07 một số phương pháp giải toán nguyên hàm tích phân

MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN A Đặt vấn đề I Lời mở đầu Để bồi d-ỡng lực t- độc lập ,t- tích cực t- sáng tạo học sinh, tr-ớc tiên phải trang bị cho em có kiến thức phổ thông vững chắc, có khả giải dạng tập Muốn vậy, ng-ời giáo viên phải vận dụng ph-ơng pháp khác nhau, h-ớng em vào môi tr-ờng hoạt động tích cực, xem học tập trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động sáng tạo củ a học sinh Ng-ời thầy giáo phải giúp học sinh xem xét toán d-ới nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên t-ởng, kết nối kiện yêu cầu toán, toán ch-a biết cách giải với toán quen thuộc biết cách giảI, biết phân tích, tổng hợp, so sánh, tr-ờng hợp riêng lẻ để đem đến chung mang tính chân lý Từ học sinh vận dụng ph-ơng pháp toán học để giải toán đặt Với lý chọn đề tài MT S Ph-ơng pháp giải toán nguyên hàm tích phân II Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu 1) Thực trạng: Trong ch-ơng trình Giải tích 12, kiến thức nguyên hàm tích phân chiếm phần quan trọng Tuy nhiên toán nguyên hàm, tích phân ch-a nhiều dừng lại toán đơn giản, ch-a có nhiều ph-ơng pháp Học sinh giải toán theo h-ớng định Do toán nguyên hàm, tích phân ch-a khai thác hết đ-ợc ch-a phát huy đ-ợc tính sáng tạo, khám phá học sinh Tôi nhận thấy việc khai thác ph-ơng pháp giải toán nguyên hàm, tích phân để học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác điều quan trọng Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN 2) Kết quả: Khi đ-ợc phân cônggiảng dạy lớp 12, nhận thấy kiến thức giải tích học sinh lớp giảng dậy đ-ợc phân công hạn chế: toán nguyên hàm, tích phân nên việc vận dụng ph-ơng pháp giải học sinh chậm bế tắc cách định hình ph-ơng pháp giải Do dần hình thành ph-ơng pháp giải, phát triển từ toán đến toán mức độ khó Để công việc giảng dạy đ -ợc tốt hơn, mạnh dạn cải tiến nội dung, ph-ơng pháp, khai thác cấu trúc logic toán, tìm nhiều ph-ơng pháp giải cho toán, phát triển toàn d-ới nhiều hình thức khác B GiảI vấn đề I Giải pháp thực Các yêu cầu giải toán nguyên hàm tích phân 1.1 Học sinh nắm vững định nghĩa nguyên hàm tích phân, tính chất ph-ơng pháp chủ yếu để tính nguyên hàm tích phân 1.2 Học sinh có kĩ giải toán nguyên hàm tích phân nhiều ph-ơng pháp khác nhau, nắm vững ý nghĩa hình học tích phân để sốtr-ờng hợp ta tính tích phân ph-ơng pháp đơn giản 1.3 Học sinh đ-ợc phát triển t- thuật giải trình tính nguyên hàm, tích phân theo quy trình xác định, đ-ợc rèn luyện tính linh ho ạt , khả sáng tạo trình giải toán Trong ch-ơng trình môn toán tr-ờng phổ thông trung học, nội dung kiến thức mà học sinh học nguyên hàm tích phân lớp 12 gồm vấn đề sau đây: - Định nghĩa nguyên hàm Các tính chất nguyên hàm Bảng nguyên hàm - Định nghĩa tích phân Các tính chất tích phân Các ph-ơng pháp tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN 1.1 Các ph-ơng pháp xác định nguyên hàm tích phân Xác định nguyên hàm định nghĩa Ví dụ 1: Chứng minh hàm số: x e x F ( x) x x x nguyên hàm hàm số: e x x f ( x) R x x Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai tr-ờng hợp sau: e x x f x F / x với x - Với x 0, ta có: F '( x) x x - Với x = 0, ta có: F '(0 ) lim F ( x) F (0) x x e0 