Phát triển tư duy và kỹ năng của học sinh qua bài bài toán giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất dựa vào đạo hàm

I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số nói riêng bất đẳng thức nói chung chủ đề quan trọng hấp dẫn chương trình giảng dạy học môn toán trường phổ thông Trong đề thi môn toán kì thi đại học, cao đẳng, tôt nghiệp thi học sinh giỏi cấp năm gần toán liên qua đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số thường xuyên có mặt thường câu hỏi khó đề thi Để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số hay biểu thức có nhiếu phương pháp như: Sử dụng bất đẳng thức cô si, bất đẳng thức Bunhia; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp miền giá trị; phương pháp đồ thị hình học; phương pháp chiều biến thiên… Nhưng thấy năm gần đây, đề thi việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ thường xuyên sử dụng, trình giảng dạy muốn hình thành cho học sinh có tư kỹ sử lí toán dựa vào đạo hàm.Nên xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Phát triển tư kỹ học sinh qua toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ dựa vào đạo hàm” Mục đích nghiên cứu: Khi tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ biểu thức có nhiền ẩn nhận thấy: • Học sinh sợ, bỏ qua, không hứng thú • Lúng túng, thụ động, xử lí từ đâu Vậy vấn đề đặt là: • Cần giúp cho học sinh hệ thống ghi nhớ đầy đủ kiến thức liên quan : đạo hàm bất đẳng thức cô si, bunhiacôpxki • Giúp học sinh hình thành phát triển tư linh hoạt, sáng tạo toán liên quan Đối tượng nghiên cứu: Để giải vấn đề đề xuất ý tưởng sau: • Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau buổi học từ khắc sâu kiến thức • Từ toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết kinh nghiệm giải toán qua tự tìm thuật giải cho lớp toán khác • Cho học sinh thấy mối liên hệ kiến thức học với thực tiễn sống Phương pháp nghiên cứu: • Xuất pháp từ toán cụ thể, cho học sinh nhìn rõ vấn đề tìm phương pháp giải cụ thể cho toán có sử dụng đạo hàm • Đúc kết thuật toán lớp toán khác có sử dụng đạo hàm • Thực nghiệm sử dụng đạo hàm toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: Cơ sở sáng kiến kinh nghiệm: 1.1 Bất đẳng thức cô si : a+b ≥ ab Dấu xảy a = b Cho hai số không âm,ta có : Tổng quát: Cho n số không âm a1, a2, …, an Ta có: a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xảy a1 = a2 = …= an n 1.2 Bất đẳng thức Bunhia_ Côpski: Cho hai cặp số ( a; b) ( c ; d ), ta có: (a + b ) ( c + d ) ≥ ( ac + bd ) Dấu xảy : a b = c d 1.3 Khái niệm giá trị lớn giá trị nhỏ : Cho hàm số y = f (x) xác định tập D • Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D : f ( x ) ≤ M ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D : f ( x0 ) = M Kí hiệu : M = maxDf ( x) • Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D : f ( x ) ≥ m ∀x ∈ D tồn x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Kí hiệu : m = Df ( x) Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Sau học xong khái niệm đạo hàm ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, buổi ôn tập đặt ví dụ để học sinh tự giải Sau thời gian từ năm đến mười