Ma trận định thức

TBL – Learning Chào bạn Có lẽ thời điểm mà bạn kiểm tra kỳ môn toán Có nhiều bạn inbox facebook nhắn tin tới điện thoại nói gia sư or mở lớp giảng đường dạy toán cao cấp Nhưng thời gian dành cho khóa học xác suất thống kê giảng đường nên bận mong bạn thông cảm Đề giúp bạn sinh viên học ôn tập tốt môn cố gắng ngồi biên soạn tài liệu cách dễ hiểu nhất, dùng ngôn ngữ đời thường để diễn đạt cho bạn Hy vọng bạn yêu thích cách học Hiện thực dự án giáo dục TBL – Learning Dự án nhằm tạo tài liệu có giá trị cho học sinh sinh viên Đồng thời TBL – Learning trao học bổng cho em học sinh có hoàn cảnh khó khăn học bổng cho em học sinh có KQ thành tích tốt Vậy nên TBL mong muốn bạn quyên góp quỹ cho dự án Các bạn liên hệ qua Phone : 01639085045 gặp Lã Văn Toàn Fb : https://www.facebook.com/lavantoan.TBLeducation Sắp tới khóa K60 Học viện Nông nghiệp VN, TBL mở khóa học dành cho 4-5 em sinh viên nhằm tạo cho em điều kiện làm quen dần với môi trường đại học, phương pháp học tập, kỹ cần thiết xã hội Với mục tiêu : Vì hệ trẻ VN Một lần xin cảm ơn bạn I Ma trận Định nghĩa: Ma trận bảng số gồm m hàng n cột viết dấu ngoặc [ ] ngoặc ( )  Ma trận cấp m x n Người ta thường dùng chữ in hoa kèm theo m x n để ký hiệu ma trận VD : Ma trận 𝐴3∗3 = (7 5) Hoặc Ma trận 𝐵3∗3 = [5 7] 45 Thông thường trình đề làm tập người ta không thiết phải ghi kích thước ma trận Tức : 𝐴 = ( 5) Các loại ma trận Ma trận thông thường - Ma trận hàng : Chỉ có hàng - Ma trận cốt : Chỉ có cột - Ma trận vuông : Số hàng = số cột  Đối với ma trận vuông ta có khái niệm đường chéo Trong hình vuông có hai đường chéo, đường chéo đường chéo Đường chéo đường chéo bao gồm phần tử có số hàng = số cột Hay nói cách đơn giản đường chéo đường chạy từ góc bên trái xuông góc bên phải ma trận vuông  Hình vuông có hai đường chéo Một đường chéo đường chéo đường lại đường chéo phụ  Vết ma trân ký hiệu “tr” , tổng số nằm đường chéo VD: 𝐴 = ( 5) Tr(A) = + + = 11 Ma trận đặc biệt - Ma trận không: Là mà trận gồm phần tử số ( Toàn số ) Ký hiệu VD 0 ) 0 Ma trận vuông - Ma trận chéo  { Các phần tử nằm đường chéo Chú ý: Ở nói phần tử nằm đường chéo Còn phần tử đường chéo khác θ=( VD : A = (0 0 0) Ma trận chéo - Ma trận đơn vị { Các phần tử nằm đường chéo Kết hợp với khái niệm ma trận chéo ta có định nghĩa rõ ràng ma trận đợi vị Ma trận vuông Ma trận đơn vị{ Các phần tử nằm đường chéo Các phần tử nằm đường chéo - Ma trận đợi vị ký hiệu I 0 VD : I = (0 0) 0 Phép chuyển vị ma trận đối xứng Phép chuyển vị : - “Chuyển” di chuyển , “ Vị” vị trí - Phép chuyển vị phép di chuyển vị trí Nói rõ chuyển vị trí hàng cho cột ; Hàng  Cột - Nếu ma trận gốc A ma trận chuyển vị ký hiệu 𝐴𝑡 - Tương tự Nếu ma trận gốc B ma trận chuyển vị ký hiệu 𝐵𝑡 𝑃ℎé𝑝 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ị A= (7 5) → 𝐴 = (2 