Hiệu chỉnh bài toán bù tổng quát (TT)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THỊ THUÝ HOA HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Công trình hoàn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS.TS Nguyễn Bường Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Công Điều Phản biện 1: PGS TS Cung Thế Anh Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng Phản biện 3: TS Nguyễn Minh Tuấn Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ, ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Trung tâm Thư viện, Trường Đại học Nội vụ Hà Nội Mở đầu Trong ấn phẩm toán, tìm thấy trường hợp riêng toán bù sớm vào năm 1940, nhiên toán bù thực thu hút nhà toán học từ đầu năm 1960, toán trở thành chủ đề nghiên cứu riêng Bài toán bù có nguồn gốc từ toán bất đẳng thức biến phân, toán quy hoạch toàn phương, toán cân thị trường, toán điểm dừng tối ưu, trò chơi song ma trận, có nhiều ứng dụng lĩnh vực như: kinh tế, tài chính, kỹ thuật, vật lý, sinh thái điều khiển tối ưu, Chính vậy, việc nghiên cứu toán bù vấn đề thời sự, đặc biệt việc nghiên cứu tìm phương pháp giải toán bù cho hiệu Trong bối cảnh đó, luận án đề cập tới phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bù tổng quát, toán: tìm x˜ ∈ Rn cho g(˜ x) ≤ 0, h(˜ x) ≤ 0, g(˜ x), h(˜ x) Rm = 0, (0.1) g(x), h(x) hai hàm liên tục từ không gian Rn tới không gian Rm, , , Rn tích vô hướng chuẩn Rn; phương pháp hiệu chỉnh toán cực trị với ràng buộc toán ˜ bù tổng quát, phát biểu sau: tìm phần tử x˜ ∈ C ∩ S, thỏa mãn điều kiện ˜ ϕ(˜ x) = ϕ(y), C˜ = C ∩ S, (0.2) y∈C˜ C tập đóng, lồi không gian Ơclit Rn, S˜ = S˜1 ∩ S˜2, ˜ S˜1 = {x ∈ Rn : g˜(x) ≤ 0, h(x) = 0}, S˜2 = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) ≤ 0, g(x), h(x) Rq = 0}, (0.3) ˜ : Rn −→ Rp, g hàm thực ϕ : R −→ R, g˜ : Rn −→ Rm, h h : Rn −→ Rq liên tục, ký hiệu y = (y1, y2, , ym) ≤ có nghĩa yi ≤ với i = 1, 2, , m Ta giả thiết tập nghiệm toán (0.1), (0.2) (0.3) khác rỗng Những toán có dạng (0.2)-(0.3) biết đến toán với ràng buộc bù, ký hiệu MPEC Thông thường, toán MPEC toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân Tuy nhiên, số trường hợp MPEC viết dạng (0.2)-(0.3) Trong trường hợp đặc biệt, m = n, g(x) = −x h(x) = −F (x), F : Rn −→ Rn ánh xạ affin, nghĩa n F (x) = M x + q, M ∈ Rn×n, q ∈ Rn, toán (0.1) gọi toán bù tuyến tính, ký hiệu LCP (q, M ) Tìm hiểu nghiệm toán này, Olsson D thu kết sau Định lí 0.1 Khi M ∈ Rn×n P - ma trận với tất định thức M dương LCP (q, M ) có nghiệm với q ∈ Rn Định lí 0.2 Nếu q không âm toán bù tuyến tính LCP (q, M ) giải x = nghiệm tầm thường Nghiên cứu mối quan hệ toán bù tuyến tính toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu V I(K, F ), toán tìm vectơ x ∈ K ⊂ Rn cho y − x, F (x) ≥ 0, ∀y ∈ K, F : K −→ Rn hàm liên tục K tập đóng, lồi, Olsson D chứng minh tiếp kết Định lí 0.3 Nếu F = M x + q, M ∈ Rn×n, q ∈ Rn, x ∈ Rn+ V I(F, Rn+) toán bù tuyến tính LCP (q, M ) có nghiệm hoàn toàn trùng Khi n = m, g(x) = −x h(x) = −F (x) F ánh xạ phi tuyến từ Rn vào Rn, toán (0.1) gọi toán bù phi tuyến, ký hiệu N CP (F ), toán tìm vectơ x ∈ Rn cho x ≥ 0, F (x) ≥ 0, x, F (x) = 0, (0.4) nhà khoa học tìm nhiều phương pháp giải cho loại toán Tất phương pháp đưa dẫn tới giải toán cực tiểu hệ phương trình tương đương Có thể chia thành lớp phương pháp sau: • Phương pháp sử dụng hàm khoảng Trong phương pháp này, họ biến đổi toán N CP (F ) thành toán tương đương nhờ hàm gọi hàm khoảng (merit function) để đưa toán tìm cực tiểu có ràng buộc phiếm hàm Công cụ thuận tiện để thiết lập hàm khoảng C - hàm, hàm φ : R2 −→ R thỏa mãn tính chất: φ(a, b) = ⇐⇒ ab = 0, a ≥ 