Phương pháp hiệu chỉnh nghiệm cho bài toán bù tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHUẤT THỊ BÌNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH NGHIỆM CHO BÀI TỐN BÙ TỔNG QUÁT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: GS TS NGUYỄN BƯỜNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, dẫn đến việc giải tốn mà nghiệm chúng khơng ổn định theo kiện ban đầu, tức thay đổi nhỏ dẫn đến sai khác lớn nghiệm, chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm vơ định Người ta nói tốn đặt khơng chỉnh Do số liệu thường thu thập thực nghiệm (đo đạc, quan trắc ) sau lại sử lý máy tính nên chúng khơng tránh khỏi sai số Chính thế, ta cần phải có phương pháp giải ổn định tốn đặt khơng chỉnh, cho sai số liệu toán nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn xuất phát Những người có cơng đặt móng cho Lý thuyết tốn khơng chỉnh Tikhonov A.N, Lavrantev M.N, Lion JJ, Ivanov V.K, Do tầm quan trọng lý thuyết mà nhiều nhà toán học giành phần lớn thời gian cơng sức cho việc nghiên cứu phương pháp giải tốn khơng chỉnh, điển hình là: Alber Ya.I, Atkinson K.E, Bakushinskii A.B, Đặng Đình Áng, Phạm Kỳ Anh,Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Vấn đề không chỉnh xảy hầu hết loại tốn Tuy nhiên khn khổ luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho tốn bù tổng qt" Một ứng dụng toán bù giải tốn quy hoạch tồn phương ứng dụng nhiều tài chính, vấn đề gần có nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả nghiên cứu Tseng, Yamashita, Fukushima, Luo, Mangarian, Ren, Solodov, Kanzow, Facchinei, Soares, Geiger Năm 2008, MrPires N.G.Krachenko đưa thuật toán để "hiệu chỉnh nghiệm cho toán bù tuyến tính": Tìm điểm x ∈ Rn cho Ax − b ≤ 0, x ≤ 0, (Ax − b)T x = 0, A ma trận vuông cấp n b ∈ Rn vectơ Hamburger Reitrage đưa thuật toán "Hiệu chỉnh nghiệm cho tốn bù phi tuyến": Tìm véctơ x thoả mãn điều kiện: x ≥ 0, F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0, bất đẳng thức lấy theo thành phần F : Rn −→ Rn hàm cho liên tục khả vi hầu khắp nơi Cuối giới thiệu tương đương tốn bù tổng qt: Tìm x∗ ∈ Rn thỏa mãn điều kiện: F (x) ≥ 0, G(x) ≥ 0, F (x)T G(x) = 0, F, G : Rn −→ Rn hai hàm liên tục, với tốn cực tiểu khơng ràng buộc khả vi đưa thuật toán "Hiệu chỉnh nghiệm cho tốn bù tổng qt" Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nội dung luận văn gồm chương Chương I: Kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm không gian Euclid, không gian Mêtric, khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Chương II Bài toán bù tổng qt Trong chương chúng tơi trình bày lại kết "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho tốn bù tuyến tính, tốn bù phi tuyến, tốn bù tổng qt" Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn q trình xử lý văn chắn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy bạn đọc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2010 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm không gian Euclid không gian Mêtric 1.2 Bài toán đặt không chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán chỉnh khơng chỉnh 1.2.