I. Giá trị riêng và vector riêng của ma trận – Chéo hóa ma trận: 1. Tìm giá trị riêng và vector riêng của một ma trận: Ví dụ: Cho ma trận . a) Xác định đa thức đặc trưng của . b) Xác định các giá trị riêng của . c) Xác định chiều và một cơ sở không gian vectơ riêng . d) Xác định một cơ sở của gồm các vectơ riêng của . Giải a) Đa thức đặc trưng của là b) Các giá trị riêng của là các nghiệm của phương trình đặc trưng . Phương trình đặc trưng có các nghiệm 3, 5. Vậy và là các giá trị riêng của ma trận . c) Với . Các véc tơ riêng của ma trận ứng với giá trị riêng là các nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
CHNG 1: GI TR RIấNG VECTOR RIấNG DNG CHUN TC JORDAN _ I Giỏ tr riờng v vector riờng ca ma trn Chộo húa ma trn: Tỡm giỏ tr riờng v vector riờng ca mt ma trn: Vớ d: ộ7 Cho ma trn A = ờ- 2ự ỳ 1ỳ ỳ ỷ a) Xỏc nh a thc c trng ca A b) Xỏc nh cỏc giỏ tr riờng l i ca A c) Xỏc nh chiu v mt c s khụng gian vect riờng E A (l i ) d) Xỏc nh mt c s S ca Ă gm cỏc vect riờng ca A Gii a) a thc c trng PA (t ) ca A l PA (t ) = t tr( A)t + det A = t 8t + 15 b) Cỏc giỏ tr riờng i ca A l cỏc nghim ca phng trỡnh c trng f A (t ) = Phng trỡnh c trng f A (t ) = cú cỏc nghim 3, Vy = v = l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A c) Vi = Cỏc vộc t riờng ca ma trn A ng vi giỏ tr riờng = l cỏc nghim khụng tm thng ca h phng trỡnh tuyn tớnh thun nht x1 + x2 = x =a x1 x2 = x2 = 2a Vy khụng gian vộc t riờng E A (3) ca A ng vi giỏ tr riờng = l E A (3) = {(a , 2a ) | a Ă } = {a (1, 2) | a Ă } = (1, 2) Vy dim E A (3) = v {(1, 2)} l mt c s ca E A (3) * Vi = Cỏc vộc t riờng ca ma trn A ng vi giỏ tr riờng = l cỏc nghim khụng tm thng ca h phng trỡnh tuyn tớnh thun nht x1 + x2 = x =a x1 x2 = x2 = a Vy khụng gian vộc t riờng E A (5) ca A ng vi giỏ tr riờng = l E A (5) = {(a, a ) | a Ă } = {a (1, 1) | a Ă } = (1, 1) Vy dim E A (5) = v {(1, 1)} l mt c s ca E A (5) d) t S = {(1, 2),(1, 1)} gm cỏc vộc t riờng ca A c lp tuyn tớnh Ă Do ú S l mt c s ca Ă Bi tp: ộ- ờ 1) Cho ma trn A = ờ- - - 2ự ỳ 0ỳ ỳ ỳ 3ỳ ỷ a) Xỏc nh a thc c trng ca A b) Xỏc nh cỏc giỏ tr riờng l i ca A c) Xỏc nh chiu v mt c s khụng gian vect riờng E A (l i ) d) Xỏc nh mt c s S ca Ă gm cỏc vect riờng ca A Hng dn: Sinh viờn lm tng t nh vớ d ộ1 ờ0 2) Cho ma trn A = ờ1 ờ1 1 1 1 1ự ỳ 1ỳ ỳ 0ỳ ỳ 1ỳ ỳ ỷ a) Xỏc nh a thc c trng fA (t ) ca A b) Xỏc nh cỏc giỏ tr riờng l i ca A c) Xỏc nh chiu v mt c s khụng gian vect riờng E A (l i ) d) Xỏc nh mt c s S ca Ă gm cỏc vect riờng ca A Hng dn: Sinh viờn lm tng t vớ d a thc c trng PA (t ) ca A l t 1 t 1 PA (t ) = det( A tI ) = = (t 1) (t + 1)(t 3) 1 t 1 t Chng minh cỏc tớnh cht i vi giỏ tr riờng v vector riờng: 1) Cho l giỏ tr riờng ca A M n ( K ) , K v k Ơ Chng minh rng a) l giỏ tr riờng ca ma trn A b) k l giỏ tr riờng ca ma trn Ak c) + l giỏ tr riờng ca ma trn A + I d) f ( ) l giỏ tr riờng ca ma trn a thc f ( A) Hng dn: a) Do l giỏ tr riờng ca A M n ( K ) nờn tn ti v K n cho Av = v ( A ) v = ( Av) = v = ( ) v Vy l giỏ tr riờng ca ma trn A k k k k k b) Ta cú A v = A ( Av ) = A ( v ) = A (v) = = v Vy k l giỏ tr riờng ca ma trn Ak c) Ta cú ( A + I )v = Av + Iv = v + v = ( + )v Vy + l giỏ tr riờng ca ma trn A + I n n n i =1 i =1 i =1 i i i d) Gi s f (t ) = t K [t ] Khi ú, f ( ) = , f ( A) = A n n n i =1 i =1 n i i i i V