lim lim ( x 1) x x x0 x F '(0 ) lim F ( x) F (0) e x e0 lim x x0 x x x Nhận xét F(0 -) = F(0 +) = F(0) = mà f f F / có nghĩa hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = e x x Tóm lại : F '( x) f ( x) x x0 Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R 1.2 Xác định nguyên hàm ph-ơng pháp phân tích Ph-ơng pháp tích phân thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức d-ới dấu tích phân thành tổng nhân tử mà nguyên hàm nhân tử nhận đ-ợc từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Ph-ơng pháp chung: B-ớc 1: Biến đổi f(x) dạng: Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN n f(x) = i i f i ( x) với fi(x) có nguyên hàm bảng công thức i số B-ớc 2: Khi đó: n n i i f ( x)dx i f i ( x)dx i f i ( x)dx Ví dụ 2: Tính tích phân : I Giải: dx ex Sử dụng đồng thức: = (1 + ex) ex Ta đ-ợc: ex ex d ex ex ex I dx dx x ex ex ex ex e = x - ln(1 + ex) + C 1.3 Xác định nguyên hàm ph-ơng pháp đổi biến số - Ph-ơng pháp đổi biến số đ-ợc sử dụng phổ biến việc tính tích phân Ph-ơng pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: Định lý 1: b Nếu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm thì: f(u)du = F(u) + C c Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = (t) (t) với đạo hàm (t) hàm số liên tục, ta đ-ợc: f(x)dx = f[(t)].(t)dt - Ph-ơng pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng dựa định lý sau: Định lý 2: a Nếu f(x)dx = F(x) + C u = (x) hàm số có đạo hàm đoạn [a,b] thì: Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN (b ) (b ) (a) (a) f (u )du F (u ) b Nếu f(x) hàm số xác định liên tục đoạn [a,b], hàm số x = (t) xác định liên tục đoạn [, ] thoả mãn điều kiện sau: (i) Tồn đạo hàm (t) liên tục đoạn [, ] (ii) () = a ( ) = b b (iii) Khi đó: f ( x)dx f (t ) ' (t )dt a Tuy nhiên khó ph-ơng pháp cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) cho phù hợp với toán cụ thể L-u ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Cách chọn đặt x x a b2 x2 a sin t , t b a cos t , t b t a b2 x2 a ,t , , t x sin t 2 a x , t 0, , t cos t x2 a2 ax ax , ax ax x a cos 2t x a b x x= a + (b a)sin2t Hàm có mẫu số t mẫu số Hàm f(x, t= Hàm f(x) = f (x) ) t = xa xb x a x b Giáo viên Phan Tuấn Anh f (x) Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Hàm f(x) = ;n N* 2 a b x x Ví dụ 1: Tính nguyên hàm : I Giải: Đổi biến t Đặt dx x x2 a tan t ; t ; b 2 x t x tdt xdx Ta có: I dx x x2 xdx x2 x2 tdt dt 1 dt t t t t t t x2 1 ln C ln C t x Ví dụ 2: Tính tích phân: I x dx x2 Giải: t x dt Đặt: x x2 dx xdx tdt dx t x x t 2; x t Khi đó: dx x x2 tdt x2 x2 tdt dt 1 dt t 1t t t t 1 1 t I dt ln t ln t ln ln 2 t t t 2 2 3 ***Sâu vào dạng cụ thể *Trng hp I Nu hm s di du tớch phõn cú cha a b2 x ta cú th tỡm cỏch gii theo mt hai hng sau: - Hng th nht : a b2 x2 t x a sin t ; t ; b 2 dx a cost dt ; b = a cost -Hng th hai Giáo viên Phan Tuấn Anh t t= a b2 x2 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Ví dụ 3: Tính tích phân: I x2 3x2 dx Lời giải: x Đặt 2 sin t , t , dx cost dt; 3x 4sin t cost 2 3 x t 0; x t I Khi đó: 3 3 2 4sin t.cos tdt sin 4t 3 sin 2tdt 3 3 cos 4t dt 3 *Trng hp II: Nu hm s di du tớch phõn cú dng f(x) = ;n N* 2 a b x thỡ ta t x a tan t; t ; 2 b Ví d 4: Tính tích phân: I dx 3x 2 Li