De thi thu Quoc gia mon toan truong TP cao lanh

S GD&T NG THP TRNG THPT TP CAO LNH THI TH THPT QUC GIA NM 2015 - 2016 Mụn : TON Cõu (2,0 im) Cho hm s : y = x4 5x2 + 1) Kho sỏt v v th (C) ca hm s 2) Tỡm tt c cỏc im M trờn th (C) ca hm s cho tip tuyn ca (C) ti M ct (C) ti hai im phõn bit khỏc M Cõu (1,0 im) 1) Gii bt phng trỡnh ( 5+2 ) x ( 52 ) x x +1 Cõu (0,5 im) Tỡm s phc z bit ( + 2i ) z + 5i = 3iz 2) Cho sin = , tớnh sin Cõu (1,0 im) Cho lng tr ABC.ABC cú ỏy l mt tam giỏc u cnh bng a Hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn mt phng (ABC) l trung im H ca cnh BC, gúc gia AB vi mt phng (ABC) bng 600 Tớnh th tớch ca lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia hai ng thng CC v AB theo a Cõu (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = + cos x dx cos x Cõu (1,0 im).Trong khụng gian (Oxyz) cho im A( , , ) v ng thng x = t ( d ) : y = + t , t R z = 2t 1) Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn ng thng (d) 2) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t A n (P) l ln nht Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD, im M(5;7) nm trờn cnh BC ng trũn ng kớnh AM ct BC ti B v ct BD ti N(6;2), nh C thuc ng thng d: 2x-y-7=0 Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng ABCD, bit honh nh C nguyờn v honh nh A hn Cõu (1,0 im) x y + x + = x x y + ( x, y R ) Gii h phng trỡnh: 2 y ( x 1) + y ( x 2) + y + = Cõu (0,5 im) Mt i ng cỏn b khoa hc gm nh toỏn hc nam , nh vt lý n v nh húa hc n Chn t ú ngi, tớnh xỏc sut ngi c chn phi cú n v cú ba b mụn Cõu 10 (1,0 im) Cho ba s dng a, b, c tha 2(ab+bc+ca)=3abc Tỡm giỏ tr nh nht ca P= a2 b2 c2 + + c ( c + a ) a ( a + b ) b (b + c ) Ht P N NI DUNG IM CU y = x4 5x2 + + TX: R 0,25 y = + +Gii hn v tim cn: xlim + S bin thiờn: y = 4x3 10x = x = hoc x = Hm s nghch bin trờn: (; Hm s ng bin trờn: ( ) v (0; I-1 (1im) y + + 0,25 9 5 , yCT1 = ; xCT2 = , yCT2 = ; 4 2 y ) 5 ; + )v ( ,0) 2 Cỏc im dc tr xC = 0, yC = 4; xCT1 = x + 4 + 0,25 + Đồ thị: 0,25 I-2 (1im) Lấy M(m ; m4 5m2 + 4) (C) Pt tiếp tuyến (C) M : y = (4m3 10m)(x m) + m4 5m2 + (d) 0,25 Hoành độ (d) & (C) nghiệm phơng trình: x4 5x2 + = (4m3 10m)(x m) + m4 5m2 + (x m)2(x2 + 2mx + 3m2 5) = (1) Cần tìm m để x2 + 2mx + 3m2 = có hai nghiệm phân biệt khác m 2m > Điều kiện 6m 0,25 Các điểm M(m ;m4 5m2 + 4) (C) với hoành độ 1) Gii bt phng trỡnh II ( 0.5 5+2 ) x 52 ( ( x 1)( x + 2) 5+2 ) ( x ( x +1 KL hp nghim 0,25 ) x x +1 5+2 ( 5+2 ) x x +1 ( ) x 5+2 ) ( x x 10 10 30 m ; \ ữ ữ 2 52 ) x x +1 + x x +1 0,25 x x +1 S = [ 2;1) [1;+ ) 0.25 0.25 2) Cho sin = , tớnh sin 0.5 Ta cú sin3 =sin( +2 )=sin cos2 +cos sin2 =sin (1-2sin2 )+cos 2sin cos =sin -2sin3 +2sin (1-sin2 )=3sin - 4sin3 3 Vy sin = 4.