0, b ≥ Có số C - hàm sau: φN R (a, b) = min{a, b}; φM S (a, b) = ab+ max{0, a−αb}2−a2+max{0, b−αa}2−b2 , α > 1; 2α √ φF B (a, b) = a2 + b2 − a − b Hàm khoảng xây dựng hàm φN R gọi hàm số dư tự nhiên Hàm φM S không âm R2 hàm khoảng xây dựng gọi hàm Lagrange ẩn giới thiệu Mangasarian Solodov Hàm φF B gọi hàm Fischer Gần đây, dựa hàm φF B nhiều nhà khoa học mở rộng nghiên cứu đưa số hàm có tính chất tốt Luo Tseng đưa lớp hàm khoảng f˜ : Rn −→ R xác định n f˜(x) = ψ0( x, F (x) Rn ) ψi(−xi, −Fi), + i=1 ψ0 : R −→ [0, ∞) ψi : R2 −→ [0, ∞), i = 1, 2, , n hàm liên tục Ý tưởng Kanzow C., Yamashita N Fukushima M sử dụng để xây dựng hàm khoảng • Phương pháp hiệu chỉnh Thay tìm nghiệm trực tiếp, phương pháp tìm nghiệm dãy toán đặt chỉnh mà nghiệm chúng hội tụ tới nghiệm toán ban đầu Lược đồ hiệu chỉnh Tikhonov toán bù bao gồm việc giải dãy toán: x ≥ 0, Fε(x) ≥ 0, x, Fε(x) Rn = 0, (0.5) đây, Fε(x) = F (x) + εx ε tham số dương hội tụ tới • Phương pháp kết hợp hàm khoảng hiệu chỉnh Trong phương pháp này, việc hiệu chỉnh dựa hàm H hàm từ không gian Rn+1 tới Rn+1, xác định H(ε, z) = ⇐⇒ ε = 0, x ∈ S 0, (0.6) S tập nghiệm (0.4), z := (ε, x) ∈ R × Rn, H(ε, z) := ε, G(ε, z) hàm khoảng G : Rn+1 −→ Rn, với Gi(ε, x) := φ(xi, Fε,i(x)), i = 1, 2, , n, φ(.) hàm Fischer, Fε,i thành phần thứ i Fε Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh (0.5) (0.6) thiết lập trường hợp F đơn điệu P0 - hàm Hơn nữa, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh chưa xem xét N Bường sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để biến đổi toán (0.2) thành toán cực trị không ràng buộc Tiếp nối ý tưởng trên, luận án này, nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị trường hợp toán có ràng buộc toán bù tổng quát chứng minh kết hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Như vậy, trường hợp đặc biệt, toán bù có nhiều phương pháp giải khác Tuy nhiên, kết đưa đòi hỏi hàm toán phải có tính chất đơn điệu P0 hàm Mặt khác, toán bù tổng quát, chưa có thuật toán hiệu chỉnh Chính thế, luận án tập trung nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát nhằm khắc phục nhược điểm Chúng tiếp cận toán theo hướng khác đưa phương pháp giải toán Phương pháp không yêu cầu hàm g(x) h(x) phải có tính P0 - hàm Thuật toán hiệu chỉnh dẫn tới cực tiểu phiếm hàm phụ thuộc tham số ràng buộc, việc giải toán trở nên đơn giản nhiều Các kết thu luận án là: 1) Đưa thuật toán hiệu chỉnh cho toán bù tổng quát; 2) Đưa thuật toán hiệu chỉnh cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; 3) Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh; 4) Minh họa phương pháp đưa toán cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận án bố cục gồm ba chương Chương có tính chất bổ trợ, trình bày sơ lược số vấn đề có liên quan như: P0 - hàm, P - hàm, P - hàm đều, hàm đơn điệu, hàm đơn điệu mạnh, P0 - ma trận, P - ma trận; giới thiệu toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực trị tổng quát Chương trình bày khái niệm toán bù tuyến tính, toán bù phi tuyến số phương pháp giải toán Chương trình bày định nghĩa phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát; định lí chứng minh tồn nghiệm đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Ngoài ra, chương giới thiệu số toán dẫn tới toán bù tổng quát như: toán qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận toán cân thị trường Ví dụ số kết tính toán minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh trình bày cuối chương Chương giới thiệu toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát, bao gồm: định nghĩa số kết nghiên cứu gần Mục 