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Bài toán bù tổng quát 2.1 Bài tốn bù tuyến tính 2.1.1 Phương pháp hàm phạt lũy thừa cho tốn bù tuyến tính 2.1.2 Về ổn định tốn bù tuyến tính 12 2.2 Bài toán bù phi tuyến 13 2.2.1 Giới thiệu 14 2.2.2 Một số định nghĩa 15 2.2.3 Sự tồn nghiệm quy 16 2.2.4 Hình dạng quỹ đạo nghiệm 16 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.5 Những phương pháp hiệu chỉnh 16 2.3 Bài toán bù tổng quát (GCP) 18 2.3.1 Giới thiệu 18 2.3.2 Một số khái niệm vài lớp hàm 19 2.3.3 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát 19 Kết luận 22 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm hai mục Trong mục 1.1, trình bày khái niệm khơng gian Euclid khơng gian Metric Mục 1.2 giới thiệu khái niệm tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Các khái niệm vấn đề sử dụng [1] - [3] [19] 1.1 Khái niệm khơng gian Euclid khơng gian Mêtric 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.1 Khái niệm tốn chỉnh khơng chỉnh Bài tốn tìm nghiệm x ∈ X theo kiện f ∈ Y gọi tốn chỉnh cặp khơng gian Metric (X, Y ), có: 1) Với f ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X, 2) Nghiệm x xác định cách nhất, 3) Bài toán ổn định cặp khơng gian X, Y Nếu ba điều kiện không thoả mãn, tốn gọi tốn khơng chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Đối với tốn tìm nghiệm xấp xỉ phương trình A(x) = f, f ∈Y (1.1) kiện ban đầu tốn tử A vế phải f Giả sử toán tử A cho trước cách xác, cịn vế phải f cho fδ với sai số ρ1 (fδ , f ) ≤ δ Như vậy, với (fδ , δ) ta phải tìm phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm xác (1.1) δ → Phần tử xδ có tính chất gọi nghiệm xấp xỉ tốn khơng chỉnh Nếu ta ký hiệu Qδ = {x ∈ X : ρY (A(x), fδ ≤ δ} Thì nghiệm xấp xỉ phương trình phải nằm tập Qδ Nhưng tiếc tập Qδ lại lớn, tức phần tử cách xa Chính vậy, khơng phải tất phần tử Qδ coi nghiệm xấp xỉ (1.1) Vì lẽ đó, tốn đặt phải chọn phần tử Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.1) 1.2.2 Ví dụ tốn đặt khơng chỉnh 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Giả sử A−1 không liên tục thay cho f ta biết fδ thoả mãn fδ − f ≤ δ Định nghĩa 1.8 Cho A : X → Y toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α) phụ thuộc vào tham số α, tác động từ Y vào X gọi tốn tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.1), nếu: (1) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử T (fδ , α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với fδ ∈ Y thoả mãn fδ − f ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ), Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tồn hàm α = α(δ, fδ ) phụ thuộc vào δ cho với (2) ε > 0, ln tìm δ(ε) ≤ δ1 để với fδ ∈ Y thoả mãn: fδ − f ≤ δ ≤ δ(ε) xδα − x0 ≤ ε; x0 