8) 6 𝑡 Nhìn vào biển đổi ta nhận thấy hàng A ( ; ; 6) chuyển thành cột 𝐴𝑡 Ma trận đối xứng II Ma trận gọi đối xứng chuyển vị ma trận gốc ma trận giống y ma trận gốc Kiểm tra xem ma trận B sau có phải ma trận đối xứng không ? B = (3 4) Đầu tiên ta thực phép chuyển vị ( Tức biến đổi hàng ma trận gốc thành cột ma trận ) 3 𝑃ℎé𝑝 𝑐ℎ𝑢𝑦ể𝑛 𝑣ị B = (3 4) → 𝐵𝑡 = (3 4) 6 Nhận thấy 𝐵𝑡 = 𝐵  B ma trận đối xứng Các phép toán ma trận Trong ma trận xét đến phép tính cộng, trừ, nhân Phép cộng hai ma trận A B - Điều kiện để cộng hai ma trận A B ma trận A B phải có kích thước Tức số hàng ma trận A = số hàng ma trận B số cột ma trận A = số cột ma trận B - Ta thực cộng hai ma trận cách cộng phần tử tương ứng với Tức phần tử ( hàng cột ) ma trận A cộng với phần tử ( hàng cột ) ma trận B 1 VD : Cho ma trận A= (3 4) B = (7 5) 1 A+B = (3 4) + (7 5) = (10 9) 12 12 Phép trừ hai ma trận A B - Điều kiện để trừ hai ma trận giống với điều kiện cộng hai ma trận - Cách trừ hai ma trận giống cộng hai ma trận 1 VD : Cho ma trận A= (3 4) B = (7 5) 1 1 −5 A-B = (3 4) − (7 5) = (−4 −4 −1) −2 −4 Phép nhân số thực với ma trận Giả sử ta nhân số thực k với ma trận A - Ma trận có kích thước ma trận cũ - Phần tử ma trận phần tử ma trận cũ vị trí tương ứng nhân với k VD : 3.A=3 (3 4) = (9 12) 12 18 Phép nhân hai ma trận Phép nhân hai ma trận hoàn toàn không giống phép cộng phép trừ hai ma trận Vậy khác chỗ + Phép nhân hai ma trận A B không đòi hỏi kích thước hai ma trận phải Tuy nhiên nhân hai ma trận có kích thước Ma trận A nhân với ma trận B phải có điều kiện Số cột ma trận A = Số hàng ma trận B VD : Ma trận có kích thước (2 x 3) nhân với ma trận có kích thước (3 x ) số cột ma trận A = số hàng ma trận B = + Kết phép nhân ma trận có kích thước (m*n) với ma trận có kích thước (n*p) ma trận có kích thước (m*p) + Trước vào nhân hai ma trận ta cần hiểu cách nhân ma trận cột với ma trận hàng VD họa Thực phép nhân hai ma trận A B A = ( ; ;4 ) Ma trận hàng B = (4) Ma trận cột À ! Đây phép nhân hai ma trận nên cần phải kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện không Ma trận A có kích thước ( hàng ; cột) , Ma trận B có kích thước ( hàng ; cột) Ta thấy số hàng ma trận A = số cột ma trận B =  Ta thực phép nhân Kết phép nhân ma trận có kích thước (1* 1) Tức ma trận gồm phần tử A.B = ( ; ;4 ) (4) = 1.5 + 3.4 + 4.6 = 41 Ở ta nhận thấy ta  Nhân phần tử thứ ma trận A với phần tử thứ ma trận B 1.5 =  Nhân phần tử thứ hai ma trận A với phần tử thứ hai ma trận B 3.4 = 12  Nhân phần tử thứ ba ma trận A với phần tử thứ ba ma trận B 4.6 = 24  Sau cộng kết lại với Ta kết phép nhân hai ma trận A.B = 5+12+24=41 Ta bắt đầu tiến hành nhân hai ma trận 3 A= (3 4) B = (2 6) Ma trận A có kích thước (3*3) Ma trận B có kích thước (3*2)  Kết ma trận A.B ma trận có kích thước (3*2) 𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 = ( 𝑐 𝑑 ) 𝑒 𝑓 Bây ta cần xác định a,b,c,d,e,f - Xác định a : Trong ma trận kết quả, a nằm tọa độ ( hàng 1, cột 1) Như giá trị a = (hàng ma trận A) * (cột ma trận B) a = ( ; ; 1) (2) = 2.3+3.2+1.2 = 14 Vì phần nhân ma trận hàng với ma trận cột nói phần nên phần viết ( ; ; 1) (2) = 14 - Xác định b : Trong ma trận kết quả, b nằm tọa độ ( hàng 1, cột 2) Như giá trị b = (hàng ma trận A) * (cột ma trận B) - Xác định c : ……………………………………………………… - Xác định d,e,f tương tự Nhận xét xem : AB = BA hay không? Trả lời: A nhân B chưa B nhân A Vì không thỏa mãn điều kiện số cột ma trận đầu số hàng ma trận sau Nhưng thỏa mãn điều kiện để B nhân A kết hai ma trận lúc III Các tính chất ma trận: - A + B = B + A - ( A + B) + C = A + ( B + C ) - k(A + B) = kA + kB - (k + l)A = kA + lA - A (B C) = (A B) C - A (B + C) = AB + AC - (A + B) C = AC + BC - 𝐴𝑚𝑥𝑛 𝐼𝑛 = 𝐴𝑚𝑥𝑛 - Ѳ 𝐴 = 𝐴 Ѳ = Ѳ - (𝐴 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡 - 𝐴 𝐴𝑡 𝐴𝑡 𝐴 ma trận đối xứng Trong tính toán có cách nhanh hiệu Vậy muốn nhanh hiệu ta phải linh hoạt việc biến đổi Ta vào xét ví dụ sau Cho hai ma trận −3 −3 −3 A= (1 6) B= ( 6) 5 Tính biểu thức sau theo nhiều cách ( Quan trọng nhiều cách để linh hoạt Hehe ) a, 𝐴2 − 𝐵𝐴 b, 𝐴2 + 𝐵𝐴 c, Tính A.B BA d, Tính 𝐴𝑡 𝐵𝑡 𝐵𝑡 𝐴𝑡 IV Định thức ma trận ( Ký hiệu det(A) | A | ) - Cho ma trận vuông cấp A = [a]  Định thức ma trận A a VD : Cho A = [1]  Định thức ma trận A det(A) = |A| = - Bên tính định thức ma trận cấp Vậy ma trận vuông cấp hai tính ?? 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 VD Định thức ma trận B= ( | = ad-bc ) det(B) = |B| = | 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 Áp dụng xem nào… Tính định thức ma trận B = ( ) 5 Det(B) = |B| = | |=2.5 – 5.7=-25 - Bắt đầu từ ma trận vuông cấp trở lên ta quan tâm đến định thức Vậy định thức ?  Mỗi phần tử có định thức tương ứng Giả sử phần tử 𝐴𝑖,𝑗 tức phần tử có tọa độ ( hàng i, cột j) Từ ma trận ban đầu ta gạch bỏ hàng i, cột j Được ma trận Định thức ma trận định thức ma trận ban đầu tương ứng với phần tử 𝐴𝑖,𝑗  Định thức ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴𝑖,𝑗 ký hiệu 𝐷𝑖,𝑗 VD cho ma trận A −3 A= (1 𝟔) Yêu cầu : Xác định định thức ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3 Tức xác định 𝐷2,3 Giải : Tọa độ phần tử 𝐴2,3 hàng cột À ta bỏ hàng cột ma trận A Ta −3 −3 A= (1 𝟔) A= (1 𝟔) 8 −3 −3 Sau bỏ ma trận ( ) Vậy định thức ( ) 5 định thức ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3 Bây ta −3 tính định thức ( ) … À tới ma trận vuông cấp hai nên −3 dễ tính | | = 2.5 – 2.