3.2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán số định lí chứng minh tồn nghiệm Cuối chương ví dụ số minh họa cho phương pháp nêu Các kết luận án báo cáo tại: • Hội thảo Quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông", Hà Nội 03 - 04/12/2012; • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVI "Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông", Đà Nẵng 14 - 15/11/2013; • Hội thảo Tối ưu tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì - Hà Nội 23 - 25/4/2014; • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVII "Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông", Đắklắk 30 - 31/10/2014; • Hội thảo Quốc gia lần thứ XVIII "Một số vấn đề chọn lọc công nghệ thông tin truyền thông", Thành phố Hồ Chí Minh - 6/11/2015; • Seminar hàng tuần nhóm Toán ứng dụng, Viện Công nghệ thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương luận án giới thiệu kiến thức phục vụ cho việc trình bày kết nghiên cứu đạt chương sau Cụ thể: Mục 1.1 đề cập đến số khái niệm như: P0 - hàm, P - hàm, P - hàm đều, hàm đơn điệu, hàm đơn điệu mạnh, P0 - ma trận, P - ma trận Mục 1.2 đề cập đến toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực trị tổng quát Mục 1.3 trình bày định nghĩa toán bù tuyến tính số phương pháp giải như: phương pháp Lemke, phương pháp dự đoán hiệu chỉnh (Predictor-corrector); định nghĩa toán bù phi tuyến số phương pháp giải toán trường hợp đơn điệu P0 - hàm Chương Bài toán bù tổng quát phương pháp hiệu chỉnh 2.1 Vấn đề tồn nghiệm toán bù tổng quát Định nghĩa 2.1 Bài toán bù tổng quát, ký hiệu GCP (F, G), toán tìm vectơ x ∈ Rn cho F (x) ≥ 0, G(x) ≥ 0, F (x), G(x) = 0, (2.1) F, G : Rn −→ Rn ánh xạ 2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát 2.2.1 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa phiếm hàm Tikhonov Để giải toán bù tổng quát, biến đổi (2.1) cách đặt g(x) = −G(x), h(x) = −F (x) để đưa toán: tìm x˜ ∈ Rn cho x) ≤ 0, h(˜ x) ≤ 0, g(˜ x), h(˜ x) Rm = 0, g(˜ (2.2) đây, g(x), h(x) hai hàm liên tục từ không gian Rn tới không gian Rm , tích vô hướng chuẩn Rn ký hiệu , Rn ; y = (y1, y2, , ym) ≤ có nghĩa yi ≤ 0, i = 1, 2, , m Trong trường hợp m = n, g(x) = −x h(x) = −F (x) hàm liên tục Rn (2.2) toán bù phi tuyến N CP (F ) xét Mục 1.3.2 Chương Trước đây, toán giải F đơn điệu P0 - hàm Khắc phục nhược điểm này, đưa phương pháp để giải toán (2.2) mà không cần g(x) h(x) phải có điều kiện Chúng thiết lập tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh trường 11 Dễ thấy, gi, hi với xấp xỉ chúng giδ , hδi thỏa mãn điều kiện (2.6) giới nội fi với xấp xỉ fiδ thỏa mãn điều kiện Phương pháp hiệu chỉnh toán tối ưu không ràng buộc là: tìm phần tử xδα ∈ Rn cho Fαδ (xδα ) = minn Fαδ (x), α > 0, δ ≥ 0, (2.7) x∈R Fαδ (x) xác định N Fαδ (x) δ = F (x) Rm αµj ϕδj (x) + α x − x∗ + Rn , j=1 ≤ µ1 < µj < µj+1 < 1, j = 2, , N − 1, T F δ (x) = f1δ (x), , fmδ (x) , phụ thuộc tham số α > Với α > toán (2.7) có nghiệm ký hiệu xδα Trong trường hợp toán bù tổng quát có nhiễu, chứng minh kết tương tự Định lí 2.3 Cho αk , δk → 0, cho αδkk −→ k → ∞ dãy {xk }, xk := xδαkk nghiệm (2.7) với α, δ thay αk , δk , có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ (x∗ - MNS) Nếu nghiệm x˜ có x∗ - MNS lim xk = x˜ k→∞ Định lí 2.4 Nếu điều kiện i) F khả vi; ii) tồn L > cho F (˜ x) − F (z) L(Rn,Rm) ≤ L x˜ − z với z thuộc lân cận x˜; ∗ iii) tồn ω ∈ Rm cho x˜ − x∗ = F (˜ x ) √ ω; iv) L ω Rm < với cách chọn αk ∼ δk , ta có xk − x˜ Rn = O(δk4 ) Rn 12 Ở Định lí (2.1), nghiệm hiệu chỉnh hội tụ đến nghiệm toán bù tổng quát có nghiệm x∗ − M N S Trong trường hợp nghiệm tính chất làm nào? Một ý tưởng đưa cần khoanh vùng nghiệm