B GIO DC V O TO XUT K THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA NM 2016 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt ( thi gm 01 trang) TRNG THPT TRN VN NNG ( ) Cõu (2,0 im) Cho hm s y = ( x m ) x x m ( m l tham s thc) a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho m = b) Tỡm m hm s ó cho cú cc i, cc tiu ng thi giỏ tr tuyt i ca tớch hai honh cc tr bng Cõu (1,0 im) a) Tỡm mụun ca s phc z = 1- 3i + i 3+ i b) Gii bt phng trỡnh log ( x + 3) + log ( x - 1) Cõu (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = cos x sin xdx Cõu (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1;1;0) v mt phng (P): x + y 2z + = Vit phng trỡnh mt cu tõm M v tip xỳc vi mt phng (P) Tỡm ta tip im Cõu (1,0 im) a) Gii phng trỡnh + 2cosx + cos2 x = b) Mt hp ng 10 cõy vit xanh v cõy vit Ly ngu nhiờn cõy vit Tớnh xỏc sut cho cú ỳng ba cõy vit Cõu (1,0 im) Cho chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti C, AC = a, BC = 2a Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy, mt phng (SBC) hp vi ỏy mt gúc 600 Gi D l trung im cnh AB Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng BC v SD Cõu (1,0 im) Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit B(2; -1), ng cao v ng phõn giỏc qua nh A, C ln lt l (d1): x y + 27 = v (d2): x + y = x + + y = Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh x + + y + = Cõu (1,0 im) Cho x, y, z l s thc dng tha xyz = Chng minh rng: 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 HT - P N THANG IM Cõu (2,0 im) ỏp ỏn a.(1,0 im) Cho hm s y = ( x m ) x x m ( im ) ( m l tham s thc) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho m = Ta cú: y = x x + Tp xỏc nh: D = Ă S bin thiờn: x = 2 Chiu bin thiờn: y = x x; y = x x = x = + Hm s ng bin trờn khong ( ;0 ) v ( 2; + ) ; 0.25 0.25 + Hm s nghch bin trờn cỏc khong ( 0; ) Cc tr: = y ( 0) = + Hm s t cc i ti x = ; yC + Hm s t cc tiu ti x = ; yCT = y ( ) = , Gii hn: lim y = +; lim y = x + x Bng bin thiờn: x y' y 0.25 - Ơ + 0 - + +Ơ - Ơ +Ơ - th: 0.25 b.(1,0 im) Tỡm m hm s ó cho cú cc i, cc tiu ng thi giỏ tr tuyt i ca tớch hai honh cc tr bng 2 0.25 Ta cú: y = x ( m + ) x + ( m 1) x + m + m y = 3x ( m + ) x + m Cho y = 3x ( m + ) x + m = (1) Hm s t cc i, cc tiu phng trỡnh (1) cú hai ghim phõn bit > m + m + > 0, m Gi x1 , x2 l honh ca hai im cc tr ( x1 , x2 l nghim ca (1), x1 x2 ) theo 0.25 0.25 x1 x2 = bi ta cú: m =1 m = m = Vy m = v m = -2 (1,0 im) 0.25 a (0,5 im) Tỡm mụun ca s phc z = Ta cú: z = 1- 3i + 3i + i 3+ i 0.25 + i 2 3 = i 2 0.25 2 ổử 3ữ ổ 3ử ữ ỗ ỗ ữ ỗ Do ú z = ỗ ữ + = ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ 2 ữ ố ứ ố ứ b (0,5 im) Gii bt phng trỡnh log ( x + 3) + log ( x - 1) iu kin: x >1 Ta cú: ( 1) log2 ( x + 3) log2 ( x - 1) (2) (1) 0.25 x + ( x - 1) 0.25 xÊ Vy nghim ca bt phng trỡnh l S = ( 1;5ự ỷ (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = cos x sin xdx 0.25 t t = sin x t = sin x 2tdt = cos xdx i cn: x = t = x= t =0 0.25 0.25 I = ũ 2t dt 0.25 2 = t3 = 3 (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1;1;0) v mt phng (P): x + y 2z + = Vit phng trỡnh mt cu tõm M v tip xỳc vi mt phng (P) Tỡm ta tip im 0.25 Mt cu ( S ) tip xỳc vi mt phng (P) nờn: ( ) R = d M ;( P ) = 1.1 + 