Bài tập số phức hay và khó

CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC CHƯƠNG I SỐ PHỨC Chào mừng bạn đến với chương sách Song hẳn bạn thắc mắc tựa đề cho chương mở đầu lại bắt đầu tìm hiểu chủ đề SỐ PHỨC Bạn hình dung để chinh phục Kì Thi THPT Quốc Gia giống việc bạn phải “vượt qua bậc thang” từ thấp tới cao Và để vươn tới nấc thang cao việc bước từ bậc thang cách chắn l{ điều cần thiết Nghĩa l{ SỐ PHỨC “chủ ý” xếp vào phần đơn giản mà bạn dễ dàng lấy điểm số kì thi THPT Quốc Gia Bởi, bạn cần biết thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia học tốt chủ đề Bạn đ~ s~n s{ng chưa ? Tôi tin l{ đôi ch}n bạn muốn bước Thế chần chừ nữa, bắt đầu bước tới nấc thang ! Bài 1: THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC Chúng ta đ~ biết cách thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia tập số thực Với tập số phức c|c phép to|n n{y thực ? Bài học giúp bạn trả lời đầy đủ câu hỏi Một số phức z biểu diễn dạng z  a  bi ( a, b  ) a gọi phần thực, b gọi phần ảo i đơn vị ảo với i  1 Ví số phức z   3i có phần thực phần ảo 3 Một số phức z  a  bi số phức liên hợp z  a  bi NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC CÁCH THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN Ví dụ 1: Cho số phức z1   3i , z2   4i Hãy thực phép toán sau: z1  z2 , z1  z2 , 3z1 , z1.z2 , z1 z2 Giải  z1  z2    3i     4i   (2  3)  (3  4)i   i  z1  z2    3i     4i   (2  3)  (3  4)i  1  7i  3z1    3i    9i  z1.z2    3i   4i     12   (8  9)i  18  i  z1  3i (2  3i)(3  4i) (6  12)  (8  9)i 6  17i 17       i 2 z2  4i (3  4i )(3  4i ) 4 25 25 25 Ví dụ 2: Hãy viết biểu thức sau dạng số phức a  bi (a, b  ) A  (1  2i )(3  i )  A  (1  2i )(3  i )    5i  B  2(2  3i)   2i 1 i Giải B   i  i  2i   1 i  i 1 i 2(2  3i ) 2(2  3i)(1  i)   2i  (3  2)  (1  6)i    2i 1 i (1  i )(1  i ) 2(5  i )   2i   5i  (5  i )   2i   2i 12  12  i  i  2i (1  i ) (3  i )(2  i ) (1  2i)(1  i)       i  i  i (1  i )(1  i ) (2  i )(2  i) (1  i)(1  i)  NGUYỄN THANH TÙNG 2i  i  i      i 10 10 Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC  CHÚ Ý : Nếu phép toán liên quan tới lũy thừa bậc cao bạn cần nhớ thêm công cụ sau để giải quyết: Ví dụ 3: Hãy viết biểu thức sau dạng số phức a  bi (a, b  ) A  i 2015  i 2016  (1  i ) 2016 B   i  i   i 2015  i 2016 C  (1  i)  1 i  D     1 i  102 2017 Giải 1008 A  i 2015  i 2016  (1  i ) 2016  (i )1007 i  (i )1008  (1  i )   (1)1007 i  (1)1008  (2i)1008  (21008  1)  i Cách 1: Ta có B   i  i   i 2015  i 2016 (1) Suy iB  i  i  i  i 2016  i 2017 (2) Lấy (1) – (2) ta được: (1  i) B   i 2007   (i )1008 i   i  B    0.i Cách 2: B tổng cấp số nhân với số hạng đầu u1  công bội q  nên ta có: B  u1  qn  i 2017  (i )1008 i  i     Vậy B    0.i 1 q 1 i 1 i 1 i 1008 C  (1  i )2017  (1  i )2  102  1 i  D     1 i  (1  i)   2i   (1  i )     (1  i)(1  i)  NGUYỄN THANH TÙNG 1008 102  2i    2 (1  i)  21008  i  504 102 i 102 Trang    i2 51 (1  i)  21008  21008 i  (1)51  1  1  0.i ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Chắc bạn cảm thấy “chưa sướng” với học chưa thấy “áp lực” xuất Công việc thực phép toán cộng, trừ, nhân, chia mà biết từ bắt đầu làm quen với môn Toán Có chút