(-3) = 16 Vậy 16 định thức ma trận A tương ứng với phần tử 𝐴2,3 - Ở ta tính định thức ma trận vuông cấp 1, cấp cấp 3,4, ?? Thông thường đề thi sinh viên nông nghiệp dừng lại ma trận vuông cấp Nếu có ma trận vuông cấp Vậy xét cho ma trận vuông cấp  Để tính định thức ma trận vuông cấp trở lên ta chọn hàng cột Sau xác định dấu phần tử nằm hàng ( cột) Dấu phần tử (+) tổng tọa độ hàng + cột số chẵn , (-) tổng tọa độ hàng + cột số lẻ Sau xác định định thức ứng với phần tử −3 VD : Tính định thức ma trận A= ( 𝟐) −3 Như lúc nói ta chọn hàng cột để tính định thức Để cho đơn giản dễ nhìn ta chọn cột À cột bao gồm phần ( ) −3 Bây xác định dấu phần tử Dấu mang dấu dương , -3 có dấu trừ đằng trc mang dấu (-) đâu nha Như nói lúc nãy, tổng tọa độ cột + hàng = chẵn  Dấu (+) ngược lại + Phần tử nằm ( hàng cột )  Tổng hàng + cột = + =2 ( chẵn)  Dấu (+) + Phần tử nằm ( hàng cột )  Tổng hàng + cột = + =3 ( lẻ )  Dấu (-) + Tương tự phần tử -3 mang dấu (+) Xong bước xác định dấu Ta xác định định thức tương ứng với phần tử Tức tìm 𝐷1,1 , 𝐷2,1 , 𝐷3,1 −3 A= ( 𝟐) −3 + Đi tìm 𝐷1,1 kiến thức học bên Bỏ hàng cột tính định thức ma trận ta 𝐷1,1 = −2 + Tương tự 𝐷2,1 = −21 𝐷3,1 = −18 Tổng kết ta có bảng sau Phần tử cột Dấu phần tử + Định thức tương -2 ứng với phần tử Nhân phân tử dấu 2.(-2) = -4 định thức Tổng -21 -3 + -18 -1.(-21) = 21 +(-3).(-18) = 54 - -4 + 21 + 54 = 71 Vậy định thức ma trận vuông cấp baA= ( −3 −3 Det(A) = |A| = | 𝟐 | = 71 −3 −3 𝟐) Bây bạn thử chọn cột hai, cột ba hàng , hàng … làm xem có KQ = 71 không nha Câu hỏi đặt ma trận bậc 4, bậc tính định thức Xét VD sau : Tính định thức ma trận B = ( ) À !! Là ma trận bâc Nhưng thử chọn hàng cột để tính xem Ta chọn hàng Hàng gồm phần tử ( ) Sau ta xác định dấu định thức Kết bảng sau Cột 2 Dấu + + 3 Định thức |0 6| |5 8| | 8| |0 6| Yêu cầu Nhân Tổng V 5 Tính định thức ma trận cấp Đưa dạng bậc … Các bạn tự tính làm tiếp nha … … … … Tổng = Định thức cần tìm Các tính chất định thức Giả sử có A ma trận vuông cấp n - Ma trận gồm hàng cột toàn số detA = 0 2 | |=0 4 - Đổi chỗ hai hàng hai cột ma trận A cho ta ma trận có định thức số đối ma trận cũ 3 1 5 | |= − | | 6 5 5 10 - Nếu ma trận A có hai hàng giống hai cột giống detA = 1 | | = có cột giống cột - Nếu ma trận A có hai hàng hai cột tỉ lệ với detA = 2 4 | |=0 cột lần cột 5 - Nhân hàng cột với số cộng với hàng cột khác ta ma trận Định thức ma trận định thức ma trận cũ - Chúng ta đưa thừa số k chung hàng cột - |kA| = 𝑘 𝑛 |𝐴| - |𝐴𝑘 | = |𝐴|𝑘 - |𝐴𝑡 | = |A| - |A.B| = |A|.|B| - |A+B| = |A| + |B| Những tính chất giúp bạn tính định thức cách nhanh hiệu ngồi áp dụng phương pháp cổ đại Như ta biết tính định thức ta phải chọn cột hàng Nhưng hàng cột gồm nhiều phần tử ngồi bấm máy mỏi dời tay Vậy nên ta tìm cách giảm bớt số phần tử ?? À ! Giảm bớt số phần tử không Nhưng đưa phần tử phần tử Mục đích đưa phần tử để thực phép tính ta không cần đụng đến hạng tử Việc học tính chất đặc biệt tính chất « Nhân hàng cột với số cộng với hàng cột khác ta ma trận Định thức ma trận định thức ma trận cũ » giúp cho biến