nghiệm có x∗ -chuẩn nhỏ tốn (1.1) xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) định nghĩa nói chung đa trị Phần tử xấp xỉ xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) gọi nghiệm hiệu chỉnh phương trình (1.1), cịn α = α(δ, fδ ) gọi tham số hiệu chỉnh Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ ) phải chọn cho lim α(δ, fδ ) = δ→0 Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với liệu ban đầu Như việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào kiện phương trình (1.1) gồm bước: (B1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α), (B2) Chọn giá trị tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin tốn phần tử fδ mức sai số δ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán bù tổng quát Chương gồm ba mục Trong mục 2.1, trình bày số khái niệm tốn bù tuyến tính số phương pháp giải Mục 2.2 giới thiêu khái niệm toán bù phi tuyến phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm xấp xỉ Trong mục 2.3 đề cập đến toán bù tổng quát phương pháp hiệu chỉnh dựa cực tiểu phiếm hàm làm trơn 2.1 Bài toán bù tuyến tính 2.1.1 Phương pháp hàm phạt lũy thừa cho tốn bù tuyến tính Có nhiều tượng kỹ thuật, vật lý, học, kinh tế mơ tả tốn bù tuyến tính Nghiên cứu tốn trình bày sách [4], [7] [8] Có phương pháp số để giải toán bù như: phương pháp Newton, phương pháp điểm trong, phương trình trơn (giải tích trơn) nghiên cứu nhiều tài liệu Tuy nhiên phương pháp hàm phạt lũy thừa lại nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán Bài toán bù tuyến tính phát biểu sau: Tìm điểm x ∈ Rn cho Ax − b ≤ 0, x ≤ 0, (2.1) (Ax − b)T x = 0, A ma trận vuông cấp n b ∈ Rn véc tơ Đặt κ = {y ∈ Rn ; y ≤ 0} Bài toán (2.1) tương đương tốn bất đẳng thức biến phân sau: Tìm điểm x ∈ κ cho ∀y ∈ κ, ta có: (y − x)T Ax ≥ (y − x)T b (2.2) Trong phần giới thiệu phân tích phương pháp hàm phạt lũy thừa cho tốn Xét tốn: Tìm điểm xλ ∈ Rn cho: 1/k Axλ + λ[xλ ]+ = b, λ > k > tham số; y α = (y1α , y2α )T ∈ Rn , (2.3) [u]+ = max{u, 0} với ∀y = (y1 , , yn )T ∈ Rn Đây phương trình phạt cho tốn (2.2), thành phần phạt phần dương xλ Khi λ → ∞, hy vọng nghiệm xλ (2.3) hội tụ đến nghiệm (2.2) Dễ dàng nhận thấy, tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số thành phần phạt phương trình (2.2) Bài tốn phạt dạng (2.3) để giải (2.2) (2.1) Người ta tính tốc độ hội tụ cho trường hợp Cũng lưu ý phương pháp xét tài liệu [5] cho toán tối ưu phi tuyến Trong phần xác định tốc độ hội tụ phương pháp hàm phạt lũy thừa (2.3) để giải tốn bù tuyến tính (LCP) với ma trận dương A Các thành phần nằm 10 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đường chéo ma trận dương, cịn thành phần nằm ngồi đường chéo nhỏ trường hợp ma trận cấp ∞ với thành phần nằm đường chéo khác Bổ đề 2.1 Cho xλ nghiệm toán (2.3) Khi tồn số C > khơng phụ thuộc vào n, xλ λ cho [xλ ]+ ≤ p C λk (2.4) C , λk/2 λ k tham số (2.2), p = + [xλ ]+ ≤ (2.5) k p chuẩn lp