Hiệu chỉnh bài toán tìm không điểm của toán tử accretive

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯỜNG HIỆU CHỈNH BÀI TỐN TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ACCRETIVE LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUN - NĂM 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số cấu trúc hình học khơng gian Banach 1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt lồi 1.1.2 Khơng gian Banach trơn trơn 1.2 Tốn tử accretive 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.2.2 Ánh xạ khơng giãn 1.2.3 Tốn tử accretive 1.2.4 Ánh xạ co rút khơng giãn 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.3.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.3.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh Hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive khơng gian Banach 2.1 Tốn tử hiệu chỉnh 2.2 Một số bổ đề bổ trợ 2.3 Hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa trung tâm học liệu 5 9 10 11 13 14 14 15 17 17 21 21 30 31 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive khơng gian Banach có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng khơng gian Lp hay khơng gian Sobolev Wpm Trong đề tài luận văn, chúng tơi nghiên cứu tốn: tìm phần tử x0 ∈ X cho A(x0) = f, (0.1) A tốn tử accretive từ khơng gian Banach phản xạ thực X vào X, f phần tử X Nếu khơng có thêm điều kiện đặt lên cho tốn tử A, chẳng hạn tính accretive accretive mạnh, phương trình tốn tử (0.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh, theo nghĩa nghiệm khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu A f Để giải loại tốn này, ta cần sử dụng phương pháp giải ổn định so cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn ban đầu Trong [2] Alber Ryazansteva nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dạng: A(x) + α(x − x+) = fδ (0.2) trường hợp tốn tử A đơn điệu cho xác, vế phải f cho xấp xỉ fδ thỏa mãn f − fδ ≤ δ, δ → 0, x+ ∈ X phần tử cho trước thuộc X tùy ý, α tham số dương Với điều kiện liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J khơng gian X, họ chứng minh tồn nghiệm xδα tốn (0.2), nghiệm hội tụ mạnh đến nghiệm x0 tốn (0.1) α, δ/α → Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Khơng cần đến tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J, tốc độ hội tụ dãy nghiệm xδα tốn hiệu chỉnh (0.2) đánh giá với điều kiện A(x) − A(y∗) − QA (y∗)∗ J(x − y∗) ≤ τ A(x) − A(y∗) , ∀y ∈ X, (0.3) ′ τ số dương, Q ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ điều kiện trơn nghiệm ′ x+ − y∗ = A (y∗ )v (0.4) với v phần tử thuộc X, A′ đạo hàm Fréchet A Đề tài luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive khơng gian Banach Mục đích chúng tơi đọc hiểu, trình bày lại làm chi tiết kết [19] phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accretive Chú ý rằng, khơng gian Hilbert, khái niệm tốn tử accretive trùng với khái niệm tốn tử đơn điệu Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tốn tử accretive tốn đặt khơng chỉnh Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive khơng gian Banach Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, Thầy Cơ Đại học Thái Ngun, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Đại học Thái Ngun quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả Nguyễn Thị Hường Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Một số cấu trúc hình học khơng gian Banach Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức cấu trúc hình học khơng gian Banach tính lồi chặt, lồi đều, tính khả vi chuẩn, định nghĩa, tính chất loại tốn tử tốn tử accretive, tốn tử co rút ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [9], [15] 1.1.1 Khơng gian Banach lồi chặt lồi Cho E khơng gian Banach E ∗ khơng gian đối ngẫu nó, tức khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E Để cho đơn giản thuận tiện, chúng tơi sử dụng ký hiệu để chuẩn E E ∗ Ký hiệu SE := {x ∈ E : x = 1} mặt cầu đơn vị khơng gian Banach E Ta viết x, x∗ thay cho giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ E ∗ x ∈ E, tức x, x∗ = x∗(x), ∀x∗ ∈ E ∗, x ∈ E Định nghĩa 1.1 Khơng gian Banach E gọi khơng gian phản xạ, với phần tử x∗∗ khơng gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x ∈ E cho x∗ (x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ E ∗ Định nghĩa 1.2 Khơng gian Banach E gọi khơng gian lồi chặt Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ với x, y ∈ SE với x = y suy (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1) x+y Điều có nghĩa trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt mặt cầu đơn vị khơng nằm mặt cầu đơn vị Nói cách khác x+y x, y ∈ SE : x = y = , x = y Ví dụ 1.1 Xét khơng gian E = Rn với x n x x2i = 1/2 xác định , x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn i=1 Khi E khơng gian lồi chặt Trong khơng gian E = Rn , n ≥ với chuẩn x x 1 xác định = |x1| + |x2| + + |xn |, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn khơng phải khơng gian lồi chặt Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, , 0); y = (0, 1, 0, , 0) ta có x = y, x = y = x + y = Định nghĩa 1.3 Khơng gian Banach E gọi lồi với ε, < ε ≤ 2, bất đẳng thức sau thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε tồn δ = δ(ε) > cho x+y ≤ − δ Ví dụ 1.2 Khơng gian Hilbert H khơng gian lồi Thật vậy, theo quy tắc hình bình hành ta có x+y =2 x + y − x − y , ∀x, y ∈ H Giả sử x, y ∈ BH với x = y x − y ≥ ε, ε ∈ (0, 2], suy x+y x+y ε2 ≥4−ε ⇒ ≤1− x+y ≤ − δ(ε) với δ(ε) = − Từ suy ra: Số hóa trung tâm học liệu ε2 1− http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ví dụ 1.3 Các khơng gian l1, l∞ khơng lồi Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, ) ∈ l1 ε = Khi đó: ∞ x ∞ |xi | = 1; y = i=1 |yi | = = i=1 ∞ x−y |xi − yi | = > = ε = i=1 x+y x+y Tuy nhiên = Vậy khơng tồn δ cho < − δ 2 Chú ý 1.1 (i) Các khơng gian lp , Lp[a,b], < p < ∞ lồi (ii) Các khơng gian l1, c, c0 , l∞ , L1[a,b] , C[a,b] khơng lồi chặt Định lý 1.1 Mọi khơng gian lồi đều lồi chặt phản xạ 1.1.2 Khơng gian Banach trơn trơn Cho C tập khác rỗng, lồi đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn E cho điểm gốc E nằm phần C Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ E ∗ gọi tiếp xúc C x0 ∈ ∂C f (x0) = sup{f (x), x ∈ C} Nếu H = {x ∈ X : f (x) = 0} siêu phẳng, tập hợp H + x0 gọi siêu phẳng tiếp xúc với C x0 Định nghĩa 1.4 Khơng gian Banach X gọi trơn với x ∈ SX tồn phiếm hàm fx ∈ E ∗ cho x, fx = x fx = Ví dụ 1.4 (i) Các khơng gian lp , Lp[a,b] , < p < ∞ khơng gian Banach trơn (ii) Các khơng gian c0 , l1 , L1, l∞ , L∞ khơng phải khơng gian trơn Tính trơn khơng gian Banach liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Gâteaux chuẩn Định nghĩa 1.5 Chuẩn khơng gian E gọi khả vi Gâteaux điểm x0 ∈ SE với y ∈ SE giới hạn lim t→0 Số hóa trung tâm học liệu x0 + ty − x0 t (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ tồn tại, kí hiệu y, ▽ x0 Khi ▽ x0 gọi đạo hàm Gâteaux chuẩn ϕ(x) = x x = x0 Định nghĩa 1.6 Chuẩn khơng gian E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux điểm mặt cầu đơn vị SE Chuẩn E gọi có chuẩn khả vi Gâteaux với y ∈ SE , giới hạn (1.1) đạt với x ∈ SE Ví dụ 1.5 Khơng gian Hilbert khơng gian có chuẩn khả vi Gâteaux với ▽ x = x/ x , x = Định lý 1.2 Khơng gian Banach E trơn