Giải pháp giúp học sinh hoc tốt Đại số tổ hợp

SKKN:Giải pháp giúp học sinh hoc tốt Đại số tổ hợp MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : ........................................................ 1. Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh học tốt Đại số tổ hợp”. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn toán. 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Đại số tổ hợp là một trong những nội dung toán học hay và quan trọng của chương trình toán học THPT, nội dung này luôn có mặt trong các đề thi Đại học các năm và gần đây nhất là đề thi Tốt nghiệp THQG. Thế nhưng nhiều học sinh không mấy “mặn mồi” với nội dung này. Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường nhằm lẫn giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa, đặc biệt học sinh hay nhằm lẫn giữa chỉnh hợp với tổ hợp, giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân. Và từ những điều đó các em thường lúng túng trong việc tìm lời giải của bài toán. Thế là những học sinh yếu, trung bình thì thụ động ngồi đợi bạn giải xong chép vào, còn những học sinh khá hơn thì rập khuôn trong lời giải, có em lại không tự tin vào lời giải riêng của mình, tiết học trở nên căng thẳng, nặng nề… làm cho các em không thích học toán tổ hợp. Do đó, việc tìm ra “giải pháp” giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm nêu trên và làm cho tiết học trở nên sinh động, hào hứng, phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh, làm cho các em có niềm tin vào bản thân, khơi dậy hứng thú học tập của các em xua tan bầu không khí “căng thẳng” của tiết học là vấn đề cần thiết. Điều này cũng góp phần đạt được kết quả cao khi giải bài toán tổ hợp nói riêng và đạt kết quả cao trong học toán nói chung. Và ở đây tôi chủ yếu nghiên cứu toán tổ hợp của Đại số và Giải tích 11. 3.2. Nội dung đề nghị công nhận là sáng kiến: Mục đích của giải pháp: Giúp cho học sinh biết nắm vững và hiểu rõ kiến thức của toán tổ hợp hơn, và biết vận dụng kiến thức vào giải toán, giúp các em linh hoạt hơn khi lựa chọn phương pháp giải bởi các bài toán giải bằng nhiều cách, giúp cho học sinh mạnh dạn và tự tin hơn khi giải toán. Từ đó làm cho học sinh thích học toán tổ hợp hơn góp phần nâng cao kết quả học tập. Nội dung giải pháp: Điểm mới của sáng kiến :  SKKN này giúp giáo viên khơi gợi hứng thú học tập của học sinh thông qua một số bài toán thực tế trong cuộc sống thường ngày.  SKKN này giúp học sinh nắm vững và biết vận dụng kiến thức vào giải toán bằng cách so sánh các khái niệm.  SKKN này hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng toán tổ hợp từ cơ bản đến nâng cao và nêu một vài sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải toán tổ hợp. Cách thức thực hiện: + Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi học toán tổ hợp của lớp trực tiếp giảng dạy và một số học sinh lớp khác. + Trao đổi với đồng nghiệp. + Nghiên cứu một số tài liệu về toán tổ hợp. Các bước thực hiện của giải pháp: a. Tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp. b. Giúp học sinh nắm vững kiến thức và biết cách vận dụng kiến thức để giải toán bằng cách hướng dẫn học sinh phân biệt các khái niệm tổ hợp: c. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán tổ hợp thường gặp. 3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp :

