PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC Vũ hảI - 2016 CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC dạng 1: Ph-ơng trình bậc bậc hai , bậc cao với hàm số l-ợng giác Giải ph-ơng trình: 2cos2x- 4cosx=1 sinx 1) 2) 4sin3x+3 sin2x=8sinx 3) 4cosx.cos2x +1=0 1-5sinx+2cosx=0 5) 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 6) sin3x+2cos2x-2=0 cos x 7) tanx+ -2 = 8) +tanx=7 9)* sin6x+cos4x=cos2x cos x cot x 10)sin( x )-3cos( x )=1+2sinx 11) sin x 2sin x 2sin x 2 4) 13) sin x cos x 2sin x cos x 12) cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 14) sin x cos x 16) 15) cos2x+3cosx+2=0 4sin x 6sin x 3cos x cos x 17) 2cosx- sin x =1 dạng 2: Ph-ơng trình bậc sinx cosx : asinx+bcosx=c Cách 1: asinx+bcosx=c Đặt cosx= a a b2 ; sinx= b a b2 a b2 sin( x ) c t tan Cách 3: Đặt Cách : b a sin x cos x c a b tan a sin x cos x.tan c a c sin( x ) cos a Đặt 2t t2 x ;cos x (b c)t 2at b c ta có sin x t2 t2 Đăc biệt : sin cos 2sin( ) 2cos( ) sin cos sin( ) cos( ) sin cos 2sin( ) 2cos( ) 2 Điều kiện Pt có nghiệm : a b c giải ph-ơng trình : 1) 2sin15x+ cos5x+sin5x=4 1) 3(sin 3x cos x) cos 3x sin x cos x 2) sin x cos x 4) sin x cos x 6) (cos2x- sin2x)8) 3) 4sin x 3cos x sin x cos x sinx-cosx+4=0 cos x 2sin x.cos x 2cos x sin x cosx sinx 12) sin x cos x sin x cos x 14) sin x cos x sinx cosx 10) 8sinx 6 4sin x 3cos x 5) cos x sin x 7) x( ; ) cos x cos x cos3x (3 sin x) 2cos x cos x 3 9) cos x sin x cos x cos x 11) sin x cos x cos x sin x 13) 2cos x cos x sinx 15) (sin x cos x) sin x PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC Vũ hảI - 2016 Dạng Ph-ơng trình đẳng cấp sin x cosx Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0 Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx Chia vế cho cos2x ta đ-ợc: atan2x+btanx +c=d(tan2x+1) Cách2: áp dụng công thức hạ bậc Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0 Xét cos3x=0 cosx Chia vế cho cos3x ta đ-ợc Pt bậc tanx Giải ph-ơng trình Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos x sin2x = + sin2x Ví dụ : Gii phng trỡnh: 4sin2x 3sinxcosx + cos2x = Ví dụ :Gii phng trỡnh: 10cos x 5sinxcosx + 3sin x = Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos2x + sinxcosx + 3sin2x = Bài tập tự giải 2 1) 3sin2x - sinxcosx 6cos2x = 3) 2sin2x + sinxcosx 5cos2x = Vớ d 5: Gii phng trỡnh: tan x sin x cos x cos x Vớ d 6: Gii phng trỡnh: cos x sin x cos x 2) sin2x + (1 3)sin x cos x 3cos x 4) cos2x 3sin2x 4sinxcosx = Vớ d 3: Gii phng trỡnh: sin x cos x sin x cos x cos x Vớ d :Gii phng trỡnh: 3cos4x 4sin2xcos2x + sin4x = Vớ d 5: Gii phng trỡnh : sin x cos x cos 2 x sin x cos x Bài tập tự giải 1) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 2) sin3x + cos3x + 2cosx = 3) sinx 4sin3x + cosx = ) 4) sin x cos3 x sinx cosx 5) sin x cos x 3 sin x 6) 3(cos 3x sin x) sin 3x cos x 7) sin x cos x sinx cosx 8) (sin x cos x) sin x 9) 3(sin 3x cos x) cos 3x sin x 10) sin x cos8 x 11) sin x cos x 2cos x 12) 3sin2x- 13) sin2x+3 sinxcosx-2cos2x=4 14) sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 15) sin2x+6sinxcosx+2(1+ )cos2x-5- =0 17) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 19) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) 21) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 6/ cos3x= sin3x 23) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 16) sinx- 4sin3x+cosx=0 18) sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 20) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 