PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT: HÀM SỐ (PHẦN 1)

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) H PH PT – HPT- BPT NG TRÌNH: HÀM S ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng H ph ng trình : Hàm s thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng  x3  12 x  y3  y2  16  Bài Gi i h ph ng trình:  2 4 x   x  y  y   Gi i K: x   2;2 , y  0;4 Ta có PT (1)  ( x  2)3  6( x  2)  y3  y2 Xét hàm s f (t )  t  6t , t  0;4 ta có f '(t )  3t  12t  3t (t  4)  0, t  0;4  f (t ) ngh ch bi n 0; 4 Mà ph ng trình (1) có d ng: f ( x  2)  f ( y)  y  x  thay vào ph ng trình (2) ta có: x2    x2  x  t ta có y = K t lu n: H ph ng trình có nghi m (0; 2) 2   ( x  2) x  x   y y   x  y   Bài Gi i h ph ng trình sau:    x  y 1  x  y 1 Gi i i u ki n: x  y   Ph ng trình (1)  ( x  2) ( x  2)2   x    y ( y)2   y Xét hàm s f (t )  t t   t Có f '(t )  t   t2   t t2  ng trình (1)  x    y  Hàm s f (t ) đ ng bi n R  Ph Thay vào (2) ta có : 3   x  x     x  x 1  2x    2 2  x  x   x  12 x   x2  x   x2  12 x     x    x       x  1  x  1  y  1 (tmdk) 3x2  13x  10   10  x    V y h có nghi m (x;y) = (-1;-1) Bài Gi i h ph   53  x 10  x   y  48   y  ng trình sau:   x, y    x  y   x  2 x  y  11  x  66 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12  1  2 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT Gi i 10  x   x  10 9  y  y    K:   2 x  y   2 x  y   2 x  y  11  2 x  y  11  T PT(1) ta có 5 10  x  3 10  x  5   y  3  y,  3 f  t    5t  3 t kho ng t  0;   có f /  t   15t   0, t  hàm s đ ng bi n Xét hàm s  T (3) ta có f   10  x  f   y  10  x   y  y  x  1,   Thay (4) vào (2) ta đ x   10  x  x2  x  66  (5) Gi i (5) ta đ  K: x  7;10 c    x     10  x  x2  x  63    x  9[ c x9 x9    x   x    x    10  x 1    x   ]   x  9, y  x    10  x V y H ph ng trình có nghi m nh t  x; y   9;8 Bài Gi i h ph  1 y x   x y 1  ng trình sau: 1   x  y   1 x   y  2 Gi i K:  x; y  PT(1)  1 y x x   y (*) 1 1 x   (1  y) xét h/s f (t )  t  t ; có f ' (t )  t 1 1 t t 1 t   ,t  (1; ) (1   t ) (1   t )  (*)  f ( x)  f (1  y)  x   y , th vào pt(2) ta đ c:  x   x  2   x   x  x2    x  x2  x    x  x2  ( x  1)  x  1  y 2 (tmđk)  x   v y h pt có nghi m  y   Bài Gi i h ph  x   3 x  x  3 y (II) i u ki n:  ng trình :  y    3 y  y  3 x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT   3 x  x  3 y Ta có (II)    3  x   y  y  x2  x    y2  y  C ng v theo v ta có: Xét hàm s (2) f (t )   t  t  Mi n xác đ nh: D  1;   t o hàm: f / (t )     x  D Suy hàm s đ ng bi n D t 3t T (*) ta có f ( x)  f ( y)  x  y Lúc đó:  x2  x  (3) + VT (3) hàm s hàm đ ng bi n D + VP (3) hàm h ng D Ta th y x  nghi m c a ph ng trình (3) (th a u ki n) Suy ph ng trình có nghi m x  nghi m nh t V y h có nghi m 1;1 Bài Gi i h ph 2  2 x  x  x   y  y  y  ( ) ng trình:  2  x  y  2x  y   ( ) Gi i L y(1)–(2) Ta có x2  3x   x   y2  y  y   ( x  1)2  ( x  1)  x   y2  y  y  Xét hàm s : f ( t )  t  t  t  1 t 1 Áp d ng b t đ ng th c Cauchy 1  1  1   t  1  2 t 1 t 1 f '(t )  2t   Suy f '  t   V y f  t  hàm đ ng bi n Suy x   y Thay x  y  vào ph ng trình ( ) ta có  y  1  y2   y  1  y   y 1 x 1  y  y 1     y   x  2    2   V y h có nghi m S  1;  ,  ;      Bài Gi i h ph   x  x  y y   ng trình:   x   y   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT Gi i i u ki n x  2; y  Ph ng trình ( 1) t f Xét hàm s  ng đ   2 x  f ng :   x  x   x   y  1 y   y   y 1 f  t   t  t ta có f '  t   3t   sau hàm s T suy Ta có f    2 x  f f  t  đ n u t ng  y    x  y   x   y thay vào ph ng trình (2)  2y  y  ( * ) u   y t  v  y   v     y  u  1; v    u  2v  3  65 23  65 233  23 65    y   u  ;v  (*)   32 u  2v     233  23 65 65  23  65  y ;v  u   32 4   V y h có nghi m   23 65  185 233  23 65   23 65  185 233  23 65     S   1;  ,  ; ;  ,    16 32 16 32        2 x2 y  y3  x4  x6 Bài Gi i h ph ng trình:   x   y    x  1 Gi i y   V i x  thay vào h ph ng trình ta có  3 ( mâu thu n )  y  Chia hai v ph Xét hàm s T suy ng trình ( 1) cho x3 ta có y  y     x  x3  x  x f  t   t  2t có f '  t   3t   sauy hàm s y  x  x2  y  y   Thay vào ph x  y f    f  x  x f  t  đ n u t ng ng trình ( 2) ta có  x  2 x2    x  1 (*)  u  x t   v  x   v   (*)   u   v  v2  2u  v2  uv  2v  2u    v  u  v     v   x     V y h có nghi m S   3;3 , Hocmai.vn – Ngôi tr  3;3 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Bài Gi i h ph  PT – HPT- BPT    x  x   y  3  y  ng trình:  2  4 x  y   x  Gi i   x  i u ki n :  y   ng trình ( ) bi n đ i ta có 8x3  x    y  y   x  x  Ph f  t   t  t ta có f '  t   3t   suy hàm s Xét hàm s T suy  f  x  f    y  2x   y  y     2y   2y f  t  đ n u t ng  x2  x  0 Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có   x2   3 đ u không nghi m 4x      x   V i x  0;  Nh n xét x  ; x   4   2   x2   3  v i x   0;  g  x  x      x  Khi g '  x  x x    4x  4     1 Ta có g     x  ; y  nghi m nh t c a h 2   y  1  y y   x  Bài 10 Gi i h ph ng trình:   x  x2  x    2 x  y   Gi i i u ki n x  y   Ph ng trình ( ) t Thay vào ph x 1  ng đ   y2   y   x 1  x 1     1  y  y 1    f (t )  t  t  Khi dó f '(t )   t t 1  suy hàm s f  t  đ n u t ng x 1  x 1   x 1  T suy f   y  x  y  thay vào ph   f  y    f  y f      đ c  y2    y y2   y     y x 2  y   2  y    y2   y (*) ng trình (2) ta có  x  1   Xét hàm s  ng x  y   y2   y y2   y2  x  y   ng trinh (*)ta  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT 5 3 V y h có nghi m  ;  2 2  x  x2  x   y  y2  ng trình:  2  x  y  3x  y   Gi i ng trình ta có Bài 11 Gi i h ph C ng hai ph x2  x   x2  x   y2  y2    x  1  Xét hàm s  x  1   y2  y2  f  t   t  t   t   Khi f '  t    T suy f  x 1   f  y    x 1 V i y  x  thay vào ph T ph  y 4 2  x y  2x  y  y   ng trình  2 2   y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Gi i ng trình (2) ta có đ/k : x  y , y  Xét hàm s  y 2 ng trình hai ta có x2   x2  x  1  3x  1  x   x  Bài 12 Gi i h ph f  t  đ n u t ng  y  x 1  y2    y  1 x ng trình hai ta có x2   x2  x  1  3x   x  1    x  V i y   x thay vào ph  suy hàm s t4 y2   y  y2  f  t   t   t  t liên tuc 0;   có f /  t    x  y t ( x, y  R)   x  y   x  y  2t t  t    t  2   t  Suy hàm s ngh ch bi n  0;   nên f  y  f  x  y  x  y 2 t t    Thay vào (1) ta