Phương pháp viết phương trình mặt thẳng

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz PHƯƠNG PHÁP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Viết phương trình mặt phẳng thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng x y 1 z    mặt phẳng ( P) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O vuông góc với d Bài 1.1 (Dự bị – 2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : Tìm tọa điểm M thuộc d cho khoảng cách từ M đến ( P) Giải +) Gọi ( ) mặt phẳng cần lập Ta có d  ( )  n( )  (1; 2;3) vecto pháp tuyến ( ) Mặt khác, ( ) qua O(0;0;0) nên có phương trình : x  y  3z  +) Do M  d  M (t; 1  2t; 2  3t ) t  1  M (1; 3; 5)   5t     12  22  22 t  11  M (11; 21;31) Bài 1.2 (B – 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;0; 1) đường thẳng Khi d ( M , ( P))   d: t  2(1  2t )  2(2  3t )  x 1 y  z Viết phương trình mặt qua A vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu A   2 1 d Giải +) Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có ud  (2; 2; 1) vecto phương d Do d  ( )  n( )  ud  (2; 2; 1) vecto pháp tuyến ( ) Khi ( ) qua A nên có phương trình : 2( x  1)  y  ( z  1)  hay x  y  z   +) Gọi H hình chiếu vuông góc A d Khi H  d  H (1  2t; 1  2t; t )  AH  (2t; 1  2t; t  1) Do AH  d  AH ud   2.2t  2(1  2t )  (t  1)   t  5 1  H  ; ;   3 3 ý : Thực chất hình chiếu H A d toán giao điểm d ( ) x  y 1 z    2 Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm B thuộc Bài 1.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  4;1;3 đường thẳng d : d cho AB  27 Giải Đường thẳng d có vecto phương ud   2;1;3 Vì  P   d nên ( P) nhận ud   2;1;3 làm vecto pháp tuyến Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: 2  x    1 y  1   z  3  hay x  y  3z  18  Vì B  d nên B  1  2t;1  t; 3  3t  , Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) AB  27  AB2  27    2t   t   6  3t   27  7t  24t    t  t  2 Hình oxyz  13 10 12  Vậy B  7;4;6  B   ; ;   7  7 x  y 1 z    3 2 điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A vuông góc với  Tìm tọa độ điểm M Bài 1.4 (A, A1 – 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  : thuộc  cho AM  30 Giải Đường thẳng  có vecto phương u   3; 2;1 Vì  P    nên ( P) nhận u   3; 2;1 làm vecto pháp tuyến Mặt khác, ( P) qua A nên có phương trình : 3  x  1   y     z  3  hay 3x  y  z  14  Vì M   nên M   3t; 1  2t; 2  t  , : AM  30  AB2  120    3t   (2t  8)2   t  5  120  7t  4t    t  t   2  51 17  Vậy suy M  3; 3; 1 M  ;  ;   7 7 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  2;1;5 , mặt phẳng  P  : x  y  z   x 1 y  z   Tính khoảng cách từ A đến  P  Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua A , vuông góc với  P  song song với d đường thẳng d : Khoảng cách từ A đến  P  d  A, ( P)    P có vecto pháp tuyến Giải 2.(2)  2.1  1.5  22  (2)2  12  nP   2; 2;1 , d có vecto phương ud   2;3;1 , nP , ud    5;0;10  Theo giả thiết suy  Q  nhận n    nP , ud   1;0; 2  làm vecto pháp tuyến Suy phương trình mặt phẳng (Q) x  z  12  Kiểm tra kết : Chọn M (1;2;0)  d , ta có M  ( )  d / /(Q) Vậy mặt phẳng (Q) cần lập là: x  z  12  Bài 3.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  z   hai điểm A  3;1;1 , B  2; 1; 2 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng   Giải Ta có AB   1; 2;1 n   2; 1;    AB, n    3; 4;5 ( P)  AB Do  , suy n( P )   AB, n    3; 4;5 vecto pháp tuyến ( P) ( P )  (  )  Khi mặt phẳng ( P) có phương trình: 3x  y  5z  hay 3x  y  5z  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Bài 3.2 Hình oxyz Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 , B  3; 2; 2 mặt phẳng  P  : x  y  5z   Viết phương trình mặt phẳng   qua A, B vuông góc với mặt phẳng  P  Xác định hình chiếu vuông góc A mặt phẳng ( P) Giải +) Ta có AB  1;1;1 n( P )  1; 2; 5   AB, n( P )    7;6;1 ( )  AB Do  , suy n( )   AB, n( P )    7;6;1 vecto pháp tuyến ( P) ( )  ( P) Khi mặt phẳng ( P) có phương trình: 7( x  2)  6( y  1)  z   hay x  y  z   +) Gọi H hình chiếu vuông góc A mặt phẳng ( P) Do AH  ( P)  u AH  n( P )  (1; 2; 5) vecto phương AH x   t  Suy phương trình AH :  y   2t  H (2  t;1  2t;1  5t )  z   5t  Do H  ( P)   t  2.