chuẩn E khả vi Gâteaux E \ {0} Định nghĩa 1.7 Cho E khơng gian Banach Hàm số ρE : R+ → R+ gọi mơ đun trơn khơng gian Banach E ρE (t) = sup = sup x+y + x−y − : x = 1, y = t x + ty + x − ty − : x = 1, y = , t ≥ Nhận xét 1.1 Mơ đun trơn ρE khơng gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng [0, +∞) Định nghĩa 1.8 Khơng gian Banach E gọi trơn ρE (t) = t→0 t ρE (0) = lim Ví dụ 1.6 Mọi khơng gian Hilbert khơng gian lp (1 < p < +∞) khơng gian trơn Tính trơn khơng gian Banach liên hệ chặt chẽ với tính khả vi Fréchet chuẩn khơng gian Banach Định nghĩa 1.9 Chuẩn khơng gian Banach E gọi là: (i) khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn lim t→0 Số hóa trung tâm học liệu x + ty − x t (1.2) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ tồn với y ∈ SE ; (ii) khả vi Fréchet giới hạn (1.2) tồn với x, y ∈ SE 1.2 1.2.1 Tốn tử accretive Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Ký hiệu 2E họ tập khác rỗng E Định nghĩa 1.10 Cho E ∗ khơng gian đối ngẫu khơng gian Ba∗ nach E Ánh xạ đa trị J : E → 2E gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E J(x) = {j ∈ E ∗ : x, j = x 2, x = j } Ví dụ 1.7 Trong khơng gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc ánh xạ đơn vị I H Định nghĩa 1.11 Tốn tử A : E → E ∗ gọi h-liên tục (hemicontinuous) E A(x + ty) ⇀ Ax t ⇀ với x, y ∈ X gọi d-liên tục (demicontinuous) E với dãy {xn} ⊂ E, xn → x Axn ⇀ Ax n → ∞ Các tính chất ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 Cho E khơng gian Banach J : E → 2E ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E Khi ta có phát biểu sau: (a) J(0) = 0; (b) Với x ∈ E, J(x) tập khác rỗng, lồi, đóng bị chặn E ∗; (c) J(λx) = λJ(x) với x ∈ E λ ∈ R, hay J nhất; (d) J đơn điệu, tức là, x − y, j(x) − j(y) ≥ với x, y ∈ E, j(x) ∈ J(x), j(y) ∈ J(y); (e) x − y ≥ x − y, j(y) với x, y ∈ X j(y) ∈ J(y); (f ) Nếu E ∗ lồi chặt J đơn trị; ∗ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 19 Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc gọi phương pháp hiệu chỉnh Phương pháp sử dụng từ thời Newton cho tốn cổ điển: df (t) Ví dụ 2.1 Tính giá trị z = (trong mêtric C), f (t) biết dt gần Đạo hàm z tính dựa vào tỷ sai phân R(f, α) = f (t + α) − f (t) α Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ fδ (t) = f (t) + g(t), |g(t)| ≤ δ với t, đó, R(fδ , α) = f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t) + α α Cho α → 0, f (t + α) − f (t) → z α Số hạng thứ hai đánh giá g(t + α) − g(t) 2δ ≤ α α Nếu chọn α cho α = δ , với η(δ) → 0, δ → 0, αδ = 2η(δ) → η(δ) Vì với α = α1 (δ) = δ , R(fδ , α1 (δ)) → z η(δ) Ta xét tốn cổ điển khác Đó tốn khơi phục hàm số, biết hệ số Fourier Giả sử ϕk (t) hệ trực chuẩn đầy đủ có sup |ϕk (t)| ≤ C0, hệ số Fourier a = (a1, a2 , ) hàm t∈[a,b] ∞ f (t) = ak ϕk (t) k=1 cho xấp xỉ c = (c1, c2 , ) cho ∞ (ak − ck )2 ≤ δ k=1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Khi đó, khơng thể coi ∞ f˜(t) = ck ϕk (t) k=1 xấp xỉ f (t) Để tìm giá trị xấp xỉ f điểm t0 đó, tức tìm f (t0), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với R(c, ) = n n = n(δ) = η(δ) δ2 n ck ϕk (t0)(α = k=1 phần ngun n(δ) → ∞ Thật vậy, n(δ) f (t0) − Vì chuỗi η(δ) , δ, η(δ) → 0, δ2 n(δ) ∞ ck ϕk (t0) ≤ k=1 ∞ ), n ak − ck ϕk (t0 ) + k=1 ak ϕk (t0) k=n(δ)+1 ∞ ak ϕk (t0) hội tụ, phần dư k=1 ak ϕk (t0 ) tiến tới k=n(δ)+1 0, n(δ) → ∞ Ngồi ra, n(δ) n(δ) ak − ck ϕk (t0 ) ≤ k=1 ak − ck ϕk (t0 ) k=1 ≤   n(δ)  n(δ) |ak − ck |2 k=1 |ϕk (t0 )|2 k=1  1 n(δ)  2 ≤ C0 n(δ) |ak − ck |2   1 2  k=1 ≤ C0 n(δ)δ = C0 η(δ) δ →0 δ2 δ → Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 2.2 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 