x∗ − M N S nằm vùng Chính vậy, mục xét toán bù tổng quát có ràng buộc tập đóng lồi 2.2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát có ràng buộc Xét toán bù tổng quát có ràng buộc, ký hiệu CGCP : tìm phần tử x˜ ∈ C : g(˜ x) ≤ 0, h(˜ x) ≤ 0, g(˜ x), h(˜ x) Rm = 0, (2.8) C tập đóng, lồi Rn Đặt ϕi(x) = max{0, gi(x)}, i = 1, m, ϕm+i(x) = max{0, hi(x)}, i = 1, m Rõ ràng Si := {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕi(x) = 0}, i = 1, m, Si+m := {x ∈ Rn : hi(x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕm+i(x) = 0}, i = 1, m, hàm ϕj liên tục, không âm Rn Ngoài ra, có ϕj (y) = ∀y ∈ ∩N j=1 Sj , j = 1, , 2m := N, n ∩N j=1 Sj = {x ∈ R : g(x) ≤ 0, h(x) ≤ 0} Hiển nhiên m g(˜ x), h(˜ x) Rm = gi(˜ x)hi(˜ x) = i=1 ⇐⇒ gi(˜ x)hi(˜ x) = 0, i = 1, , m Xét hàm fi(x) = gi(x)hi(x) 13 đặt S0 = {x ∈ Rn : fi(x) = 0, i = 1, , m} (2.9) Bài toán CGCP (2.8) tương đương với việc tìm phần tử x˜ thuộc C ∩ (∩N i=0 Si ) cho ϕj (˜ x) = x∈C∩(∩N i=0 Si ) ϕj (x), j = 1, , N, (2.10) Để giải toán cực trị, xét toán tối ưu vô hướng không ràng buộc sau: tìm phần tử xα ∈ Rn cho Fα (xα ) = minn Fα (x), α > 0, x∈R (2.11) với Fα (x) xác định Fα (x) = x − PC (x) Rn + F (x) Rm N αµj ϕj (x) + α x − x∗ + Rn , j=1 (2.12) ≤ µ1 < µj < µj+1 < 1, j = 2, , N − 1, F (x) = (f1(x), f2(x), , fm(x))T , PC (x) phép chiếu mêtric x ∈ Rn C x∗ phần tử Rn Bài toán (2.11) có nghiệm xα với α > Chúng thu kết sau Định lí 2.5 Cho αk → 0, k → ∞ dãy {xk }, xk := xαk nghiệm (2.11)- (2.12) với α thay αk có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm có x∗ - C chuẩn nhỏ (x∗ - CMNS) Nếu x˜ có x∗ - CMNS lim xk = x˜ k→∞ Định lí 2.6 Giả sử điều kiện sau (i) F khả vi; (ii) tồn L > cho F (˜ x) − F (z) L(Rn,Rm) ≤ L x˜ − z với z thuộc lân cận x˜; Rn 14 (iii) tồn ω ∈ R cho x˜ − x∗ = F (˜ x)∗ω; (iv) L ω Rm < √ xk − x˜ Rn = O( αk ) m 2.3 • • • • Một số toán dẫn tới toán bù Qui hoạch toàn phương Trò chơi song ma trận Cân thị trường Ví dụ số minh họa Xét hai hàm: g(x1, x2) = (x21 + x22 − 25, −x1 + 3), h(x1, x2) = ((x1 − 3)2 + x22 − 4, x1 − 4), (2.13) đặt C = C1 ∩ C2, xác định sau: C1 = {(x1, x2) ∈ R2 : x1 − 4x2 + ≤ 0}, C2 = {(x1, x2) ∈ R2 : 2x1 − x2 − ≥ 0} (2.14) Rõ ràng, với g h (2.13) √ toán (2.2) có√4 nghiệm: x1 = (3, −2), x2 = (3, 2), x3 = (4, 3) x4 = (4, − 3) Tuy nhiên, có thêm ràng buộc tập C = C1 ∩ C2 (2.14) có √ x2 = (3, 2), x3 = (4, 3) nghiệm toán (2.8) Dễ thấy, x2 nghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ Chọn: µ1 = 161 , µ2 = 18 , µ3 = 14 µ4 = 21 với x∗ = (0, 0) Tham số αk = (1 + k)−1 điểm ban đầu trường hợp k = x0 = (20; 45) ∈ / C Ta cực tiểu hàm Tikhonov sau Fαk (x) = x − PC (x) R2 + F (x) R2 µ αk j ϕj (x) + αk x − x∗ + R2 , j=1 PC (x) = 12 [PC1 (x) + PC2 (x)], PCi (x) = x x ∈ Ci x∈ / Ci PCi (x) = Pli (x) với li = {(x1, x2) : aix1 + bix2 = ci} 15 ai, bi, ci hệ số, xác định (2.14), ϕ1(x) = ϕ1(x) = ϕ2(x) = ϕ22(x) ϕ3(x) = ϕ3(x) = ϕ4(x) = = x21 + x22 − 25 x21 + x22 − 25, x21 + x22 − 25 ≤ (x1 − 3)2 với x1 > x2 bất kỳ, với x1 ≤ x2 bất kỳ, (x1 − 3)2 + x22 − (x1 − 3)2 + x22 − > 0, (x1 − 3)2 + x22 − ≤ 0 ϕ24(x) = (x1 − 4)2 với x1 > x2 bất kỳ, với x1 ≤ x2 Có thể minh họa nghiệm toán (2.8) Hình 2.1 16 Sử dụng phần mềm Free Pascal 3.0.0, chạy máy tính Core(TM) Duo CPU 2.40GHz, RAM 2.00GB, thu kết hội tụ nghiệm toán (2.8) Bảng 2.1 Bảng 2.1 Nghiệm toán (2.8) k 10 20 40 50 60 70 80 90 100 200 400 500 600 700 900 1000 2000 3000 4000 6000 8000 9000 10000 x1 1.01992063 1.71908025 2.41207633 2.74195141 2.79533460 2.95653678 2.96117518 2.96121390 2.96131472 2.96158636 2.98441308 2.99083157 2.99197165 2.99258702 2.99318066 2.99646964 2.99662425 2.99844812 2.99893707 