Đôi nét về bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (cực chất)

( Ngô Minh Ngọc Bảo – Sinh viên khoa Toán đại học sư phạm TP.HCM ) Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b2  c2 27abc  ab  bc  ca  a b c ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh bất đẳng thức phụ : xy  yz  zx   3xyz x  y  z  , x,y,z Thật vậy, xy  yz  zx   3xyz x  y  z   2 1 xy  yz   yz  zx   zx  xy  ( )  2 Sử dụng bất đẳng thức phụ : 27abc  3.3abc a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c   ab  bc  ca  a  b2  c 11 Ta có :   2 ab  bc  ca  ab  bc  ca  ab  bc  ca  Như vậy, để quy biểu thức P hàm f ab  bc  ca  ta cần chứng minh điều sau : a  b  c  ab  bc  ca * Thật , *  a  b  c  a  b  c  a  b  c  2ab  2bc  2ca  a  b  c  a  b  c  a  b  c   * * Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  a  a  a  a  3 a a a  3a b  b  b  b  b  b b b  3b c  c  c  c  c  c c c  3c  VT * *  a  b  c  a  b  c  a  b  c    VP * * 3ab bc  ca 11 11 Từ suy : P     3ab bc ca   2 ab bc ca  ab bc ca ab bc  ca  Đặt t  ab  bc  ca   P  f t   3t  11 5 t Mặt khác, ta có : a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca   t  1, 4 Xét hàm số f t   3t  11 11 11 11  5, t  1, 4 f ' t    , f ' t       t   t t t Bảng biến thiên : t 11 f ' t    f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 4  Vậy giá trị lớn biểu thức P 39 39 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  a2 a  b c  1  b  c a  1  2bc a b c 1 a ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Cách : Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  b c  1  a  b   c  1  Mặt khác, ta lại có :  a2 a  b c  1 b  c a  1  2bc  a b c   a2 a b c 1 b2  c2  b  c  a b c 1 P a2 b2  c2   a  b  c    a  b  c  a b c 1 a b c 1 a b c 1   Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz :  a2  b2  c2  a  b  c  a  b  c  Đặt t  a  b  c  P  f t   Xét hàm số f t    t, t  0, 3 t 1 3   0, t  0, 3  t, t  0, 3 , f ' t    t 1 t  1 Do hàm số f t  nghịch biến 0, 3  f t   f 3   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  Đẳng thức xảy a  b  c  Cách : Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có :    a  b  c  a  b  c   a  b  c   b  c   a Theo bất đẳng thức AM GM ta có : a  b c  1  a  b   c  1  a2 a  b c  1  a2 a b c 1  b  c a  1  b  c 3 a2 P    a  a2  a  a b c 1 a b c  2 3 3 Xét tam thức bậc hai : f a   a  a  , tam thức f a  có hệ số trước a  2 nên đạt giá trị nhỏ a  Minf a   f 1   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho hàm số f x   a  x  b  c  x  ( a,b, c  R  ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x  đoạn  0,c    ( Sáng tác : Dan sitaru – Romania ) Lời giải chi tiết Xét hàm số f x   a  x  b  c  x  , x  0, c  Ta có : f ' x   x a x 2 x c   b  c  x  2 x b  c  x   x  c  a  x a  x b  c  x  f ' x    x b  x  c   c  x  a  x  x 2b  a c  x   x  2 ac a b a ac ac 1   c nghiệm x    0, c  a b a b a  b    ac    a  b   c Khi : f 0  a  b  c , f c   b  a  c , f  a  b  Mặt khác, a  a  b     ac   ac        Để biết