khác biệt, song tháo gỡ Không quên nhắc cẩn thận phép toán để đưa đến kết xác – điều mà chắn bạn học qua bài học Ngoài kết lúc cần thời gian nhanh Sự khác biệt câu hỏi tính toán không nằm độ khó, dễ người khác việc nhanh họ Để làm điều này, bạn phải rèn luyện thông qua việc làm nhiều tập, “kĩ biến thành kĩ xảo” Bạn sớm cải thiện tốc độ nhanh chóng – điều quan trọng để ta xuất phát với khởi đầu thuận lợi Hẳn bạn cảm thấy có nhiều lượng để vươn cao Vậy tiếp tục ! Bài 2: TÌM SỐ PHỨC VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG Bài toán: Xác định số phức z đại lượng đặc trưng thỏa mãn điều kiện (*) Đ}y l{ b{i to|n xuất với tần xuất nhiều c|c đề thi Để làm tốt dạng toán này, việc biết cách thực phép toán Bài bạn cần nắm thêm kiến thức sau: NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Đầu tiên ta giải toán với trường hợp Cụ thể: Trường hợp 1: Trong (*) l{ phương trình có mặt z ( z ) Phương pháp giải  Bước 1: Giải phương trình (*) với ẩn z (hoặc z ) , suy z (hoặc z )  Bước 2: Dựa vào yêu cầu b{i to|n, suy đ|p số CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) z  11  2i Tìm môđun z Giải 11  2i (11  2i)(1  2i) 11   22i  2i 15  20i (1  2i ) z  11  2i  z       4i  2i (1  2i)(1  2i) 12  2 Vậy môđun z là: z  32  (4)2  Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn (2  i ) z  Tìm môđun số phức w  z   i 2(1  2i)   8i 1 i Phân tích Điều kiện (2  i) z  2(1  2i)   8i chứa z nên ta thực phép toán  z 1 i Khi w  z   i  a  bi  w  a  b2 Giải Ta có: (2  i ) z  2(1  2i )(1  i ) 2(1  2i)   8i   8i  (2  i ) z  (1  i )(1  i ) 1 i 2(3  i )   8i  (2  i) z   i   8i  (2  i) z   7i  7i (4  7i)(2  i) 15  10i z     2i 2i 5  (2  i) z   w  z   i   2i   i   3i  w  42  32  Vậy w  Ví dụ Cho z số phức có phần ảo dương v{ thỏa mãn z  z  20  Tìm phần thực phần ảo số phức: w   z Phân tích Điều kiện z  z  13  chứa z v{ l{ phương trình bậc với z  z Khi w   z  a  bi , suy phần thực, phần ảo NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Giải Phương trình z  z  20  có biệt thức  '   20  16  16i  (4i) nên phương trình có hai nghiệm z   4i z   4i (loại – z có phần ảo dương) (bạn nên kiểm tra lại việc sử dụng máy tính để giải phương trình bậc 2) Khi w   z   (2  4i)    16i  16i  11  16i Vậy số phức w có phần thực 11 phần ảo 16 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn (1  2i) z  (1  3i)(2  i) Tìm phần thực phần ảo số phức z Phân tích Điều kiện (1  2i) z  (1  3i)(2  i) chứa z nên ta thực phép toán  z  z Giải Điều kiện (1  2i) z  (1  3i)(2  i)  (1  2i) z   5i z  5i 5(1  i )(1  2i ) 5(1  3i )    1  3i  2i (1  2i )(1  2i ) Suy z  1  3i Vậy z có phần thực 1 phần ảo 3 Trường hợp 2: Trong (*) có chứa f ( z, z ) (chứa đồng thời z z ) có dấu môdun " " Sơ đồ giải CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z (2  i)  z   3i Tìm môđun số phức z Giải Gọi z  a  bi ( a, b  ), điều kiện toán trở thành: (a  bi)(2  i)  a  bi   3i  2a   2bi  b  a  bi   3i  (3a  b)  (a  b)   3i 3a  b  a     z   i Vậy môđun z là: z  22  12  a  b  b    NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Ví dụ Tìm môđun số phức z thỏa m~n điều kiện:   1) z  z (1  i )  z  8i  (D – 2014) 2) z  3(1  i) z   9i (B – 