THI TH THPT QUC GIA NM 2016 LN Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt TRNG THPT CHUYấN NGUYN QUANG DIấU 2x x Cõu (1,0 im) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s y = x + 3x , bit rng tip tuyn vuụng gúc vi ng thng d : x + y = Cõu (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y = Cõu (1,0 im) a) Gii bt phng trỡnh log2 ( x 3) log ( x 2) b) Cho s phc z tha iu kin (1 + 2i ) z + (1- z )i = + 3i Tớnh mụun ca z Cõu (1,0 im) Tớnh tớch phõn I = sin x dx + sin x cos2 x Cõu (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P ) : x + y + z = v ng x y z + = = Tỡm ta giao im A ca d vi (P ) v lp phng trỡnh tham s ca ng 1 thng i qua im A , vuụng gúc vi ng thng d v nm mt phng (P ) thng d : Cõu (1,0 im) ổ pử a) Gii phng trỡnh 2sin ỗỗ2 x + ữữữ - cos x = -2 ỗố 3ứ b) Gii U21 Quc t bỏo Thanh Niờn Cỳp Clear Men 2015 quy t i búng gm: KV U21 HA.GL, U21 Singapore, U21 Thỏi Lan, U21 Bỏo Thanh niờn Vit Nam, U21 Myanmar v U19 Hn Quc Cỏc i chia thnh bng A, B, mi bng i Vic chia bng c thc hin bng cỏch bc thm ngu nhiờn Tớnh xỏc sut hai i tuyn U21 HA.GL v U21 Thỏi Lan nm hai bng khỏc Cõu (1,0 im) Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = 2a, AD = a , K l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn ng chộo AC , cỏc im H , M ln lt l trung im ca AK v DC , SH vuụng gúc vi mt phng ( ABCD ) , gúc gia ng thng SB v mt phng ( ABCD ) bng 450 Tớnh theo a th tớch chúp S ABCD v khong cỏch gia hai ng thng SB v MH Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn BC , cỏc im M ( 2; 1) , N ln lt l trung im ca HB v HC ; im 1 K ; l trc tõm tam giỏc AMN Tỡm ta im C , bit rng im A cú tung õm v thuc 2 ng thng d : x + y + = x + xy + y 3x y = Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh x + xy + 5y x 3y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 z ( xy + 1) x ( yz + 1) y ( zx + 1) P= + + y ( yz + 1) z ( zx + 1) x ( xy + 1) -Ht Cõu 10 (1,0 im) Cho ba s thc dng x , y, z tha x + y + z P N THI TH THPT QUC GIA NM 2016 LN Mụn: TON TRNG THPT CHUYấN NGUYN QUANG DIấU ỏp ỏn Cõu (1,0) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s y = Tp xỏc nh: D = Ă \ {3} S bin thiờn: Chiu bin thiờn: y ' = im 1,00 2x x 0,25 ( x 3) ; y ' < 0, x D Hm s nghch bin trờn tng khong (-Ơ;3) v (3;+Ơ) Gii hn v tim cn: 0,25 lim y = lim y = ị tim cn ngang: y = lim y = -Ơ; lim y = +Ơ ị tim cn ỳng: x = x đ-Ơ x đ+Ơ x đ 3- x đ 3+ Bng bin thiờn: x y' y -Ơ 0,25 - +Ơ -Ơ - +Ơ th: + Giao im vi cỏc trc: 1 Oy : x = y = : 0; v Oy : y = x = x = : ; 2 0,25 th ct cỏc trc ta ti 0; , ; + Tớnh i xng: th nhn giao im I ( 3; ) ca hai tim cn lm tõm i xng Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s y = x + 3x , bit rng tip tuyn vuụng gúc vi ng thng d : x + y = 1,00 (1,0) ng thng d cú h s gúc l kd = Do tip tuyn