Rn Sử dụng bổ đề ta chứng minh kết hội tụ mô tả định lý sau: Định lý 2.1 Cho x xλ nghiệm tương ứng toán (2.2), (2.3), tồn số C không phụ thuộc vào n, x, xλ λ cho x − xλ ≤ C , λk/2 (2.8) λ k tham số (2.3) Định lý 2.2 Cho x xλ nghiệm tương ứng (2.2), (2.3) Tồn số dương C không phụ thuộc vào x, n, xλ , λ cho x − xλ ≤ C , λk (2.15) λ k tham số có (2.3) Định lý 2.3 Cho x xλ nghiệm tương ứng toán (2.2) (2.3) Giả sử toán bù tuyến tính có nghiệm, tồn số dương không phụ thuộc vào x, xλ , λ phụ thuộc vào n cho λ đủ lớn, ta có đánh giá: C , λk λ tham số có (2.3) k = 1, x − xλ ≤ (2.18) 11 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chú ý 2.2 Khi k > tốn phạt khơng trơn khơng liên tục Lipschitz, phương pháp dùng đạo hàm trơn (tài liệu [21]) sử dụng trường hợp để tính tốn 2.1.2 Về ổn định tốn bù tuyến tính Bài tốn bù tuyến tính: Tìm véc tơ z ω cho: ω = M z + q, ω T z = 0, (2.19) z ≥ 0; ω ≥ 0, q ∈ Rn , M ∈ Rn×n Bài tốn trình bày cách đầy đủ [14] Một ứng dụng tốn bù tuyến tính giải tốn quy hoạch tồn phương ứng dụng nhiều tài 2.1.2.1 Phát biểu tốn bù tuyến tính dựa tốn tử chiếu Cho F tập hợp số tập N = {1, 2, n}, PF QF hai ma trận chiếu có dạng: PF = (Pi,j ),   pii = i ∈ F pi,j = pii = i ∈ / F, QF = I − PF ,   pij = i = j Với cách viết tốn bù tuyến tính (2.18) đưa dạng: M PF x − QF x = g, x≥0 (2.20) g = −q ta thấy det(M PF − QF ) = (−1)n−F det(PF M PF ) Phương trình M PF x − QF x = g có nghiệm với tập F Ràng buộc x ≥ 0, suy để giải toán bù tuyến tính ta phải tìm tốn tử chiếu PF QF cho (2.20) có nghiệm khơng âm 12 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với điều kiện M ma trận xác định dương, tốn (2.19) có nghiệm nhất, hai tốn tử chiếu PF QF tồn xác định tập F Với tập F cố định nghiệm toán gọi tập nghiệm Thuật toán 1: (B0) Xác định ζ = {i : gi < 0}, Tính u = (B − I)g, Xác định F = {i : ui < 0} (B1) Tính ϑ = QF ∪ζ (BPF − I)g, Nếu ϑ ≥ chuyển đến B2 Trường hợp lại đặt F = F ∪ {i : ϑi < 0} lặp lại (B1) từ đầu (B2) Tính x = ((I + B)Pf − QF )−1 g, Nếu x ≥ dừng nghiệm ZF = PF x; ZT = 0; ωF = 0; ωT = QF x, Trường hợp lại chuyển sang B3 (B3) Xác định H1 = {i ∈ F : xi < 0}; H2 = {i ∈ T ; xi < 0}, (B4) Đặt F = (F − H1 ) ∪ H2 quay (B1) 2.2 Bài toán bù phi tuyến Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm tốn bù phi tuyến phương pháp chuẩn giải tốn bù đơn điệu có tính chất hội tụ mạnh Trong phần này, thay giả thiết đơn điệu điều kiện P0 − hàm Chúng cịn nhiều tính chất phương pháp hiệu chỉnh giữ nguyên phần lớn tốn Tuy nhiên, chúng tơi đưa số phản ví dụ để khơng phải kết lấy 13 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn từ đơn điệu tới toán bù P0 − hàm 2.2.1 Giới thiệu Bài toán bù phi tuyến tốn tìm véctơ thỏa mãn điều kiện: x ≥ 0, F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0, bất đẳng thức lấy theo thành phần F : Rn −→ Rn hàm cho liên tục khả vi hầu khắp nơi Có vài phương pháp giải tốn bù NCP(F) trình bày giáo trình