2014) Phân tích Trong điều kiện đẳng thức cho chứa đồng thời z z nên: Bước 1: Gọi z  a  bi (a, b  ) a  a0  z  a0  b0i  a02  b02 b  b0 Bước 2: Biến đổi c|c điều điều dạng: z1  z2   Giải Gọi z  a  bi (a, b  ) Khi từ giả thiết toán ta được: 1) 3(a  bi )  (a  bi )  (1  i )  5(a  bi )  8i   2(a  2bi)(1  i)  5a  5bi  8i  3a  4b  a    z   2i  (3a  4b)  (2a  b)i  1  8i    2a  b  b  2 Vậy môđun z là: z  32  (2)2  13 2) 2(a  bi)  3(1  i)(a  bi)   9i  2a  2bi  (3a  3b)  (3a  3b)i   9i 5a  3b  a    z   3i  (5a  3b)  (3a  b)i   9i   3a  b  b  2 Vậy môđun z là: z    13 Ví dụ (A,A1 – 2014) Cho số phức z thỏa m~n điều kiện z  (2  i) z   5i Tìm phần thực phần ảo z Giải Gọi z  a  bi (a, b  ) Từ giả thiết b{i to|n ta được: a  bi  (2  i)(a  bi )   5i 3a  b  a   3a  b  (a  b)i   5i     z   3i a  b  b  3 Suy số phức z có phần thực phần ảo 3 Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn 5( z  i )   i Tính môđun số phức w   z  z z 1 Giải 5( z  i )   i  5( z  i )  ( z  1)(2  i ) z 1  5(a  bi  i)  (a  bi  1)(2  i)  5a  5(b  1)i  (2a   b)  (a   2b)i Gọi z  a  bi (a, b  R) , z  1 Khi đó: 5a  2a  b  3a  b  a      z  1 i 5(b  1)  a  2b  a  7b  6 b  NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC  w   z  z    i  (1  i)   3i  w  22  32  13 Vậy môđun số phức w 13 Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z  z số ảo Giải +) Gọi z  a  bi (a, b  R)  z   a  b2   a  b2  (1) +) Ta có: z  (a  bi )2  a  b  2abi số ảo  a  b2   b2  a (2)  a   b  1  a  1  b  1 Thay (2) vào (1): 2a    Vậy số phức cần tìm là:  i;  i; 1  i; 1  i Ví dụ Trong số phức thỏa m~n điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải Gọi z  a  bi (a, b  R)  z   4i  z  2i  (a  2)  (b  4)i  a  (b  2)i  (a  2)  (b  4)  a  (b  2)  4a  8b  20  4b   b   a Khi z  a  b2  a  (a  4)2  2(a  4a  8)  2(a  2)    z  2 a    a   b  Vậy số phức z   2i Nếu bạn hoàn thành xong Thì xin chúc mừng bạn ! Vì bạn gần làm phần lớn câu hỏi đề thi thuộc chủ đề Và để chắn lấy trọn điểm chuyên đề này, tiếp tục chuyển qua số NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Bài 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Phương pháp giải  Bước 1: Gọi M ( x; y) l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x, y  )  Bước 2: Cắt nghĩa điều kiện (*) để tìm mối liên hệ x y Cụ thể ta có đẳng thức f ( x; y)  dạng sau:  ax  by  c  : Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  x  y  ax  by  c  (hoặc ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  R ): Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  y  ax  bx  c : Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z parabol  x2 y2   : Tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z elip a b2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1(D – 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  (3  4i )  Giải Gọi M ( x; y) l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) Khi đó: z  (3  4i )   x  yi  (3  4i)   ( x  3)  ( y  4)i   ( x  3)  ( y  4)   ( x  3)  ( y  4)  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R  Ví dụ 2(B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  i  (1  i ) z Giải Gọi M ( x; y) l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  