gii: tan t; t ; 2 t x = X = thỡ t=0 ; X = = dx tan t ; + 3x2 = + tan2t thỡ Ta cú: I dx 3x 2 = I 3 (1 cos 2t )dt t= t sin 2t I cos tdt 30 *Trng hp III Nu hm s di du tớch phõn cú dng a.e x b Ta cú th t t = Giáo viên Phan Tuấn Anh a.e x b Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN ln12 Ví d 5: Tính tích phân: I e x 3dx ln Li gii: t : t e x e x t e x dx 2tdt dx x ln thỡ t = ; thỡ t = 2t 2(t 3) dt dt dt dt I1 2 t t t 1 1 ln12 Vy I x ln12 2tdt 2tdt ex t 3 e x 3dx ln 3 dt t Tớnh I1 t tan u; u ; dt tan u du 2 t : t tan u vi t u dt t I1 ; t 3u tan u 33 du du u tan u 3 = 18 I vy 3 *Trng hp IV Nu hm s f x di du tớch phõn l hm s chn thỡ ta cú: a I a a f x dx f x dx (a>0) a Bin i I v dng: I f x dx a a a f x dx f x dx (1) 0 Xột tớch phõn J f x dx t : x t dx dt a i cn x a t a; x t Mt khỏc vỡ f(x) l hm chn f(-t) = f(t) a a a 0 Khi ú J f t dt f t dt f x dx Thay (2) vo (1) ta c Giáo viên Phan Tuấn Anh I (2) a a a f x dx f x dx pcm Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN dx x2 Ví d 6: Tính tích phân: I Li gii: f x Hm s di du tớch phõn : dx x2 Ta cú I t : l hm s chn dx x2 = x tan t; t ; dx tan t dt 2 i cn x t ;x 0t Vy 1 x2 I dx 1 x tan t dt dt 2t tan t dx x2 = *Trng hp V Nu hm s f x di du tớch phõn l hm s l thỡ ta cú : a I f x dx (a>0) a I Ví d 7: Tính tích phân: x sin x x2 dx Li gii: x sin x f x xác định [ - ; ] x2 NX : h m số d-ới dấu tích phân x 3;3 ta có : f x x sin(2 x) ( x) x sin x x2 f x Vy f x l trờn [ - ; ] Do ú I x sin x x2 dx = *Trng hp VI : Nu hm s di du tớch phõn f x l hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì: Giáo viên Phan Tuấn Anh a T T a f x dx f x Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN f x dx f x dx a a T 0 a T CM: Ta có f x dx T f x dx (1) a T T I3 f x dx Đặt t x T dx dt a T Đổi cận: x a T t a; x T t T Khi : I3 a T a a f x dx f t T dt f t dt f x dx a 0 a T T a f x dx f x Thay (2) vào (1), ta đ-ợc : (2) (đpcm) áp dụng: 200 Ví d 8: Tính tích phân: I cos xdx (đề thi học sinh giỏi toan cấp tỉnh lớp - 12 2006 -2007) Li gii: xét hàm số f x cos x cos2 x x cos 2 f(x) tuần hoàn với chu kì Thật : f x cos x R x có TXĐ: D = R x R f x cos x x cos 2 Giả sử T : T mà f x T f x x R cos Cho x = đ-ợc : cos x T x cos x R 2 T T T cos sin k T 2k 2 Mà t > k z T điều mâu thuẫn vói giả thiết T Dođó 200 200 200 x x x x I cos xdx cos dx cos dx cos dx cos dx 2 2 o 198 Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 10 MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN 2 x x x x 100 100 cos dx cos dx 100 cos dx cos dx 2 2 0 x x 100 2sin 2sin 2 200 I tan x Ví d 9: Tính tích phân: 2009 sin12 x 2011 dx Li gii: Ta dễ thấy hàm số : f x tan x I sin12 x 2011 tan x tuần hoàn nên ta cú với chu kì 2009 2009 sin12 x 2011 dx tan x 2009 sin12 x 2011 4 dx f x Do f x hàm số lẻ ; nên 4 1.4 f x dx hay I = Tính tích phân ph-ơng pháp tích phân phần: Ph-ơng pháp tích phân phần đ-ợc sử dụng thông dụng trình xác định nguyên hàm hàm số Ph-ơng pháp cụ thể nhsau: Cho u, v hàm số có đạo hàm liên tục thì: udv = uv - vdu Còn tích phân xác định, ta có: b udv uv a b b a vdu a Dựa vào công thức tính tích phân phần,để tính tích phân I=f(x)dx ta tiến hành theo b-ớc sau: - B-ớc 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng: Giáo viên