Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 65 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
65
Dung lượng
3,98 MB
Nội dung
Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn 2015 - 2016 (fb: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan) TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI 2: Các toán hình chữ nhật) ệ https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT - ĐỀ BÀI Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A 3;1 , C : x y Trên tia đối CD lấy điểm E cho CE=CD Biết N 6; 2 hình chiếu cuả B xuống BE Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có B d1 : x y 0, C d2 : x y Hình chiếu B lên 2 AC H Biết M ; , K 9; trung điểm AH CD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ 5 5 nhật biết xC Bài toán 3: Tr ng g c lên giác t iể y- ng tọa độ y c n c ữ n ật c điể n c iếu u ng ng tr n đư ng trung tuyến t ta ( ;3) trung điể c n iết ng tr n c n Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân t i A 1;3 iểm D thuộc AB cho AB=3AD Hình chiếu B 1 3 lên CD H Biết M ; trung điểm HC Tìm tọa độ điểm C biết B : x y 2 2 Tr ng y điể t ng tọa độ ọi c iếu u ng g c y c điể đư ng t ng n n c ữ n ật c điể tia đối tia T tọa độ điể Bài toán 6: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật y ọi điể đối ng ua đư ng t ng T tọa độ điể iết r ng (5;-4) t uộc đư ng t ng : a c iết n ( ; ) 2 c điể t uộc đư ng t ng n c iếu u ng g c Bài toán 7: Trong m t ph ng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M điểm cho MB 3MA iểm C thuộc đư ng th ng d : x y ng th ng ua DM c x y 57 Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết điểm B c ng tr n àn độ âm Bài toán 8: Trong m t ph ng tọa độ , cho hình chữ nhật có Gọi hình chiếu vuông góc lên Trên tia đối lấy điểm cho Biết ng tr n đư ng th ng diện tích ABCD =6 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết c tung độ ng ng trùng ới gốc tọa độ Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ) Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật c đư ng phân giác góc ABC ua trung điểm M c n đư ng th ng c ng tr n x y điểm D n đư ng th ng : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đỉn đư ng th ng c àn độ âm ua E (1, 2) Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn Trong m t ph ng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có Tam giác SAD tam giác vuông cân t i đỉnh S n m m t ph ng vuông góc với m t đáy Tín t ể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đư ng th ng SA BD Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong m t ph ng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C thuộc trục tung ng tr n đư ng chéo AC: 3x 4y 16 Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết r ng án ín đư ng tròn nội tiếp tam giác ABC b ng Bài toán 12: (THPT Võ Nguyên Giáp) Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vuông góc B lên AC, M N trung điểm AH BH, đ n CD lấy K cho MNCK hình bình hành 9 2 Biết M ; , K (9; 2) đỉnh B, C n đư ng th ng x y 5 5 àn độ đỉnh C lớn n T tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD x y 5 Bài toán 13: Tr ng t trung điể T tọa độ điể ng tọa độ y c n c ữ n ật iết điể c ng t ng iện tíc c ng 2 ọi ng tr n là: 2 y- Bài toán 14: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật c : 2x+y điểm I(-3;2) thuộc đ n BD cho IB=2ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết xD AD=2AB Bài toán 15: Tr ng t ng tọa độ y c n c ữ n ật đư ng tr n (C): (x 2)2 ( y 3)2 đư ng c iết c n c t đư ng tr n n trục tung Xác địn tọa độ đỉn n c ữ n ật điể c àn độ ng ta giác c iện tíc ng 10 t i điể iết đỉn Bài toán 16: Tr ng t ng ới ệ tọa độ y, cho n c ữ n ật lượt trung điể c n điể đối ng ua n ật iết t yc tung độ ng c T c tiế c ới 16 23 ( ; ) 5 àn độ ọi lần tọa độ đỉn n c ữ Bài toán 17: Xuân Trư ng Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi điểm đối x ng B qua C N hình chiếu vuông góc B MD Tam giác