f ( A)v = A ữv = ( A v ) = ( v ) = ữv = f ( )v i =1 i =1 Vy f ( ) l giỏ tr riờng ca f (A) Sinh viờn cho vớ d minh cho nhng kt qu trờn 2) Cho l giỏ tr riờng ca A M n ( K ) Chng minh rng a) Nu A kh nghch thỡ l giỏ tr riờng ca ma trn A1 b) Nu A kh nghch thỡ + l giỏ tr riờng ca ma trn A + A1 Hng dn : a) Vỡ A kh nghch nờn Ta cú, A1v = A1 ( v ) = A1 Av = 1v Vy Nu A kh nghch thỡ l giỏ tr riờng ca ma trn A1 b) Vỡ A kh nghch nờn A1v = 1v Khi ú, ta cú ( A + A1 )v = Av + A1v = v + 1v = ( + )v Nu A kh nghch thỡ + l giỏ tr riờng ca ma trn A + A1 Sinh viờn tỡm cỏc vớ d minh cho nhng kt qu trờn 3) Cho A l ma trn vuụng cp n trờn K v , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca nú Chng minh rng det A = 12 L n Hng dn: Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca A nờn , ,, n l cỏc nghim ca a thc c trng f A (t ) Do ú, f A (t ) = det( A I ) = (1) n (t )(t ) (t n ) Ly t = 0, ta cú: det A = f A (0) = (1) n (0 )(0 ) (0 n ) = 12 n Sinh viờn tỡm cỏc vớ d minh cho nhng kt qu trờn 4) Cho A l ma trn vuụng cp n trờn K v , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca nú Chng minh rng a) det( A) = n 12 L n b) det Ak = 1k 2k L nk c) det( A + I ) = (1 + )(2 + )L (n + ) d) det f ( A) = f (1 ) f (2 )L f (n ) Hng dn: a) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A Do ú det(A) = (1 )( )L ( n ) = n1 L n Sinh viờn cho vớ d minh b) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn 1k , k2 ,, kn l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn Ak Do ú det Ak = 1k 2k L kn c) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn + , + , n + l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A + I Do ú det( A + I ) = (1 + )( + )L ( n + ) d) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn f (1 ), f ( ),, f ( n ) l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn f ( A) Do ú det f ( A) = f (1 ) f ( )L f ( n ) Sinh viờn cho cỏc vớ d minh 5) Cho A l ma trn vuụng cp n trờn K v , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca nú Chng minh rng a) Nu A kh nghch thỡ det A1 = 1121 L n1 b) Nu A kh nghch thỡ det( A + A1 ) = (1 + 11 )(2 + 21 )L (n + n1 ) c) Nu K khụng l giỏ tr riờng ca A thỡ ma trn A I kh nghch v n det( A I ) = i =1 i Hng dn: a) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn 11 , 21 ,, n1 l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A1 Do ú det A1 = 11 21 L n1 b) Do , ,, n l cỏc giỏ tr riờng A nờn + 11 , + 21 ,, n + n1 l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A + A1 Do ú det( A + A1 ) = (1 + 11 )( + 21 )L ( n + n1 ) c) Do khụng l giỏ tr riờng ca A nờn nh thc ca ma trn A I khỏc Vy A I kh nghch Theo gi thit , ,, n l cỏc giỏ tr riờng ca A nờn , , , n l cỏc giỏ tr riờng ca ma trn A I v ú (1 ) ,( ) , ,( n ) l cỏc giỏ tr riờng ca ( A I ) n n i =1 i =1 1 Vy det( A I ) = ( i ) = i Sinh viờn cho vớ d minh Chộo húa ma trn: Cỏch chộo húa mt ma trn: Cho A l mt ma trn vuụng cp n chộo húa ma trn A ta lm nh sau: Tỡm cỏc giỏ tr riờng v cỏc vector riờng c lp tuyn tớnh ca A, bng cỏch tỡm a thc c trng, gii phng trỡnh c trng tỡm cỏc giỏ tr riờng sau ú ng vi tng giỏ tr riờng tỡm cỏc vector riờng Khi ú xy mt hai kh nng sau: TH1: Nu tng s vector riờng c lp tuyn tớnh ca A hn n thỡ kt lun A khụng chộo húa c TH2: Nu tng s vector riờng c lp tuyn tớnh ca A bng