có Bài 13 Gi i h ph  y  2  x2  x  1   y   x  V y h có nghi m (x ;y) = (4 ; 2) 2 x  y  x  y  xy    ng trình:  3 y   x3  y  x   Gi i Ta có (1)   x  1   y  1   x  1 y  1  K: (2x + 1)(y + 1)  2 x   Mà x >    y 1  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Ta có PT (1)   2x 1  y   PT – HPT- BPT  2x 1  y 1   2x   y    y  2x Thay vào (2): x   8x3  x    x  1  x    x  x Hàm s f(t) = t3 + t đ ng bi n R (3)  x   x  x3  3x  Nh n xét: x >1 không nghi m c a ph Xét  x  1:  cos  t x = cos v i 0  (3) ng trình 2    k (k  Z )    k  Do       V y h có nghi m:  cos ; cos  9  Bài 14 Gi i h ph  x5  xy4  y10  y6 (1) ng trình:   x   y   (2) Gi i K: x   N u y = t ph ng trình (1) ta suy x = 0, th vào ph ng trình (2) ta th y không th a mãn, v y y khác t x = ky ta đ c (1) tr thành : 5 k y  ky5  y10  y6  k5  k  y5  y (3) Xét hàm s f (t )  t  t , ta có f '(t )  5t   0t  Do f(t) hàm s đ ng bi n (3)  f ( k)  f ( y)  k  y  x  y Th vào (2) ta đ ,v y c x   x    5x  13  x2  37 x  40  36  x2  37 x  40  23  5x 23  x  5 x  23 x       2  x  41 16 x  148 x  160  25 x  230 x  529 9 x  378 x  369  Suy x = y  1 Bài 15 Gi i h ph  x2 y  x2  y2  y   ng trình:  2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Gi i Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT K: x  y  0; y   x  y  T (2) :  x  y y2   x  y  y2   y2  xy  x2   x  y  y2   y  y2     x  y   x  y Xét hàm s : f (t )  t   t  t 1  y t t2 1     2t  t   2  0 2 t  t 1  t 1   v i m i t>0 ) t 1 t 1 Nh v y h có nghi m ch x y : y  x  y hay x = 2y (Vì : t2 1    t    f '(t )  1 2 Thay vào (1) :  y y   y  y2  y    y3  10 y2  y   2   y    y2  y  1   y  : y2  y   vô nghi m V y h có nghi m : (x; y) = (4; 2)  x2 1 y2  12 4  y  x 1   ng trình:   x y   2  x y   2  2  Gi i  Bài 16 Gi i h ph  i u ki n : x, y    x 2 y  Ta có PT (1)  2.2  x  2.2 3 y 4  Xét hàm s : f (t )  2.t  3t  t    f '(t )  8t   Ch ng t f(t) đ ng bi n Do v y đ ph ng trình (1) có nghi m ch : x  y  x  y  Thay vào (2) :    4 3 Xét hàm s : f(t)= 2t  t  f '(t )  4t   2  y  x y     4 1 Nh n xét : f(1) = +  Suy t = nghi m nh t      x; y    ;  2 5 5  y   x   Bài 17 Gi i h ph 5y  * 5y  Ta có PT (1)  x  x2   Hàm s     x  x2  y  y2    ng trình:  27x  x3  y  (2) Gi i  2 y 1    2 y f  t   t   t đ ng bi n R nên 1  x  2 y Th vào PT (2) ta có: 27x  x3  4x   3x  x3  4x    x  1   x  1  x3  4x   x3  4x  3 Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t  3 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT L i xét : g  t   t  t , đ ng bi n R nên:  3  x   x3  4x   3x  x    x   13 2 y3  y  x  x   x (x, y  ) Bài 18 Gi i h ph ng trình:   y   y   x  Gi i i u ki n: 4  x  1; y  Ta có PT (1)  y3  y   x  x  x   x  y3  y  2(1  x)  x   x Xét hàm s  f (t ) đ ng bi n f (t )  2t  t , ta có f '(t )  6t   0, t  V y y  (1)  f ( y)  f (  x)  y   x    y  1 x Th vào (2) ta đ  x   x   x   3 c Xét hàm s g ( x)   x   x  x  4, liên t c [4;1] , ta có 1    x  (4;1)  g ( x) ngh ch bi n [4;1] L i có g (3)   2x  x x  nên x  3 nghi m nh t c a ph ng trình (3)  x  3 V i x  3 suy y  V y h có nghi m nh t   y  g '( x)   2 x2 y  y3  x4  x6 Bài 