đổi phần tử hàng cột phần tử trước tính định thức 11 VD : Tính định thức ma trận |A| = | 4 5 5 | Cách : Cứ ngồi làm phương pháp cổ đại  Hơi lâu … Nhưng có công mài sắt có ngày nên kim Cách : Hướng tư … Nhìn xem ma trận có hai hàng hai cột tỉ lệ với hay không Nếu tỉ lệ với det = Còn hai hàng cột tỉ lệ làm sau… Chọn hàng đưa nhiều phần tử tốt Thông thường đơn giản ta chọn hàng cột có phần tử À nhìn vào chọn cột Ta thực phép biến đổi sau để đưa nhiều phần tử cột phần tử tốt | 4 5 1 ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ | −2 ℎ1 + ℎ2 | 3 0 −4 ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ −3 ℎ1 + ℎ4 | −3 −8 −1 −4 5 −4 1 3 ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ 0 −4 | −4 ℎ1 + ℎ3 | | −3 −8 5 | Sau viết đơn giản sau : | 4 5 1 ̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ | −2 ℎ1 + ℎ2, −4ℎ1 + ℎ3, −3ℎ1 + ℎ4 | −4 | −3 −8 −1 −4 Như tới cột ma trận gồm phần tử Bây áp dụng phương pháp tính định thức cho ma trận 12 | 0 −4 −3 −8 −1 −4 | −4 3 3 = |−3 −8 2| − |−3 −8 2| + | −4 3| − | −4 −3 −8 −1 −4 −1 −4 −1 −4 −4 = |−3 −8 2| = Tự tính nha bạn ma trận cấp −1 −4 3| Còn hạng tử phía sau Đó lý đưa phần tử Mình ghi rõ ràng để bạn hiểu chất Trong thi bạn biến đổi xong ghi | 0 −4 −3 −8 −1 −4 | = |−3 −1 −4 −8 2| = Tới tính ma trận cấp thông thường −4 VI Hàng ma trận ( ký hiệu hạng ma trận A r(A) ) Trước vào khái niệm hạng ma trận ta vào khái niệm quan trọng Đó khái niệm ma trận bậc thang - Ma trận bậc thang ma trận thỏa mãn hai điểm kiện : + Điều kiện : Các hàng gồm toàn phần tử ( có ) phải nằm phía ma trận ( Hàng tầm thường) + Điều kiện : Đi từ trái qua phải : Phẩn từ khác không hàng ( có ) phải nằm bên trái phần tử khác không hàng 1 0 0 VD : A = ( B=( ) ) 0 0 0 0 0 - Hạng ma trận bậc thang số hàng không tầm thường Vậy hạng ma trận ma trận bậc thang ? Đáp : Thì ta biến đổi thành ma trận bậc thang phép biến đổi sơ cấp ( Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận ) Phép biến đổi sơ cấp bao gồm : 13  Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) cho  Nhân hàng (hoặc cột) với số khác  Nhân hàng (hoặc một) cột với số cộng với hàng ( cột khác) Ta vào VD : Tìm hạng ma trận 𝐴=( 3 5 ) 10 15 Thực phép biến đổi sau -2ℎ1 + ℎ2 -3ℎ1 + ℎ3 -3ℎ1 + ℎ4 −1 −3 Ta ma trận ( −1 −6 −1 −3 −3 ) −1 −11 −3 Mục đích đưa cột thành phần tử nhiều tốt ( Ở đưa phần tử ) Công việc đưa cột thành phần tử nhiều tốt Nhưng với điều kiện không làm biến đổi phần tử cột Như ta thực phép biến đổi sau -1ℎ2 + ℎ3 -1ℎ2 +ℎ4 −1 −3 Ta ma trận ( 0 −3 0 −3 ) −2 −8 0 Bây ta biến đổi cột cho nhiều phần tử không ảnh hưởng đến phần tử cột 2… Nhìn qua thấy cách biến đổi Tới nhận ma trận bậc thang có hạng Vì có hạng không tầm thường 14 Vậy r(A) = VII Ma trận nghịch đảo ( ma trận nghịch đảo A 𝑨−𝟏 ) Hai ma trận gọi nghịch đảo A 𝐴−1 = 𝐼 Ta có |𝐴−1 | = |𝐴| Chung