n thỡ kt lun A chộo húa c Khi ú ma trn P cn tỡm l ma trn m cỏc ct ca nú l cỏc vector riờng c lp tuyn tớnh ca A vit theo ct v ú l ma trn chộo ú cỏc l cỏc giỏ tr riờng ca A ng vi P AP = i n vector riờng l vector ct th i ca ma trn P Vớ d: Chộo húa ma trn sau: 1 A = 1 1 Hng dn: a thc c trng ca ma trn A l: PA ( ) = 1 PA ( ) = + + = = 1, = Vy ma trn A cú hai giỏ tr riờng l = 1, = ng vi = , gii h pt: 1 1 1 0 0 1 0 0 1 = + + x1 = t2 t3 H cú vụ s nghim ph thuc hai tham s ] x2 = t2 Ă x = t Ă 3 Khụng gian riờng ng vi giỏ tr riờng = l E ( 1) = {(t2 t3 , t2 , t3 ) | t2 , t3 Ă } C s ca E(-1) gm hai vector = (1,1, 0); = ( 1, 0,1) ng vi giỏ tr riờng = , tỡm vector riờng ta gii h pt: 1 1 1 1 3 3 1 1 3 0 0 H cú vụ s nghim ph thuc tham s x1 = t x2 = t x = t Ă Do ú, khụng gian riờng ca A ng vi giỏ tr riờng = l E (2) = { (t , t , t ) | t Ă } C s ca E (2) gm vector = (1,1,1) Nhn xột: Cỏc vector , , c lp tuyn tớnh nờn ma trn A chộo húa c Khi ú, tn ti ma trn kh nghch P cho P AP = D vi D l ma trn chộo 1 0 P = 1 v D = 1 0 Bi tp: Cho ma trn A = Hi ma trn A cú chộo húa c khụng? Tỡm ma trn C 0 lm chộo húa A (nu cú) Hng dn: SV Lm tng t nh vớ d Cho A, B v P l cỏc ma trn cho A = PBP Chng minh rng Ak = PB k P vi mi k Ơ Hng dn: S dng tớnh cht Ak = PBP 1.PBP PBP (k ln) v P.P = I Sinh viờn cho vớ d minh 3 Cho ma trn A = a) Xỏc nh a thc c trng v cỏc giỏ tr riờng ca A b) Xỏc nh mt c s ca khụng gian vector riờng tng ng c) Chng t rng A chộo húa c Tỡm mt ma trn kh nghch P v ma trn ng chộo D cho A = PDP d) Tớnh Ak vi mi s nguyờn dng k Hng dn: Cỏc cõu a); b); c) lm tng t nh cỏc vớ d ti liu Cõu d) ỏp dng tớnh cht ca bi 2.(Tc l A = PDP thỡ Ak = PD k P ) 2 Cho ma trn A = 2 a) Xỏc nh a thc c trng v cỏc giỏ tr riờng ca A b) Xỏc nh mt c s ca khụng gian vector riờng tng ng c) Chng t rng A chộo húa c Tỡm mt ma trn kh nghch P v ma trn ng chộo D cho A = PDP d) Tớnh Ak vi mi s nguyờn dng k Hng dn: Lm tng t nh bi 12 Cho ma trn A = , u1 = , u2 = Chng minh rng u1 , u2 l cỏc vector riờng ca A Hóy tỡm mt ma trn kh nghch P v ma trn ng chộo D A = PDP Hng dn: chng minh u1 , u2 l cỏc vector riờng ca A thỡ cn tỡm cỏc giỏ tr ; cho Au1 = 1u; Au2 = 2u Khi ú, ma trn ng chộo D cú dng diag (1 , ) Cho ma trn vuụng cp A cú cỏc giỏ tr riờng l 5, 3, -2 Gi s khụng gian vector riờng ng vi giỏ tr riờng = cú chiu l Hi ma trn A cú chộo húa c khụng? Hng dn: Da vo iu kin chộo húa c ca ma trn Hóy xỏc nh a thc c trng v mt c s khụng gian vector riờng ca cỏc ma trn sau Trong s cỏc ma trn sau õy ma trn no chộo húa c, ú hóy tỡm ma trn kh nghch P v ma trn ng chộo D cho A = PDP a) 1 b) 2 12 10 Xỏc nh a thc c trng ca ma trn sau trờn Ă a b c d a b b a d c A = a c v B = c d a b b c a d c b c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chộo húa cỏc ma trn sau (nu c) 1 16 2 2 2 1 1 1 3 0 0 1 3 10 Cho ma trn A trờn trng s thc Ă nh sau A= 0 0 a) Tớnh det A b) Tớnh det( A I ) vi Ă c) Tớnh det f ( A) bit rng f ( x) = x n + x Hng dn: a) a thc c trng ca A l : (t 5) (t 6)(t 7) Giỏ tr riờng l 5, 6, detA= 5.5.6.7 = 1050 b) a thc det( A I ) = (5 )(5 )(6 )(7 ) = (5 ) (6 )(7 ) c) det f ( A) = f (5) f (5) f (6) f (7) = (5n + 24) (6 n + 35)(7 n + 48) 1 11 Chộo hoỏ ma trn A = trờn Ă v Ê 1 13) Chộo hoỏ ma trn A = 1 14) Chộo húa ma trn A = 1 1 15) Cho ma trn A = 16 a) Chộo hoỏ ma trn A 1 12 1 