2.1 [20] Cho {an } dãy số thực khơng âm thỏa mãn tính chất: an+1 ≤ (1 − λn )an + λn βn + σn , ∀n ≥ {λn }, {βn } {σn} thỏa mãn điều kiện ∞ i) n=0 λn = ∞; ii) lim sup βn ≤ n→∞ iii) σn ≥ 0, ∀n ≥ ∞ n=0 ∞ n=0 |λn βn | < ∞; σn < ∞ Khi đó, dãy {an } hội tụ n → ∞ Bổ đề 2.2 (Ngun lý demi-đóng ) [1] Cho E khơng gian Banach phản xạ với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, C tập lồi, đóng E T : C → E ánh xạ khơng giãn Khi ánh xạ I − T demi-đóng C, I ánh xạ đồng E; tức là, xn ⇀ x E (I − T )xn → y, suy x ∈ C (I − T )x = y Bổ đề 2.3 [8] Cho A tốn tử accretive liên tục khơng gian Banach thực E với D(A) = E Khi đó, A tốn tử m-accretive Bổ đề 2.4 [14] Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach lồi chặt E cho T : C → E ánh xạ khơng giãn từ C vào E Giả sử C co rút khơng giãn theo tia E Nếu F ix(T ) = ∅, F ix(T ) = F ix(QC T ), QC ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên C 2.3 Hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive Ta biết T ánh xạ khơng giãn A = I − T tốn tử accretive Do đó, tốn tìm điểm bất động ánh xạ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 khơng giãn T quy tốn xác định khơng điểm tốn tử accretive A = I − T Xét tốn Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) cho A(x∗) = 0, (2.2) với A : D(A) ⊂ E → E tốn tử m-accretive đơn trị Khi A m-accretive khơng gian Hilbert H, nghĩa A tốn tử đơn điệu cực đại Rockafellar [16] đưa phương pháp lặp cn Axn+1 + xn+1 = xn, x0 ∈ H, (2.3) cn > c0 > Việc áp dụng thuật tốn (2.3) thu hội tụ yếu dãy xn đến nghiệm (2.2) Guler [10] xây dựng ví dụ để thuật tốn (2.3) khơng phải lúc hội tụ mạnh trường hợp tổng qt Một ví dụ gần tác giả Bauschke, Matouskova Reich [5] thuật tốn (2.3) hội tụ yếu mà khơng hội tụ theo chuẩn Để thu hội tụ mạnh thuật tốn Ryazantseva [17] kết hợp thuật tốn gần kề với hiệu chỉnh dạng cn (A(xn+1) + αn xn+1) + xn+1 = xn , x0 ∈ E (2.4) Với vài điều kiện tham số cn αn thu hội tụ mạnh thuật tốn (2.4) ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j E liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh Gần đây, vài tác giả đưa cải tiến khác cho thuật tốn điểm gần kề (2.3) Rockafellar để thu hội tụ mạnh thuật tốn Solodov Svaiter [18], Kamimura Takahashi [11] nghiên cứu cải tiến thuật tốn điểm gần kề cách thêm vào phép chiếu lên bước lặp Định lý 2.1 [11] Cho E khơng gian Banach lồi trơn ∗ cho A : E −→ 2E tốn tử đơn điệu cực đại với A−1(0) = ∅ Nếu dãy số rn ⊂ (0, +∞) thỏa mãn limn→∞rn > dãy xn xác định Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 23  x0 ∈ E,     = + r1n (Jyn − Jxn), ∈ A(yn), Hn = {z ∈ E : z − yn , ≤ 0} ,     Wn = {z ∈ E : z − xn , Jx0 − Jxn ≤ 0} , xn+1 = QHn ∩Wn x0, (2.5) hội tụ mạnh QA−1 (0) x0 Lehdili Moudafi [13] thu hội tụ dãy xn xác định thuật tốn xn+1 = JCAnn (xn), (2.6) An = µn I + A tốn tử hiệu chỉnh Tikhonov A Attouch Alvarez [3] xét mở rộng thuật tốn (2.3) dạng CnA(un+1) + un+1 − un = γn (un − un+1), u0 , u1 ∈ H, (2.7) cn γn hai dãy số khơng âm Đối với thuật tốn mở rộng người ta thu hội tụ yếu nghiệm tốn (2.2) khơng gian Hilbert Chú ý thuật tốn đề xuất nghiên cứu lần Alvarez [4] cho tốn cực tiểu hóa phiếm hàm lồi Định lý 2.2 [3] Cho H khơng gian Hilbert cho xn ⊂ H dãy số thỏa mãn xn+1 = JλAn (xn + αn (xn − xn−1)), n = 1, A : H −→ 2H tốn tử đơn điệu cực đại với S = A−1(0) = ∅ tham số αn , λn thỏa mãn: i) Tồn số λ > cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1; ii) Tồn α ∈ [0, 1) cho ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ Nếu điều kiện sau ∞ αn xn − xn−1 < +∞ n=1 tồn x∗ ∈ S cho dãy xn hội tụ yếu x∗ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 