2.99913864 2.99946858 2.99957490 2.99966381 2.99969765 x2 0.26863164 1.53345569 1.91106017 1.98316305 1.98941417 1.99951405 1.99961309 1.99961604 1.99961848 1.99962029 1.99993344 1.99997458 1.99998085 1.99998295 1.99998239 1.99999060 1.99999600 1.99999896 1.99999940 1.99999963 1.99999977 1.99999986 1.99999988 1.99999988 Qua kết tính toán, ta thấy nghiệm hiệu chỉnh toán (2.8) hội tụ gần tới nghiệm x2 = (3, 2) có x∗ - chuẩn nhỏ Chương Bài toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát 3.1 Phát biểu toán Định nghĩa 3.1 Bài toán cực trị với ràng buộc toán bù hay toán cân ký hiệu MPEC, toán tìm: f (x) (3.1) với ràng buộc g˜i(x) ≤ 0, ∀i = 1, 2, , m, ˜ i(x) = 0, ∀i = 1, 2, , p, h ˆ i(x) ≥ 0, gˆi(x), h ˆ i(x) = 0, ∀i = 1, 2, , q, gˆi(x) ≥ 0, h ˜ i, gˆi, h ˆ i : Rn −→ R hàm khả vi liên tục f, g˜i, h 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán đặt Để giải toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát, ˆ g (x), h(x) = −h(x) ta đặt g(x) = −ˆ xét toán cực trị: tìm ˜ thỏa mãn điều kiện phần tử x˜ ∈ C ∩ S, x) = ϕ(y), ϕ(˜ (3.2) y∈C∩S˜ C tập đóng, lồi không gian Ơclit Rn, S˜ = S˜1 ∩ S˜2, ˜ S˜1 = x ∈ Rn : g˜(x) ≤ 0, h(x) =0 , S˜2 = x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) ≤ 0, g(x), h(x) Rm =0 , (3.3) 18 ˜ : Rn −→ Rp, g hàm thực ϕ : R −→ R, g˜ : Rn −→ Rm, h h : Rn −→ Rq liên tục Chúng giả thiết tập nghiệm (3.2)-(3.3) khác rỗng Khi S˜2 = Rn (3.2)-(3.3) toán cực trị phi tuyến có ràng buộc tổng quát Bài toán N Bường giải phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực tiểu không ràng buộc sau n F˜α (xα ) = minn F˜α (x), α > 0, x∈R m F˜α (x) = F˜ (x) Rp αµj ψj (x) + αµm+1 ϕ(x) + (3.4) j=1 +α x− x∗ 2Rn , ≤ µ1 < µ2 < < µm+1 < T ˜ i(x) F˜ (x) = f˜1(x), f˜2(x), , f˜p(x) , f˜i = h ψj (x) = max{0, g˜j (x)} Tiếp theo, để cải tiến (3.4), đưa phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov cho MPEC (3.2)-(3.3) Để làm điều này, ta đặt: ϕj (x) = max{0, g˜j (x)}, j = 1, 2, , m, ϕm+j (x) = max{0, gj (x)}, j = 1, 2, , q, ϕm+q+j (x) = max{0, hj (x)}, j = 1, 2, , q, ˜ i(x), i = 1, 2, , p, fi(x) = h fp+i(x) = gi(x)hi(x), i = 1, 2, , q ˜ g, h liên tục, hàm ϕj fi xác định trên, Theo giả thiết, g˜, h, với j = 1, 2, , N (:= m + 2q) i = 1, 2, , M (:= p + q) liên tục Dễ Sj := x ∈ Rn : g˜j (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕj (x) = , j = 1, m, Sm+j := x ∈ Rn : gj (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕm+j (x) = , j = 1, q, Sm+q+j := x ∈ Rn : hj (x) ≤ 0} = {x ∈ Rn : ϕm+q+j (x) = , j = 1, q ϕj (x) ≥ với x ∈ Rn j = 1, 2, , N Ta xét tập ˜ S0 := x ∈ Rn : h(x) = 0, g(x), h(x) Rn =0 19 Rõ ràng S0 := x ∈ Rn : fi(x) = 0, i = 1, 2, , M Từ fi ϕj liên tục, Sj , j = 0, 1, , N , đóng Hơn nữa, n có S˜ = ∩N j=0 Sj C = x ∈ R : x − PC (x) = , ký hiệu PC (x) phép chiếu mêtric phần tử x ∈ Rn lên C Bởi vậy, toán MPEC (3.2)-(3.3) tương đương với toán tối ưu có ràng buộc đẳng thức sau: tìm phần tử x˜ ∈ C ∩ (∩N j=0 Sj ) cho x) = ϕ(˜ x∈C∩(∩N j=0 Sj ) ϕ(x) (3.5) Để giải (3.5), cần phải giải hai toán (i) giải hệ phương trình phi tuyến ϕj (x) = 0, fi(x) = 0, với j = 1, 2, , N, i = 1, 2, , M, x − PC (x) = 0; (ii) cực tiểu hàm ϕ(x) tập C ∩ (∩N j=0 Sj ) Hiển nhiên, toán không chỉnh Để hiệu chỉnh đồng thời toán này, cực tiểu hàm trơn Tikhonov toàn không gian Rn Cụ thể, tìm phần tử xα ∈ Rn cho Fα (xα ) = minn Fα (x), x∈R Fα (x) = x − PC (x) Rn + F (x) RM N ϕj (x) + αµϕ(x) + α x − x∗ + (3.6) Rn , j=1 Với tham số cố định α > 0, F (x) = (f1(x), f2(x), , fM (x))T , µ ∈ (0, 1) số cố định x∗ phần tử Rn Giả sử ϕ(x) ≥ với x ∈ Rn có tập mức giới nội, nghĩa tập {x ∈ Rn : ϕ(x) ≤ c} giới nội với c > Bài toán (3.6) có