Max   f 0, f c , f   Min   f 0, f c , f   ta xét hiệu sau :   a  b  a  b         ac  f    f c   a  b  a  b   ac  f    f 0  a  b  a  b  2  c  b  a c    2b a  a  c    c  a  b  c2  a  b  2  a  b   2 2 c b  a c 2a b  b  c 2    c a  b c  ac   ac    f c  f   Ta thấy : f  nên hàm số f x  đạt giá trị nhỏ a  b   f 0 a  b  x  ac  Minf x   a b  0,c     ac   f  a  b  a  b   c2 Như giá trị lớn hàm số f x  đạt f c  f 0 Ta lại có :    f c   f 0  b  a  c  a  b  c    Để ý thấy : a  a  c  c  b  c       2 2  a  a c  b  b c  a  b   a  c  b2  c   a  0   a  c2  c  b  c a  c  b  c2           2 2  a  a c  b  b c Nếu a  b  a  b   f c   f 0  a  b   a  c2  b2  c2        f x   f c   b  a  c Khi ta có : f c   f 0  Max   0,c      2 2  a  a b  b  b  c Nếu a  b  a  b   f c   f 0  a  b   a b  b  c        f x   f 0  a  b  c Khi ta có : f c   f 0   Max   0,c   Vậy giá trị nhỏ hàm số f x  a  b   c đạt x  ac a b Giá trị lớn hàm số f x  b  a  c đạt x  c a  b Giá trị lớn hàm số f x  a  b  c đạt x  a  b Ngoài ra, bạn đọc dùng bất đẳng thức Minkowski để tìm giá trị nhỏ hàm số f x  sau : Đẳng thức xảy : a  x  b  c  x   a  b  2  c2 a x ac   ac  ax  bx  ac  a  b  x  x  b c x a b Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  trị nhỏ biểu thức P  a  b  c   1   Tìm giá a b c a  b2  c 3a 2b 2c ab  bc  ca   abc ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết 1 ab bc ca Từ điều kiện ta có: a b c     a b cabc  ab bc ca  abc  a b c a b c Theo bấtđẳngthức Cauchy – Schwarz : a  b  c  a  b2  c2   a  b2  c 3a 2b 2c ab  bc  ca   a  b  c  a b c ab  bc  ca  2  abc  1 Mặt khác, từ điều kiện ta có : a  b  c  1     a b c  a b c a b c Ta cần chứng minh: 5a b c  8abc   5a b c  8ab bc  ca  a  b  c* Thật vậy, ta có : a  b  c   ab  bc  ca  , : *  a  b  c   a  b  c   Từ điều suy : P  9abc  a  b  c  ( điều a  b  c  )  3 abc   Đặt t  abc    t4 1 Xét hàm số : f t   9t   7, t   f ' t     t t t4 f ' t    t    t  1 Bảng biến thiên: t f ' t     f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 1  19 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 19 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a  c  b  Tìm giá trị lớn biểu thức : P  a  b b  c c  a   a  2b  c   6a  6c ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Vì b  nên ta có : a  2b  c  a  b  c  3 a  2b  c   3 a  b  c  Mặt khác, ta có : a  c  a  b  c  a  c   a  b  c  Đến đây, rõ ràng đa phần biểu thức P f a  b  c  , ta tìm cách đưa a  b b  c c  a   f a  b  c  Thật vậy, 2 Ta có : a  b b  c c  a   a  b c  b a  c   a  c  a 2c     Theo bất đẳng thức AM  GM ta có :   6 a  c   2ac  2ac  a  c a  b  c   2   2   a  c  a c  a  c  2ac.2ac  27 27 27 a  b  c  a  b b  c c  a   a  b c  b a  c   a  b  c  a  b  c   3 P  Xét hàm số f t    a  b  c   a  b  c  Đặt t  a  b  c   t  t   t3   3t  6t,  f ' t   t  6t  6, f ' t     t    Bảng biến thiên : t f ' t  3  3   f t    Dựa vào bảng biến thiên ta có : f t   f   Vậy giá trị lớn biểu thức P Đẳng thức xảy a  1,b  0, c   Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  