Phan Tuấn Anh 11 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN I = f(x)dx = f1(x).f2(x)dx - B-ớc 2: Đặt: u = f1(x), dv= f2(x)dx du,v - B-ớc 3: I = uv - vdu Chúng ta cần ý, sử dụng ph-ơng pháp tích phân phần để tính nguyên hàm cần tuân thủ nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv cho v đ-ợc xác định cách dễ dàng - Tích phân vdu đ-ợc xác định cách dễ dàng so với I Ta dùng P(x) đa thức - Khi gặp tích phân có dạng: P(x)axdx, P(x)sinxdx, P(x)cosxdx nên dùng tích phân phần để tính với cách đặt: u = P(x) - Khi gặp tích phân có dạng: P(x)log axdx nên dùng tích phân phần để tính với cách đặt: u = P(x) - Khi gặp tích phân có dạng: eaxsinbxdx, eaxcosbxbx nên dùng tích phân phần hai lần để tính với cách đặt: u = e ax Sau ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến tiện lợi ph-ơng pháp này: Ví dụ :10 Tính nguyên hàm: I x ln( x x 1) x2 Giải: Ta viết lại I d-ới dạng: I ln( x x 1) x u ln x x x dx du Đặt: x x x dx dv x2 v x dx x x dx dx x2 Khi đó: I x ln x Giáo viên Phan Tuấn Anh x dx x ln x 12 x x C Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN ***Sau õy chỳng ta vào dạng cụ thể: *Trng hp I: Nu hm s di du tớch phõn cú dng f x g x ú g x l mt hm a thc cũn f x l mt hm s lng giỏc thỡ cỏch gii chung l t du g / x dx u g x dv f x dx v f x dx I x sin x cos xdx Ví dụ 11: Tính tích phân: Li gii: I 12 x sin x sinx dx dx x du u 2 dv sin 3x sin x dx v cos3x cos x x 1 1 I cos 3x cos x cos 3x cos x dx sin 3x sin x 18 *Trng hp II: Nu hm s di du tớch phõn cú dng f e x g x ú g x l mt hm a thc thỡ ta cú cỏch gii chung l du g / x dx u g x x x dv f e dx v f e dx t : I x x e x dx Ví dụ 11: Tính tích phân: Li gii: u x x du x dx x x dv e dx v e t : I x x e Giáo viên Phan Tuấn Anh x 1 x 1e dx 3e x 1e x dx 3e I1 x 0 13 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Tớnh I1 x 1.e x dx t: I1 x e x u1 x du1 2dx x x dv1 e dx v1 e 2e x dx 3e 2e x 0 3e 2e e Vy : I = 2e-2 *Trng hp III: Nu hm s di du tớch phõn cú dng g x ln f x Trong ú g x l mt hm a thc hoc l mt hm s lng giỏc thỡ ta cú cỏch gii chung l t f / x du dx u ln f x f x dv g x dx v g x dx I Ví dụ 11: Tính tích phân: ln x x 2 dx Li gii: t: dx u ln x du x dv dx v x x2 1 dx I ln x ln I1 0 x x x2 1 dx dx dx x 1 ln ln x x x x x2 Tớnh : Vy I1 I ln ln 3 *** cng c cho hai phng i bin s v tớch phõn tng phn hay c s dng tớnh tớch phõn ta i lm mt s vớ d sau a Ví dụ 11: Tính tích phân: I x s inx a x dx a (a>0) Li gii: Giáo viên Phan Tuấn Anh 14 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN a I x a a I1 Tớnh : x sin xdx x a x dx I1 I t : f x x s inx xỏc inh sin xdx x a; a a x a; a f x x s in x x s inx=-f x thỡ f x x s inx a; a l hm s l trờn a x I1 sin xdx = a a Tớnh : I2 x a x dx t: g x x2 a x2 vi x a; a thỡ a g x x a I2 x a a x x a x g x g x l hm s chn trờn a; a t x = a sint dt a cos xdx t ; 2 a a x dx x a x dx 2 Đổi cận: x t 0; x a t a I a s int a sin t a cos tdt 4 a sin 2tdt a4 a2 t s in4t Vy: e Ví dụ 11: Tính tích phân: I ( I a cos4t dt a2 ln x ln x)dx x ln x Li gii: e Ta cú e Ta tớnh I1 = x t: t = ln x e ln x I dx ln xdx I1 I x ln x 1 ln x dx ln x bng phng phỏp i bin s t2 = + lnx 2tdt = dx x Đổi cận: x = thỡ t = ; x = e thỡ t = Giáo viên Phan Tuấn Anh 15 dt = dx dx xt x ln x Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Vy I1 t33 2 t 2tdt t 2 t e Tớnh I2 = ln t : xdx u ln x du ln xdx x dv dx v x e e I x ln x ln xdx e x ln x x e 1 1.5 e vy I 2 e Xác định nguyên hàm ph-ơng pháp dùng nguyên hàm phụ Ph-ơng pháp xác định nguyên hàm hàm số f(x) kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý t-ởng chủ đạo tìm kiếm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác định hơn, từ suy nguyên hàm F(x) hàm số f(x).