nghiệm ˜ g, h có xα với α > Hơn nữa, nghiệm ổn định ϕ, g˜, h, nhiễu Chúng chứng minh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh qua định lí sau 20 Định lí 3.1 Cho αk → 0, k → ∞ dãy {xk }, xk := xαk nghiệm (3.6) với α thay αk , có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm (3.2)-(3.3) Nếu thêm điều kiện (3.2)-(3.3) có nghiệm nhất, ký hiệu x˜ lim xk = x˜ k→∞ Giả sử thay ϕ, C, fi, ϕj nhiễu ϕδ , Cδ , fiδ , ϕδj cho | ϕ(x) − ϕδ (x) |≤ δ, H(Cδ , C) ≤ δ, | fi(x) − fiδ (x) |≤ δ, i = 1, 2, , M, | ϕj (x) − ϕδj (x) |≤ δ, j = 1, 2, , N, ∀x ∈ Rn, δ −→ 0, (3.7) ˜ g, h fiδ ϕδj xác định fi ϕj trên, g˜, h, cho xấp xỉ H(Cδ , C) khoảng cách Hausdorff tập đóng lồi Cδ C Xét toán tối ưu không ràng buộc sau Tìm phần tử xδα Rn cho Fαδ (xδα ) = minn Fαδ (x), α > 0, δ ≥ 0, x∈R N Fαδ (x) = x − PCδ (x) Rn δ + F (x) RM ϕδj (x) + (3.8) j=1 + αµϕδ (x) + α x − x∗ Rn T δ Ở F δ (x) = f1δ (x), f2δ (x), , fM (x) Với α > toán δ (3.8) có nghiệm, ký hiệu xα Trong trường hợp toán có nhiễu, chứng minh hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Định lí 3.2 Cho αk , δk → 0, cho αδkk −→ k → ∞ dãy {xk }, xk := xδαkk nghiệm (3.8) với α δ thay αk δk , có dãy hội tụ Giới hạn dãy hội tụ nghiệm (3.2)-(3.3) Nếu thêm điều kiện (3.2)-(3.3) có nghiệm nhất, ký hiệu x˜ lim xk = x˜ k→∞ 21 3.3 Ví dụ số minh họa Xét hàm: ϕ(x) = (x1 − 3)2 + (x2 − 2)2 + x23, ˜ hàm g˜(x) chọn cho g˜(x) ≤ với x ∈ R3, h(x) = Ax−b, A ma trận vuông cấp có a22 = 1, aij = với i, j = b = (b1, b2, b3)T = (0, 1, 0)T , hàm g, h : R3 −→ R2 có dạng sau g(x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 − 25, −x1 + , h(x1, x2, x3) = (x1 − 3)2 + x22 + x23 − 4, x1 − , √ tập C = {x ∈ R3 : (x1 − 3)2 + x22 + (x3 − 3) √ ≤ 1} Dễ thấy toán (3.2)-(3.3) có nghiệm x˜ = (3, 1, 3) Chọn µ = 12 với x∗ = (0, 0, 0), tham số hiệu chỉnh αk = (1 + k)−1 điểm ban đầu cho trường hợp k = x0 = (20, 45, 15) để cực tiểu hàm trơn Tikhonov Fαk (x) = x − PC (x) R3 + F (x) R3 + ϕ˜j (x) + αk2 ϕ(x) + αk x R3 , j=1 F (x) = x2−1, (x21+x22+x23−25)((x1−3)2+x22+x23−4), (−x1+3)(x1−4) , ϕ1(x) = ϕ1(x) = ϕ2(x) = ϕ22(x) x21 + x22 + x23 − 25 x21 + x22 + x23 − 25 > 0 x21 + x22 + x23 − 25 ≤ 0, = (x1 − 3)2 x1 > x2, x3 x1 ≤ x2, x3 bất kỳ,   (x1 − 3)2 + x22 + x23 −      (x − 3)2 + x2 + x2 − > ϕ3(x) = ϕ3(x) =      2  (x1 − 3) + x2 + x3 − ≤ 0, 22 ϕ4(x) = ϕ24(x) = (x1 − 4)2 x1 > x2, x3 x1 ≤ x2, x3 Kết tính toán trình bày bảng sau Bảng 3.1 Nghiệm toán (3.2)-(3.3) k 50 100 500 5000 10000 15000 20000 x1 2.22617752 2.93691732 2.95709700 2.98642922 2.99940392 2.99970112 2.99979858 2.99984952 x2 1.73961673 1.16743557 1.12912992 1.06226537 1.01413771 1.01000111 1.00819773 1.00708848 x3 0.60911083 1.62256541 1.65005716 1.69448237 1.72379657 1.72622786 1.72728363 1.72793173 Trong trường hợp {C, fi, ϕj , ϕ} có nhiễu δk , tính {Cδk , fiδk , ϕδjk , ϕδk } với √ 2 Cδk = {x ∈ R : (x1 − 3) + x2 + (x3 − 3) ≤ (1 + δk )2}, ϕδk (x) = ϕ(x) + δk , g δk (x) = g(x), bδk = b + δk , g δk (x1, x2, x3) = (x21 + x22 + x23 − 25 + δk , −x1 + + δk ), hδk (x1, x2, x3) = ((x1 − 3)2 + x22 + x23 − + δk , x1 − + δk ) Bài toán ban đầu toán đặt không chỉnh; thêm nữa, bδ1k bδ3k khác phương trình Ax = bδk nghiệm Do đó, toán nhiễu không giải được; nhiên, sử dụng phương pháp xk cực tiểu hàm sau Fαδkk (x) = x − PCδk (x) ϕ˜δjk (x) + R3 + F δk (x) R3 + αk ϕδk (x) + αk x R3 , j=1 tính toán với δk = (1 + k)−2 αk = (1 + k)−1, F δk (x) = (δk , x2 − + δk , δk , f4δk , f5δk ), 23 f4δk = (x21 + x22 + x23 − 25 + δk )((x1 − 3)2 + x22 + x23 − + δk ), f5δk = (−x1 + + δk )(x1 − + δk ), ϕ˜δjk (x) xác định ϕ˜j (x) Kết số trường hợp minh họa bảng Bảng 3.2 Nghiệm Bài toán (3.2)-(3.3) trường hợp