vuụng gúc vi d nờn h s gúc ca tip tuyn l ktt = = kd 0,25 Khi ú honh tip im l nghim ca phng trỡnh 0,25 x = y ' = ktt x + x = x + x = x = Vi x = y = , tip im (1; ) Phng trỡnh tip tuyn l y = x (1,0) 0,25 Vi x = y = , tip im ( 3; ) Phng trỡnh tip tuyn l y = x + 25 0,25 a) Gii bt phng trỡnh log2 ( x 3) log ( x 2) 0,50 (1) iu kin: x > Khi ú: (1) log2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) 0,25 x 5x + x Kt hp vi iu kin x > ta cú nghim ca bt phng trỡnh (1) l < x b) Cho s phc z tha iu kin (1 + 2i ) z + (1- z )i = + 3i Tớnh mụun ca z 0,25 0,50 t z = a + bi , ( a, b ẻ Ă ) ta cú: 0,25 Vy mụun ca z l z = a + b = 92 + 2 = 85 0,25 a b = a = (1 + 2i )z + (1 z)i = + 3i a 4b + (b + 1)i = + 3i b + = b = (1,0) 1,00 sin x Tớnh tớch phõn I = dx + sin x cos2 x sin x sin x cos x Ta cú: I = dx = dx + 4sin x cos x sin x + sin x + t =1 1 t t + 11 Suy ra: I = = = dt dt dt 2 t + (t + 1)2 (t + 1) (t + 1) t t = sin x dt = cos xdx , x = t = 0; x = 1 = ln t + + = ln + t +1 Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho mt phng (P ) : x + y + z = v ng (1,0) x y z + = = Tỡm ta giao im A ca d vi (P ) v lp phng 1 trỡnh tham s ca ng thng i qua im A , vuụng gúc vi ng thng d v nm mt phng (P ) Ta ca im A l nghim ca h phng trỡnh x + y + z = x + y + z = =1 x y z +1 x + y = = yz=2 1 Suy A(3; 4; 2) uuur uur Mt phng (P ) cú VTPT l n( P ) = (1;1;1) ; ng thng d cú VTCP l ud = ( 1;1;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 thng d : Gi (Q) l mt phng qua A v vuụng gúc vi ng thng d = (P ) (Q) 0,25 0,25 0,25 (1,0) r uuur uur 1 1 1 Do ú VTCP ca l u = n( P ) ; ud = ; ; = 0; 2; ) 1 1 1 ( x = Vy phng trỡnh tham s ca l y = 2t ( t Ă ) z = + 2t ổ p a) Gii phng trỡnh 2sin ỗỗ2 x + ữữữ - cos x = -2 ỗố 3ứ p p Ta cú: (1) 2sin x cos + 2cos x sin - cos x = 3 sin2x+ cos x - cos x = sin2x = p p x = + k 2p x = + k p ( k  ) p Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + k p ( k ẻ  ) b) Gii U21 Quc t bỏo Thanh Niờn Cỳp Clear Men 2015 quy t i búng gm: 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 KV U21 HA.GL, U21 Singapore, U21 Thỏi Lan, U21 Bỏo Thanh niờn Vit Nam, U21 Myanmar v U19 Hn Quc Cỏc i chia thnh bng A, B, mi bng i Vic chia bng c thc hin bng cỏch bc thm ngu nhiờn Tớnh xỏc sut hai i tuyn U21 HA.GL v U21 Thỏi Lan nm hai bng khỏc S phn t ca khụng gian mu l: W = C63 C33 = 20 0,25 Gi A l bin c: i tuyn U21 HA.GL v U21 Thỏi Lan nm hai bng khỏc S kt qu thun li cho bin c A l: WA = 2!C42 C22 = 12 0,25 WA 12 = = W 20 Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = 2a, AD = a , K l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn ng chộo AC , cỏc im H , M ln lt l trung im ca AK v DC , SH vuụng gúc vi mt phng ( ABCD ) , gúc gia ng thng SB v Vy xỏc sut cn tớnh l P (A ) = (1,0) 1,00 mt phng ( ABCD ) bng 450 