b) Hóy tớnh lu tha ma trn An 16) Cho ma trn A = 16 12 a) Hóy tớnh a thc ma trn f ( A) , ú f (t ) = t n + t Ă [t ] b) Hóy tỡm mt ma trn B trờn trng s thc Ă cho B = A ộ2 0ự ỳ ờ0 0ỳ A = 17) Cho ma trn ỳ ỳ 2ỳ ỷ a) Chộo húa A n ộ2 0ự ộa (n ) a (n ) a (n ) ự 12 13 ỳ 11 ỳ ỳ b) t ờ0 0ỳ = ờa 21(n ) a 22 (n ) a 23 (n )ỳ ỳ ỳ ỳ 2ỳ ờa 31(n ) a 32 (n ) a 33 (n )ỳ ỷ ỷ Tớnh nlim đƠ a 22 (n ) a 32 (n ) v S = ồa i =1 i =1 ij (n ) Hng dn: 0 t A = Tớnh An bng cỏch chộo hoỏ ma trn A * a thc c trng f A (t ) ca ma trn A l f A (t ) = (t 2)(3 t ) Gii phng trỡnh c trng f A (t ) = , ta nhn c cỏc nghim phõn bit 2,3 Do ú cỏc giỏ tr riờng phõn bit ca ma trn A l t = 2,3 * Vi t = , ta cú E A (2) = (1,0,0),(0,0,1) v c s S1 = {v1 = (1,0,0), v2 = (0,0,1)} Vi t = , ta cú E A (1) = (0,1,1) v c s S = {v3 = (0,1,1)} * Do S = S1 S2 S3 = {v1 , v2 , v3} nờn ma trn A chộo hoỏ c v D = P AP , ú ma trn kh nghch P vi cỏc ct l cỏc vộc t riờng v1 , v2 , v3 v ma trn ng chộo D vi cỏc phn t trờn ng chộo chớnh 2,2,3 tng ng vi cỏc vộc t riờng v1 , v2 , v3 0 0 P = [v1 v2 v3 ] = 0 v D = diag(2, 2,3) = 1 0 A = PD P n n 1 0 = 0 1 2n =0 3n 3n n 0 2n a22 (n) 3n = lim n = n a ( n) n n 32 a) Ta cú a22 ( n) = 3n , a32 (n) = 3n 2n v ú lim 3 n n n n n n n b) Ta cú S = aij (n) = + + + = + 2ã3 i =1 i =1 II Tỡm giỏ tr riờng vector riờng -Tỡm c s ca khụng gian vector V ma trn ca mt phộp bin i tuyn tớnh f c s ú l ma trn chộo Vớ d: Cho T l toỏn t tuyn tớnh trờn Ă xỏc nh bi T ( x1 , x2 , x3 ) = (2 x1 + x2 + x , x1 x2 x3 ,3x1 + x2 + x3 ) Hóy xỏc nh cỏc giỏ tr riờng v vector riờng ca T Gii Ma trn ca toỏn t tuyn tớnh trờn Ă i vi c s chớnh tc ca Ă l: A = 3 a thc c trng ca ma trn A l f A (t ) = t 3t + = (t 1)(t + 2) Gii phng trỡnh c trng f A (t ) = ta c cỏc nghim l t = v t = Vy ma trn A cú hai giỏ tr riờng l = 1; = Khi tỡm c s ca cỏc khụng gian riờng E A (1) v E A (1) ta c: C s ca E A (1) l u1 = v c s ca E A (2) l u2 = Vy f khụng chộo húa c Chỳ ý: nghiờn cu mt phộp bin i tuyn tớnh f : V V , ta quy v vic nghiờn cu ma trn ca f T ú dn n vic cn tỡm c s ma trn ca f c s ú l ma trn chộo tỡm c s ny ta thc hin nh sau: - u tiờn ta tỡm cỏc vector riờng c lp tuyn tớnh ca f - Nu f cú ớt hn n vector riờng c lp tuyn tớnh (chỳ ý dim V = n) thỡ khụng cú c s no ca f ma trn ca f c s ú l ma trn chộo - Nu f cú ỳng n vector riờng c lp tuyn tớnh thỡ n vector riờng ú lm thnh c s B ca V m ma trn A ca f c s B ú l ma trn chộo C th: a thc c trng c cho bi phng trỡnh S (a+d) c gi l vt A (denoted tr(A)), v rừ rng s (ad-bc) l nh thc ca A Nờn a thc c trng ca A cú th c vit li nh sau Cho giỏ tr ca ma trn B = A2 - tr(A) A + det(A) I2 Ta cú Ta dn n Núi cỏch khỏc, ta cú Phng trỡnh ny c gi l nh lớ Cayley-Hamilton Nú ỳng cho mi ma trn vuụng cú cp tựy ý ú l a thc c trng ca A Ta cú mt s tớnh cht ca cỏc giỏ tr riờng ca mt ma trn nh lớ Cho A l ma trn vuụng cp n Nu l giỏ tr riờng ca Am, vi l mt giỏ tr riờng ca A, thỡ: Nu A kh nghch, thỡ l giỏ tr riờng ca A-1 A khụng kh nghch nu v ch nu l mt giỏ tr riờng ca A Nu l mt s tựy ý, thỡ l mt giỏ tr riờng ca Nu A v B l ng dng nhau, then they have thỡ chỳng cú cựng a thc c trng (iu ny ón n cú cựng giỏ tr riờng) Cõu hi t nhiờn tip theo l tỡm vect riờng Trong phn tip theo s tho lun v tỡm vect riờng Tớnh vect riờng Co ma trn A vuụng cp n v Ta phi cú l mt giỏ tr riờng ca nú X l