BDM nột tiế đư ng tròn T c ng tr n ( x 4)2 ( y 1)4 25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết ng tr n đư ng th ng CN 3x y 17 đư ng th ng tung độ âm ua điểm E (7, 0) điểm M có Bài toán 18: RƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần Trong m t ph ng với hệ to độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD AB Gọi M , N trung điểm c nh AD, BC Trên đư ng th ng MN lấy điểm K cho N trung điểm đ n th ng MK Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết K 5; 1 ng tr n đư ng th ng ch a c nh AC x y điểm A c tung độ ng Bài toán 19: (VTED) Trong m t ph ng to độ Oxyz cho hình chữ nhật ABCD Gọi c n đư ng cao h t đỉnh A lên BD E, F trung điểm ng th ng ua F uông góc với AE có https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn ng tr n -4y+5=0 Tìm to độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết điểm A thuộc đư ng th ng ∆:x + y – = Bài toán 20: (tạp chí toán học tuổi trẻ) Trong m t ph ng với hệ to độ y c n t i c t I iểm M(0;1/3) thuộc đư ng th ng AB, N(0;7) thuộc đư ng th ng CD Tìm to độ điểm P biết (BP) =5(BI) với điểm B c tung độ ng Bài toán 21: Trong m t ph ng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật c ng tr n đư ng th ng: AB: x – y ng tr n đư ng th ng BD: x - 7y + 14 = Viết đư ng th ng AC, biết đư ng th ng ua điểm M (2;1) ng tr n tổng quát Bài toán 22: rường THPT Bố Hạ-Lần Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3) Gọi AB cho AN AB Biết đư ng th ng c ng tr n điểm thuộc c nh y-2=0 AB=3AD Tìm tọa độ điểm B Bài toán 23: RƯỜNG THCS – Tr ng t ng Đ D – Lần y, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích b ng 15 ng th ng c 16 13 x y Trọng tâm tam giác BCD có tọa độ G ; Tìm tọa độ A, B, C, D biết 3 lớn n Bài toán 24: RƯỜ SĨ ng tr n c tung độ Ê - Lần Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD c điểm C thuộc đư ng th ng d : x y A( 4; 8) Gọi E điể đối x ng với B qua C, F(5; 4) hình chiếu vuông góc B đư ng th ng ED Tìm tọa độ điểm C tính diện tích hình chữ nhật ABCD Bài toán 25: RƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ - Lần Trong m t ph ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc lên đư ng 7 th ng BD H ; , điểm M(1; 0) trung điểm c n ng tr n đư ng trung tuyến k t 5 A ta giác c ng tr n 7x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT – https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan ƯƠ ẢI Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn Bài toán 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A 3;1 , C : x y Trên tia đối CD lấy điểm E cho CE=CD Biết N 6; 2 hình chiếu cuả B xuống BE Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Hướng dẫn N(6;-2) B A(-3;1) I E C D Do N nhìn BD góc vuông nên N thuộc đường tròn đường kính BD=> N thuộc đường tròn đường kính AC (do ABCD hình chữ nhật) AN NC x => AN NC => tọa độ C nghiệm hệ C 7;1 C y 1 Mặt khác AB//CE=> ANCE hình bình hành => AC//BE BN có phương trình y+2=0 tọa độ B nghiệm hệ: B 6; N B BN B 2; 2 B 2; AB BC AB DC D 6; Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD có B d1 : x y 0, C d2 : x y Hình chiếu B 2 lên AC H Biết M ; , K 9; trung điểm AH CD Tìm tọa độ đỉnh hình 5 5 chữ nhật biết xC Hướng dẫn: N A B + Dựa vào hình vẽ nhận định MB MK + Ta chứng minh MB MK 1 cách M D tạo hình chữ nhật KNBC (N trung điểm AB) H K C Ta chứng minh MN MC Xét tam giác AHB có MN đường trung bình lên MN//BH Mặt khác BH AC => MN AC => M thuộc đường tròn đường kính NC Do KNBC hình chữ nhật nên=> M thuộc đường tròn đường kính KB=> MB MK https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn MB.MK Vậy tọa độ B nghiệm hệ: B 1; B d1 C 9; KB.KC Tọa độ C nghiệm hệ: C 9; C 4; L C d => tìm tọa độ H hình chiếu B xuống MC => tìm tọa độ A qua M trung điểm AH => tìm tọa độ D (do AB DC ) Bài toán 3: Trong mat phang toa đo y cho h nh chư nhat ABCD co m H ( la h nh chi u vuong goc cua A l n BD i m M ( ;3) la trung m canh BC phương tr nh đương trung n A cua tam giac ADH la +y- =0 i t phương tr nh canh BC HD A + Gọi N n, 4n trung điểm HD tư D CM : AN vuông góc NM N Cách 1: Sử dụng PP HCN di động Cách 2: Sử dụng vecto: H + Có tam giác: ABH DBA đồng dạng B AH HB AH AB HB AD AD AB M C + Ta nhận thấy AN vuông góc với MN: Thật vậy: AN AH NC AD.NB AD.NC AH ND DC AD.NB AD ND DC AH DC AD.NB AD.ND 1 AH AB AD.HB AH AB.cos BAH AD.HB.cos HBC 4 AH AB.cos BAH AD.HB.cos BAH 1 AH AD ; NM NB NC AN MN AH AD NB NC 2 9 1 MN u AN n 4.1 4n n N ;2 2 2 =>Toạ độ D(0;2) Có A AN , AH HD A(1;0) Có B HD, AB AD B(5;2) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn => pt đường BM (chính pt đường BC): 2x+y-12 = Cách 3: + Ta có Tam tam giác : ABC AHD đồng dạng Lại có M N trung điểm cạnh tương ứng BC HD Do ta có tam giác ABM AHN đồng dạng Nên ANB AMB => tứ giác ABMN nội tiếp => AN vuông góc NM Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân A 1;3 iểm D thuộc AB cho AB=3AD Hình chiếu B 1 3 lên CD H Biết M ; trung điểm HC Tìm tọa độ điểm C biết B : x y 2 2 Hướng dẫn: Chứng minh BM AM Tạo hình chữ nhật AEBF cách: Kẻ đường thẳng d qua A //BC, CD giao với d F, E trung điểm BC A F AF AD AF BC BE AF / / AE BC BC 2 D mà AEB 900 =>AEBF hình chữ nhật Ta chứng minh ME MF : H Xét tam giác BHC có có ME đường trung bình => E//BH, mà BH vuông góc với FC => ME MF Như M thuộc đường tròn đường kính EF=>M thuộc đường tròn đường kính AB (Do AEBF hình chữ nhật) M B C E => BM AM B 4; 3 DM : x y H 1;0 C 2; 3 Trong mat phang toa đo + y+ =0 va m A( y, cho h nh chư nhat ABCD co m C thuoc đương thang d: oi M la m nam tr n tia đoi cua tia CB cho MC=2BC, N la h nh chi u vuong goc cua B tr n đương thang MD T m toa đo cac m B va C i t N ( ; ) 2 HD + Gọi tọa độ điểm C 7 3c; c + Ta có IN ID IA IB IC A I tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác ABCND có đường kính AC BD =>góc ANC=900 7 => AN NC => (7 3c ) (c ) 2 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan D N I B C Trang M Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn =>tìm toạ độ điểm C(2;-3) + Gọi B(a,b )=> toạ độ điểm M ( a 9 b ; ) 2 3a 9 3b (a 1) (b 5) 2 11 a 10 3b - NB vuông góc với NM => (a ) (b ) 2 2 Tìm toạ độ điểm B - có AB vuông góc với BM => Bài toán 6: Trong mat phang toa đo y, cho h nh chư nhat ABCD co m C thuoc đương thang d:2 +y+ =0 va A(oi M la m đoi ưng cua B qua C, N la h nh chi u vuong goc cua B tr n đương thang MD T m toa đo m B va C Bi t rang N(5;-4) HD Các bạn làm tương tự tập N Điểm mấu chốt ta chứng minh AN vuông góc với NC A Giải : Gọi tọa độ C(c;-5-2c) Ta có BN vuông với ND D I N thuộc đường tròn đường kính BD B C M nên N thuộc đường tròn đường kính AC => AN vuông NC => 9.(c 5) 12.(5 2c 4) =>C(1;-7) AC song song với NM, C trung điểm BM Do AC qua trung điểm BN Lại có AC vuông với BN => N B đối xứng qua AC => B(-4;-7) Yếu tố khoảng cách, vecto Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , M điểm cho MB 3MA iểm C thuộc đường thẳng d : x y ường thẳng qua DM có phương trình x y 57 Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết điểm B có hoành độ âm Giải : +) Gọi I giao điểm AC DM Do AM // DC nên áp dụng Ta – let ta được: AI AM AM AI AC AI CI DC AB AC AC (c 5; c 11) C (c; c 4) d +) Gọi 7a 57 7a 15 I a; DM AI a 5; https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan M A B I D C Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn c 5(a 5) c c 5a 20 Khi AC AI 7a 15 21 C (1;5) c 35 a 141 c 11 a 7t 15 7t 57 +) Gọi M t; DM AM t 5; Khi : xB 4.