24 Năm 2006, Nguyễn Bường [6] đề xuất thuật tốn để giải tốn tối ưu đa mục tiêu sau khơng gian Banach phản xạ E: Xác định phần tử x0 ∈ E cho ϕj (x0) = inf ϕj (x), j = 0, 1, 2, N, x∈E (2.8) ϕj phiếm hàm lồi thường, nửa liên tục yếu với đạo hàm Gâteaux tương ứng Aj Ơng đưa thuật tốn sau N αµj Ahj (x) + αJ(x) = 0, (2.9) j=0 = µ0 < µj < µj+1 với j = 1, 2, , N − ơng tham số hiệu chỉnh α chọn cho h/α −→ 0, nghiệm xhα phương trình (2.9) hội tụ nghiệm tốn (2.8).Tiếp theo đó, Nguyễn Bường J K Kim [7], Nguyễn Bường [12] nghiên cứu hiệu chỉnh thuật tốn điểm gần kề dựa thuật tốn (2.9) cho tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn phương trình với tốn tử ngược đơn điệu mạnh cho tốn tìm nghiệm chung họ hữu hạn bất đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu, h-liên tục họ hữu hạn phương trình với tốn tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng khơng gian Hilbert Trong đề tài chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh tốn xác định khơng điểm tốn tử accretive Ta xét tốn sau: Xác định phần tử x∗ ∈ S = F ix(T ) = ∅, (2.10) F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T : C −→ C C tập lồi, đóng co rút khơng giãn theo tia khơng gian Banch E Xét tốn hiệu chỉnh dạng A(xn) + αn (xn − y) = 0, (2.11) cn (A(un+1) + αn (un+1 − y)) + un+1 = QC (un + γn (un − un−1)), (2.12) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 tương ứng y, u0, u1 ∈ C QC : E −→ C ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên C để giải tốn (2.10) Ta có định lý sau: Định lý 2.3 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút khơng giãn theo tia E cho T : C −→ C ánh xạ khơng giãn cho S = F ix(T ) = ∅ Khi đó, i) với αn > phương trình (2.11) có nghiệm xn; ii) dãy số dương αn thỏa mãn điều kiện limn→∞ αn = 0, xn hội tụ mạnh QS : E −→ S ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên S Hơn nữa, ta có đánh giá sau xn+1 − xn ≤ |αn+1 − αn | R0 , ∀n ≥ 0, αn (2.13) R0 = y − QS y Chứng minh i) Với n ≥ 0, phương trình (2.11) xác định dãy xn ⊂ E, với n, phần tử xn điểm bất động ánh xạ co F : C −→ C xác định F (x) = αn T (x) + y + αn + αn (2.14) ii) Từ phương trình (2.11), ta có A(xn), j(xn − x∗) + αn xn − y, j(xn − x∗) = 0, ∀x∗ ∈ S (2.15) Từ tính accretive A tính chất j, ta nhận A(xn), j(xn − x∗) ≥ 0, ∀x∗ ∈ S Do đó, xn − y, j(xn − x∗) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S Số hóa trung tâm học liệu (2.16) http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 26 Từ bất đẳng thức (2.16),ta có xn − x∗ ≤ y − x∗, j(xn − x∗) ≤ y − x∗ xn − x∗ , ∀x∗ ∈ S (2.17) Suy xn − x∗ ≤ y − x∗ , ∀n ≥ 0, ∀x∗ ∈ S, (2.18) điều chứng tỏ {xn } bị chặn Do tập bị chặn khơng gian Banach phản xạ tập compact tương đối yếu, nên tồn dãy {xnk } ⊆ {xn} hội tụ yếu x Vì C tập lồi đóng, nên C đóng yếu Do đó, x ∈ C Ta x ∈ S Thật vậy, với R > thỏa mãn R ≥ max sup{ xn , x∗ }, ta có δE ( A(xn) 4R L A(xn), j(xn − x∗ ) R Lαn ≤ xn − y xn − x∗ R Lαn ≤ (R+ y ) y − x∗ → 0, n → ∞ R ≤ Vì mơ đun lồi δE liên tục E khơng gian Banach lồi đều, nên A(xn) −→ 0, n −→ ∞ Từ Bổ đề 2.2, ta suy A(x) = Hay x ∈ S Trong bất đẳng thức (2.17) thay xn xnk x∗ x sử dụng tính liên tục yếu j, ta xnk → x Từ bất đẳng thức (2.16) ta có x − y, j(x − x∗) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S (2.19) Bây giờ, ta bất đẳng thức (2.19) có nghiệm Giả sử x1 ∈ S nghiệm (2.19) Khi đó, x1 − y, j(x1 − x∗) ≤ 0, ∀x∗ ∈ S (2.20) Trong bất đẳng thức (2.19) (2.20) thay x∗ x1 x, tương ứng, ta nhận x − y, j(x − x1 ≤ 0, y − x1, j(x − x1) ≤ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 Kết hợp bất đẳng thức trên, suy x − x1 ≤ 0, x = x1 = QS y dãy xn hội tụ yếu