phút thực kiểm chứng 47 học sinh lớp 12a7năm học 2016 -2017 Đặc điểm lớp thực nghiệm là: Số học sinh lớp: 47 Kết học tập môn toán năm học 2015 – 2016 là: học sinh có học lực giỏi 13 học sinh có học lực 23 học sinh có học lực trung bình học sinh có học lực yếu Nhận biết(nắm vững lý Thông hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt thuyết) dụng lý thuyết để thực giải toán hành ) Số học Phần trăm Số học Phần trăm Số học Phần trăm sinh sinh sinh 47 100% 27 57,4% 10 21,3% Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Hình thành tư kỹ học sinh qua việc giải toán tìm giá trị lớn giá trị nhổ nhất: Bài toán : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D Đây cách sử dụng trực tiếp chiều biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, toán thường gặp đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng khối D, B Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D: Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số D : • Tính y’ tìm điểm tới hạn • Tính giới hạn vô cực giới hạn vô cực (nếu có) Bước 2: So sánh giá trị hàm số điểm đặc biệt ( thông thường điểm cực đại, cực tiểu, điểm không tồn tịa đạo hàm ).Từ phép so sánh để tìm giá trị lớn nhỏ phải tìm Ví dụ : ( Đại học khối D năm 2011 ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= Giải: Ta có : x + 3x + x +1 y'= [ 0; 2] 2x2 + x ( x + 1) x = y'= ⇔   x = −2 Bảng biến thiên : t -∞ y’ o +∞ + 17 Y Vậy : max y = y (2) = [ 0;2] 17 y = y(0) = [ 0;2] Chú ý : Đối với toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] ta áp dụng phương pháp sau : Bước 1: Tìm điếm x1, x2, xn [ a; b] f’(x) = f’(x) không xác định Bước 2: Tính f(a), f( x1), f(x2), … , f(xn) Bước 3: Tìm số lớn M số nhỏ m số kết luận: max y = M , y = m [ a ;b ] [ a ;b ] Các toán thực đơn giản, học sinh không cần hiểu chất toán tìm kết toán Ta làm sau : y' = Ta có x2 + 4x ( x + 1) x = y' = ⇔   x = −2 Trong nghiệm thỏa mãn đoạn [0 ; 2] x= Ta có y ( ) = y ( ) = 17 y = y ( ) = max y = y ( ) = 17 Vậy [ 0;2] 0;2 [ ] Ví dụ 2: (Đại học khối D năm 2010 ) Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = − x + x + 21 − − x + 3x + 10 miền xác định Ta thấy toán khác so với ví dụ toán chưa cho ta biết tìm giá trị nhỏ hàm số tập nào, nên bước ta phải tập xác định hàm số Giải Tập xác định hàm số D= [-2 ;5] Ta có : ( − 2x ) y'= − x + x + 10 − ( − x ) − x + x + 21 − x + x + 21 − x + x + 10 y'= ⇔ x = Bảng biến thiên : Vậy -∞ x y’ 1 - y y = y( ) = -2 +∞ + 2 [ −2;5] Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= 4x + x4 Ta thấy : Trong ví dụ khó ví dụ 2, tập xác định hàm số tập R, lập bảng biến thiên học sinh phải có kiến thức vè giới hạn vô cực Giáo viên nhắc lại kiến thức giới hạn vô cực: f ( x) Cho hàm số y = g ( x) với f(x) g(x) đa thức y , lim y kết vô cực • Nếu bậc f(x) > bậc g(x) : lim x →+∞ x →−∞ • Nếu bậc f(x) = bậc g(x) : lim y = lim y = x →+∞ x →−∞ a với a,b hệ số x b có số mũ cao đa thức f(x) g(x) y = lim y = • Nếu bậc f(x) < bậc g(x) : lim x →+∞ x →−∞ Giải : Tập xác định: R Giới hạn : lim y = lim y = x →+∞ x →−∞ Ta có : y'= ( − 3x ) (1+ x )  x = y'= ⇔   x = −  Bảng biến thiên : x -∞ - y’ y + - Vậy +∞ 4 + 27 - 27   max y = y  ÷ = 27 y =  3   y  − ÷ = − 27 3  Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số khoảng ( ; ) y= Giải : + 1− x x Xét hàm số y = Ta có : + khoảng ( ; 1) 1− x x y'= Giới hạn : Bảng biến thiên : ( 1− x) − x2  x = −1 + y'= ⇔   x = −1 − lim y = lim y = +∞ x → 0+ x →1− x -∞ g'(x ) - +∞ + -∞ g(x) ( -1+ +∞ 3+2 ) y = y −1 + = + 2 Vậy ( 0;1) Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= cos x + cos x + cos x + Ta thấy : Đối với hàm số ta tính đao hàm hàm số lượng giác lập bảng biến thiên khó khăn, nên ta kết hợp với việc đặt ẩn phụ để đưa ví dụ Giải : t ≤ Hàm số trở thành : Đặt t = cosx, y= Ta có : t +1 t + t +1 với t ∈ [ −1;1] y'= (t −t − 2t + t + 1) t = y'= ⇔   t = −2 Bảng biến thiên : x - ∞ -2 y’ -1 + 0 1 +∞ - y π + k 2π , k ∈ Z y = đạt t = - ⇒ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z Vậy max y = đạt t = ⇒ cos x = ⇔ x = Chú ý : Việc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số có nhiều ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có tham số, xuất nhiều đề thi đại học năm gần đây, đề thi đại học khối B năm 2004 sau : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : m ( ) + x2 − − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 Giải: Đặt t = + x2 − − x2 , 0≤t ≤2 ⇒ − x = − t Phương trình trở thành : m( t + 2) = – t2 – t , với t ∈ 0;  ⇔ Xét hàm số : −t − t + =m t+2 −t − t + , t+2 −t − 4t f '(t ) = Ta có : ⇒ f (t ) = f ( ) = − 5   ;+∞ ÷   ⇒ P = − 23 ∀t ≥ 23 đạt  a = a b + =   b a b = t= ⇒ ⇔  a =1  1 1 a + b =  + ÷    a b  b = Ví dụ 10 : ( Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa năm 2010_ 2012 ) Cho số a, b, c thỏa mãn : a + b + c =  Tìm giá trị nhỏ  ab + bc + ca = −3 biểu thức: P = a + b6 + c6 Giải: Ta có: ( a + b + c )2 =a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc +ca ) = ⇒ a+b+c=0 ⇒ b+c=-a Mà ab + bc + ca = ⇒ a( b + c ) + bc = - ⇒ bc = a2 – Và a2 + b2 + c2 = ⇒ b2 + c2 = – a2 Ta thấy: 12 ( b − c) ≥ ⇔ b + c ≥ 2bc ⇔ − a ≥ ( a − 3) ⇔ a2 ≤ ⇒ ≤ a2 ≤ Khi đó: P = a + b6 + c = a + ( b + c ) ( b + c ) − 3b2 c    2 = a + ( − a ) ( − a ) − ( a − 3)    = 3a − 18a + 27 a + 54 Đặt a2 = t ( ≤ t ≤ ) Bài toán trở thành: Tìn giá trị lớn hàm số: ∀t ∈ [ 0; 4] f (t ) = 3t − 18t + 27t + 54 Ta có: f '(t ) = 9t − 36t + 27 t = f '(t ) = ⇔  t = Bảng biến thiên: x -∞ f'(x) 66 + - +∞ + 66 f(x) 54 ⇒ max f (t ) = 66 ⇒ maxP = 66 đạt số ( a; b; c ) hoán vị số ( 2; 1; 1) ( 2; -1; -1 ) ( -2; 1; 1) ( -2; -1; -1) Ví dụ 11:(Đại học khối A năm 2011) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1;4] x ≥ y ; y ≥ z Tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức: P = x + y + y + z + z + x Hướng dẫn: Khó khăn biểu thức P có ẩn x, y, z ta sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá đưa biểu thức P biểu thức có ẩn Dựa vào bất đẳng thức phụ: Xét a > 0, b > 0, ab ≥ ta có: 1 + ≥ + a + b + ab Giải: x y z Ta có: P = x + y + y + z + z + x 13 = y 2+3 x Ta có: + z y ⇒ P≥ + + 1 x 1+ z y 2+3 x + z 1+ y 1+ x z ≥ 1+ x y + 1+ x y x x x ≥ y với x, y ∈ [ 1; 4] ⇒ ≤ y ≤ y Suy ≤ t ≤ 2 t2 ⇒P≥ + ⇔ P≥ + 2t + + t + 1+ t t t2 Xét hàm số: f ( t ) = + ( ≤ t ≤ 2) 2t + + t −2 t ( 4t − 3) + 3t ( 2t − 1) +  6t − =