Để xác định nguyên hàm hàm số f(x) theo ph-ơng pháp này, ta tiến hành thực theo b-ớc sau: - B-ớc 1: Tìm kiếm hàm số g(x) - B-ớc 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức F ( x) G( x) A( x) C F ( x) G ( x) B ( x) C ' - B-ớc 3: Từ hệ ta nhận đ-ợc: F(x) = [A(x) + B(x)] + C Đối với ph-ơng pháp này, điều khó cách tìm hàm số g(x) nh- để cho việc giải toán dễ dàng Ví dụ : Tìm nguyên hàm hàm số: f(x) = Giải: Chọn hàm số phụ: g(x) = sin x sin x cos x cos x sin x cos x Gọi F(x) G(x) theo thứ tự nguyên hàm hàm số f(x), g(x) Ta có: f(x) + g(x) = Suy ra: F ( x) G ( x) sin x cos x sin x cos x sin x cos x d (sin x cos x) dx ln sin x cos x C sin x cos x sin x cos x sin x cos x F ( x) G ( x) dx x c / sin x cos x Giáo viên Phan Tuấn Anh Tr-ờng THPT Phù Cừ 16 f ( x) g ( x) MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN F ( x) G( x) ln sin x cos x C F ( x) ln sin x cos x x C F ( x) G ( x) x C ' 1.6 Xác định tích phân hàm số l-ợng giác Để xác định tích phân hàm số l-ợng giác, ta th-ờng sử dụng ph-ơng pháp sau: a) Sử dụng nguyên hàm b) Các hàm phân thức hữu tỉ hàm l-ợng giác c) Sử dụng phép biến đổi l-ợng giác đ-a nguyên hàm d) Ph-ơng pháp đổi biến Đối với dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải cách đổi biến lựa chọn h-ớng sau: - H-ớng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi biến t = cosx - H-ớng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi biến t = sinx - H-ớng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) sử dụng phép đổi biến t = tgx - H-ớng 4: Mọi tr-ờng hợp đ-a tích phân hàm hữu x tỉ phép đổi biến t = tg e) Ph-ơng pháp tích phân phần f) Sử dụng nguyên hàm phụ Ví dụ : Tính: I Giải: sin x sin x dx Ta có nhận xét rằng: R(sin x, cos x) sin x sin x sin x cos x sin x sin x( cos x) sin x R(sin x, cos x) Từ nhận xét giúp ta định h-ớng đ-ợc phép biến đổi Đặt: t = sinx, dt = cosxdx Giáo viên Phan Tuấn Anh 17 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN t = 0; x = Đổi cận: x = 0 t I dt d t 2 t t t t Khi ú: t = -1 tdt ln t 2ln 2 t 1.7 Tích phân hàm số hữu tỉ Để xác định tích phân hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn ph-ơng pháp sau: Ph-ơng pháp tam thức bậc hai Ph-ơng pháp phân tích Ph-ơng pháp đổi biến Ph-ơng pháp tích phân phần Sử dụng ph-ơng pháp khác nhau: kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích số hạng đơn giản tích phân phần Tuy nhiên, chọn cách sử dụng ph-ơng pháp cần phải vào dạng toán cụ thể Ví dụ : Tính tích phân: I Giải: dx x 4x Biến đổi: 1 1 x 4x x x x x Khi đó: 1 dx dx I 2 x x +) Ta xác định tích phân Giáo viên Phan Tuấn Anh dx x2 I1 18 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN tg 2t dt dx dx tg t dt & dt x 1 tg 2t Đặt x = tgt, t ; 2 Đổi cận: x = t = 0; x t Vy I1 = dt t I2 dx x Đặt x = tgt, t ; 2 dx tg t dt dx tg t dt & dt x 3(1 tg t ) Suy ra: Đổi cận: x = t = ; x = t = Khi đó: +) Ta xác định tích phân I2 dt t Từ ta có I= Nhận xét: Nh- vậy, ta kết hợp nhiều ph-ơng pháp lại với để giải ví dụ trên, cụ thể ví dụ ta sử dụng đồng thời hai ph-ơng pháp ph-ơng pháp phân tích ph-ơng pháp đổi biến 1.8 Tích phân hàm số vô tỉ Để xác định tích phân hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn ph-ơng pháp sau: - Sử dụng dạng nguyên hàm - Ph-ơng pháp đổi biến - Ph-ơng pháp tích phân phần - Sử dụng phép biến đổi - Kết hợp ph-ơng pháp khác Ví dụ : Giải: Tính nguyên hàm: I xdx x I Biến đổi I dạng: Thực phép đổi biến: Giáo viên Phan Tuấn Anh x xdx x 1 x Đặt: t x t x 19 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Suy ra: x2 1 x2 I Khi đó: 1.9 xdx tdt = xdx dt t tdt t t dt t t C x C Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Để tính tích phân : I f ( x, m) dx ta thực theo b-ớc sau: a -B-ớc 1: Xét dấu biểu thức f(x,m) đoạn [a, b] Từ phân đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ mà đoạn f(x, m) có dấu xác định, giả sử: [a, b] = [a, c1] [c1, c2] [ck, b] - B-ớc 2: Khi ta có: c1 c2 b a c1 ck I f ( x, m) dx f ( x, m) dx f ( x, m) dx Ví dụ : Tính tích phân: I x x a dx (a > 0) Giải: Ta xét tr-ờng hợp sau: Tr-ờng hợp 1: Nếu a 1, ta có: x ax I x( x a)dx 1 a Tr-ờng hợp 2: Nếu < a < 1, ta có: a x ax x ax I x( x a )dx x( x a )dx 2 a a a a3 a3 a a3 a3 a3 a 3 3 Giáo viên Phan Tuấn Anh 20 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN Tính tích phân sau: II, tập tự luyện: 1.ĐH KA-08:: I cos3 x dx sin x tan x dx cos x 2.ĐH KA-04:: I x x 5.CĐGTVT07:: I dx 6.ĐH KA-05:: I sin x sin x 3.ĐH KB-04: e I 2 sin x cos x dx cos x 7.ĐH KB-05:: I ln x dx x3 8.CD Y tế HN07:: I x3 x 1dx 2008 I cos2 xdx 1 I dx 2sin x 1 I cos x s inx dx dx x I tan x I dx 10 cos2 x 10 I b I ln x x dx dx ln x ln x dx x 4.ĐH KD-08:: I 5a cos x x2 x2 dx x III.Các biện pháp để tổ chức thực 1.Hình thức luyện tập lớp có h-ớng dẫn Thầy giáo - Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khoá với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đ-a ph-ơng pháp giải hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có đ-ợc toán Sau cho học sinh tìm tòi, phát số vấn đề xung quanh toán mức độ đơn giản - Thực số buổi công tác bồi d-ỡng học sinh mức độ toán cao Hình thức tự nghiên cứu toán có h-ớng dẫn thầy giáo Hình thức cần đ-ợc thực liên tục trìnhhọc tậpcủa học sinh, làm cho khả t- duy, sáng tạo học sinh ngày đ-ợc tăng lên Giáo viên Phan Tuấn Anh 21 Tr-ờng THPT Phù Cừ MT S PHNG PHP GII TON NGUYấN HM - TCH PHN C Kết LUậN Kết nghiên cứu Sau tôI thực dạy số tiết lớp số buổi bồi d-ỡng cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh Kết đạt đ-ợc có 32/50(64%) học sinh đạt yêu cầu Kiến nghị, đề xuất - Cần tăng c-ờng buổi thảo luận khoa học để thống cách dạy đ-a tài liệu tham khảo - õy l mt dng toỏn hay c cỏc thi Trong chuyờn ny tụi ó c gng chn lc , nhiờn thi gian cũn hn ch cng nh s trau di chuyờn mụn cha cao.Vỡ vy, khụng trỏnh nhng thiu sút nht nh - Rt mong c s tham gia gúp ý kin ,giỳp ca cỏc ng nghiờp ti ny c ỏp dng tt hn ging dy Tụi xin chõn thnh cm n ! PhựCc ngy 19 / 05 / 2009 Ngi vit PhanTtun Anh Giáo viên Phan Tuấn Anh 22 Tr-ờng THPT Phù Cừ