(1  2t )  5.(1  5t )    30t    t   32 19  H ; ;  15  15 15  Bài 3.3 (D – 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A  1; 1; 2 , B  0;1;1 mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A ( P) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B vuông góc với  P  Giải +) Gọi H hình chiếu vuông góc A mặt phẳng ( P) Do AH  ( P)  u AH  n( P )  (1;1;1) vecto phương AH  x  1  t  Suy phương trình AH :  y  1  t  H (1  t; 1  t; 2  t )  z  2  t  Do H  ( P)  (1  t )  (1  t )  (2  t )    3t    t   2 1  H  ; ;   3 3 +) Ta có AB  1; 2;3 n( P )  1;1;1 ( )  AB Do  , suy n( )   AB, n( P )    1; 2; 1 vecto pháp tuyến ( P) (  )  ( P )  Khi mặt phẳng ( P) có phương trình: ( x  1)  2( y  1)  ( z  2)  hay x  y  z   Bài 3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho  P  : 2x  y  2z   hai điểm A 1; 2;3  , B 3;2; 1  Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vuông góc ( P) Tìm điểm M trục Ox cho khoảng cách từ M đến (Q) 17 Giải +) Ta có AB   2; 4; 4  n( P )   2;1; 2    AB, n( P )    4; 4; 6   2.(2; 2;3) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz (Q)  AB Do  , suy n(Q )  (2; 2;3) vecto pháp tuyến ( P) (Q)  ( P) Khi mặt phẳng (Q) có phương trình:  x  1   y     z  3  hay x  y  3z   +) Ta có M  Ox  M  m;0;0  Do đó:  m  12  M (12;0;0)  17  2m  17  17    17  m  5  M (5;0;0) Vậy M (12;0;0) M (5;0;0) d  M ; Q    2m  Bài 3.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho cho hai điểm A 1; 1; 2 , B  3;0; 4 mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng ( P) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng ( P) Giải +) Đường thẳng AB qua điểm A có vecto phương AB   2;1; 6   x   2t  Khi AB có phương trình:  y  1  t  z   6t  Gọi I  AB   P   I  AB  I 1  2t; 1  t;2  6t  Do I  ( P)  1  2t    1  t     6t     t  4   I  ;  ;1 3  +) Ta có n( P )  1; 2;    AB, n( P )   10;10;5  5.(2; 2;1) (Q)  AB Do  , suy n(Q )  (2; 2;1) vecto pháp tuyến ( P) (Q)  ( P) Khi mặt phẳng (Q) có phương trình:  x  1   y  1   z    hay x  y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox vuông góc với mặt phẳng  P  Giải Gọi mặt phẳng   mặt phẳng cần tìm Trục Ox chứa điểm O vectơ i  1;0;0  , mặt phẳng  P  có VTPT n  1;1;1 Mặt phẳng   chứa trục Ox vuông góc với mặt phẳng  P nên qua điểm O nhận u  n, i    0;1; 1 vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mặt phẳng   : y  z  Bài (A, A1 – 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z 1  x2 y z 3 Tìm tọa độ giao điểm d ( P) Viết phương trình mặt phẳng chứa   2 d vuông góc với ( P) đường thẳng d : Giải +) Gọi M giao điểm d ( P) , suy M  d  M (2  t; 2t; 3  3t ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Khi M  ( P)  2(2  t )  2t  2(3  3t )    t  Hình oxyz 3 7  M  ; 3;  2 2 +) Gọi ( ) mặt phẳng cần lập Ta có d có vecto phương ud  (1; 2;3) , ( P) có vecto pháp tuyến n( P )  (2;1; 2) d  ( ) Do   n( )  u( d ) , n( P )   (1;8;5) A(2;0; 3)  d  A  ( ) ( P)  ( ) Suy mặt phẳng ( ) có phương trình : x   y  5( z  3)  hay x  y  5z  13  x 1 y z    2 1 mặt phẳng ( P) : x  y  z  2016  Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M song song với d Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (0; 2; 1) , đường thẳng d : vuông góc với mặt phẳng ( P) Giải Đường thẳng d có vectơ phương ud  (2; 2; 1) Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n( P )  (1; 1; 2) d / /( )  n( )  u( d ) , n( P )   (5;3; 