3a  3c  3ac 36   2b  c a  2c a  b  c2  3abc ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Các biến a,b, c đối xứng toàn biểu thức điều kiện nên dự đoán toán rơi a  b  c  Điều kiện a  b  c  suy a  b  c  định hướng ban đầu   dồn hàm f a  b  c  f a  b  c Mặt khác ta có đại lượng bậc 2b  c  hướng dồn hàm f a  b  c   a  c  ac Rõ ràng a  2c   ma  nc ( bậc chia bậc bậc ) Để kết hợp với 2b  c tạo a  b  c  m  2, n  ( Do hướng ta dồn f a  b  c  ) Hầu đưa f a  b  c  điều kiện biểu thức P Như ta xây dựng bổ đề cuối : a  b  c  3abc  k a  b  c  để toàn biểu thức P quy f a  b  c  Dễ thấy k  Trước hết ta chứng minh bổ đề xây dựng : Với a,b, c  thỏa a  b2  c  , chứng minh : a  b  c  3abc  a  b  c  Thật vậy, Trường hợp 1: a  b  c  ta có :   a  b  c  a  b  c   a  b  c   a  b  c  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b  c  a  b  c  3abc   a  b  c   a  b  c  3abc  a  b  c  a  b  c  3abc  3 2 a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  3abc   a  b  c      Và  a  b  c     a  b  c  ab  bc  ca a b c  Như cần chứng minh a  b  c a  b  c  3  Điều hiển nhiên   3   Trường hợp 2: Nếu a  b  c  tồn số k  cho ka   kb   kc      2  Ta có : k a  b2  c2  3k 3abc  2k a  b  c  Hay k a2  b2  c2  3k 2abc  2a  b  c   Mà k  nên a  b  c  3abc  k a  b  c  3k 2abc Chứng minh hoàn tất  a  c  ac Ta có : a  2c   2a  c   P  a  b  c   a  c   ( ) 18 Đặt t  a  b  c  a b c Xét hàm số f t   2t  18 18 ,  t  0; 3 , f ' t    , f ' t    t  3 t t Bảng biến thiên : t f ' t   f t  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f t   f 3    12 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 12 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  a  c b  1 abc   ab  bc  ca ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh : a  c b  1 abc  a  b  c2  a  c  Ta có: 4ca a c  4ac  a  c    a  c   2b 2      2b a2 b2 c2 1 2b2  a c 2 a  c  4ac 1    1 a2  b2  c2  2b   a  c  2   a c a c b   abc a2 b2 c2    2  2b   a  c  a  c  b   Ta chứng minh: a  c b  1  2   b  1  2b   a  c   a  c b   b  1 3b  9b       ( ta sử dụng phép a  c   b ) Mặt khác : 12 12    ab  bc  ca  ab  bc  ca   9  a  b  c Từ suy ra: P  a  b  c   Xét hàm số f t   t  12 Đặt t  a  b  c  , 2 a b c 12 12  1, t  3,  f ' t     0, t  t 9 t  9 Do hàm số f t  đồng biến 3;   Từ suy P  f t   f 3  Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán : Cho số thực a,b, c  0;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  12 a  b   4abc 3  a 3  b   72 a  2b  4c  ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết   Vì a,b, c  0;2 nên ta có đánh giá sau: a  8a  a a   ( ) 2b  8b  2b b   ( ) 4c  8c  4c c  2  ( )    a  2b  4c  8a  8b  8c  a  b  c   Ta có: 12 a  b   4abc 3  a 3  b  Ta chứng minh:  12 a  b   8ab 3  a 3  b   4a 4b   a b a b 9   a  b  c  1  a b  c  a b  c  Đặt t  a  b  c  1, t   P   t  Xét hàm số f t   t  f ' t  4a 4b  a b 9  P   a  b  2  1 a b c 1 a b c   P   a b   t 4t  t, t  0;2 , quy đồng bỏ mẫu ta có 3t 4t  t  3t  t  