( ) = III 23 = 27 27 0,25 ( + 2i ) z + 5i = 3iz ( + 5i ) z = + 5i z = + 5i + 5i 0.5 z= 14 + i 17 17 0,25 0.25 0.25 A C B IV 1.0 600 A' K C' I H M B' + Vỡ BH (ABC) nờn gúc gia AB vi (ABC) l gúc gia AB vi AH 0.25 Hay BA' H = 60 a 3a 3= 2 a 3a 3a (vtt) = S A"B 'C ' BH = = BH = A ' H tan 60 = V ABC A'B 'C ' 0.25 + Ta cú CC // (ABBA) nờn d(CC,AB) = d(C,(ABBA)) Dng HM AB Khi ú AB (BMH) suy (ABBA) (BMH) Dng HK BM suy HK (ABBA) HK = d ( H , ( ABB' A' )) HK = HM HB HM + HB = 3a 3a 13 = = 2 26 39a 3a + 16 a 3a a Vy: d (CC ' , A' B) = d (C ' , ( ABB' A' ) = 2d ( H , ( ABB' A' )) = V Tớnh tớch phõn I= + cos x dx cos x 6a 13 3a 13 = 26 13 0.25 0.25 I= dx + cos x I1 = tan x 1.0 I2 = 2 du u cos x dx = I1 + I sin x =1 0.25 = 0.25 = 2 ữ 1 ( )du ữ 1+ u u ữ u +1 = ln u 2 = 0.25 ln(3 + 2) 0.25 Trong khụng gian (Oxyz) cho im A( , , ) v ng thng VI 1.0 x = t ( d ) : y = + t , t R z = 2t 1) Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn ng thng (d) 2) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t A n (P) l ln nht a) Gi H l hỡnh chiu ca A lờn (d), ta cú: H (1 t ,2 + t ,2t ) AH = ( t , t 6,2t ) 0.25 ng thng (d) cú vộct ch phng u =( 1,1,2 ) AH d AH u = t + t + 4t = 10 H ; ; 3 b) Gi K l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng (P) Ta cú d ( A, ( P)) = AK AH Do ú d ( A, ( P )) ln nht AK = AH hay K H t = Suy mt phng (P) i qua im H ; ; l AH = ; 10 v cú vộct phỏp tuyn 3 0.25 0.25 13 ; hay mt vộct phỏp tuyn khỏc l n = ( 5;13;4) 3 Vy phng trỡnh mt phng (P) l: 10 x + + 13 y + z = x + 13 y z + 21 = 3 0.25 VII 1.0 I Gi l tõm ng trũn ng kớnh AM thỡ I l trung im AM Ta cú MIN = sd MN = MBN = 900 11 ; 2 Hi H l trung im ca MN H Phng trỡnh ng thng trung trc ca MN i qua H v vuụng gúc vi 0.25 MN l d: x-5y+17=0 im I I ( 5a 17; a ) uuuu r MN = (1; 5) MN = 26 uuur IM = (22 5a; a) IM = ( 22 5a ) + ( a) Vỡ MIN vuụng cõn ti I v MN = 26 IM = 13 ( 22 5a ) + ( a ) = 13 a = 26a 234a + 520 = a = Vi a = I ( 8;5) A(11;9) (loi) Vi a = I ( 3;4 ) A(1;1) (tha món) im C d : x y = C ( c;2c ) Gi E l tõm hỡnh vuụng uuur 11 c c +1 E( ; c 3) EN = ;5 c ữ nờn 0.25 E l trung im AC 0.25 Vỡ AC BD AC EN = 11 c + ( 2c ) ( c ) = c = 7(t / m) 5c 48c + 91 = 13 c = (loai ) Suy ra: C ( 7;7 ) E ( 4;4) (c 1) Pt BD : x + y = , pt BC : x = B( 7;1) , D(1;7 ) VIII 1.0 0.25 iu kin: x y Gi hai phng trỡnh ln lt l (1) v (2) (2) 0.25 x y + x y = y y + y + 3( y 1) 3 ( x y ) + x y = ( y 1) + 3( y 1) (3) Xột hm s f (t ) = t + 3t cú f '(t ) = 3t + > 0, t R 0.25 2 Do ú (3) f ( x y ) = f ( y 1) x y = y 1, ( y 1) 2 Th vo (1) ta c x y + x + = x y + x ( y + 1) x y + + = ( x y + 1) = x y + = Do ú h ó cho tng ng vi x y + x = y = x x y + = x y = y x (2 x ) + x = (4) x y = y x > x > 2 (4) x 3x + = ( x 1) x = ( x x 1)( x + x 1) = x = 1+ 1+ x= x= x = 2 hoc Do x > nờn 1+ 5 1+ 1+ x= y= x= y= 2 Vi 2 Vi 1+ 5 + + ( x; y ) = ( x; y ) = ; ; 2 2 Vy h ó cho cú nghim , IX 0.5 Ta cú : = C16 = 1820 Gi A: 2nam toỏn ,1 lý n, húa n B: nam toỏn , lý n , húa n C: nam toỏn , lý n , húa n Thỡ H= A B C : Cú n v ba b mụn 0.25 P( H ) = Cõu X 1.0 0.25 C82C51C31 + C81C52C31 + C81C51C32 = a2 a + c2 c2 c2 c c 1 = = = = 2 2 2 c 2ca c 2a Ta cú c(c + a ) c(c + a ) c c(c + a ) c c + a 0.25 0.25 0.25 (1) b2 1 c2 1 ( 3) ( ) , 2 2 b(b + c ) b 2c Tng t a (a + b ) a 2b abc 1 1 bc + ac + ab ( + + )= = = 2abc 2abc T (1), (2), (3) ta cú P a b c Vy giỏ tr nh nht ca P= , a=b=c=2 0.25 0.25 0.25