(t 5) xB 4t 15 14t 51 3MA MB AB AM 7t 15 14t 51 B 4t 15; yB yB 14t 30 AB 4t 20; => CB 4t 16; 14t 66 +) Ta có: AB CB AB.CB (4t 20)(4t 16) (14t 30)(14t 66) 0 B(3; 3) t 17t 132t 243 69 89 t 81 B ; 17 17 17 Do B có hoành độ âm nên ta B(3; 3) xD (3) x D D(9;1) +) ABCD hình chữ nhật nên CD BA yD 7 (3) yD Vậy B(3; 3), C(1;5), D(9;1) Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(0; 2) ọi H hình chiếu vuông góc B lên AC Trên tia đối BH lấy điểm E cho BE AC Biết phương trình đường thẳng DE : x y diện tích ABCD =6 Tìm tọa độ đỉnh C hình chữ nhật, iết B có tung độ dương D hông trùng với gốc tọa độ Hướng dẫn: Kẻ EF AD F EF cắt BC K Khi ta có: B1 B4 A1 B4 K F E B1 A1 ( ACB 900 ) Mặt khác BE AC , suy : B A BK AB KF AF BKE ABC EF DF KE BC KE AD H Suy FED vuông cân F nên ADE 450 Gọi n1 (a; b) vecto pháp tuyến AD , D C (với a b2 ) n2 (1; 1) vecto pháp tuyến ED https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang Tài liệu oxy - Các toán hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn Khi ta có: cos ADE cos n1 , n2 cos 45o n1.n2 n1 n2 a b 2 a b2 a (a b)2 a b2 ab b +) Với a , chọn b ta phương trình AD : y y Khi tọa độ điểm D nghiệm hệ x y D(2; 2) x y Suy phương trình AB : x Gọi B(0; b) AB với b , hi đó: S ABCD AD AB b b b 1 (loại), suy B(0;5) 7 Trung điểm BD có tọa độ I 1; , trung điểm AC C (2;5) 2 +) Với b , chọn a ta phương trình AD : x x Khi tọa độ điểm D nghiệm hệ x y D(0;0) O (loại) x y Vậy C (2;5) Bài toán 9: (THPT Lý Thái Tổ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ABC qua trung điểm M cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x y , điểm D nằm đường thẳng : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm đường thẳng AB qua E (1, 2) Hướng dẫn: + Kẻ đường thẳng qua E vuông góc với BM H cắt AC E’ H trung điểm EE’ 1 Phương trình EH là: x y , H EH BM H , 2 ì H trung điểm EE’ E '(0,1) + Giả sử B(b, b 2) BM (b 0) BE (1 b, b), BE ' (b, 1 b) b (l ) Mà BE BE ' BE.BE ' 2b(1 b) b 1(t / m) B(1,1) + Phương trình cạnh AB x 1 Giả sử A(1, a) AB(a 1); D(d ,9 d ) d 1 a d Do M trung điểm AD M , Mặt khác M BM d 1 a d a 2d (1) 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 10 Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A , cạnh BC nằm ƣờng thẳng có phƣơng trình x y Đƣờng cao kẻ từ B có phƣơng trình x y , iểm M (1;0) thuộc ƣờng cao kẻ từ ỉnh C Xác ịnh tọa ộ ỉnh tam giác ABC Giải: A M C B x y x 2 B(2; 2) + Tọa ộ iểm B nghiệm hệ x y y + Ta có VTPT BC , ƣờng cao kẻ từ B lần lƣợt là: n1 (1; 2) n2 (1; 1) Gọi VTPT CM n3 (a; b) với a b2 Khi ó tam giác ABC cân A nên: cos(n1 , n2 ) cos(n1 , n3 ) n1.n2 n1 n2 n1.n3 n1 n3 1 a 2b a b 2 a b 2(a 2b) a b a 8ab 7b2 (a b)(a 7b) a 7b + Với a b , chọn a 1; b 1 n3 (1; 1) phƣơng với n2 (1; 1) (loại) + Với a 7b , chọn a 7; b 1 n3 (7; 1) , ó CM có phƣơng trình: x y x 7 x y 7 C ; Vậy tọa ộ iểm C nghiệm hệ 5 x y y => phƣơng trình AB, AC lần lƣợt là: x y 12 5x y Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 30 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 13 x x y 12 13 19 10 Suy tọa ộ iểm A nghiệm hệ A ; 10 10 5 x y y 19 10 13 19 7 Vậy A ; , B( 2;2), C ; 10 10 5 Bài toán Trong mặt phẳng tọa BC : x y , ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân A , phƣơng trình ƣờng thẳng AC i qua iểm M (1;1) , iểm A nằm ƣờng thẳng : x y Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC , biết ỉnh A có ho nh ộ dƣơng Giải: Gọi A(4t 6; t ) với t , suy MA (4t 5; t 1) C Vì tam giác ABC vuông cân A nên : C 450 cos MA, uBC cos 450 4t 2(t 1) (4t 5) (t 1) 2 2(6t 7)2 5(17t 42t 26) 13t 42t 32 t 16 (loại) A(2; 2) 13 AC : x y Với A(2; 2) Từ ó => B(3; 1) C (5;3) AB : 3x y Vậy A(2;2), B(3; 1), C (5;3) M t B A Bài toán 10 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A Đƣờng thẳng AB BC lần lƣợt có phƣơng trình x y 24 x y Viết phƣơng trình ƣờng cao kẻ từ B tam giác ABC Giải: x 7 x y 24 1 +) Tọa ộ iểm B nghiệm hệ B 3; 2 x y y +) Đƣờng thẳng AB, BC lần lƣợt có VTPT: n1 (7;6) , n2 (1; 2) Gọi VTPT AC n3 (a; b) với a b2 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 31 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Do tam giác ABC cân A nên: cos B cos C cos n1 , n2 cos n3 , n2 12 72 62 12 22 a 2b a b2 12 22 2a 9b 25(a b2 ) 85(a 2b)2 12a 68ab 63b2 (2a 9b)(6a 7b) 6a 7b a +) Với 2a 9b , chọn n3 (9; 2) VTCP ƣờng