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số : Tên sáng kiến: “Giải pháp giúp học sinh học tốt Đại số tổ hợp” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn toán Mô tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Đại số tổ hợp nội dung toán học hay quan trọng chương trình toán học THPT, nội dung có mặt đề thi Đại học năm gần đề thi Tốt nghiệp THQG Thế nhiều học sinh không “mặn mồi” với nội dung Qua thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh thường nhằm lẫn kí hiệu với khái niệm định nghĩa, đặc biệt học sinh hay nhằm lẫn chỉnh hợp với tổ hợp, quy tắc cộng quy tắc nhân Và từ điều em thường lúng túng việc tìm lời giải toán Thế học sinh yếu, trung bình thụ động ngồi đợi bạn giải xong chép vào, học sinh rập khuôn lời giải, có em lại không tự tin vào lời giải riêng mình, tiết học trở nên căng thẳng, nặng nề… làm cho em không thích học toán tổ hợp Do đó, việc tìm “giải pháp” giúp học sinh khắc phục nhược điểm nêu làm cho tiết học trở nên sinh động, hào hứng, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh, làm cho em có niềm tin vào thân, khơi dậy hứng thú học tập em xua tan bầu không khí “căng thẳng” tiết học vấn đề cần thiết Điều góp phần đạt kết cao giải toán tổ hợp nói riêng đạt kết cao học toán nói chung Và chủ yếu nghiên cứu toán tổ hợp Đại số Giải tích 11 3.2 Nội dung đề nghị công nhận sáng kiến: - Mục đích giải pháp: Giúp cho học sinh biết nắm vững hiểu rõ kiến thức toán tổ hợp hơn, biết vận dụng kiến thức vào giải toán, giúp em linh hoạt lựa chọn phương pháp giải toán giải nhiều cách, giúp cho học sinh mạnh dạn tự tin giải toán Từ làm cho học sinh thích học toán tổ hợp góp phần nâng cao kết học tập - Nội dung giải pháp: * Điểm sáng kiến :  SKKN giúp giáo viên khơi gợi hứng thú học tập học sinh thông qua số toán thực tế sống thường ngày  SKKN giúp học sinh nắm vững biết vận dụng kiến thức vào giải toán cách so sánh khái niệm  SKKN hệ thống phương pháp giải cho dạng toán tổ hợp từ đến nâng cao nêu vài sai lầm học sinh thường mắc phải giải toán tổ hợp * Cách thức thực hiện: + Tìm hiểu khó khăn học sinh học toán tổ hợp lớp trực tiếp giảng dạy số học sinh lớp khác + Trao đổi với đồng nghiệp + Nghiên cứu số tài liệu toán tổ hợp * Các bước thực giải pháp: a Tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp Khi làm việc dù có khó khăn “yêu thích” có “đam mê” làm được, học tập Nên để tạo cho học sinh hứng thú học toán tổ hợp Tôi lồng vào học toán thực tế câu hỏi có vấn đề Từ kích thích tò mò, muốn khám phá, muốn giải vấn đề học sinh Nhờ em tiếp thu cách chủ động, hào hứng dễ dàng tạo cho em có niềm tin, niềm vui học tập điều làm cho tiết học nhẹ nhàng, sinh động Do đó, để hình thành quy tắc cộng quy tắc nhân cho học sinh Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời vài câu hỏi mà học sinh thường gặp sống Chẳng hạn như: “ Một quán nước có loại sinh tố loại nước Bạn A muốn chọn loại thức uống Hỏi bạn A có cách chọn? ” hay “ Bạn A có áo sơmi khác quần tây khác Hỏi bạn A có cách chọn đồ ? ”… Câu hỏi quen nên học sinh hào hứng, tích cực