R) Khi đó: z  i  (1  i ) z  x  yi  i  (1  i )( x  yi )  x  ( y  1)i  ( x  y )  ( x  y )i  x  ( y  1)2  ( x  y )2  ( x  y )  x  y  y   x  y  x  ( y  1)2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (0; 1) , bán kính R  NGUYỄN THANH TÙNG Trang ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z   i  z  Tìm tập hợp c|c điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z Giải Gọi M ( x; y) l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  ) Khi đó: z   i  z   x  yi   i  x  yi   ( x  3)  ( y  1)i  ( x  2)  yi  ( x  3)  ( y  1)  ( x  2)  y  6 x  y  10  x   5x  y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình: 5x  y   Ví dụ Tìm tập hợp c|c điểm biểu diễn mặt phẳng số phức z biết 1) (2  z )(i  z ) số ảo 4) z  i  z  i  2 2) z  z 5) z  2i   3) z2 1 iz 6)  z  i   Giải: Gọi M ( x; y) l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi ( x; y  ) mặt phẳng tọa độ Oxy 1) (2  z)(i  z )    ( x  yi)i  x  yi   (2  x)  yi  x  (1  y)i   ( x  y  x  y)  ( x  y  2)i Khi (2  z )(i  z ) số ảo,   : ( x  y  x  y )   ( x  1)2   y  1   2  1  2 Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  1;  , bán kính R  2 2 2 2) z  z  ( x  yi )  x  yi  x  y  xyi  x  y  y2   y  xyi     y0 xy   Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z trục hoành Ox z2 z2 1 1 z   i  z 3) iz iz  x  yi   i  x  yi  ( x  2)  yi  x  (1  y )i  ( x  2)  y  x  (1  y )2  4 x   2 y   x  y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình: x  y   NGUYỄN THANH TÙNG Trang 10 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 4) z  i  z  i   x  yi  i  x  yi  i   x  ( y  1)i  x  ( y  1)i   x  ( y  1)2  x  ( y  1)2  (*) Gọi F1 (0; 1), F2 (0;1) ta có M ( x; y) , : (*)  MF1  MF2  a  x2 y2  1  b  a  c  nên có phương trình c  Suy M thuộc elip có  Hay tập hợp c|c điểm M biểu diễn số phức z elip có phương trình : x2 y2  1 5) z  2i    x  yi  2i    ( x  1)  ( y  2)i   ( x  1)  ( y  2)   ( x  1)  ( y  2)  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  6)  z  i     x  yi  i     ( x  1)  ( y  1)i    ( x  1)  ( y  1)    ( x  1)  ( y  1)  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình vằn khăn tâm I (1;1) với bán kính lớn R1  bán kính nhỏ R2  CHÚC MỪNG BẠN ĐÃ HOÀN THÀNH XONG CHƯƠNG ĐẦU TIÊN CỦA CUỐN SÁCH CÔNG VIỆC BÂY GIỜ LÀ KIỂM TRA LẠI NHỮNG GÌ MÌNH ĐÃ HỌC ĐƯỢC QUA 20 BÀI TOÁN CUỐI CHƯƠNG DƯỚI ĐÂY BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG Bài (THPTQG – 2015) Cho số phức z thõa mãn 1  i  z   5i  Tìm phần thực phần ảo z Bài Cho số phức z   2i Tìm phần thực, phần ảo số phức w  z  z   Bài Đặt f  z   z  3z  z  với z số phức Tính f  z0   f z0 , biết z0   2i NGUYỄN THANH TÙNG Trang 11 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Bài Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  z  Tính môđun số phức   z   3i Bài Tìm môđun số phức z , biết   i 1  iz   1  2i     2i  z 1 i Bài Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z    2i  z  i Tìm môđun z Bài Cho số phức z thỏa m~n điều kiện   i  z  1 i   i 1 i Tìm môđun số phức w   z  z Bài Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   M , N c|c điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng phức Tính độ d{i đoạn thẳng MN Bài Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:  i  3 z  2i    i  z i Tìm môđun cho số phức w  z  i Bài 10 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn z  z   2i Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn z  z  số thực 1 i Bài 12 Cho số phức z   3i Tính môđun số phức w  z  16 z Bài 13 Cho số phức z có phần ảo âm thỏa mãn z  z  13  Tính môđun số phức: w  z  z i Bài 14 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Tính A  z12 Bài 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn : z    i  z    3i  z  Bài 16 Tìm môđun số phức z  i , biết  z  i  z  i   2iz ( i l{ đơn vị ảo) Bài 17 Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 1  iz   i z z Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z  2iz  2i z  Bài 19 Tìm hai số thực b c biết z1   i z2 nghiệm phương trình    z  bz  c  Khi tính môdun số phức w  z1  2i  z2  2i  Bài 20 Cho a  z  NGUYỄN THANH TÙNG thỏa mãn z  z  a  2a   Tìm a để z Trang 12 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG Bài Ta có: 1  i  z   5i   1  i  z   5i z  5i 1  5i 1  i   4i  5i     2i 1 i 1  i 1  i  Vậy phần thực z ; phần ảo z 2 Bài Với z   2i  z   2i , đó: w  3z  z  3.(3  2i)  (3  2i)   8i Vậy số phức w có phần thực phần ảo Bài    Ta có z0   2i Khi đó: f  z0   f z0  z03  z0     3 z  z    z  z  2  0   z0  z0  z02  z0 z0  z0  z0  z0  1     4i  z0  z0        z0 z0  z0  z0  1  4i  z0       4i     1  24i Vậy f  z0   f z0  24i Bài Đặt z  a  bi  a, b   Theo ta có: (1  i)(1  bi)  2(a  bi)   a  bi   b  2a  2bi  3a  b  a   nên z   i  (3a  b)  (a  b)    a  b  b  Khi   z   3i   i   3i   4i Vậy   32  42  1  2i     2i  z 1 i 2(1  2i)(1  i)   2iz  i  zi     2i  z   i  1  2i  z   i    2i  z Bài Ta có:   i 1  iz   29 5   2i  z  z   i Khi z     12  2 2 Bài Giả sử z  a  bi  a, b   Khi điều kiện 1  2i  z    2i  z  i trở thành: 1  2i  a  bi     2i  a  bi   i NGUYỄN THANH TÙNG Trang 13 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC  a  2b  (2a  b)i  2a  2b  (2a  2b)i  i  16 3a  4b  a   2    3a  4b   bi  i    Vậy z  a  b   b  1  b  1 Bài Phương trình đ~ cho tương đương : (1  i )(1  i )   i  2  i z  i   i 5(2  i)  2  i z   z    2i 2i Suy w   z  z    i  (2  i)2    i   4i   5i 2  i z  Khi w  62  (5)2  41 Bài Phương trình z  z   có  '    5  5i nên có nghiệm z1,2   i     2 Từ M 2; , N 2;   MN   (2 5)  Vậy MN  Bài   Gọi z  a  bi a, b  , i  1 Từ giả thiết  i  3 z  2i    i  z ta có: i (2  i).(i )    i  a  bi   3a  b  (a  3b)i   2i  (2a  b)  (a  2b)i   i  a  bi   a  1 a      a  1   2a  5b   i      z  1  i b 2a  5b     Từ z  i  1  1 26 i  i  1  i    5 25 Bài 10 Đặt z  a  bi,  a, b  R  Từ giả thiết ta có 3a  a  a  bi   a  bi    2i  3a  bi   2i    b  2 b  2 Vậy số phức z có phần thực , phần ảo 2 Bài 11 Giả sử z  a  bi,  a, b  R  Suy z  NGUYỄN THANH TÙNG 1  i   a  bi   a    b  1 i 1 i Trang 14 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Từ giả thiết z  số thực ta có b    b   z  a  i 1 i Khi z   a  i   a    a   Vậy số phức cần tìm z   i z    i Bài 12  Ta có : w   3i     16  3i 16  2  3i    3i  3i  Suy w  22  2   Bài 13 Phương trình z  z  13  có biệt thức  '   13  4  4i  (2i) nên phương trình có