cao kẻ từ ỉnh B b y x 3 x 18 y Suy phƣơng trình ƣờng cao kẻ từ B là: a +) Với 6a 7b , chọn n3 (7;6) AC // AB (loại) b Vậy ƣờng cao kẻ từ B có phƣơng trình : x 18 y Bài toán 11 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trực tâm H (3; 2) Gọi D, E l chân ƣờng cao kẻ từ B C Biết iểm A thuộc ƣờng thẳng : x y , iểm F (2;3) thuộc ƣờng thẳng DE HD Tìm tọa ộ iểm A Giải: A I E D F H B C + Do ABC cân A nên HE HD , suy E , D thuộc ƣờng tròn tâm H (3; 2) bán kính có phƣơng trình: ( x 3)2 ( y 2)2 x2 y x y + Gọi I l trung iểm AH 5m2 16m 20 3m m IH Gọi A(3m 3; m) I ; 2 3m m Ta có ADHE nội tiếp ƣờng tròn tâm I ; bán kính IH Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 32 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 3m m 5m2 16m 20 => x y x y 3mx (m 2) y 7m + Khi ó tọa ộ iểm E , D nghiệm hệ: 2 x2 y 6x y (6 3m) x (m 2) y 7m 18 2 x y 3mx (m 2) y 7m => phƣơng trình ED : (6 3m) x (m 2) y 7m 18 + Do F (2;3) ED 2(6 3m) 3(m 2) 7m 18 m A(3;0) Vậy A(3;0) Bài toán 12: Cho tam giác ABC cân A(-1;3) Gọi D iểm AB cho AB=3AD H hình 3 chiếu B CD Điểm M ( ; ) l trung iểm HC Xác ịnh C biết B nằm d: x+y+7=0 2 HD 11 1 + B thuộc d: => B(t , 7 t ) BM t , t 2 A E H t 1 t ; + Có AB AD D D M + Ta có AM vuông góc với BM thật vậy: Kéo dài CD cắt ƣờng thẳng qua A //BC E B F C Khi ó dễ có BEAF hình chữ nhật (AB=3AD) F l trung iểm BC MF vuông góc CD l ƣờng trung bình BCH =>M nằm ƣờng tr n ƣờng kính EF =>M nằm ƣờng tr n ƣờng kính AB suy góc AMB vuông 11 3 9 1 AM BM ; t; t 2 2 2 11 t t t 4 2 B 4, 3 D 2,1 DM : x y H h, h 1 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 33 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác 5 5 DM BH DM BH ; h 4; h 2 2 h 1 H 1;0 C 2; 3 Bài toán 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ộ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung iểm cạnh AC, ƣờng thẳng i qua A vuông góc với BM cắt BC iểm E(2;1) Biết trọng tâm tam giác ABC l iểm G(2;2) Tìm tọa ộ ba ỉnh tam giác ABC biết A có ho nh ộ lớn HD B + Gọi M, N lần lƣợt l trung iểm AC, BC => AN vuông góc với BC =>G trực tâm tam giác ABE => EG vuông góc với AB H =>EG//=2/3MC, GH//=2/3AM, M trung iểm AC=> EG=GH N => EG GH H 2;3 => Viết ƣợc phƣơng trình ƣờng AB qua H vuông góc với HE H G E + Dễ thấy HG=HA=1 => toạ ộ iểm A nghiệm hệ pt: y A x y ⇒A(3;3)( A có ho nh ộ lớn 1) 2 x y 3 x 1; y + Có BH 2HA => toạ ộ iểm B(0;3) => toạ ộ C: HG M AC C 3;0 Bài toán 14 Cho ∆ABC cân A D l trung iểm BC E hình chiếu D AC Biết tọa ộ D(1;1),E(-5;7) v phƣơng trình ƣờng thẳng BE: 5x + 4y – = Tìm tọa ộ ỉnh tam giác ABC Hướng dẫn giải A G l trung iểm EC ⇒FG//DC ⇒ FG AD DE AC ⇒ F trực tâm ∆ADG ⇒ AF DG; DG // BE ⇒AF BE F(-2;4) Phƣơng trình ƣờng thẳng AF x – 5y + 28 =0 Phƣơng trình ƣờng thẳng AC x – y+ 12 = 0⇒A(-8;4) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan B D F E G C - Trang | 34 - C Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Phƣơng trình BC: 3x – y – =0 ⇒ C(7;19), B(-5;-17), A 0, 2 Bài toán 15 Cho ∆ABC cân A I,J lần lƣợt l tâm ƣờng tròn nội tiếp tam giác bang tiếp góc A tam giác Trung trực IJ l t d có PT x – y = Đƣờng tròn (I) x 3 y tiếp xúc với 2 BC M(-2;1) Tìm tâm ƣờng tròn ngoại tiếp ∆ABC Hướng dẫn giải: Gọi K l trung iểm IJ Vì ∆ABC cân A nên ta có iểm A,I,J,K,M thẳng hàng Tac có IBJ ICJ 90 suy IBJC nội tiếp ƣờng tròn (K,KI) ICB IJB IJC JCK ICB ICA ICA JCK ACK ICJ 90 A M tâm ƣờng tròn ngọại tiếp ABC thuộc AK nênAK l k tr ngoại tiếp tam giác ABC Pt t IM l x+y+1=0 PT t BC l x – y + = I 1 1 K l giao iểm IM d K ; 2 B C K 1 1 25 PT tr (K,KI) l x y 2 2 B,C l giao iểm t BC v (K,KI) ,Giả sử B(0,3) PT t BA vuông góc với BK v i qua B l x + 7y – 21 = J 14 11 A l giao iểm IM BA A ; 3 Vậy tọa ộ tâm tron ngoại tiếp tam giác ABC hay l 31 19 ƣờng tr n k AK l ; 12 12 Mà tọa ộ B số nguyên B 4;3 C 3;1 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 35 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 16 Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho ABC cân A có ỉnh A 6;6 Đƣờng thẳng i qua trung iểm cạnh AB, AC có phƣơng trình x y Tìm tọa ộ ỉnh lại tam giác biết iểm E 1; 3 nằm ƣờng cao i qua C tam giác ã cho? Hướng dẫn giải: Gọi M , N lần lƣợt l trung iểm AB, AC I l trung iểm MN Có ABC cân A AB AC AM AN AMN cân A Mà I l trung iểm MN AI MN A Theo ề b i, phƣơng trình ƣờng thẳng MN : x y MN có VTPT nMN 1;1 MN có VTCP uMN 1; 1 MI N Có I MN I i;4 i AI i 6; i AI MN AI uMN i i i I 2;2 E Có N MN N n; n B C N l trung iểm AC xC xN xA 2n C 2n 6; 2n EC 2n 7;5 2n yC yN y A 2n xM xI xN n I 2; l trung iểm MN M n; n AM 2 n; n yM y I y N n x xM xA 2n Có M l trung iểm AB B B 2n; 2n y B yM y A 2n E ƣờng cao i qua C nên EC AB EC AM 2n n 2n n 14 3n 2n 30 2n 17n B 6; , C 2; 6 n 4n2 20n 16 n B 0; 4 , C 4;0 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 36 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác ĐỀU Bài toán Cho ∆ABC ều M∈cạnh BC, I(0,-2) l trung iểm AM P, Q hình chiếu M AB,AC PT t PQ l x Tìm tọa ộ iểm A biết diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải: A Gọi D l trung iểm BC A, P, D, M, Q thuộc (I) ƣờng kính AM ∠PAD=∠QAD=30°⇒DP=DQ=AM/2=IP=IQ I Q ⇒IPDQ hình thoi⇒I v D ối xứng qua PQ D 3, 2 P PT (I,ID) x y 12 P, Q l giao iểm (I) v P 3,1 , Q 3, 5 S ABC B C t PQ AD.BC AD AD Giả sử A(a,b) Ta có phƣơng trình ẩn a,b ( theo D M A 0, , A 0, 2 ộ dài AD A thuộc (I)) Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy , cho tam giác ều ABC có A 4; 1 , iểm M ;3 BC không chứa A ƣờng tròn ngoại tiếp B số nguyên Tìm tọa ộ B, C tam giác ABC ? ABC , biết MC tọa ộ iểm Hướng dẫn giải: Có AMC ABC 600 AC AM MC AM MC cos 600 AC MC MA2 AMC vu ông C AM l Mà ƣờng kính ABC ABC ều AB AC 4, BM MC , AM BC Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 37 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Gọi H AM BC BH MH AH MH MH MA H 3; 4 BC 1; ; 4 BC có VTPT nBC Có MA A phƣơng trình BC : x y 3 Tọa ộ B, C nghiệm hệ: x y 3 2 x y 1 16 x y 3 2 y 3 y 1 16 B C x y 3 y 3; x y 1; x 4 y 16 y 12 M Mà tọa ộ B số nguyên B 4;3 C 3;1 D.TAM GIÁC VUÔNG Bài toán (A – 2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa ộ Oxy , cho tam giác ABC vuông A, phƣơng trình ƣờng thẳng BC 3x y , ỉnh A B thuộc trục ho nh v bán kính ƣờng tròn nội tiếp Tìm tọa ộ trọng tâm G tam giác ABC Giải : C + Tọa ộ iểm B nghiệm hệ x 3x y B(1;0) y y + Gọi A(a;0) =>phƣơng trình AC : x a => tọa ộ iểm C nghiệm hệ 3x y x a C a; 3a x a y 3a Ta có AB a , AC a , BC a Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan A B - Trang | 38 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn => SABC Các toán tam giác 3(a 1) AB AC 2 + Ta có r a a 1 2SABC S 2 p AB BC CA 1 a 2 A 3;0 74 62 Với a => G ; 3 C 3;6 A 2 1;0 4 6 Với a 2 => G ; 3 C 2 1; 6 Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam ABC vuông A có hai ỉnh A, B nằm trục hoành, cạnh BC có phƣơng trình l 4x+3y-16=0 Xác ịnh tọa ộ trọng tâm G tam giác ABC biết bán kính ƣờng tròn nội tiếp C HD + Toạ ộ B l giao iểm Ox BC=> B(4; 0) + A thuộc Ox => A(a; 0), C thuộc BC=> C(4-3c, 4c) + Có AB AC a;0 3c a; 4c B A a 3c a 3c a a 3c + Mặt khác ta có SABC AB AC p.r AB AC AB AC BC 4 a 4 a 3c a 4c 2 4c 4 a 4 a 4c 2 3c a 4c 3c 4c 2 3c 4c 2 a 4c a 4c 5c a c a 9c 3c 4c 3c 4c 5c Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 39 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác c Loai 4 12c 12 c c C 1; A 1;0 G 2; 3 4 c 1 C 7; 4 A 7;0 G 6; 3 Bài toán 3: Cho A(2;1) lấy B thuộc trục hoành có ho nh ộ không âm, lấy iểm C thuộc Oy có tung ộ không âm cho tam giác ABC vuông A Tìm tọa ộ B, C ể tam giác ABC có diện tích lớn HD B thuộc Ox=> B(x, 0) (x>=0) C thuộc Oy => C (0, y) (y>=0) AC 2, y 1 ; AB x 2; 1 Có AB AC AC AB 2, y 1 x 2; 1 y x Ta có diện tích tam giác vuông ABC max khi: AC AB max AC AB y 1 x 2 2x x 2 1 2 x x 2 2 1 2 x 2 x 2 2 1 1 1 x 5 Do x, y y x x x x x x x x AB.BC 2.5 10 Vậy