vect riờng ca A ng vi õy l h phng trỡnh tuyn tớnh vi ma trn h s l Bi vỡ vect alf mt nghim, h ny cú nghim Tht vy, ta s cp trang khỏc l ccu trỳc nghim ca h l phong phỳ Trong phan ny ta tho lun cú bn l tỡm nghime Nhn xột Khỏ d dng thy rng nu X l mt vect tha , thỡ vect Y = c X (cho mi s c tựy ý) tha cựng phng trỡnh Núi cỏch khỏc, nu ta bit X l mt vect riờng, thỡ cX cng l mt vect tng ng vi cng vect riờng Chỳng ta bt u vi mt vớ d Vớ d Xột ma trn Trc ht ta tỡm giỏ tr riờng ca A Chỳng l nghim ca a thc c trng Suy Nu ta khai triờn nh thc ny theo ct th ba, ta c S dng bin i i s, ta cú dn n cỏc giỏ tr rieneg ca A l 0, -4, v Tip theo ta tỡm cỏc vect riờng Trng hp : Vect riờng tng ng c cho bi h phng trỡnh tuyn tớnh iu ny cú th c vit li bi Cú nhiu cỏch gii h phng trỡnh ny Phng trỡnh th ba l ng nht vi phng trỡnh u Vỡ vy, t phng trỡnh th hai, ta cú y = 6x, phng trỡnh u dn n 13x + z = Nờn h ny tng ng vi Do ú vect X c cho bi Vỡ vy, bt kỡ giỏ tr riờng X ca A tng ng vi giỏ tr riờng c cho bi ú c l mt s tựy ý Trng hp : Vect riờng tng ng c cho bi h iu ny cú th c vit li Trong trng hp ny, ta s dng phng phỏp kh gii Tc ht ta xột ma trn b sung , ú l Ta s dng phộp bin i trờn dũng nhn c ma trn chộo Chuyn i cỏc dũng cho ta c Tip, ta ly dũng u nhõn vi cng vo dũng th hai, nhõn vi ri cng vo dũng ba Thu c Nu gin c dũng th hai cho 8, dũng th ba cho 9, ta c Cui cựng, tr dũng th hai cho dũng th ba Tip, ta t z = c T dũng th hai, nhn c y = 2z = 2c dũng u nhn c x = -2y+3z = -c Do vy Vỡ th, bt kỡ vect riờng X ca A tng ng vi giỏ tr riờng -4 c cho bi ú c l mt sú bt kỡ Trng hp : Gii chi tit dnh cho bn c S dng mụ t tng t trờn, mt vect riờng X of A tng ng vi c cho bi ú c l mt s bt kỡ Nhn xột Tng quỏt, giỏ tr riờng ca ma trn l tt c cỏc nghim phõn bit ca phng trỡnh c trng Vớ d Xột ma trn Phng trỡnh c trng ca A cho bi Do ú giỏ tr riờng ca A l -1 v Vi giỏ tr riờng 8, d thy rng bt kỡ vect riờng X c cho bi ú c l mt s tựy ý Ta trung vo giỏ tr riờng -1 Vect riờng tng ng c cho bi h iu ny c vit li Rừ rng, phng trỡnh th ba v hai tng ng vi phng trỡnh u Núi cỏch khỏc h ny, h ny tng ng vi mt phng trỡnh 2x+y + 2z= gii nú, ta chn hia s c nh trc v tỡm s th ba Vớ d, nu ta t ta c cho bi v Do ú, bt kỡ vect riờng X ca A tng ng vi giỏ tr riờng -1 , Núi cỏch khỏc, vi mi vect riờng X ca A ng vi giỏ tr riờng -1 l tụe hp tuyn tớnh ca hai vect trờn Vớ d Xột ma trn Phng trỡnh c trng cho bi Do ú ma trn A cú mt giỏ tr riờng -3 Ta tỡm vect riờng tng ng Chỳng c cho bi h phng trỡnh tuyn tớnh c vit li nh sau H ny tng ng vi mt phng trỡnh nht ca h x - y = Nờn nu t x = c, thỡ bt kỡ vect riờng X ca A tng ng vi giỏ tr riờng -3 c cho bi Tng kt li cỏc vớ d trờn Túm tt: Cho A l ma trn vuụng cp n Gi s riờng tng ng, ta lm cỏc bc sau: l mt giỏ tr riờng ca A tỡm vect Vit h phng trỡnh tng ng Gii h phng trỡnh Vit li vect X di dng t hp tuyn tớnh ca cỏc vect bit Trong cỏc vớ d trờn, gi s rng cỏc giỏ tr riờng l s thc Tng quỏt, this is not the case except for symmetric matrices.Chng minh iu ny l phc tp, ch d dng vi ma trn vuụng cp Xột ma trn vuụng i xng Phng trỡnh c trng ca nú õy l phng trỡnh bc hai Nghim ph thuc vo du ca nh thc Bin i i s ta c Do ú, l mt s dng, suy giỏ tr riờng ca A l nng s thc Nhn xột Chỳ ý rng ma trn A cú mt giỏ tr riờng, ú l nghim kộp ca phng trỡnh, nu v ch nu Nhng iu ny