 Khi đã thực hiện xong việc tính toán cho 1 tầng thì

ta không cần lưu kết quả của tầng trước nữa Do đó, tổng cộng ta chỉ cần 2N thanh ghi để lưu giá trị phức của ngõ vào, kết quả cũng như toàn bộ quá trình tính toán -> có thể thực hiện tính toán tại chỗ

 Giải thuật dựa vào sự chia nhỏ chuỗi thời gian rời rạc x(n) được gọi là giải thuật chia nhỏ trên miền

thời gian (decimation-in-time)

 Cho phép ghép nối nhiều khối FFT N điểm để tính FFT nhiều điểm hơn

w   j

1

 1

 1

10 -2+2j -2 -2-2j

3 Biến đổi FFT (tt)

1 2 /

)

N n

kn N

N n

kn

W n x k

2 /

n

kn N

kN N

N n

kn

W n x

kn N

k

W N

n x n

x

 ( ) ( / 2 ) , k 0,1, , N/2 - 1 )

2

) (

kn N n

g

W N

n x n

x k

 ( ) ( / 2 ) , k 0,1, , N/2 - 1 )

1 2

) (

kn N

n N n

h

W W

N n

x n

x k

3 Biến đổi FFT (tt)

Sơ đồ thực hiện:

3 Biến đổi FFT (tt)

Chia đôi

3 Biến đổi FFT (tt)

Chia đôi lần nữa!

1 4

w

4 6 2



2 j

10 2

4 Biến đổi IFFT

 Tính IFFT bằng giải thuật FFT

4 Biến đổi IFFT

w

1 4

4 12 8 16

4n ( )n 2n ( 1 )n