t  ( )   P  a b  72  a  2b  4c  a  b  c  t 9 , f ' t    , f ' t    t  3 t t -  f t  Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy P   f t   f 3   P  Đẳng thức xảy : a  b  0, c  Bài toán : Cho số thực dương a, b, c thỏa 1    có hai số a b c lớn Tìm giá trị lớn biểu thức : P   abc  a2  b2  c2  54   ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta chứng minh : abc   a  b  c  Trong số a,b, c phải có số lớn nhỏ 3, giả sử số a,b Khi ta có: a  3b  3   ab   a  b  Mặt khác từ giả thiết ta có : ab  bc  ca  abc Do ta có : abc   c a  b   a  b  Ta cần chứng minh : c a  b   a  b   a  b  c  Hay c  Giả sử c  a b a b  a b 1 1 a b  4  1 1 , ta có :       a b  a b c a b a b a b a b ( Vô lý ) Do bổ đề chứng minh hoàn tất 1     ab  bc  ca  abc  27 a b c Ta có : a  b  c  54  a  b  c   ab  bc  ca   54  a  b  c    2 2 a  b  c  54   a  b  c    2 2 a  b  c  54   a  b  c  Từ suy : P  9 Đặt t  a b c   P    t 2t a  b  c a  b  c  Xét hàm số : f t   9 9t  t  f ' t     , f ' t      t  t 2t t t t3 Bảng biến thiên: t f ' t     f t  Dựa vào bảng biến thiên ta có : f t   f 9  Vậy giá trị lớn biểu thức P 18 Đẳng thức xảy a  b  c  18 Bài toán 10 : Cho số thực dương a,b, c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  1   2 3 a b c a b b c  c a   ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết    Ta chứng minh bổ đề : a 3b  b 3c  c 3a  a  b  c  Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :     a  b  c  a 3b  b 3c  c 3a    a  2ab  bc  c  ac Điều đúng, đẳng thức xảy a  b  c hoán vị   a,b,c   sin2 47 , sin2 27 , sin2 7    Ta chứng minh : 1    a  b  c * a b c Ta có : a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ca Khi *  1    ab  bc  ca   a  b  c  a b c  0 Theo bất đẳng thức AM  GM giả thiết ta có: 1 1 1    ab  bc  ca      3abc a  b  c  ab bc ca a b c      abc  abc    a  b  c   abc  P  a  b2  c2  Đặt t  a  b  c  a  b  c2 9 Xét hàm số f t   t  , t   t ' t     nên hàm số f t  đồng biến 3;   t t  f t   f 3  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán 11 : Cho số thực dương a , b , c  1;  Tìm giá trị nhỏ biểu c  3c     thức: P   2  ab   c 16a  b    ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Ta có: a,b  1; 3  4a  b   16a  8ab  b   16a  b   8ab  Mặt khác:   c 16a  b    8abc abc c  3c    c  3c    c  2 c  1  ( ) c c  3c  3   Từ suy : 3  Đặt  t  abc  27 P     4ab  abc a 2b 2c a 2b 2c Xét hàm số : f t    , f ' t     , f ' t    t  t t t t Đẳng thức xảy a  1, b  3, c  12 Dễ thấy giá trị lớn biểu thức Bài toán 12 : Cho số thực dương a , b thỏa mãn a  b  Chứng minh : 1 1    2 2 a b a b ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Đặt a  b   2t , với t số thực thỏa  t   Ta có : a  b2   2t 1  t a 1 1 1  t  a  t  b           a b   t 1  t a  t a b  t  a Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 1  t  b  2  2t  2  t  a  t  b 1  t  a  2t      2 a b 1t a  at  a b  bt  b  2t   2t 2 1 1 1  t a  t b  2            a b b   t a2 b2  t  a  2t2 1  t 1 t  2t Ta cần chứng minh : 1  t 1  t    2t 2 , * Thật vậy, ta có :    1  2t  1    1    *  2  1  t 1 t  1  t 1  t     t     t 1   t  2  t  2  2t  2  1   ( Luôn t  )   2 1t  t   2t    Đẳng thức xảy t   a  b  t2 t 0 Bài toán 13 : Cho số thực dương a,b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh : 1 2    3 a b c a  b2  c2 ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Đặt a  b  c   6t , với t số thực thỏa  t   Ta có : 2 a b c   6t 1  2t a 1 1 1  2t a  2t b  2t c             a 1  2t a  2t a b c  2t  a b c   2t Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có : 1  2t  a   2t  b   2t  c   6t  2t  a  2t  b  2t  c    a b c a 1  2t  a   b 1  2t  b   c 1  2t  c   t  t  1 1 2      2 2 a b c  t  t    a b c  6t t  1 Ta cần chứng minh : 1  2t 1  t    6t 3 * , , ta có :    t 1      1  *    2t  t  1        2t    6t 4t   0 1  2t 1  t   6t  2t        2t   t  3  6t  2t  3  2    * *  1  2t 1  t   2t   6t       Ta lại có:  t   6t  2t  3    t   6t  3   Do bất đẳng thức ** Đẳng thức xảy t   a  b  c  Bạn đọc thử tổng quát cho lớp toán 12 13 Bài toán 14 : Cho số thực dương a1, a , an n  n 3  Chứng minh :    6n  ak  7n  k 1 ak  k 1 ( Sáng tác : Ngô Minh Ngọc Bảo ) Lời giải chi tiết Theo bất đẳng thức AM  GM ta có : n  k 1 ak  n  k 1 ak ak n   3n n  2 1     ak  1 k 1 ak  k 1 a k  k 1  n  2 ak n n  n 3  n 3       6n  ak     3n   39n  k 1 ak   k 1 ak  k 1 k 1 ak n  n 3  Ta cần chứng minh    3n   9n  7n , thật vậy, biến đổi ta có :  k 1 ak  k 1 ak n  n 3  n 2  n  3        ( )   n  n  n   n  n   a  a    k 1 k   k 1 ak   k 1 ak  k 1 k Bài toán 15 : Cho số thực không âm a1, a , , a n n  2 n    n   Chứng minh :  x k      n  2n   k 1   k 1 x k    n  1  n  ak2  n  n n  1t k 1  xk2 k 1 1i  j n Lời giải chi tiết Đặt n với t số thực thỏa :  t  xi x j  n 2  n  Ta có :  aiaj  ai  ai2   n2 n n n 1 t2  n n 1 t2 i 1  i 1  11j n   n Bất đẳng thức cho , chuẩn hóa :  ak  n i 1 Trường hợp : t  n n n.n  n    n2 Ta có : LHS   ak     n   n   a a k 1  k 1  k  k 1 k  ak k 1 n n  1  ak2 Và RHS  n  2n    2 k 1 1i  j n  n  2n   aia j n  1 n n n Trường hợp : Nếu  t  n  n  1 t  a 1 n k    a  n 1 t  ak  n  1t   k 1 k 1 k n Ta có : Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : n  n  1 t  ak k 1 ak   n a k 1 k   n  2   n  n n  1t   ak    k 1 n n n k 1 k 1 k 1  ak  n  1 t  ak   n n  1t   1  n  1t  1  t  Ta cần chứng minh :  n  n  1t n nt  2t  1   1  n  1 t  1  t     n n  1t ak2 1t n nt  2t  1 1  n  1 t  1  t    n 2t  2nt  n  t2 * *  n  LHS  n  RHS * *  n nt  2t  1  n  1t  nt  2t  n 1t    n t  1nt  2t  1  nt  2t  n  n  1t 2 2 3   n t  n t  2nt  nt  n  n t  3nt  2t  nt  2t  n 2t  nt  n   n     3n  2t t  1   t n  1n  2t  1  !  n  3n  t  n  3n  t  2 Đẳng thức xảy t   x  x  x   x n Tobe continue Hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn đọc thấy bất đẳng thức thú vị ! Một số không rõ nguồn đâu nên k đề cập đến tên tác giả , lời giải thân giải nên có sai xót mong bạn đọc góp ý theo địa : Facebook : Ngô Minh Ngọc Bảo Gmail : ngocbaosphcm@gmail.com