x = QS y, QS y thỏa mãn bất đẳng thức (2.19) Cuối từ bất đẳng thức (2.17), suy xn → QS y Để kết thúc chứng minh, ta chứng minh bất đẳng thức (2.13) Trong phương trình (2.11) thay n n + 1, ta có (2.21) A(xn+1) + αn+1 (xn+1 − y) = Từ (2.21) (2.11), ta nhận αn+1 xn+1 − αn xn, j(xn+1 − xn) ≤ (αn+1 − αn ) y, j(xn+1 − xn ) (2.22) Suy ra, αn xn+1 − xn ≤ (αn+1 − αn ) y − xn+1, j(xn+1 − xn) ≤ |αn+1 − αn | y − xn+1 ≤2 |αn+1 − αn | y − QS y Do đó, xn+1 − xn ≤ R0 = xn+1 − xn xn+1 − xn |αn+1 − αn | R0 , ∀n > 0, αn y − QS y Định lý 2.4 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút khơng giãn theo tia E cho T : C −→ C ánh xạ khơng giãn cho S = F ix(T ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn γn thỏa mãn i) < c0 < cn , αn > 0, αn −→ 0, |αn+1α2−αn | → 0, ∞ n=0 αn = +∞; n −1 ii)γn ≥ 0, γn αn un − un−1 → 0; dãy {un} xác định (2.12) hội tụ mạnh QS y, QS : E −→ S ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên S Chứng minh Trước hết, với n ≥ 1, phương trình (2.12) xác định dãy un ⊂ E, với n, phần tử un+1 điểm bất động ánh xạ co f : C −→ C xác định cn cn αn f (x) = T (x)+ y+ z, (2.23) cn (1 + αn ) + cn (1 + αn ) + cn (1 + αn ) + Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 z = QC (un + γn (un − un−1)) ∈ C Bây giờ, ta viết lại phương trình (2.11) (2.12) dạng tương đương dn A(xn) + xn − y = βn (xn − y), (2.24) dn A(un+1) + un+1 − y = βn [QC (un + γn (un − un−1)) − y], (2.25) βn = 1+c1nαn dn = cn βn Từ phương trình (2.24), (2.25) tính accretive A, ta nhận un+1 − xn ≤ βn QC (un + γn (un − un−1)) − xn = βn QC (un + γn (un − un−1)) − QC (xn) ≤βn un − xn +βn γn un − un−1 Do đó, un+1 − xn+1 ≤ un+1 − xn ≤ βn + un − xn xn+1 − xn +βn γn un − un−1 + |αn+1 − αn | R, αn tương đương với un+1 − xn+1 ≤ (1 − bn ) un − xn σn = βn γn un − un−1 Theo giả thiết, ta có σn = αn−1 γn bn cn ≤ αn−1γn c0 un − un−1 un − un−1 +σn, bn = cn αn , + cn αn (2.26) + |αn+1αn−αn | R |αn+1 − αn | + 1) R cn αn2 |αn+1 − αn | +( + 1) R → c0 αn2 +( ∞ Ngồi ra, ∞ n=0 αn = +∞, nên n=0 bn = +∞ Theo Bổ đề 2.1, suy un − xn −→ Vì xn → QS y, nên un → QS y Hệ 2.1 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 Cho T : E −→ E ánh xạ khơng giãn với S = F ix(T ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn γn thỏa mãn i) < c0 < cn , αn > 0, αn → 0, |αn+1α2−αn | → 0, ∞ n=0 αn = +∞; n ii) γn ≥ 0, γnαn−1 un − un−1 → 0; dãy {un } xác định cn (A(un+1) + αn un+1) + un+1 = un + γn (un − un−1), u0, u1 ∈ E hội tụ mạnh QS θ, QS : E −→ S ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên S Chứng minh Sử dụng Định lý 2.4 với C = E y = θ, ta nhận điều phải chứng minh Hệ 2.2 Cho E khơng gian Banach lồi trơn với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào E ∗ Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, co rút khơng giãn E cho T : C −→ E ánh xạ khơng giãn với S = F ix(T ) = ∅ Nếu dãy số cn , αn γn thỏa mãn i) < c0 < cn , αn > 0, αn → 0, |αn+1α2−αn | → 0, ∞ n=0 αn = +∞; n ii) γn ≥ 0, γnαn−1 un − un−1 → 0; dãy {un } xác định cn (B(un+1) + αn (un+1 − y)) + un+1 = QC (un + γn(un − un−1)), (2.27) hội tụ mạnh QS y, B = I − QC f , QC ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên C, QS ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên S y, u0 , u1 ∈ C Chứng minh Từ Bổ đề 2.4, ta có S = F ix(QC f ) = ∅ Sử dụng Định lý 2.4 với T = QC f , ta nhận điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 Kết luận Trong luận văn này, tơi tìm hiểu nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh tốn tìm khơng điểm tốn tử accretive khơng gian Banach Qua tơi trình bày lại làm chi tiết kết có phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accretive Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý q thầy để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Người thực Nguyễn Thị Hường Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Tài liệu tham khảo [1] R.P Agarwal, D Oregan, D.R Sahu, Fixed Point Theory for Lipschitzian- type Mappings with Applications, Spriger, 2009 [2] Y Alber and I Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Spinger - Verlag, Berlin Heidelberg, 2006 [3] F Alvarez and H Attouch, An inertial proximal method for maximal mono- tone operators via discretization of a nonolinear oscillator with damping, Set-Valued Analysis, 3-11, 2001 [4] F Alvarez, On the minimizing property of a second order dissipative system in Hilbert space, SIAM J of Contr and Optim., 38(4), 11021119, 2000 [5] H.H Bauschke, E Matouskova, S Reich, Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples, Nonlinear Analysis, 56, 715-738, 2004 [6] N Buong, Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces, Compt Math and Math Phys., 46(3), 372-378, 2006 [7] N Buong, Regularization inertial proximal point algorithm for common solutions of a finite family of inverse-strongly monotone equations, Acta Mathematica Sinica, 26(3), 587-594, 2010 [8] I Cioranescu, Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990 [9] K Goebel, W.A Kirk, Topic in metric fixed point theory, Cambrige University Press, 1990 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 [10] O Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM Journal of Control and Optimization, 29(2), 403-419, 1991 [11] S Kamimura, W Takahashi, Strong convergence of a proximal-type algorithm in a Banach space, SIAM J Optim, 13(3), 938-945, 2009 [12] J.K Kim, N Buong, Regularization inertial proximal point algorithm for monotone hemicontinuous mapping and inverse strongly monotone mappings in Hilbert spaces, Jour Ine Appl., Volume 2010 [13] N Lehdili and A Moudafi, Combining the proximal algoritm and Tikhonov regularization, Optimization, 37(3), 239-252, 1996 [14] S Matsushita and W Takahashi, Strong convergence theorem for nonexpan-sive nonself-mappings without boundary conditions, Nonlinear Analysis, 68, 412-419, 2008 [15] R.T Rockaffaler, On the maximal monotonicity of subdifferential mappings, 33(1), 209-216, 1970 [16] R.T Rockaffelar, Monotone operators and proximal point algorithm, SIAM Journal on Control and Optim., 14, 887-897, 1976 [17] I.P Ryazanseva, Regularization proximal algorithm for nonlinear equations of monotone type, Zh Vychisl Mat i Mat Fiziki, 42(9), 1295-1303, 2002 [18] M.V Solodov and B F Svaiter, Forcing strong convergence of proximal point iteration in Hilert space, Mathematical Programming Series A, 87(1), 189-202, 2000 [19] T.M Tuyen, Another approach for the problem of finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings, J Nonl Anal Optim, accepted, 2012 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 [20] H.-K Xu, Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and acretive operators, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 314(2), 631-643, 2006 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... đổi lớn của nghiệm Vậy bài tốn đã cho là bài tốn đặt khơng chỉnh Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 Chương 2 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach Chương này trình bày các kết quả trong [19] về phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach 2.1 Tốn tử hiệu chỉnh Xét bài tốn tìm nghiệm của phương... xα được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (2.1), α = α(fδ , δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Từ định nghĩa trên ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của (2.1) gồm hai bước: a) tìm tốn tử hiệu chỉnh R(f, α); b) xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài tốn về phần tử fδ và sai số δ Chú... ra nếu tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho h/α −→ 0, thì nghiệm xhα của phương trình (2.9) hội tụ về nghiệm của bài tốn (2.8).Tiếp theo đó, Nguyễn Bường và J K Kim [7], Nguyễn Bường [12] đã nghiên cứu hiệu chỉnh thuật tốn điểm gần kề dựa trên thuật tốn (2.9) cho bài tốn tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với tốn tử ngược đơn điệu mạnh và cho bài tốn tìm nghiệm chung của một họ hữu... đóng của khơng gian Banach lồi chặt E và cho T : C → E là một ánh xạ khơng giãn từ C vào E Giả sử C là một co rút khơng giãn theo tia của E Nếu F ix(T ) = ∅, thì F ix(T ) = F ix(QC T ), trong đó QC là ánh xạ co rút khơng giãn theo tia từ E lên C 2.3 Hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive Ta biết rằng nếu T là một ánh xạ khơng giãn thì A = I − T là một tốn tử accretive Do đó, bài tốn tìm. .. bản luận văn này, tơi đã tìm hiểu và nghiên cứu về phương pháp hiệu chỉnh bài tốn tìm khơng điểm của tốn tử accretive trong khơng gian Banach Qua đó tơi đã trình bày lại và làm chi tiết hơn kết quả đã có về phương pháp hiệu chỉnh với tốn tử accretive Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ để đề tài hồn... đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu, h-liên tục và một họ hữu hạn các phương trình với các tốn tử ngược đơn điệu mạnh, tương ứng trong khơng gian Hilbert Trong đề tài này chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh bài tốn xác định một khơng điểm của tốn tử accretive Ta xét bài tốn sau: Xác định một phần tử x∗ ∈ S = F ix(T ) = ∅, (2.10) trong đó F ix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T : C −→ C và... accretive Do đó, bài tốn tìm điểm bất động của ánh xạ Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 22 khơng giãn T quy về bài tốn xác định khơng điểm của tốn tử accretive A = I − T Xét bài tốn Xác định phần tử x∗ ∈ D(A) sao cho A(x∗) = 0, (2.2) với A : D(A) ⊂ E → E là một tốn tử m -accretive đơn trị Khi A là m -accretive trong khơng gian Hilbert H, nghĩa là A là tốn tử đơn điệu cực đại thì Rockafellar... từ H lên C 1.3 1.3.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh Chúng tơi trình bày khái niệm về bài tốn đặt khơng chỉnh trên cơ sở xét một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử (1.7) A(x) = f, trong đó A : E → F là một tốn tử từ khơng gian Banach E vào khơng gian Banach F, f là phần tử thuộc F Sau đây là một định nghĩa của Hadamard Định nghĩa 1.18 Cho A là một tốn tử từ khơng gian Banach... nghĩa về tốn tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau Tốn tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh, nếu: i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho tốn tử R(f, δ) xác định với mọi 0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0) ≤ δ; ii) Với ε ≥ 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ , f0) ≤ δ ≤ δ0 ta có ρX (xδ , x0) ≤ ε Ở đây xδ ∈ R(fδ , δ) Chú ý 2.2 Tốn tử hiệu chỉnh R(f,... một tốn tử khơng gian mêtric E vào khơng gian mêtric F với các khoảng cách tương ứng là ρE , ρF và f0 ∈ F Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn (2.1) khi khơng biết thơng tin về nghiệm chính xác x0 A.N Tikhonov đã đưa ra một phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng tốn tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào Giả sử A−1 khơng liên tục và thay cho f0 ta chỉ biết xấp xỉ fδ của f0