trả lời Giáo viên nhận xét câu trả lời giới thiệu quy tắc cộng quy tắc nhân Sau hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc trả lời câu hỏi sau: Câu hỏi 1: - Chọn thức uống sinh tố có cách chọn - Chọn thức uống nước có cách chọn Nên theo quy tắc cộng có + = 11 cách chon loại thức uống Câu hỏi 2: Chọn đồ gồm bước: Bước : Chọn áo có cách chọn Bước : Chọn quần có cách chọn Vậy bạn A có × = cách chọn quần áo Tuỳ đặc điểm lớp mà giáo viên lồng ghép, dẵn dắt học sinh vào học cách tự nhiên, khơi dậy niềm đam mê học tập em, kích thích em khám phá kiến thức Chẳng hạn, để nêu khái niệm Hoán vị giáo viên đặt câu hỏi cho lớp sau: “ Có cách xếp thời khoá biểu cho buổi học tiết gồm: Toán, Lí, Hoá, Văn, Sinh? ” Vấn đề đặt gần gủi với học sinh nên em phấn khởi trả lời Thật nhẹ nhàng giáo viên đưa khái niệm Hoán vị vào học Khi học sinh hiểu rõ khái niệm Hoán vị, giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi ngắn gọn xếp môn học cho buổi học có P5 = 5! = 120 cách Lúc này, em thấy sử dụng kiến thức Hoán vị giải đáp nhanh gọn câu hỏi học sinh thấy ứng dụng Toán học vào đời sống Khi đó, giáo viên cho học sinh làm thêm vài ví dụ toán Hoán vị Tiếp theo để đưa khái niệm “Chỉnh hợp” vào học giáo viên hỏi lớp: “Cô có quà Cô có cách phát quà cho bạn A B?” Lớp hào hứng trả lời, khái niệm “Chỉnh hợp” đưa vào học cách tự nhiên Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức “ Chỉnh hợp” trình bày ngắn gọn lời giải toán sau: Mỗi cách chọn quà từ quà để phát cho bạn A B “chỉnh hợp” chập 3! 2 Nên có A = − ! = cách phát ( ) Qua giúp em thấy kiến thức thật cần thiết để giúp em giải toán thực tế thật nhanh, xác Cuối để đưa khái niệm “ Tổ hợp” vào học giáo viên hỏi lớp “Tổ lớp 11A9 có nam nữ Vậy có cách để tổ trưởng lập nhóm trực nhật gồm người? Bài toán đặt với thực tế lớp nên em trao đổi sôi nổi, hào hứng trả lời Tuy chưa có đáp án em thật quan tâm đến vấn đề đặt Thế khái niệm “Tổ hợp” đưa vào học Sau đó, giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời câu hỏi kiến thức “Tổ hợp” sau: Mỗi cách chọn học sinh từ 10 học sinh tổ hợp chập 10 phần tử Nên có C10 = 120 cách b Giúp học sinh nắm vững kiến thức biết cách vận dụng kiến thức để giải toán cách hướng dẫn học sinh phân biệt khái niệm tổ hợp: b Quy tắc cộng quy tắc nhân Bước 1: Nêu hai quy tắc cộng quy tắc nhân Qui tắc cộng “ Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có n cách thực hiện, hành động có m cách thực hiệnkhông trùng với cách hành động thứ nhât công việc có n + m cách thực ” Qui tắc nhân ““ Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành công việc.” Bước 2: Giải thích rõ ràng cụm từ “ hai hành động ” “ hai hành động liên tiếp ”như sau: “ Nếu thực hành động thứ hoàn thành công việc mà không cần thực hành động thứ hai ta sử dụng quy tắc cộng để đếm số cách hoàn thành công việc” “Để hoàn thành công việc ta phải thực liên tiếp hai hành động không bỏ qua hành động ta sử dụng quy tắc nhân để đếm số cách thực công việc” b Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Bước 1: Phân tích so sánh khái niệm “Tổ hợp” không kể đến “thứ tự” phần tử chọn nghĩa việc thay đổi vị trí phần tử không tạo cách Còn “ Chỉnh hợp” ngược lại, kể đến “thứ tự” phần tử chọn ra, việc thay đổi “thứ tự” phần tử sinh cách mới, “ chỉnh hợp ” “ tổ hợp’’ “ hoán vị ” “Mỗi hoán vị n phần tử ” “ chỉnh hợp chập n n phần tử đó” Khi ta lập bảng tổng hợp sau: Cần nhớ Hoán vị Công thức Pn = n! Bản chất Đổi chỗ phần Đổi chỗ phần Đổi chỗ phần tử tử ảnh hưởng đến tử ảnh hưởng đến không ảnh hưởng đến kết Chỉnh hợp A nk = n! ( n − k) ! Có cách chọn học sinh từ học sinh để xếp hạng I, II, III Đáp án A 34 = bạn số hoán Ckn = kết Bài tập phân Có cách xếp bạn thành biệt hàng ngang Số cách xếp Tổ hợp 4! = 24 ( − 3) ! n! k! ( n − k ) ! kêt Có cách học sinh từ học sinh để quét lớp C34 = 4! =4 3! ( − 3) ! vị phần tử Nên có P4 = 4! Bước 2: Sử dụng câu hỏi phân loại: Để giúp học sinh biết dùng hoán vi, chỉnh hợp, tổ hợp kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (thường áp dụng với toán kết hợp) vào giải toán Tôi dùng câu hỏi phân loại sau: Câu hỏi phân loại Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp 1/ Có xếp thứ Có Có Không tự hay không? 2/ Nếu xếp Tất cả( n phần tử) Chỉ k phần tử n xếp phần tử phần tử? Với câu hỏi đầu cho ta tổ hợp, với câu hỏi ta nhận hoán vị chỉnh hợp c Hướng dẫn học sinh giải dạng toán tổ hợp thường gặp Dạng 1: Sắp xếp số chữ số - Đối với dạng toán tuỳ theo yêu cầu toán mà ta áp dụng “hoán vị”, “chỉnh hợp” hay “tổ hợp Ví dụ : Từ chữ số 1, 2, 3, 4, có số tự nhiên a) Có chữ số chữ số đôi khác b) Có chữ số chữ số đôi khác c) Có tập hợp gồm chữ số đôi khác tạo thành từ số cho Giải : a) Số số tự nhiên cần tìm số hoán vị số cho Nên có P5 = 5! = 120 (số) b) Số số tự nhiên cần tìm số tổ hợp chập số cho 5! Nên có A = − ! = 60 (số) ( ) c) Số tập hợp cần tìm số tổ hợp chập số cho 5! Nên có C5 = 3! − ! = 20 ( tập hợp) ( ) Dạng 2: Sắp xếp số có chữ số - Đối với dạng ta áp dụng “quy tắc nhân” để chọn từ từ áp dung “chỉnh hợp” Và cần lưu ý điều “các số có chữ số phải khác chữ số 0” Ví dụ : Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số đôi khác Giải : Cách 1: Sử dụng quy tắc nhân: Gọi số cần tìm n = abcde Chọn a: có cách( a#0) Chọn b : có cách ( bỏ chữ số a) Chọn c: có cách ( bỏ chữ số a, b) Chọn d : có cách chọn ( bỏ chữ số a, b, c) Chọn e : có cách ( bỏ chữ số a, b, c, d) Nên theo quy tắc nhân có × × × × = 600 (số) Ngoài ta giải gọn bảng sau: Số cách chọn a b 5 c d e Vậy theo quy tắc nhân có × × × × = 600 (số) Cách 2: Sử dụng chỉnh hợp Vì a # nên chọn a có : cách ( trừ số 0) 5! Chọn bcde có A = − ! = 120 cách ( ) Vậy số phải tìm có 5.A 54 = 600 (số) Dạng 3: Sắp xếp số có điều kiện kèm theo Ví dụ : Từ chữ số 1, 2, 3, 4, có số : a) Số chẵn có chữ số chữ số đôi khác b) Số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số hàng đơn vị Giải: Gọi số cần tìm n = abc a) Vì n chẵn Vì n chẵn ⇒ c chẵn ⇒ c ∈ { 2,4} nên chọn c : có cách Chọn ab : có A 24 cách Theo quy tắc nhân có 2.A = 24 số b) Chọn c =5 có : cách chọn Chọn ab : có A 24 cách Theo quy tắc nhân có 1.A = 12 (số) - Đối với dạng toán cần nhắc học sinh lưu ý : Để lập số lẻ, chẵn, chia hết cho ta chọn chữ số tận trước, chọn chữ số ( có chữ số 0) chọn chữ số lại Trong trường hợp lập số chẵn từ tập hợp số có chữ số phải chia trường hợp : Trường hợp : Chữ số tận Trường hợp : Chữ số tận khác Ví dụ : Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn có chữ số với chữ số đôi khác Giải : - Gọi số cần tìm n = abcde Vì n chẵn ⇒ e chẵn ⇒ e ∈ { 0,2,4,6} - Có trường hợp: Trường hợp 1: + Nếu e = có cách chọn e + Chọn chữ số chữ số lại (bỏ số chọn) xếp vào vị trí a, b, c, d có A cách Theo quy tắc nhân có 1.A 64 = 360 số Trường hợp 2: + Nếu e ≠ e ∈ { 2, 4,6} nên có cách chọn chữ số e + Chọn a có cách chọn (vì a ≠ 0,a ≠ e ) + Chọn chữ số chữ lại để xếp vào vị trí bcb có A 35 cách Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.A = 900 số Tổng cộng trường hợp ta có : 360 + 900 = 1260 số Dạng 5: Sắp xếp vị trí theo hàng - Đối với dạng ta sử dụng hoán vị để giải Ví dụ : Có cách 10 học sinh thành hàng dọc? Giải : Mỗi cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc hoán vị 10 phần tử Nên có P10 = 10! cách xếp Và cần lưu ý học sinh xếp theo hàng ngang làm tương tự Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn - Để xếp n phần tử theo vòng tròn ta làm sau: Bước 1: Ta lấy cố định phần tử Bước 2: Kế tiếp xếp n-1 phần tử lại vào n-1 vị trí lại giống xếp theo hàng có Pn −1 cách xếp Ví dụ : Có cách xếp 10 người ngồi quanh bàn tròn? Giải : - Lấy cố đinh người - Như người xếp vào vị trí lại có P9 cách xếp Vậy số cách xếp 10 người quanh bàn tròn P9 = 9! cách Dạng : Đếm số tổ hợp, chỉnh hợp - Đối với dạng toán hướng dẫn học sinh phương pháp đếm bản: “đếm trực tiếp” “đếm gián tiếp” “ Phương pháp đếm trực tiếp” phương pháp thẳng vào toán đặt nói nôm na “hỏi gì, đếm này” công cụ chủ yếu để hỗ trợ cho phương pháp quy tắc cộng quy tắc nhân Ví dụ : Lớp 11A9 có 45 học sinh, cần chọn ban chấp hành đoàn lớp gồm bí thư, phó bí thư, uỷ viên Hỏi có cách chọn? Giải : Bước 1: Chọn học sinh từ 45 học sinh để làm làm bí thư, làm phó bí thư có A 245 = 1980 cách chọn Bước 2: Chọn học sinh 43 học sinh lại làm uỷ viên, cách chọn “không có thứ tự” nên số cách chọn C243 = 903 cách chọn Vậy số cách chọn ban chấp hành lớp : 1980.903 = 1787940 cách chọn Đứng trước toán phức tạp ta không đếm ta hướng dẫn học sinh phận chia toán đưa toán phức tạp thành toán đơn giản dễ đếm hơn.Tuy nhiên để phân chia việc học sinh phải nắm vững quy tắc cộng quy tắc nhân phải đảm bảo chia đủ trường hợp trường hợp độc lập với Nên thường trình phân chia học sinh thường vi phạm tính “đầy đủ” “độc lập” dẫn đến giải sai Ví dụ : Đội nhiên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Tính số cách chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Lời giải sai : + Trường hợp : Chọn học sinh lớp A lớp B có C9 cách + Trường hợp : Chọn học sinh lớp A lớp C có C84 cách + Trường hợp : Chọn học sinh lớp B lớp C có C7 cách Vậy có C84 + C84 + C47 = 231 cách 10 Lời giải “sai” tính lặp lại trường hợp chọn học sinh lớp A trường hợp chọn học sinh lớp B Lời giải sai : 3 + Trường hợp : Chọn học sinh lớp A học sinh lớp B C có C5C4 + C5C3 = 25 2 2 + Trường hợp 2: Chọn học sinh lớp A học sinh lớp B C có C5 C4 + C5 C3 = 90 3 + Trường hợp : Chọn học sinh lớp A học sinh lớp B C có C5C4 + C5C3 = 70 + Trường hợp : Chọn học sinh lớp B học sinh lớp C có C14 C33 = + Trường hợp : Chọn học sinh lớp B học sinh lớp C có C24 C23 = 18 + Trường hợp : Chọn học sinh lớp B học sinh lớp C