hai nghiệm : z   2i z   2i (loại phần ảo phải âm) Vậy z   2i  w  z  6 6(3  i) 24   2i    2i    i z i 3i 10 5  24    Suy w        Vậy w    5 Bài 14 Phương trình z  z   có biệt thức  '    2  2i  ( 2i)2 nên phương trình có hai nghiệm : z  1  2i z  1  2i Do z1 có phần ảo âm, suy z1  1  2i  Do A  1  2i Bài 15    1  2i  (1)  2     Đặt z  x  yi, x, y  R, i  1  z  x  yi Thay v{o đẳng thức ta z    4i  z   x  yi    4i  x  yi    x  yi  3x  y    x  y  i  x  3x  y  2 x  y  1 1 1    x ;y z  i z  6 6  y  x  y x  y  Bài 16 Đặt z  a  bi  a, b  R  ta có:  z  i  z  i   2iz  z.z  i  z  z    2iz  a  b2   2ai  2b  2ai a  b   2b   a  b  2b    a   b  1   2a  2a NGUYỄN THANH TÙNG Trang 15 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Khi đó: z  i  a  bi  i  a   b  1 i  a   b  1  Vậy môđun số phức z  i 2 Bài 17 Điều kiện: z  0, z  Phương trình tương đương: z  z  1 1  iz  i z  z  1 1  iz  i  z  1 z  1  z 1  iz    z  1 i  z  i z   z  1 i z 1 2 Giả sử z  x  yi ; x, y  R Khi (*) trở thành: x  yi   x  y  i      x  y  i  x  x2  y  x2  y  y  i  x   x   x        y  1 2  x  y  x  y  y    y  y  y    y      Nếu x  0, y   z   i , thỏa m~n điều kiện Nếu x  0, y  1 z  i z  không thỏa m~n điều kiện   Vậy số phức cần tìm z   i Bài 18 Ta có z  2iz  2i z   z  2iz  2i.z   z  2i  z  z   (1) 2 Gọi M  x; y  l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi , thay v{o (1) ta x  y  2i  x  iy  x  iy    x  y  y   x   y    Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z l{ đường tròn tâm I  0;  , bán kính R  Bài 19 Do z1   i nghiệm phương trình z  bz  c  , suy ra: b  c  b  2 (1  i)  (1  i)b  c   b  c  (b  2)i     b   c   z1   i  z2   i 2 Khi phương trình trở thành : z  z    ( z  1)  1  i      Suy w  z1  2i  z2  2i   (1  i  2i  1)(1  i  2i  1)  (2  3i)(2  i)   8i 2 Vậy w    65 NGUYỄN THANH TÙNG Trang 16 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Bài 20 Gọi z  x  yi với x, y  , đó: ( x  yi)2  2( x  yi)  a  2a    x  x  y  a  2a   (1)  ( x  x  y  a  2a  5)  y( x  1)i    2 y ( x  1)  (2) y  Ta có (2)   x   Với y  thay vào (1) ta được: x  x  a  2a   (*)  '   (a  2a  5)  (a  1)   , a  Do x   nên (*) vô nghiệm Với x  thay vào (1) ta được: y  a  2a  Suy z  x  y   a  2a   (a  1)2   Dấu “=” xảy a  Vậy với a  z đạt giá trị nhỏ NGUYỄN THANH TÙNG Trang 17 ĐỒNG VĂN BÌNH [...]... z  9  0 và M , N lần lượt là c|c điểm biểu diễn z1 , z2 trên mặt phẳng phức Tính độ d{i đoạn thẳng MN Bài 9 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:  i  3 z  2i   2  i  z i Tìm môđun cho số phức w  z  i Bài 10 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn z  2 z  3  2i Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn z  2 và z  2 là số thực 1 i Bài 12 Cho số phức z  1  3i Tính môđun của số phức w  z... 20 BÀI TOÁN CUỐI CHƯƠNG DƯỚI ĐÂY BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG Bài 1 (THPTQG – 2015) Cho số phức z thõa mãn 1  i  z  1  5i  0 Tìm phần thực và phần ảo của z Bài 2 Cho số phức z  3  2i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w  3 z  z   3 2 Bài 3 Đặt f  z   z  3z  z  1 với z là số phức Tính f  z0   f z0 , biết z0  1  2i NGUYỄN THANH TÙNG Trang 11 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Bài. .. 