4) Do  ( P)  ( ) Suy phương trình ( ) : 5x  3( y  2)  4( z  1)  hay 5x  y  z   Kiểm tra kết quả: Chọn điểm M (1;0; 1)  d Nhận thấy M  ( )  d // ( ) Vậy mặt phẳng ( ) cần lập có phương trình là: 5x  y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;1;1 , mặt phẳng  P  : x  y  3z   Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua A , vuông góc với  P  song song với trục Oy Giải Mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến nP   2; 1;3 Theo giả thiết,  Q  mặt phẳng qua A 1;1;1 nhận n  nP , j    3;0;  làm vecto pháp tuyến Do đó,  Q  có phương trình: 3x  z   hay 3x  y   Kiểm tra kết : Chọn M (0;1;0)  Oy , ta có M  (Q)  Oy // (Q) Vậy mặt phẳng (Q) cần lập là: 3x  y   x  1 t x y 1 z   Bài Cho hai đường thẳng : d1 :  , d :  y  1  2t điểm A(0;1; 2) Viết phương trình  1 z   t  mặt phẳng ( P) qua A đồng thời song song với d1 , d Giải Ta có vectơ phương d1 , d : u1  (2;1; 1) u2  (1; 2;1) Do ( P) đồng thời song song với d1 , d  n( P )  u1 , u2   (1;3;5) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz Vậy phương trình mặt phẳng ( P) qua A(0;1; 2) có vectơ phương n( P )  (1;3;5) là: ( x  0)  3( y 1)  5( z  2)  hay x  y  5z  13  Kiểm tra kết quả: Chọn M1 (0;1; 1)  d1 M (1; 1; 2)  d2 d1 / /( P) Ta có: M1  ( P); M  ( P)   (thỏa mãn) d / /( P) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x  y  5z  13   x  6t x 1 y  z   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : ; d :  y   2t   1  z   4t  Chứng minh d1 d song song với Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 d2 Giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1; 2; 1) có vectơ phương u1  (3; 1; 2) Đường thẳng d qua điểm M (0;1; 2) có vectơ phương u2  (6; 2; 4)  u1 ; u2   (0;0;0)    Ta có M1M  (1;3;3) ,   d1 // d  M 1M , u1   (9;11; 8)     d1  ( P)  n( P )   M1M , u1   (9;11; 8) vecto pháp tuyến ( P) Do  d  ( P) Khi ( P) qua điểm M1 (1; 2; 1) có vecto pháp tuyến n( P )  (9;11; 8) nên ( P) có phương trình: 9( x 1)  11( y  2)  8( z  1)  hay x  11y  8z   Chú ý:  Việc chứng minh d1 // d ta chứng minh theo cách sau: u1  (3; 1;2), u2  (6;2; 4)  u2  2u1  u1 , u2 phương , suy d1 d // nP  1; 2;2  (*) Chọn  AB, nP   10;10;5 , hệ nQ   2;2;1 vô nghiệm Q  :  x  1   y  1  1 z  2   x  y  z   Từ (*) (2*), suy nên d1 , d không trùng (2*) d1 d //  Khi coi u1 , u2 cặp vecto phương ( P) mà u1 , u2 phương ( u1 ; u2   ) ta suy luận vecto pháp tuyến ( P) công thức n( P )  u1 ; u2  n( P )  Vì ta có lời giải toán x  y 1 z  Bài 10 (A – 2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 :   x  1 t   :  y   t Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng 1 song song với đường thẳng   z   2t  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz Giải Vectơ phương 1 ,  u1  (2;3;4), u2  (1;1;2) 1  ( P)  n( P )  u1 , u2   (2;0; 1) vecto pháp tuyến ( P) Do   / /( P) Mà 1  ( P) nên ( P) qua điểm M (2;1; 4)  1 Khi phương trình mặt phẳng ( P) là: x  z  Kiểm tra kết quả: Chọn điểm N (1; 2;1)  2 Nhận thấy N (1;2;1) ( P)   // ( P) Vậy mặt phẳng ( P) cần lập có phương trình là: x  z   P1  : x  y  3z    P2  : 3x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M 1; 2; 1 , vuông góc với hai mặt phẳng  P1   P2  Bài 11.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng Giải  P1  có véc tơ pháp tuyến n1  1; 2;3 ;  P2  có véc tơ pháp tuyến n2   3; 2; 1 ( P)  ( P1 )   P  có véc tơ pháp tuyến n  n1 , n2    8;10; 4   2  4; 5;  Do  ( P)  ( P2 ) Khi ( P) có phương trình:  x  1   y     z  1  hay x  y  z   Bài 11.