Max AB AC 10 x=0 x=4 (loại) Với x=0=> y=5 Vậy với B(0; 0) C(5; 0) thoả mãn ycbt Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 40 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông A, ƣờng cao AH M;N l trung iểm HC P l iểm ối 2 xứng A qua BN Biết tọa ộ M(0;3),N(0;4),P( ; ) tính tọa ộ iểm tam giác ABC Hướng dẫn giải Dự oán MP vuông góc AM P B ANPB hình chữ nhật AP l H ƣờng kính ƣờng tr n k BN M M thuộc ƣờng tr n ƣờng kính BN⇒AM vuông góc MP Phƣơng trình AM: 2x + 3y – = Phƣơng trình AC: x + 3y – 12 = A C N ⇒A(-3;5) ⇒C(3;3) 11 Phƣơng trình BC l y=3; phƣơng trình AB: 3x – y +14 = 0⇒B ;3 Bài toán 5: Cho ∆ABC vuông A, ƣờng cao AH I, J lần lƣợt l tâm ƣờng tròn nội tiếp ∆AHB, AHC K(4,-2) trực tâm AIJ Biết phƣơng trình ƣờng thẳng AI x +2y – 10 = 0, AJ i qua iểm M(1;2) Xác ịnh tọa ộ A, B, C biết A có ho nh ộ lớn Hướng dẫn giải Gọi D,E lần lƣợt l giao iểm AI,AJ với BC ∠AEB=∠EAC+∠ECA=∠EAH+∠BAH=∠BAE ⇒∆ABE cân B⇒Phân giác BI l B D H ƣờng cao⇒BI⊥AJ I Tƣơng tự: CJ⊥AI⇒K l giao iểm BI CJ ∠IAJ=45° nên góc AI AJ 45° J n a, b VTPT AJ | a 2b | a b2 Giải ƣợc cos 45 E K C A a a 1 b b Pt AJ 3x + y – = x – 3y + = suy A(0;5) (loại) A(4;3) Pt BK vuông góc AJ:3x + y – 10 = Điểm E ối xứng với A qua BK E(1,2) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 41 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các toán tam giác Pt CK vuông góc AI 2x – y – 10 = Điểm D ối xứng với A qua AI D(8,1) Pt BC x + 7y – 15 = 11 B l giao iểm BC BK suy B ; 4 17 C l giao iểm CJ BC suy C ; 3 Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho iểm cạnh AC Gọi N l ABC vuông B có BC 2BA Điểm M 2; 2 trung 4 8 BC Điểm H ; l giao iểm 5 5 ABC biết N d : x y iểm cạnh BC cho BN AN BM Xác ịnh tọa ộ ỉnh Hướng dẫn giải ABC vuông B , mà M l trung iểm AC AM MC BM BC Có BC BA; BN C BC BA BN Lại có BM MC BMC cân M MBC BCM Mà M BA BC BAN ∽ BCA BAN BCA 1 BN BA N H ABN vuông B BAN BNA 900 3 Từ (1), (2),(3) ANB CBM 900 AN BM H B A 8 26 Có N d : x y N 2n; n HN 2n; n 5 4 8 18 Mà M 2; 2 H ; HM ; 5 5 5 26 8 18 Vì AN BM H HM HN 2n n n N 2; 5 5 Đặt BA a a BC 2a Có BN a a BC BN AC AB BC a BM Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 42 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Xét Nên Các toán tam giác ABN vuông B có BH AN : BH BA2 BN a 2 BA BN BH MH BM HM BM 2; 6 B 0; BM BM Có BN 1 BC BN BC Mà BN 2; 2 BC 8; 8 C 8; 4 4 x xM xC 4 Lại có M 2; 2 l trung iểm cạnh AC A A 4;0 y A yM yC Bài toán 7:Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy , cho tâm ABC vuông cân A Gọi M l trung iểm BC , G trọng ABM , D 7; 2 oạn MC cho GA GD Viết phƣơng trình ƣờng thẳng AB ABC biết xA v phƣơng trình ƣờng thẳng AG : 3x y 13 Hướng dẫn giải B ABC vuông cân A , M l trung iểm BC E ABM vuông cân M G trọng tâm MG l M ABM MG trung tuyến ABM G ƣờng trung trực AB GA GB D Mà GA GD gt nên GA GB GD G l tâm ƣờng tròn ngoại tiếp ABD AGD ABC Có A C ABC vuông cân A ACB ABC 450 AGD 900 GA GD G AG : 3x y 13 G g;3g 13 DG g 7;3g 11 AG có VTPT nAG 3; 1 AG có VTCP u AG 1;3 G 4; 1 GA GD DG.u AG g 3g 11 g DG 3;1 Có DG DG 10 GA 10 A GA A a;3a 13 với a GA2 a 3a 12 10 a 10 a A 3; 4 2 Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 43 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Gọi E AG BC E l trung iểm BM AG Các toán tam giác AE 3 9 9 1 Mà AG 1;3 AE ; E ; 2 2 2 2 x AM x 10 Đặt AB AC x x BC x AE AM ME ME x AG x 10 x x AE AD MD AD AM 6 DE MD ME 5x 5 DE DM Mà DE ; DM 1;1 M 6; 1 12 2 Có M 6; 1 G 4; 1 phƣơng trình MG : y 1 Lại có MG trung trực ƣờng thẳng AB MG AB ; A 3; 4 phƣơng trình AB : x Đ Giáo viên giảng dạy khóa PEN-C, PEN-I v luyện thi v o ĐHQGHN Hocmai.vn Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Hãy follow ể luyện tập v tải t i liệu Toán Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 44 - [...]