ch cú th a=c v b=0 Núi cỏch khỏc, Ta cú A = a I2 Phn tip theo s tho lun v giỏ tr riờng phc TRNG HP GI TR RIấNG PHC Trc tiờn, ta chng t rng tn ti ma trn vi cỏc giỏ tr riờng phc Vớ d Hóy xột ma trn Phng trỡnh c trng c cho bi Phng trỡnh bc hai ny cú nghim phc c cho bi Vỡ vy ma trn ch cú giỏ tr riờng phc Bớ quyt l chỳng ta xem cỏc giỏ tr riờng phc nh l s thc Ngha l chỳng ta xem nú nh l mt s v lm cỏc tớnh toỏn bỡnh thng cho cỏc vect riờng Ta hóy xem nú c tớnh toỏn nh th no Vi , cỏc vect riờng tng ng c cho bi h phng trỡnh tuyn tớnh tớnh A X = (1+2i) X Cú th vit li nh sau Thc ra, hai phng trỡnh trờn l ng nht vỡ (2+2i)(2-2i) = Vỡ vy, h phng trỡnh gim xung cũn mt phng trỡnh (1-i)x - y = t x=c, ú y=(1-i)c Do ú, ta cú ú c l mt s tựy ý Nhn xột Rừ rng l mong i cú cỏc phn t phc cỏc vect riờng Chỳng ta thy rng (1-2i) cng l mt giỏ tr riờng ca ma trn trờn Vỡ cỏc phn t ca ma trn A l s thc, ú ta d dng ch rng nu l mt giỏ tr riờng phc thỡ liờn hp ca nú cng l mt giỏ tr riờng Hn na, nu X l mt vect riờng ca A tng ng vi giỏ tr riờng , ú vector , cú c t X bng thay s phc liờn hp ca cỏc phn t ca X, l mt vect riờng ng vi giỏ tr riờng trờn ng vi giỏ tr riờng (1-2i) c cho bi Vỡ vy, cỏc vect riờng cỏc ma trn A ú c l mt s tựy ý Chỳng ta túm tt li nhng gỡ ó lm vớ d trờn Túm tt: Cho A l mt ma trn vuụng Gi s l mt giỏ tr riờng phc ca A tỡm cỏc vect riờng tng ng, ta lm theo cỏc bc sau õy: Vit h phng trỡnh tuyn tớnh tng ng Gii h phng trỡnh Cỏc phn t ca X s l nhng s phc Vit li vect X l t hp tuyn tớnh ca cỏc vect cha bit vi cỏc phn t l s phc Nu A cú phn t l s thc thỡ s phc liờn hp cng l mt giỏ tr riờng Cỏc vect riờng tng ng c cho bi cỏc phng trỡnh tng ng, c tỡm thy 3, ta ly liờn hp ca cỏc phn t ca vect ri t hp tuyn tớnh li Núi chung, mt ma trn vuụng vi cỏc phn t l nhng s thc cú th cú giỏ tr riờng phc iu ny l bỡnh thng Ta cú th t cõu hi liu cú tn ti lp cỏc ma trn ch cú giỏ tr riờng thc iu ny ch ỳng vi ma trn i xng Chng minh rt k thut v c trỡnh by mt trang khỏc Nhng i vi ma trn vuụng cp 2, chng minh l khỏ d Chỳng ta s trỡnh by di õy Xột ma trn vuụng i xng Phng trỡnh c trng ca nú c cho bi õy l mt phng trỡnh bc hai Nghim ca nú (l nhng giỏ tr riờng ca A) ph thuc vo cỏc du hiu ca bit thc S dng cỏc thao tỏc i s, ta cú Vỡ l mt s dng nờn ta suy cỏc giỏ tr riờng ca A l cỏc s thc Nhn xột Lu ý rng ma trn A s cú mt giỏ tr riờng, tc l phng trỡnh c trng cú nghim kộp, nu v ch nu Nhng iu ny ch xy nu a = c v b = Núi cỏch khỏc, ta cú A = a I2 Chộo húa Ma trn Khi gii thiu v cỏc giỏ tr riờng v cỏc vect riờng , ta s t cõu hi no thỡ ma trn vuụng ng dng tng ng vi ma trn chộo? Núi cỏch khỏc, cho trc mt ma trn vuụng A, cú tn ti mt ma trn chộo D cho ? (tc l cú tn ti mt ma trn P -1 kh nghch cho A = P DP) Núi chung, mt s ma trn khụng tng t nh ma trn ng chộo Vớ d, ta xột ma trn Gi s tn ti mt ma trn chộo D cho A = P-1DP Ta cú tc l ng dng vi Vỡ vy, chỳng cú cựng mt phng trỡnh c trng Do ú A v D cú cựng mt giỏ tr riờng Vỡ cỏc giỏ tr riờng ca D l cỏc s trờn ng chộo, v giỏ tr riờng nht ca A l 2, nờn ta phi cú Nh vy ta cú, A = P-1DP = I2, iu ny l vụ lý Do ú, A khụng ng dng vi ma trn chộo nh ngha Mt ma trn chộo húa c nu nú l ng dng vi mt ma trn chộo Nhn xột mc trc, ta ó thy rng cỏc ma trn cú ba giỏ tr riờng khỏc V ta cng ó chng minh A l chộo húa c Trong thc t, cú mt kt qu