Tớnh theo a th tớch chúp S ABCD v khong cỏch gia hai ng thng SB v MH 0,25 S N A a D 450 2a B A H I H K M B I K C D M C Do SH ( ABCD ) nờn HB l hỡnh chiu ca SB lờn ( ABCD ) ã ã ã Suy SB;(ABCD) = ( SB; HB ) = SBH = 450 SH = BH 2a 2a Xột tam giỏc vuụng ABC ta cú: AC = a , HK = AK = , BK = 5 Xột tam giỏc vuụng BKH ta cú 0,25 4a2 4a2 8a2 2a 2a 10 + = SH = BH = = 5 5 Th tớch chúp S ABCD l BH = BK + HK = 1 2a 10 4a3 10 V = SABCD SH = AB AD.SH = 2a.a = 3 15 Gi I l trung im ca BK , suy t giỏc HICM l hỡnh bỡnh hnh Suy ra: HI BC I l trc tõm tam giỏc BHC CI HB MH HB M HB l hỡnh chiu ca SB lờn ( ABCD ) nờn MH SB Trong (SHB ) , k HN SB ( N SB) , ta cú: 0,25 0,25 0,25 MH HB MH HN MH SH Suy HN l on vuụng gúc chung ca SB v MH Suy ra: d ( SB, MH ) = HN Xột tam giỏc vuụng SHB ta cú: HN = 1 2a 2a 2= SB = HB = 2 5 2a Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng ti A Gi H l hỡnh Vy d ( SB, MH ) = (1,0) chiu vuụng gúc ca A trờn BC , cỏc im M ( 2; 1) , N ln lt l trung im ca 1,00 1 HB v HC ; im K ; l trc tõm tam giỏc AMN Tỡm ta im C , bit 2 rng im A cú tung õm v thuc ng thng d : x + y + = C N H K(-1/2;1/2) M(2;-1) I A x+2y+4=0 B Gi I l trung im ca AH , ta cú MI / / AB MI AC Suy ra: I l trc tõm tam giỏc AMC CI AM M NK AM NK / / CI K l trung im HI uuur uuur 2a + 2 a t A ( 2a 4; a ) , t h thc AK = 3KH H ; uuur uuuur 2a a Suy ra: AK = + 2a; a v MH = ; uuur uuuur 2a a Khi ú: AK MH = + 2a + a =0 a = 10a 13a 23 = A ( 2; 1) a = 23 10 Suy ta H ( 0;1) v B ( 4; ) 0,25 0,25 Phng trỡnh: AB : x + 3y + = v BC : x + y = Ta C l nghim ca h phng trỡnh: 0,25 0,25 (1,0) x + 3y = x = C ( 4; ) x + y = y = 2 x + xy + y x y = Gii h phng trỡnh 2 x + xy + 5y x 3y = (1) (2) 1,00 Nhõn hai v ca phng trỡnh (1) vi ri tr theo v cho (2), ta c phng trỡnh: x + xy + y x + 3y + = 0,25 x + y = (2 x + y )2 3(2 x + y ) + = x + y = Nu x + y = thỡ y = x , thay vo (1) ta c: 0,25 x = y = x 5x = x = y = 7 Nu x + y = thỡ y = x , thay vo (1) ta c: 0,25 0,25 x = y = x 11x + = x = y = 7 10 (1,0) Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim l ( 0;1) ; (1; ) ; ; ; ; 7 7 Cho ba s thc dng x , y, z tha x + y + z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 2 z ( xy + 1) x ( yz + 1) y ( zx + 1) P= + + y ( yz + 1) z ( zx + 1) x ( xy + 1) Bin i biu thc P , ta cú: 1,00 0,25 x+ y y+ z+ z x + P= + 1 y+ z+ x+ z x y 2 a b c2 Chng minh bt ng thc: + + a + b + c ( a, b, c > ) (1) b c a Theo bt ng thc Cauchy ta cú: a2 b2 c2 a2 b2 c + b 2a, + c 2b, + a 2c + + a+b+c b c a b c a 1 1 S dng (1) ta suy ra: P x + + y + + z + = x + y + z + + + = Q y z x x y z Tip tc ỏnh giỏ Q , ta cú: Q 3 xyz + 3 0,25 0,25 xyz x+y+z 3 15 Khi ú: Q 3t + = 12t + 9t 36 = t t 2 Du ng thc xy v ch x = y = z = 15 Kt lun: Giỏ tr nh nht ca P l , t x = y = z = 2 t t = xyz , ta cú: < t = xyz 0,25