có C34 C13 = 12 3 + Trường hợp : Chọn học sinh lớp A học sinh lớp B C có C5C4 + C5C3 = 25 Theo quy tắc cộng có 25 + 90 + 70 + + 18 + 12 + 25 = 219 cách Lời giải “sai” chia thiếu trường hợp chọn học sinh toàn lớp A toàn lớp B Lời giải : + Trường hợp : Chọn học sinh lớp có C54 + C44 = 2 + Trường hợp : Chọn học sinh có lớp A lớp B có C5C4 + C5 C4 + C5C4 = 120 + Trường hợp : Chọn học sinh có lớp A lớp C có C15C33 + C52 C32 + C35C13 = 65 + Trường hợp : Chọn học sinh có lớp B lớp C có C14 C33 + C24 C32 + C34 C13 = 34 Theo quy tắc cộng có : + 120 + 65 + 34 = 225 cách “ Phương pháp đếm gián tiếp” “đếm không cần đếm để biết cần đếm” Phương pháp thường áp dụng cho toán tìm số cách chọn thoả “ tính chất P đó” có nhiều trường hợp, mà số cách chọn “không thoả tính chất P” lại trường hợp làm sau : “ Số cách chọn thoả P = Số cách chọn tuỳ ý – Số cách chọn không thoả P” Nên ta giải toán có lời giải sai cách “đếm gián tiếp” sau : 11 - Chọn tuỳ ý học sinh 12 học sinh có C124 = 495 cách - Chọn học sinh có mặt đủ lớp, ta có trường hợp : + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có C5 4.3 = 120 cách + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.C24 = 90 cách + Chọn học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C có 5.4.C3 = 60 cách Vậy có 495 − (120 + 90 + 60) = 225 cách chon thoả yêu cầu toán - Do đó, việc áp dụng cách giải giúp cho học sinh phân chia trường hợp lời giải toán gọn Nên nhiều học sinh chọn cách đếm gián tiếp để giải Tuy nhiên, làm cách sai sót dễ mắc phải phát biểu mệnh đề “ không thoả tính chất P ” thiếu “chính xác” Ví dụ ta xét toán sau : “Một thầy giáo có 12 sách đôi khác Gồm Văn, Âm Nhạc, Hoá Thầy muốn chọn tặng cho học sinh cho tặng xong thể loại Hỏi có cách chọn ? ” Tính chất P toán “ thể loại còn” không thoả tính chất P “ có thể loại không ” Nhưng không phân tích kỹ dễ hiểu sai thành “ thể loại không ” Do đó, cần nhắc nhở học sinh phải “đảm bảo tính xác” mệnh đề “không thỏa tính chất P” sử dụng “phương pháp đếm gián tiếp” 3.3 Khả áp dụng giải pháp : Sáng kiến nghiên cứu áp dụng cho việc giảng dạy toán, chủ yếu phần toán tổ hợp Đại Số Giải tích 11 Đối tượng học sinh yếu, trung bình, toán tổ hợp trường THPT 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp : Sáng kiến áp dụng học kì I năm học 2015 – 2016 đối tượng học sinh lớp 11A9 Qua thời gian áp dụng sáng kiến nhận thích học toán tổ hợp trước Những học sinh yếu không “thờ ơ” hay “thụ động” ngồi im đợi bạn giải xong chép vào, mà tham gia tích cực việc tìm lời giải toán giáo viên yêu cầu Sự tiến học sinh thể rõ qua bảng so sánh điểm số kiểm tra tiết chương II : Tổ hợp – Xác suất Đại số Giải tích 11 hai năm học 2014 -2015 năm học 2015 – 2016 sau : 12 Lớp Số học Điểm sinh 6.5 ≤ điểm[...]