chung dc theo nhng dũng nh lý Cho A l mt ma trn vuụng cp n Gi s rng A cú n giỏ tr riờng phõn bit Khi ú A l chộo húa c Hn na, nu P l ma trn vi cỏc ct C1, C2, , v Cn l n vect riờng ca A, ú ma trn P-1AP l ma trn chộo Núi cỏch khỏc, ma trn A l chộo húa c Bi toỏn: iu gỡ s xy vi cỏc ma trn vuụng cp n cú ớt hn ớt hn n giỏ tr riờng? Chỳng ta cú cõu tr li mt phn cho bi toỏn ny nh lý Cho A l mt ma trn vuụng cp n bit c liu A cú chộo húa c khụng, chỳng ta lm cỏc bc sau: Ghi li cỏc a thc c trng Phõn tớch thnh nhõn t p( ) Trong bc ny, ta cú ú, mi , i = 1, , k , cú th l s thc hoc s phc Vi mi i, ly tha ni c gi l s bi (i s) ca giỏ tr riờng Vi mi giỏ tr riờng, tỡm cỏc vect riờng tng ng Chng hn, vi cỏc giỏ tr riờng , cỏc vect riờng tng ng c cho bi h phng trỡnh tuyn tớnh Sau ú gii h trờn, ta s tỡm c vect X cha bit di dng t hp tuyn tớnh ca cỏc vect, tc l , ú, , j = 1, , m l cỏc hng s tựy ý S nguyờn mi c gi l s bi hỡnh hc ca Nu vi mi giỏ tr riờng s bi i s bng s bi hỡnh hc, ú ta cú iu ny suy nu ta t cỏc vect riờng C, tỡm c 3., cho tt c cỏc giỏ tr riờng, ta s cú ỳng n vect t P l ma trn vuụng cp n m cỏc ct l cỏc vect riờng C Khi ú P l kh nghch v l mt ma trn chộo vi cỏc phn t trờn ng chộo l cỏc giỏ tr riờng ca A V trớ ca cỏc vect C P ng nht vi v trớ ca cỏc giỏ tr riờng tng ng trờn ng chộo ca D iu ny suy A ng dng vi D Vỡ vy, A chộo húa c Nhn xột Nu s bi i s ni cỏc giỏ tr riờng l bng 1, ú rừ rng l chỳng ta cú mi = Núi cỏch khỏc, ni = mi Nu cú giỏ tr riờng no m s bi i s khụng bng s bi hỡnh hc, ú A khụng chộo húa c Vớ d Ta xột ma trn bit c liu A cú chộo húa c khụng, chỳng ta thc hin theo cỏc bc nh trờn a thc c trng ca A l Nh vy, -1 l mt giỏ tr riờng vi s bi l v -2 l mt giỏ tr riờng vi s bi l bit c liu A cú chộo húa c khụng, ta ch quan tõm n giỏ tr riờng -1 Tht vy, cỏc vect riờng tng ng vi giỏ tr riờng -1, c cho bi h H ny gim xung cũn mt phng trỡnh -y + z = t ta cú v y = , ú Vỡ s bi hỡnh hc ca -1 l bng s bi i s ca nú Vỡ vy, ma trn A l chộo húa c tỡm P ma trn, chỳng ta cn phi tỡm vect riờng ng vi giỏ tr riờng -2 H phng trỡnh tng ng l gim xung thnh h t , ú ta cú t ú Nhng nu ta t ú Chỳng ta thy rng nu A v B l ng dng, ú An cú th biu din d dng qua Bn Tht vy, nu ta cú A = P-1BP, ú ta s cú An = P-1BnP c bit, nu D l mt ma trn chộo thỡ Dn d dng tớnh c õy l mt nhng ng dng ca s chộo húa ma trn Trong thc t, cỏc bc gii trờn cú th c s dng tỡm cn bc hai v cn bc ba ca mt ma trn Tht vy, xột ma trn trờn t ú Do ú A = P D P-1 t Khi ú ta cú B3 = A Núi cỏch khỏc, B l mt cn bc ba ca A [...]... 3 ma trận 1 + ,A 2 , , , , z 2,r +1A 2 , z 2,r +2 A 2 , ,z 2 n A 2 ữ+ L + { ữ 1 44 2 4 43 1 2 3 14 2 43 cột n đầu cột r+1 cột r+2 1 4 4r cột 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 43 ma trận 2 + , , , ,A r , z r,r +1A r , z r,r +2 A r , ,z rn A r ữ { ữ Theo nhn xột: mi ma trn trong s 1 44 2 4 43 1 2 3 1 2 3 cột n đầu cột r+1 cột r+2 1 4 4r cột 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 43 ma trận r tng ca r ma. .. rng: Nu ma trn vuụng A cú A 2 = thỡ cỏc ma trn A + E và A E l nhng ma trn khụng suy bin 9.8 nh thc cp n s thay i th no nu: a/ i du tt c cỏc phn t ca nú b/ Vit cỏc ct (hay cỏc dũng ca nú) theo th t ngc li 9.9 Cho A l ma trn vuụng cp n v nu det A = det( kA ) Hóy tớnh k 9.12 Chng minh rng: Nu det A = 2 thỡ cỏc phn t ca ma trn