22) cos3x- sin3x= cosx+ sinx 24) sin3(x- /4)= sinx 3 17 cos 2 x 16 sinxcosx+2cos2x =2 Dang Ph-ơng trình đối xứng đối v bt i xng với sinx cosx * a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c at + b * t t =c bt2+2at-2c-b=0 a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c at + b đặt t= sin x+cosx đặt t= sin x- cosx t t2 =c bt2 -2at+2c-b=0 Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos x(1 sin x cos x) cos x sin x Ví dụ :Gii phng trỡnh: (sin x+cosx)=tanx+cotx Ví dụ :Gii phng trỡnh: 1+tanx=2sinx + cos x Ví dụ :Gii phng trỡnh: 2sinx+cotx=2 sin2x+1 PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC Vũ hảI - 2016 Giải ph-ơng trình 1 1) sin x+cosx= tan x cot x 2) sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3) 1- sin3x+cos3x= sin2x 4) 7)* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 sin2x(sin x+cosx)=2 6) 1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 8) sin x cos x 4sin x 9)*cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 10) cosx+ 5) (1+sin x)(1+cosx)=2 1 10 +sinx+ = cos x sin x 11) sinxcosx+ sin x cos x =1 12) (sin x cos x 1) cos x cos x sin x 13) sin x cos x sin x 12(cos x sin x) 12 cos x 14) cos x sin x sin x sin x cos x sin x 15) sin x sin x cos x 16) sin x cos x 12(sin x cos x sin x) sin x cos x 12 17) sin x sin x cos x cos x sin x(sin x 1) 18) sin x(sin x cos x 1) cos x sin x sin x cos x 20) cos x cos x sin x 21) sin x sin x 8(2 cos x) 22) sin x sin x cos x 19) sin x cos x dang Giải ph-ơng trình ph-ơng pháp hạ bậc Công thức hạ bậc cos Công thức hạ bậc cos cos 2 ; sin 2 cos3 3sin x sin 3x 3cos cos 3 ; sin 4 Ví dụ :Gii phng trỡnh: sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos7x+ sin22x= cos22x- cosx Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos3x+ sin7x=2sin2( 5x 9x )-2cos2 2 Ví dụ :Gii phng trỡnh: cos2x+cos22x+cos23x=3/2 Ví dụ 5: Gii phng trỡnh: sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x Giải ph-ơng trình 1) sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 2) sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x với x (0; ) 3)sin24x-cos26x=sin( 10,5 10x ) với x (0; ) 4) cos4x-5sin4x=1 6) sin22x+ sin24x= sin26x 8) (sin22x+cos42x-1): sin x cos x =0 7) sin2x= cos22x+ cos23x 9) 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 cos4x=3 10) 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 11) cos4xsinx- sin22x=4sin2( 12) cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0 13) * 8cos3(x+ 14)cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x 15) 16) sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2 17) 3cos4x-2 cos23x=1 5) 4sin3x-1=3- cos3x )=cos3x sin x =1 5sin x x )-7/2 PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC Vũ hảI - 2016 Dang : Ph-ơng trình LG giải đẳng thức * a3 b3=(a b)(a2 ab+b2) * a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4 * a6 b6=( a2 b2)( a4 a 2b2+b4) Giải ph-ơng trình 1)sin4 x x +cos4 =1-2sinx 2 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3) cos3x+ sin3x= cos2x 5)cos6x-sin6x= 4) 13 cos 2x 8 vô nghiệm 6) sin4x+cos4x= cot( x )cot( x) 7) cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 9) cos6x+sin6x=cos4x 11) cos8x+sin8x= sin x cos4 x (tan x cot x ) sin x 8) cos3x+sin3x=cosx-sinx 10) sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x 12) (sinx+3)sin4 x x -(sinx+3) sin2 +1=0 2 Dang : Ph-ơng trình LG biến đổi tích 1) cos2x- cos8x+ cos4x=1 