... Trang 19 Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn Bài toán 24: TRƯỜNG THPT NGÔ SĨ LIÊN- Lần 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x y 5 0 và A( 4; 8) Gọi E là điểm đối xứng với B qua C, F(5; 4) là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng ED Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích hình chữ nhật ABCD Lời giải Ta có C ... liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn + Ta có AD (d 1,9 d a), AB (0,1 a) Mà AB AD AD AB 0 a d 9 0 (2) a 4 A(1, 4) Từ (1) và (2) ta có: b 5 D(5, 4) Do AB DC C (5,1) Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A(1, 4), B(1,1), C (5,1), D(5, 4) Bài toán 10: (THPT Hàn Thuyên Bắc Ninh Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có... D(8, 2) Bài toán 11: (Nguyễn Công Trứ - 2015) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có B , C thuộc trục tung, phương trình đường chéo AC: 3x 4y 16 0 Xác định tọa độ đỉnh A , B , C biết rằng án ính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1 Hướng dẫn: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 11 Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn *C là giao điểm của AC và Oy... phương với v 2 Vậy PTTQ của AC: x – y -1 = 0 Bài toán 22: Trường THPT Bố Hạ-Lần 2 https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 18 Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;3) Gọi N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AN 2 AB Biết đường thẳng DN có phương trình +y-2=0 và AB=3AD Tìm tọa độ 3 điểm B Lời giải ặt AD... góc BC: y 1 I C D E N M D(9,1) D là giao diểm (T) và DC: D(1,1) Vì B,D nằm cùng phía với CN nên D(1,1) https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 15 Tài liệu oxy - Các bài toán về hình chữ nhật Nguyễn Bá Tuấn + Do BA CD A(1,5) Bài toán 18: TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I – Lần 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD 2 AB Gọi M , N lần lượt là trung điểm... 2) Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0; 3),B(2; 2),C(0; 2),D(2; 1) Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn Tham khảo thêm: 1 Chuyê đề hình oxy – Luyện thi THPT quốc g a 2016 (chuyê đề số 7) 2 Các tài liệu ôn thi THPT quốc gia 2016 – thầy Nguyễn Bá Tuấn https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan Trang 21 Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác 2015 - 2016 H ề ệ Facebook:... Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Hình học phẳng Oxy là 1 trong những phần kiến thức khó của kỳ thi THPT quốc gia v ƣợc coi là phần lấy iểm iểm 8 trong ề thi Với xu hƣớng ra ề của Bộ hiện nay ó l sự kết hợp các tính chất hình học ặc trƣng ở cấp 2 và các công cụ trong hệ tọa ộ Oxy v o 1 b i toán Khi ó b i toán hình học phẳng sẽ trở lên phức tạp (hay) hơn v ể giải quyết ƣợc bài toán thì nút... iểm NB và BC là B(5;5) Tọa ộ iểm C là giao của AC và BC là C(3;1) Tọa ộ iểm A l giao iểm của AC và AM là A(8;-4) Facebook: https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan - Trang | 3 - Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy, cho tam giác ABC nội ƣờng tròn (C): x 2 y 2 25 , ƣờng thẳng AC i qua K(2;1) Hai ƣờng cao BM và CN Tìm... Luyện thi THPT quốc gia 2016 – Thầy Nguyễn Bá Tuấn Các bài toán về tam giác x 5 x 1 Giải hệ phƣơng trình ta tìm ƣợc và y 3 y 1 Vậy có 2 iểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3) Bài toán 15: Trong mặt phẳng tọa ộ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B(1; 2) , trọng tâm G của tam giác nằm trên ƣờng thẳng x y 2 0 Tìm tọa ộ ỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5 Hướng dẫn giải 3... chính l nhìn nhận và chứng minh tính chất ặc trƣng Trong chƣơng trình THCS ta ã ƣợc học các tính chất của rất nhiều loại hình quen thuộc nhƣ: tam giác, tứ giác và trong kỳ thi các năm trƣớc các dạng toán xoay quanh các tính chất về tam giác ã xuất hiện không ít Bởi vậy các b i toán dƣới ây sẽ giúp các bạn nắm rõ các tính chất cũng nhƣ các dạng toán liên quan tới tam giác ƯỜNG A Bài toán 1: Trong mặt