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : 3x  y  z  2016  , (Q) : x  y   điểm M (1; 1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M đồng thời vuông góc với ( P) (Q) Giải Vectơ pháp tuyến ( P),(Q) n( P )  (3;1; 2), n(Q )  (1; 3;0) Do ( )  ( P)  n( )   n( P ) , n(Q )   (6; 2; 10)  2(3;1;5) vec tơ pháp tuyến ( )  ( )  (Q) Suy mặt phẳng ( ) có phương trình: 3( x  1)  y   5( z  1)  hay 3x  y  5z   Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3 Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua O, C cho khoảng cách từ A đến ( P) khoảng cách từ B đến ( P) Giải Ta có AB  (1; 2;0) OC  (0;0;3) Do d ( A,( P))  d ( B,( P)) , suy AB // ( P) ( P) qua trung điểm AB  AB / /( P)  n( P )   AB, OC    6;3;0    2;1;0  vecto pháp tuyến ( P) +) Với AB // ( P) ,  OC  ( P) Suy phương trình ( P) : x  y  (đi qua O(0;0;0) ) 1  1  +) Với ( P) qua trung điểm I  ;1;0  AB , suy OI   ;1;0  2  2    Khi ( P)  (OIC )  n( P )  OI , OC    3;  ;0    2; 1;0  vecto pháp tuyến ( P)   Suy phương trình ( P) : x  y  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng) Hình oxyz Vậy phương trình mặt phẳng ( P) cần lập x  y  x  y  Bài 13 (B – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0; 3;0), B(4;0;0), C (0;3;0) , B1 (4;0; 4) Gọi M trung điểm A1 B1 Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng ( P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài đoạn MN Giải   B A  BA  (4; 3;0)  A1 (0; 3; 4) +) Do ABC A1B1C1 lăng trụ nên  1   B1C1  BC  (4;3;0)  C1 (0;3; 4)     Do M trung điểm nên M  2;  ;  Ta có AM   2; ;  BC1   4;3;       AM  ( P)  n( P )   AM , BC1   (6; 24;12)  6.(1; 4; 2) vecto pháp tuyến ( P)   BC1 / /( P) Khi phương trình mặt phẳng ( P) là: x  y  z  12  Vì // ( P) Vậy mặt phẳng ( P) cần lập có phương trình là: Nhận thấy x  y  z  12  x   +) Ta có AC 1  (0;6;0)  6.(0;1;0) , suy phương trình A1C1 là:  x  3  t z   Do ( P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N nên N  AC 1  N (0; 3  t ;4)   Khi N  ( P)   4.(3  t )   12   t   N (0; 1;4)  MN   2;  ;0    17 1 Vậy độ dài MN  22     02  2 Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d d ' có phương trình y2 x2 z 5 Chứng minh d d ' hai đường thẳng chéo  z d ' :  y 3  1 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vuông góc với d ' d:x Giải Đường thẳng d qua điểm M (0; 2;0) có vectơ phương u  (1; 1;1) Đường thẳng d ' qua điểm M '(2;3; 5) có vectơ phương u '  (2;1; 1) Ta có u ; u '  (0;3;3) MM '  (2;1; 5) , u, u ' MM '    15  12  Suy d d ' hai đường thẳng chéo Do u.u '   d '  d nên tồn mặt phẳng ( ) theo yêu cầu toán Do d '  ( )  d nên mặt phẳng ( ) qua điểm M (0; 2;0)  d có vecto pháp tuyến u '  (2;1; 1) Suy phương trình ( ) là: x  y  z   Nhận xét : Mặt phẳng ( ) toán tồn d '  d d '  ( )  d Giáo viên Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Nguyễn Thanh Tùng : Hocmai.vn - Trang | - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số Việt Nam LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN      Ngồi học nhà với giáo viên tiếng Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu lực Học lúc, nơi Tiết kiệm thời gian lại Chi phí 20% so với học trực tiếp trung tâm LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI     Chương trình học xây dựng chuyên gia giáo dục uy tín Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam Thành tích ấn tượng nhất: có 300 thủ khoa, khoa 10.000 tân sinh viên Cam kết tư vấn học tập suốt trình học CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN Là khoá học trang bị toàn kiến thức theo chương trình sách giáo khoa (lớp 10, 11, 12) Tập trung vào số kiến thức trọng tâm kì thi THPT quốc gia Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Là khóa học trang bị toàn diện kiến thức theo cấu trúc kì thi THPT quốc gia Phù hợp với học sinh cần ôn luyện Là khóa học tập trung vào rèn phương pháp, luyện kỹ trước kì thi THPT quốc gia cho học sinh trải qua trình ôn luyện tổng thể Là nhóm khóa học tổng ôn nhằm tối ưu điểm số dựa học lực thời điểm trước kì thi THPT quốc gia 1, tháng -