... gián tiếp” như sau : 11 - Chọn tuỳ ý 4 học sinh trong 12 học sinh có C124 = 495 cách - Chọn 4 học sinh có mặt đủ cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp : 2 + Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có C5 4.3 = 120 cách + Chọn 1 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có 5.C24 3 = 90 cách 2 + Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có 5.4.C3 = 60 cách Vậy có...Lời giải “sai” do đã tính lặp lại trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp A và trường hợp chỉ chọn 4 học sinh lớp B Lời giải sai 2 : 1 3 1 3 + Trường hợp 1 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có C5C4 + C5C3 = 25 2 2 2 2 + Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B hoặc C có C5 C4 + C5 C3 = 90 3 1 3 1 + Trường hợp 3 : Chọn 3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B hoặc... 70 + Trường hợp 4 : Chọn 1 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C có C14 C33 = 4 + Trường hợp 5 : Chọn 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có C24 C23 = 18 + Trường hợp 6 : Chọn 3 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có C34 C13 = 12 1 3 1 3 + Trường hợp 7 : Chọn 1 học sinh lớp A và 3 học sinh lớp B hoặc C có C5C4 + C5C3 = 25 Theo quy tắc cộng có 25 + 90 + 70 + 4 + 18 + 12 + 25 = 219 cách Lời giải “sai” do... tượng là học sinh lớp 11A9 Qua thời gian áp dụng sáng kiến tôi nhận thích học toán tổ hợp hơn trước Những học sinh yếu thì không còn “thờ ơ” hay “thụ động” ngồi im đợi bạn giải xong chép vào, mà tham gia tích cực việc tìm lời giải bài toán khi giáo viên yêu cầu Sự tiến bộ của học sinh còn được thể hiện rõ qua bảng so sánh điểm số của bài kiểm tra 1 tiết chương II : Tổ hợp – Xác suất của Đại số và Giải. .. “phương pháp đếm gián tiếp” 3.3 Khả năng áp dụng của giải pháp : Sáng kiến này được nghiên cứu và áp dụng cho việc giảng dạy toán, chủ yếu là phần toán tổ hợp của Đại Số và Giải tích 11 Đối tượng ở đây là học sinh yếu, trung bình, khá toán tổ hợp trong các trường THPT 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp : Sáng kiến được áp dụng trong học kì I năm học 2015... giải “sai” do chia thiếu trường hợp chọn 4 học sinh toàn lớp A hoặc toàn là lớp B Lời giải đúng : + Trường hợp 1 : Chọn 4 học sinh cùng một lớp có C54 + C44 = 6 1 3 2 2 3 1 + Trường hợp 2 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp B có C5C4 + C5 C4 + C5C4 = 120 + Trường hợp 3 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp A và lớp C có C15C33 + C52 C32 + C35C13 = 65 + Trường hợp 4 : Chọn 4 học sinh chỉ có lớp B và lớp C có... Phương pháp đếm gián tiếp” là “đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần đếm” Phương pháp thường áp dụng cho các bài toán tìm số cách chọn thoả “ tính chất P nào đó” có quá nhiều trường hợp, mà số cách chọn “không thoả tính chất P” lại ít trường hợp hơn và làm như sau : “ Số cách chọn thoả P = Số cách chọn tuỳ ý – Số cách chọn không thoả P” Nên ở đây ta có thể giải bài toán có lời giải sai... và 2 học sinh lớp C có 5.4.C3 = 60 cách Vậy có 495 − (120 + 90 + 60) = 225 cách chon thoả yêu cầu bài toán - Do đó, việc áp dụng cách giải trên giúp cho học sinh phân chia đúng trường hợp hơn và lời giải bài toán gọn hơn Nên nhiều học sinh chọn cách đếm gián tiếp để giải Tuy nhiên, khi làm cách này sai sót dễ mắc phải là phát biểu mệnh đề “ không thoả tính chất P ” thiếu “chính xác” Ví dụ ta xét bài... yêu cầu Sự tiến bộ của học sinh còn được thể hiện rõ qua bảng so sánh điểm số của bài kiểm tra 1 tiết chương II : Tổ hợp – Xác suất của Đại số và Giải tích 11 của hai năm học 2014 -2015 và năm học 2015 – 2016 sau : 12 Lớp Số học Điểm sinh 6.5 ≤ điểm