2)sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3)sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 sin2x+ cos2x+ cosx=0 sin 3x sin x 8) 5 10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x 4) 7) 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 cos x 11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 1 14) 2sin3x=2cos3x+ cos x sin x 9) 2cos2x-8cosx+7= 13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 15)cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16)cos2x-2cos3x+sinx=0 17) tanxsin2x-cos2x+2(2cosx- 18)sin2x=1+ cosx+cos2x 19)1+cot2x= 20) 2tanx+cot2x=2sin2x+ sin 2x 21)cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22) 1+tanx=sinx+cosx 24) 2 sin( x )= cos x sin 2 x )=0 cos x 23)(1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 1 sin x cos x 26) cotx-tanx=cosx+sinx 25) 2tanx+cotx= sin 2x 27) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 Dang : Ph-ơng trình LG phải thực công thúc nhân đôi, hạ bậc cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x sin2x=2sinxcosx tan2x= sinx = tan x tan x t2 2t ; cosx= t2 t2 tanx= 2t t2 Giải ph-ơng trình 1)sin3xcosx= + cos3xsinx 2) cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3) tanx+2cot2x=sin2x 4) sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 7) sin2x+cos2x+tanx=2 5) sin4x=tanx 8) tanx+2cot2x=sin2x 6) sin2x+2tanx=3 9) cotx=tanx+2cot2x 10)tan2x+sin2x= cotx 11)*(1+sinx)2= cosx PHNG PHP GII PHNG TRèNH LNG GIC Vũ hảI - 2016 Dang : Ph-ơng trình LG phải thực phép biến đổi tổng_tích tích_tổng Giải ph-ơng trình 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 1) sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 3) sin 3x sin x sin x cos x tìm x 0; cos x 4) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 cos x cot x 4sin x cos x cot x cos x 8) 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x 5) sin5x+ sinx+2sin2x=1 6) 7) tanx+ tan2x= tan3x Dang 10 : Ph-ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A đặt hàm B Giải ph-ơng trình 1) sin( x 3x )= sin( ) x k ; k ; 14 k 10 2 10 15 15 3)(cos4x/3 cos2x): tan x =0 5)cos( x 7)2cot2x+ )=sin(4x+3 ) )=sin2x sin( x x )=3 2 ) x 1 =cosx+ cos x cos x sin x tan x 11) +2 =3 sin x tan x 1 +2 =5 sin x x k ; k ; k sin x k x k ; k x k 8)cos2x+ k x k 6)3cot2x+2 sin2x=(2+3 )cosx k x k ; x 4) cosx-2sin( x k +5tanx+5cotx+4=0 cos x 9)sinx- cos2x+ 2)sin( 3x x k ; k , tan Dang 11 : Ph-ơng trình LG phải thực phép biến đổi phức tạp Giải ph-ơng trình 1) (16 2) cos x 4cos x x k 2)cos 3x x 16 x 80 =1 tìm n0 x Z x 21; 4 3) 5cos x cos x +2sinx=0 x k 4)3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x k 5) sin x tan x tan x sin x 2 2cos x x k 6)sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 2 7) tan xtan xtan 4x= tan x-tan x+tan4x 9) sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k 8)tanx+tan2x=-sin3xcos2x x k 10) 11)cos2 sin x cos x -1=tan2 x tan x 4 x x x 12/ x x k k x k sin x sin x sin x cos x x k ;sin x k 3x cos sin 2sin 2sin 12 12 5 x k ; k ; k 12 Dang 12 : Ph-ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá vế ,tổng l-ợng không âm,vẽ đồ thị đạo hàm Giải ph-ơng trình 1) cos3x+ cos 3x =2(1+sin22x) 2) 2cosx+ sin10x=3 +2sinxcos28x x k x k 3)cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x 0; 4) 8cos4xcos22x+ cos 3x +1=0 5) 6) 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k Z* để hệ có nghiệm sin x 7) 19) cos x x2 =cosx x0 8) (cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 1 cos x cos x cos x sin x x k x x k k