quy lại câu hỏi đặt tìm ma trận nghịch đảo … Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận A trước tiên ta phải kiểm tra xem A có khả nghịch không ( tức A có ma trận nghịch đảo hay không ? ) Bước : Tính detA Nếu detA≠0 có ma trận nghịch đảo ( khả nghịch) Bước 2: Lập 𝐴𝑡 Sau lập 𝐴∗ ( 𝑀𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝑝ℎụ ℎợ𝑝 𝑐ủ𝑎 𝐴 ) 𝐴∗ có từ 𝐴𝑡 sau thay phần tử 𝐴𝑖,𝑗 𝐴𝑡 phần tử 𝐴∗𝑖,𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖,𝑗 Bước 3: 𝐴−1 = |𝐴| 𝐴∗ −3 Vậy ta vào tìm ma trận nghịch đảo A = (3 −5 −4 0) Bước : Kiểm tra xem có khả nghịch không Cứ tìm hồi cuối không khả nghịch mệt Muốn biết khả nghịch hay không tìm detA Yêu cầu đặt tìm detA Như để tìm detA ta chọn cột nhiều số vào để đỡ phải bấm máy tính Thấy cột nhiều phần tử nên chọn tính định thức theo cột detA = 1.| −5 | = 3.(-4) – 2.(-5) = -2 −4 detA ≠  Khả nghịch Khả nghịch tức có nghịch đảo  Đi tìm tiếp Bước Lập 𝐴𝑡 … Bằng cách đổi hàng thành cột Tức hàng thành cột , … A = (3 −3 −5 0) −4 𝐴 = (−3 𝑡 −5 −4) 0 15 Tiếp tục thành lập 𝐴∗ việc thay phẩn tử 𝐴∗𝑖,𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖,𝑗 với 𝐷𝑖,𝑗 định thức tương ứng với phần từ 𝐴𝑡𝑖,𝑗 −4 Khi ta có 𝐴 = ( −2 ) −2 −1 ∗ −1 Bước 3: 𝐴 −4 = 𝐴 = ( −2 ) = |𝐴| −2 −2 −1 ∗ −1 Vậy ma trận nghịch đảo ma trận A 𝐴 = −5 −3 1 −1 ( 1 −1 ( ) −5 −3 2 ) Bài tập tự luyện bạn làm giáo trình [...]... khác ta được ma trận mới Định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ » giúp cho chúng ta biến đổi các phần tử của hàng hoặc cột về phần tử 0 trước khi đi tính định thức 11 VD : Tính định thức của ma trận 1 2 |A| = | 4 3 2 4 5 5 3 2 4 5 1 5 | 6 7 Cách 1 : Cứ ngồi làm bằng phương pháp cổ đại  Hơi lâu … Nhưng có công mài sắt có ngày nên kim Cách 2 : Hướng tư duy … Nhìn xem ma trận có hai hàng... 2| = Tới đây tính ma trận cấp 3 thông thường −4 4 VI Hàng của ma trận ( ký hiệu hạng ma trận A là r(A) ) Trước khi đi vào những khái niệm hạng ma trận ta đi vào một khái niệm khá quan trọng Đó là khái niệm ma trận bậc thang - Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn hai điểm kiện : + Điều kiện 1 : Các hàng gồm toàn bộ các phần tử bằng 0 ( nếu có ) thì phải nằm ở phía dưới cùng của ma trận ( Hàng tầm thường)... Nếu ma trận A có hai hàng giống nhau hoặc hai cột giống nhau thì detA = 0 1 2 1 1 2 4 2 5 | | = 0 vì có cột 1 giống cột 3 4 5 4 6 3 5 3 7 - Nếu ma trận A có hai hàng hoặc hai cột tỉ lệ với nhau thì detA = 0 1 2 3 2 2 4 2 4 | |=0 vì cột 4 bằng 2 lần cột 2 4 5 4 8 3 5 5 6 - Nhân một hàng hoặc một cột với một số rồi cộng với một hàng hoặc một cột khác ta được ma trận mới Định thức của ma trận mới bằng định. .. 