nghch o khụng th gm ton cỏc s nguyờn 1 2 4 5 7 0 9.16 Cho cỏc ma trn... trn thỡ det A 0 9.5 Do B l ma trn khụng suy bin nờn tn ti B 1 Xột ma trn ghộp (A B 1) , nhõn vo bờn trỏi ca ma trn ny vi B, ta c B (A B 1) = (B.A B.B 1) = ( B.A E) ú chớnh l phộp kh ton phn thc hin trờn ma trn B 1 nú l cỏc phộp bin i s cp thc hin trờn ma trn A c B.A rank(B A) = rankA chng minh rank(A.B) = rankA , ta ly chuyn v B , (B 1) và A = (a ji ) nìm Xột ma trn (A (B1)) , nhõn vo bờn... phộp bin i s cp thc hin trờn mt ma trn khụng l thay i hng ca ma trn ú ( ) 9.5 Cho A = a ij mìn , B l ma trn vuụng khụng suy bin cp m Chng minh rng rank(B A) = rankA ( ) Cũn nu A = a ij mìn , B l ma trn vuụng khụng suy bin cp n thỡ rank(A.B) = rankA Cũn ( ) nu A = a ij nìn , B l ma trn vuụng khụng suy bin cp n thỡ rank(A.B) = rank(B.A) = rankA 9.6 Nu A v B l cỏc ma trn vuụng cp n cú A.B = B.A thỡ:... ca ma trn l c lp tuyn tớnh Gi s ngc li h vộc t dũng (hoc ct) ca ma trn l ph thuc tuyn tớnh, theo h qu 9.3.5 thỡ det A = 0 , mõu thun vi gi thit Mõu thun ú chng t h vộc t dũng (hoc ct) ca ma trn l c lp tuyn tớnh iu kin : Gi s h n vộc t dũng (hoc ct) ca ma trn l c lp tuyn tớnh, theo nh ngha ca hng ca h vộc t thỡ rank( A1 , A2 , , A n ) = n , theo nh lý 9.5.1 thỡ rankA = n , theo nh ngha hng ca ma trn... 5 v B = 34 17 4 1 2 2 119 70 11 6) Chng minh rng: a) Mi ma trn vuụng phc A u ng dng vi mt ma trn Jordan J (s ng dng ny l duy nht nu khụng k n th t ca cỏc ụ Jordan b) Mi toỏn t tuyn tớnh f trờn khụng gian phc n chiu V u cú c s Jordan, tc l c s ca V m trong ú ma trn ca f i vi c s ny l ma trn Jordan 7) Chng minh rng: a) Nu V l khụng gian vector trờn trng s phc Ê thỡ mi phộp bin i tuyn tớnh ca V u... 4 0 0 0 0 0 0 2 6 0 0 0 5 1 1 0 0 0 0 5 6 9 1 2 3 1 8 10 2 5 1 3 9.39 Tỡm ma trn nghch o ca ma trn A = 1 2 1 1 3 2 9.40 Tỡm ma trn nghch o ca cỏc ma trn: 1 2 a/ A = 1 1 2 5 4 3 1 1 2 3 1 0 0 2 B = 0 1 ; b/ 0 4 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 3 1 2 1 ; c/ C = 2 4 1 ; 1 2 2 1 1 9.41 Gii phng trỡnh ma trn: a/ AX = B 2 1 3 3 6 Vi A = 1 2 1 ; B = 2 2 1 3 2 1 0 3 1... kh nghich d) Do A ng dng vi B nờn tn ti ma trn P kh nghch A = PBP 1 Nu A kh nghch thỡ AB = ( AB )( AA1 ) = A( BA) A1 Do ú AB v BA ng dng Sinh viờn cho vớ d minh ha 3) Chng minh rng nu mt trong hai ma trn vuụng cựng cp A v B l khụng suy bin thỡ AB v BA ng dng 4) Hóy tỡm tt c cỏc ma trn vuụng cp n trờn trng s thc m ch ng dng vi chớnh nú 5) Chng minh cỏc cp ma trn sau ng dng bng cỏch chng minh rng... cỏc ma trn sau cú ma trn nghch o: 1 2 2 2 0 1 5 4 2 1 2 1 A = 3 0 A = 2 1 A = 3 1 A = ữ ữ a/ 1 3 ; d/ 3 2 2 1 1 ữ ; b/ 0 1 ữ; c/ 9.43 Dựng phng phỏp nh thc bao quanh, tỡm hng ca ma trn: 1 1 a/ A = 2 1 0 2 3 4 7 10 3 0 1 6 1 4 1ữ 8 ữ; 9ữ 10 ữ 1 0 B = 0 0 1 1 1 2 0 0 3 3 2 1 3 0 6 3 3 2 3 4 12 5 1 2 ữ 3 ữ 0ữ 2 ữ 1 ữ 9.44 Dựng cỏc phộp bin i s cp, tỡm hng ca ma. .. 3 Vector riờng ng vi giỏ tr riờng = 3 l 3 = (3, 2,1) Do f cú 3 vector riờng c lp tuyn tớnh nờn f chộo húa c v c s B = (1 , 2 , 3 ) l c s m ma trn ca f i vi c s ny cú dng chộo l: 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 Bi tp: 1 Cho toỏn t f : Ă 3 Ă 3 xỏc nh bi: f ( x1 , x2 , x3 ) = (3 x1 2 x2 , 2 x1 + 3 x2 ,5 x3 ) Toỏn t f cú chộo húa c khụng? Tỡm c s ca Ă 3 m trong c s y f cú dng chộo (nu cú) Hng dn: Tỡm ma