1.1- 2.0 + 12 + 12 + ( - 2) = 25 Gi d l ng thng i qua M v vuụng gúc vi ( P ) Gi N = d ầ ( P ) , suy N r l tip im ca ( P ) v ( S ) Vỡ d ^ ( P ) nờn VTPT n = ( 2;2; - 1) ca ( P ) l Phng trỡnh mt cu ( S ) : ( x 1) + ( y 1) + z = 2 ỡù x = + t ùù mt VTCP ca d Phng trỡnh tham s ca d : ùớ y = + t ùù ùùợ z = - 2t Ta N l nghim ca h phng trỡnh: 0.25 0.25 0.25 ỡù x = + t ùù ù y = 1+ t d : ùớ ùù z = - 2t ùù ùùợ x + y - z + = ổ1 1 ữ Vy N ỗ ỗ ; ;- ữ , x = ,y = ,z =ữ ữ ỗ ố6 ứ 6 a (0,5 im) Gii phng trỡnh + 2cosx + cos2 x = (1) Ta cú: ( 1) 2cos x + 2cosx = Gii h ta c t = - (1,0 im) 0.25 ộcosx = ờcosx = - 0.25 ộ p ờx = + kp ( k ẻ Z) ờ ởx = p + k 2p b (0,5 im) Mt hp ng 10 cõy vit xanh v cõy vit Ly ngu nhiờn cõy vit Tớnh xỏc sut cho cú ỳng cõy vit 0.25 S phn t ca khụng gian mu l: W = C15 = 5005 Gi A l bin c: Ly cõy vit ú cú ỳng cõy vit 0.25 3 WA = C5 C10 = 1200 Vy xỏc sut cn tớnh l P ( A ) = (1,0 im) WA W = 240 1001 Cho chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti C, AC = a, BC = 2a Cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy, mt phng (SBC) hp vi ỏy mt gúc 600 Gi D l trung im cnh AB Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng BC v SD S H l D A B 0.25 M C Vỡ BC ^ AC v BC ^ SA ị BC ^ ( SAB) Suy SC ^ BC v AB ^ BC ã ã ị ộ = 60 ; (ởSBC ) ;( ABC ) ựỳỷ= (ãSC; AC ) = ACS 1 AC BC = a.2a = a 2 SA = AC.tan 60 = a S ABC = 1 a3 VS ABC = S ABC SA = a a = 3 K DM // BC v M thuc AC Ta cú BC // (SDM) ú: 0.25 d ( SD; BC ) = d ( BC ;( SMD ) ) = d ( C ;( SMD ) ) K AI SM , CH SM , H v I thuc SM Ta cú: CH SM , CH DM (do BC ( SAC ) CH , DM / / BC ) CH ( SMD ) d ( C ;( SMD) ) = CH Do S SAM = S SCM nờn AI = CH (1,0 im) 1 SA2 AM a 39 = 2+ AI = = 2 2 0.25 AI SA AM SA + AM 13 a 39 Vy d ( SD; BC ) = 13 Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit B(2; -1), ng cao v ng phõn giỏc qua nh A, C ln lt l : (d1) : 3x 4y + 27 = v (d2) : x + 2y = Lp phng trỡnh ng thng BC qua B vuụng gúc vi d1 0.25 Suy BC: x + y = x + y = C ( 1;3) Khi ú C = BC d Ta nh C l nghim h: x + y = 0.25 Gi B l im i xng qua d2 B AC BB : x y = Lp phng trỡnh BB qua B vuụng vi d2 Suy x y = H ( 3;1) Gi H = BB d Ta nh C l nghim h: x + y = 0.25 H l trung im ca BB Suy B ( 4;3) ng thng AC qua C v B cú phng trỡnh: y = 0.25 Ta A = d1 ầ AC Ta giao im l nghim ca h phng trỡnh: y = A ( 5;3) x y + 27 = Phng trỡnh ng thng AB: x + y = (1,0 im) x + + y = Gii h phng trỡnh x + + y + = iu kin: x -1, y Cng v theo v, tr v theo v ta cú h: x+1 + x+6 + y + y+ = 10 x+6 x+1 + y + y1 = 0.25 t u = x + + x + v v = 0.25 (1,0 im) y + y + ta cú h: u + v=10 5 + =2 u v u = v = 0.25 x = Thay u, v ta c nghim ca h l: y = Cho x, y, z l s thc dng tha xyz = Chng minh rng: 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 t x = a , y = b3 , z = c thỡ x, y, z >0 vi abc = Ta cú 0.25 3 2 a + b = ( a + b ) a + b ab ( a + b ) ab, a + b > v a + b ab ab 0.25 ( ) a + b3 + ( a + b ) ab + abc = ab ( a + b + c ) > 0.25 1 a + b + ab ( a + b + c ) Tng t ta cú: 1 3 b + c + bc ( a + b + c ) 0.25 1 c + a + ca ( a + b + c ) Cng v theo v ta cú: 1 1 1 + + = + + 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1 a + b +1 b + c +1 c + a3 +1 1 + + ữ ( a + b + c ) ab bc ca ( c + a + b) = ( a + b + c) Du = xóy khi: x = y = z = = 0.25