5 0 0 2 5 VD : A = ( B=( ) ) 0 0 4 6 0 0 4 6 0 0 0 0 0 0 0 9 - Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng không tầm thường của nó Vậy còn hạng của các ma trận không phải ma trận bậc thang thì sao ? Đáp : Thì ta đi biến đổi nó thành ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp ( Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận ) Phép biến đổi sơ cấp bao gồm : 13  Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột)... Ta được ma trận mới là ( 0 0 −3 0 0 0 3 6 1 −3 ) −2 −8 0 0 Bây giờ ta đi biến đổi cột 3 sao cho nhiều phần tử 0 nhất có thể nhưng không được ảnh hưởng đến những phần tử 0 của cột 2… Nhìn qua thì thấy không có cách biến đổi nào nữa Tới đây nhận được ma trận bậc thang có hạng là 3 Vì có 3 hạng không tầm thường 14 Vậy r(A) = 3 VII Ma trận nghịch đảo ( ma trận nghịch đảo của A là 𝑨−𝟏 ) Hai ma trận được... nghịch đảo của nhau nếu A 𝐴−1 = 𝐼 Ta có |𝐴−1 | = 1 |𝐴| Chung quy lại thì câu hỏi đặt ra là đi tìm ma trận nghịch đảo như nào … Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A trước tiên ta phải kiểm tra xem A có khả nghịch không đã ( tức là A có ma trận nghịch đảo hay không ? ) Bước 1 : Tính detA Nếu detA≠0 thì có ma trận nghịch đảo ( khả nghịch) Bước 2: Lập 𝐴𝑡 Sau đó lập 𝐴∗ ( 𝑀𝑎 𝑡𝑟ậ𝑛 𝑝ℎụ ℎợ𝑝 𝑐ủ𝑎 𝐴 ) 𝐴∗ có được... 1 0 −4 3 | −3 −8 2 −1 −4 4 Như vậy tới đây cột 1 của ma trận là gồm 3 phần tử 0 Bây giờ áp dụng phương pháp tính định thức cho ma trận trên 12 1 0 | 0 0 2 3 0 −4 −3 −8 −1 −4 1 3 | 2 4 0 −4 3 2 3 1 2 3 1 2 3 = 1 |−3 −8 2| − 0 |−3 −8 2| + 0 | 0 −4 3| − 0 | 0 −4 −3 −8 −1 −4 4 −1 −4 4 −1 −4 4 0 −4 3 = 1 |−3 −8 2| = Tự tính nha các bạn vì ở đây là ma trận cấp 3 rồi −1 −4 4 1 3| 2 Còn các hạng tử phía sau... trận mới Định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ - Chúng ta có thể đưa thừa số k chung của một hàng hoặc một cột ra ngoài - |kA| = 𝑘 𝑛 |𝐴| - |𝐴𝑘 | = |𝐴|𝑘 - |𝐴𝑡 | = |A| - |A.B| = |A|.|B| - |A+B| = |A| + |B| Những tính chất trên giúp bạn tính định thức một cách nhanh và hiệu quả hơn là ngồi áp dụng phương pháp cổ đại Như ta đã biết khi tính định thức ta phải chọn bất kỳ một cột hoặc một... 2 −5 −4) 0 0 15 Tiếp tục đi thành lập 𝐴∗ bằng việc thay thế các phẩn tử bằng 𝐴∗𝑖,𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖,𝑗 với 𝐷𝑖,𝑗 là định thức con tương ứng với phần từ 𝐴𝑡𝑖,𝑗 0 −4 5 Khi đó ta có 𝐴 = ( 0 −2 3 ) −2 2 −1 ∗ −1 Bước 3: 𝐴 0 −4 5 = 𝐴 = ( 0 −2 3 ) = |𝐴| −2 −2 2 −1 1 ∗ 1 −1 Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là 𝐴 = 0 2 0 1 −5 2 −3 2 1 1 −1 ( 0 2 0 1 1 −1 ( 2 ) −5 2 −3 2 1 2 ) Bài tập tự luyện các bạn làm trong... −3 Vậy giờ ta đi vào tìm ma trận nghịch đảo của A = (3 −5 2 −4 1 0) 0 Bước 1 : Kiểm tra xem nó có khả nghịch không đã Cứ đi tìm một hồi cuối cùng không khả nghịch thì mệt lắm Muốn biết khả nghịch hay không thì đi tìm detA Yêu cầu đặt ra là đi tìm detA Như vậy để tìm detA ta đi chọn cột nào nhiều số 0 vào để đỡ phải bấm máy tính Thấy cột 3 nhiều phần tử 0 nên chọn tính định thức theo cột 3 detA = 1.|