19 Gi i h ph ng trình:   x   y    x  1 Ph ng trình (1) x = y = không nghi m không th a mãn (2)  y  y ng trình (1) cho x3   1        x  x3  x  x Chia v ph Xét hàm s : f  t   2t  t  f '  t    3t  0t  R Ch ng t hàm s f(t) đ ng bi n có nghi m ch x y : x    áp s :   y  Bài 20 Gi i h ph  y  x  y  x2 x x     y    n ta gi i nh ph ng trình ph n   x   x2 y   y2   ng trình:   x x  xy   xy  x  Gi i      x   x    y     y   Ta có h   (nhân liên h p)  x x  xy   xy  x   Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Xét hàm s : f (t )  t   t  f '(t )   Ch ng t hàm s đ ng bi n Thay vào ph t 1 t2 1 t2  t  t2 1  PT – HPT- BPT t t 1 t  0, t  R f  x  f   y ch x y x   y (*) ng trình (2) :  x2  x   3x 25 x  x x  x   4 x  x    x  x     x  2   x2  x   2 x 2 x  x  x2  x   3x     x  1; y  1 2 x  x   x 7 x  x   x  x   2 x2  x   2 x   2 2 x  x   x 2 x  x    Tr ng h p :  Tr ng h p :  x  11 3  11  11 3  11 V y h có hai nghi m : (x; y) = (1;-1),( ) ;y ; 2 2 Bài 21 Gi i h ph i u ki n : x   x  3 x   y  y3  1 ng trình:  4 x  x  y  y  y     Gi i Ta có PT (1)  8x  3 x   y  y3 *     t t  x   x  t   8x  3 x   4 t   3 t  4t  t  4t  t Do (*) : 4t  t  y3  y Xét hàm s : f  u   4u3  u  f '  u   12u   0, u  R Ch ng t hàm s đ ng bi n Do ph 2 x  y2  (**) ng trình có nghi m : f  t   f  y  x   y   y  Thay vào (2) :  y2  1   y2  1  y3  y2  y    y4  y3  y2  y       y y3  y2  y    y  y  1 y2  y   y  y   y  y  1 y   y  1     y  1   y  2   y  1  loai     y  2  y  y   1  V y +)     x; y   ;0  2  2 x  y   x   y  y 1    x; y  1;1 +)  2 x  y   x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t Giáo viên Ngu n T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam L I ÍCH C A H C TR C TUY N      Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu n ng l c H c m i lúc, m i n i Ti t ki m th i gian l i Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i trung tâm LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI     Ch ng trình h c đ c xây d ng b i chuyên gia giáo d c uy tín nh t i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam Thành tích n t ng nh t: có h n 300 th khoa, khoa h n 10.000 tân sinh viên Cam k t t v n h c t p su t trình h c CÁC CH NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N Là khoá h c trang b toàn b ki n th c c b n theo ch ng trình sách giáo khoa (l p 10, 11, 12) T p trung vào m t s ki n th c tr ng tâm c a kì thi THPT qu c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n b n Là khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho h c sinh tr i qua trình ôn luy n t ng th Là nhóm khóa h c t ng ôn nh m t i u m s d a h c l c t i th i m tr c kì thi THPT qu c gia 1, tháng - [...]... c gia T ng đài t v n: 1900 58-58-12 Là các khóa h c trang b toàn di n ki n th c theo c u trúc c a kì thi THPT qu c gia Phù h p v i h c sinh c n ôn luy n bài b n Là các khóa h c t p trung vào rèn ph ng pháp, luy n k n ng tr c kì thi THPT qu c gia cho các h c sinh đã tr i qua quá trình ôn luy n t ng th Là nhóm các khóa h c t ng ôn nh m t i u đi m s d a trên h c l c t i th i đi m tr c kì thi THPT qu c