có nhiễu k 50 100 500 1000 5000 10000 x1 2.45728013 2.93453088 2.96326233 2.98882700 2.99633765 2.99937736 2.99969901 x2 1.74298981 1.17591471 1.11875932 1.05549612 1.03437002 1.01439213 1.01003329 x3 0.64319973 1.61618795 1.65729403 1.69872376 1.71170286 1.72364556 1.72620881 √ Nghiệm Bài toán (3.2)-(3.3) x˜ = (3, 1, 3) thể dấu chấm tròn Hình 3.1 24 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bù tổng quát; • Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; • Nghiên cứu hội tụ nghiệm hiệu chỉnh; • Nghiên cứu tốc độ nghiệm hiệu chỉnh Kết đạt luận án bao gồm: • Đưa chứng minh định lí hội tụ nghiệm hiệu chỉnh toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí hội tụ nghiệm hiệu chỉnh toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí đánh giá tốc độ nghiệm hiệu chỉnh; • Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh trình bày luận án KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Nghiên cứu việc mở rộng kết thu luận án với trường hợp không gian vô hạn chiều - không gian Hilbert; • Nghiên cứu việc hiệu chỉnh toán bù tổng quát kết hợp với toán tìm điểm bất động ánh xạ không giãn nửa nhóm không giãn; • Nghiên cứu toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát tập C tập điểm bất động ánh xạ nửa nhóm không giãn 25 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N Buong and N.T.T Hoa (2009), "Regularization for complementarity problems", Int Journal of Math Analysis, pp 16831691 N Buong and N.T.T Hoa (2010), "Tikhonov regularization for nonlinear complementarity problem with approximative data", Int Math Forum, 56, pp 2787-2794 N Buong and N.T.T Hoa (2012), "Bài toán bù tổng quát", Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông", pp 32-36 N Buong and N.T.T Hoa (2013), "Regularization for constrained generalized complementarity problems", Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ XVI "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông", pp 277-279 N.T.T Hoa and N Buong (2014), "About regularization for constrained generalized complementarity problems", Journal of Science of Hnue, 59(7), pp 44-51 N Buong and N.T.T Hoa (2015), "Tikhonov regularization for mathematical programs with generalized complementarity constraints", Comput Math Math phys, 55(4), pp 564-571 [...]... pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán bù tổng quát; • Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù tổng quát; • Nghiên cứu sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh; • Nghiên cứu tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh Kết quả chính đạt được trong luận án bao gồm: • Đưa ra và chứng minh được các định lí về sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đối với bài toán bù tổng quát; ... 1.99999986 1.99999988 1.99999988 Qua kết quả tính toán, ta thấy nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (2.8) hội tụ rất gần tới nghiệm x2 = (3, 2) có x∗ - chuẩn nhỏ nhất Chương 3 Bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù tổng quát 3.1 Phát biểu bài toán Định nghĩa 3.1 Bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù hay bài toán cân bằng được ký hiệu là MPEC, đó là bài toán tìm: min f (x) (3.1) với các ràng buộc... hiệu chỉnh hội tụ đến nghiệm của bài toán bù tổng quát khi nó có nghiệm x∗ − M N S duy nhất Trong trường hợp nghiệm này không có tính chất đó thì làm thế nào? Một ý tưởng được đưa ra là cần khoanh một vùng nào đó để cho nghiệm x∗ − M N S nằm trong vùng đó là duy nhất Chính vì vậy, trong mục tiếp theo chúng tôi xét bài toán bù tổng quát có ràng buộc là một tập đóng lồi 2.2.2 Hiệu chỉnh bài toán bù