16 z Bài 13 Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z 2  6 z  13  0 Tính môđun của số phức: w  z  6 z i Bài 14 Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2  2 z  3  0 Tính A  z12 Bài 15 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn : z   2  i  z   5  3i  z  1 Bài 16 Tìm môđun của số phức z  i , biết  z  i  z  i   2iz ( i l{ đơn vị ảo) Bài 17 Tìm số phức. .. Bài 4 Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z  2 z  2 Tính môđun của số phức   z  2  3i Bài 5 Tìm môđun của số phức z , biết  2  i 1  iz   2 1  2i    3  2i  z 1 i Bài 6 Cho số phức z thỏa mãn 1  2i  z   2  2i  z  i Tìm môđun của z Bài 7 Cho số phức z thỏa m~n điều kiện  2  i  z  1 i  5  i 1 i Tìm môđun của số phức w  1  z  z 2 Bài 8 Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của... 17 Tìm số phức z thỏa mãn  z  1 1  iz   i z 1 z Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z  2iz  2i 3 z  0 2 Bài 19 Tìm hai số thực b và c biết z1  1  i và z2 là nghiệm của phương trình    z 2  bz  c  0 Khi đó tính môdun của số phức w  z1  2i  1 z2  2i  1 Bài 20 Cho a  và z  NGUYỄN THANH TÙNG thỏa mãn z 2  2 z  a 2  2a ... BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN CUỐI CHƯƠNG Bài 1 Ta có: 1  i  z  1  5i  0  1  i  z  1  5i z 1  5i 1  5i 1  i  1  4i  5i 2    3  2i 1 i 2 1  i 1  i  Vậy phần thực của z bằng 3 ; phần ảo của z bằng 2 Bài 2 Với z  3  2i  z  3  2i , khi đó: w  3z  z  3.(3  2i)  (3  2i)  6  8i Vậy số phức w có phần thực là 6 và phần ảo là 8 Bài 3    Ta... điều kiện   Vậy số phức cần tìm là z  1  2 i Bài 18 Ta có z  2iz  2i 3 z  0  z  2iz  2i.z  0  z  2i  z  z   0 (1) 2 2 2 Gọi M  x; y  l{ điểm biểu diễn số phức z  x  yi , thay v{o (1) ta được x 2  y 2  2i  x  iy  x  iy   0  x 2  y 2  4 y  0  x 2   y  2   4 2 Vậy tập hợp c|c điểm biểu diễn số phức z l{ đường tròn tâm I  0; 2  , bán kính R  2 Bài 19 Do z1  1... 2  3  ( x  1) 2  ( y  2) 2  9 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một hình tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  3 6) 1  z  i  1  2  1  x  yi  i  1  2  1  ( x  1)  ( y  1)i  2  1  ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  1  ( x  1) 2  ( y  1) 2  4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là hình vằn khăn tâm I (1;1) với bán kính lớn R1  2 và bán kính nhỏ R2  1 CHÚC MỪNG BẠN ĐÃ... 5 5 25 5 Bài 10 Đặt z  a  bi,  a, b  R  Từ giả thiết ta có 3a  3 a  1 a  bi  2  a  bi   3  2i  3a  bi  3  2i    b  2 b  2 Vậy số phức z có phần thực bằng 1 , phần ảo bằng 2 Bài 11 Giả sử z  a  bi,  a, b  R  Suy ra z  NGUYỄN THANH TÙNG 2 1  i  2  a  bi   a  1   b  1 i 1 i 2 Trang 14 ĐỒNG VĂN BÌNH CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Từ giả thiết z  2 là số thực ta...CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC 4) z  i  z  i  4  x  yi  i  x  yi  i  4  x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  4  x 2  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2  4 (*) Gọi F1 (0; 1), F2 (0;1) và ta có M ( x; y) , do đó : (*)  MF1  MF2  4 a  2 x2 y2  1  b  a 2  c 2  3 nên có phương trình 4 3 c  1 Suy ra M thuộc elip có  Hay tập hợp c|c điểm M biểu diễn số phức z là một elip có phương