tổng. .. quả thu được trong luận án với trường hợp không gian vô hạn chiều - không gian Hilbert; • Nghiên cứu việc hiệu chỉnh bài toán bù tổng quát kết hợp với bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như nửa nhóm không giãn; • Nghiên cứu bài toán quy hoạch với ràng buộc là bài toán bù tổng quát khi tập C là tập điểm bất động của ánh xạ hoặc nửa nhóm không giãn 25 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG... chỉnh đối với bài toán bù tổng quát; • Đưa ra và chứng minh được các định lí về sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh đối với bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù tổng quát; • Đưa ra và chứng minh được các định lí đánh giá tốc độ của nghiệm hiệu chỉnh; • Đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh đã trình bày trong luận án KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Nghiên cứu việc mở rộng các... i(x) = 0, ∀i = 1, 2, , q, gˆi(x) ≥ 0, h ˜ i, gˆi, h ˆ i : Rn −→ R là các hàm khả vi liên tục ở đây f, g˜i, h 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt ra Để giải bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù tổng quát, ˆ g (x), h(x) = −h(x) ta đặt g(x) = −ˆ và xét bài toán cực trị: tìm một ˜ thỏa mãn điều kiện phần tử x˜ ∈ C ∩ S, x) = min ϕ(y), ϕ(˜ (3.2) y∈C∩S˜ ở đây C là tập đóng, lồi trong... −→ R, g˜ : Rn −→ Rm, h và h : Rn −→ Rq là liên tục Chúng tôi giả thiết tập nghiệm của (3.2)-(3.3) khác rỗng Khi S˜2 = Rn (3.2)-(3.3) là bài toán cực trị phi tuyến có ràng buộc tổng quát Bài toán này đã được N Bường giải bằng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cực tiểu không ràng buộc như sau n F˜α (xα ) = minn F˜α (x), α > 0, x∈R m F˜α (x) = F˜ (x) 2 Rp αµj ψj (x) + αµm+1 ϕ(x) + (3.4) j=1... pháp hiệu chỉnh bài toán tối ưu không ràng buộc là: tìm một phần tử xδα ∈ Rn sao cho Fαδ (xδα ) = minn Fαδ (x), α > 0, δ ≥ 0, (2.7) x∈R ở đây Fαδ (x) xác định bởi N Fαδ (x) δ = F (x) 2 Rm αµj ϕδj (x) + α x − x∗ + 2 Rn , j=1 0 ≤ µ1 < µj < µj+1 < 1, j = 2, , N − 1, T F δ (x) = f1δ (x), , fmδ (x) , phụ thuộc tham số α > 0 Với mỗi α > 0 bài toán (2.7) có một nghiệm ký hiệu bởi xδα Trong trường hợp bài toán. .. − 4 + δk , x1 − 4 + δk ) Bài toán ban đầu là bài toán đặt không chỉnh; thêm nữa, nếu bδ1k hoặc bδ3k khác 0 thì phương trình Ax = bδk không có nghiệm Do đó, bài toán nhiễu cũng sẽ không giải được; tuy nhiên, sử dụng phương pháp của chúng tôi thì xk là cực tiểu của hàm sau Fαδkk (x) = x − PCδk (x) 4 ϕ˜δjk (x) + 2 R3 + F δk (x) 2 R3 1 2 + αk ϕδk (x) + αk x 2 R3 , j=1 được tính toán với δk = (1 + k)−2 và... fi(x) = 0, i = 1, 2, , m (2.3) Bài toán (2.2) tương đương với việc tìm một phần tử x˜ thuộc ∩N i=0 Si hoặc thỏa mãn ϕj (˜ x) = minn ϕj (x), j = 1, 2, , N, x∈R (2.4) và x˜ ∈ S0 Điều này có nghĩa là nghiệm x˜ của (2.2) thuộc giao giữa tập nghiệm của bài toán cực trị (2.4) và hệ phương trình (2.3) Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho (2.2) được xây dựng trên cơ sở giải bài toán cực trị với ràng buộc đẳng ... phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát; định lí chứng minh tồn nghiệm đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Ngoài ra, chương giới thiệu số toán dẫn tới toán bù tổng quát như: toán qui hoạch... nghiệm toán bù tổng quát Định nghĩa 2.1 Bài toán bù tổng quát, ký hiệu GCP (F, G), toán tìm vectơ x ∈ Rn cho F (x) ≥ 0, G(x) ≥ 0, F (x), G(x) = 0, (2.1) F, G : Rn −→ Rn ánh xạ 2.2 Hiệu chỉnh toán bù. .. nghiệm hiệu chỉnh toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí hội tụ nghiệm hiệu chỉnh toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí đánh giá tốc độ nghiệm hiệu chỉnh;