khác Phương pháp sử dụng luận văn gọi phương pháp hiệu chỉnh, hiệu chỉnh tốn khơng chỉnh Tóm lại, phương pháp hiệu chỉnh có gần sử dụng thành cơng việc cải tiến thô nghiệm bù tốn tiêu chuẩn khó Có thảo luận chi tiết vấn đề khơng chỉnh chương trình tốn Nói chung, tốn khơng chỉnh khó giải từ sai số nhỏ máy tính dẫn đến nghiệm hoàn toàn sai Phương pháp hiệu chỉnh cố gắng loại bỏ khó khăn cách thay nghiệm toán gốc nghiệm dãy tốn khơng chỉnh Nghiệm hội tụ đến nghiệm toán gốc Trong trường hợp toán bù, ta gọi hiệu chỉnh Tikhonov, lược đồ bao gồm việc giải dãy toán bù NCP(Fε ) x ≥ 0, Fε (x) ≥ 0, xT Fε (x) = 0, Fε (x) = F (x) + εx ε tham số dương hội tụ tới Những phương pháp hiệu chỉnh tốn bù trình bày tài liệu, (xem[18]) Những kết thiết lập trường hợp đơn điệu tương tự lớp phương pháp hiệu chỉnh toán tối ưu lồi (a) Phương pháp hiệu chỉnh NCP(Fε có nghiệm x(ε) với ε > 14 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) Quỹ đạo x(ε) liên tục với ε > (c) Với ε > 0, quỹ đạo x(ε) hội tụ tới nghiệm chuẩn l2 bé NCP(F) NCP(F) có tập nghiệm khác rỗng, trường hợp khác phân kỳ Trong phần này, cố gắng khái quát kết tới lớp lớn toán bù phi tuyến Thậm chí cịn có lược đồ xét trường hợp tốn bù tuyến tính P0 2.2.2 Một số định nghĩa Định nghĩa 2.1 Một ma trận M ∈ Rn×n gọi (a) P0 ma trận với x ∈ Rn , x = có số i0 = i0 (x) với xi0 = xi0 [M x]i0 ≥ 0, (b) P- ma trận với x ∈ Rn , x = max xi [M x]i > 0, i (c) R0 − ma trận x= nghiệm NCP(F) với F (x) = M x Định nghĩa 2.2 Hàm F : Rn −→ Rn gọi (a) P0 − hàm với x, y ∈ Rn , x = y có số i0 = i0 (x, y) với xi0 = yi0 (xi0 − yi0 )[Fi0 (x) − Fi0 (y)] ≥ 0, (b) P- hàm với x, y ∈ Rn , x = y max(xi − yi )[Fi (x) − Fi (y)] > 0, i (c) P- hàm tồn số µ > cho: max(xi − yi )[Fi (x) − Fi (y)] ≥ µ x − y , i với x, y ∈ Rn 15 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.4 Giả sử F (x) = M x + q với M ∈ Rn×n P0 ma trận q ∈ Rn thì: (a) Bài tốn hiệu chỉnh NCP (Fε ) có nghiệm x(ε) với ∀ε > 0, (b) Nếu M R0 − ma trận dãy x(ε) giới nội với ε −→ điểm giới hạn nghiệm NCP(F) 2.2.3 Sự tồn nghiệm quy 2.2.4 Hình dạng quỹ đạo nghiệm 2.2.5 Những phương pháp hiệu chỉnh Thuật toán (Phương pháp hiệu chỉnh) (B0) Chọn ε0 > 0, α0 ≥ tập k := (B1) Tính nghiệm gần xk ∈ Rn NCP(Fεk ) cho ψεk (xk ) ≤ αk (B2) Kết thúc lặp điều kiện dừng thỏa mãn (B3) Chọn εk+1 > 0, αk+1 ≥ Tập k ←− k + tiếp (B1) Rõ dàng, lấy αk = 0, ta có xk = xεk Lưu ý điểm xk thỏa mãn Ψεk (xk ) ≤ αk dễ dàng thu cách áp dụng kỹ thuật cực tiểu không giới nội tới Ψεk Trong thực tế, tập mức Ψεk compact điểm dừng x¯ Ψεk cho Ψεk (¯ x) = Do thuật tốn cực tiểu thích hợp đưa dãy cực tiểu điểm xk có khả chắn xác định số hữu hạn bước Tình trạng phản ánh thực tế toán phức tạp cần sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Để chứng minh kết tổng quát Định lý 2.6 tới thuật toán ta cần thêm kết sau Bổ đề 2.6 Cho C ⊂ Rn tập compact với ∀δ > 0, tồn ε¯ > 16 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho | Ψε (x) − Ψ(x) |≤ δ, với x ∈ C ε ∈ [0, ε¯] Định lý 2.7 Cho f : Rn −→ R khả vi liên tục buộc Giả sử C ⊂ Rn tập compact khác rỗng m giá trị nhỏ f C: m = f (x) x∈∂C Hơn có hai điểm a ∈ C b ∈ / C cho f (a) < m f (b) < m tồn điểm c ∈ R cho f (c) = f (c) ≥ m Định lý 2.8 Cho F hàm P0 giả sử tập nghiệm S NCP(F) gới nội khác rỗng Giả sử dãy {xk } tạo thuật toán Nếu εk −→ Và αk −→ {xk } giới nội điểm hội tụ {xk } nghiệm NCP(F) Hệ 2.3 Giả sử F hàm P0 dãy {xk } sinh theo thuật toán Giả sử εk −→ αk −→ NCP(F) có nghiệm x¯ ta có: lim xk = x¯ εk −→0 Hệ 2.4 Cho f (x) = M x + q ánh xạ affine với M ∈ Rn×n ma trận R0 P0 Giả sử {xk } dãy sinh thuật toán cho εk −→ αk −→ dãy {xk } giới nội điểm hội tụ dãy {xk } nghiệm NCP(F) Nếu F hàm đơn điệu cho NCP(F) hồn tồn thực (có nghĩa là, tồn véctơ xˆ ∈ Rn cho xˆ > F (ˆ x) > 0, NCP(F) có tập nghiệm giới nội khác rỗng Do ta thu hệ từ định lý 2.5 17 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 2.5 Giả sử F hàm đơn điệu cho NCP(F) hoàn toàn thực Giả sử εk −→ αk −→ dãy {xk } sinh thuật toán giới nội điểm hội tụ {xk } nghiệm NCP(F) 2.3 Bài toán bù tổng quát (GCP) 2.3.1 Giới thiệu Cho F, G : Rn → Rn hai hàm bất kỳ, xét tốn bù tổng qt: Tìm véc tơ x∗ ∈ Rn thỏa mãn điều kiện: F (x) ≥ 0, G(x) ≥ 0, F (x)T G(x) = Gần Tseng, Yamashita fukushima nghiên cứu tốn cực tiểu khơng ràng buộc GCP(F,G): minn M (x; α) = i∈R ϕM S (Fi (x), Gi (x); α), i∈I α > tham số cố định ϕM S (a, b; α = ab + (max2 {0, a − α, b} − a2 + max2 {0, b − α, a − b2 ) 2α Dựa kết Mangarian Solodov [17] ,ở tác giả chứng minh ϕM S (a, b; α) = a ≥ 0, b ≥ 0, ab = Do M (x, α) khơng âm cực tiểu tồn cục trùng với nghiệm GCP(F,G) Hàm ϕM S có nhiều tính chất hay nhiều tác giả nghiên cứu (xem [6], [7], [11]) Phương pháp đưa luận văn tương tự, ta sử dụng hàm mục tiêu khả vi dựa hàm khác có dạng: ϕF (a, b) = a2 + b2 − a − b Hàm Fischer đưa có tính chất: ϕF (a, b) = a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 18 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.32) Tuy nhiên, ϕF âm, vài tác giả đề xuất việc sử dụng bình phương hàm này: ϕ(a, b) = ( a2 + b2 − a − b)2 (2.33) Hàm (2.32) (2.33) sở nghiên cứu số báo gần toán bù phi tuyến tuyến tính, giống tốn tối ưu có ràng buộc (xem [8]), chúng tơi sử dụng hàm (2.33) để phát biểu toán cực trị cho toán bù tổng quát ϕ(Fi (x), Gi (x)) minn Ψ(x) = i∈R (2.34) i∈I Giống hàm M (x; α), có tương ứng một- cực tiểu toàn cục Ψ với nghiệm GCP(F,G) 2.3.2 Một số khái niệm vài lớp hàm 2.3.3 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát Trong phần này, dựa việc đưa toán bù tổng quát xét toán cực tiểu véctơ với ràng buộc đẳng thức(xem [16]), xét cách tiếp cận khác để hiệu chỉnh toán bù tổng qt, khơng địi hỏi F G P0 -hàm phương pháp hiệu chỉnh khác trình bày Chúng xác định tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện hàm gi (x)hi (x) khả vi với đạo hàm Lipschitz-liên tục Để làm điều đó: Ta xét hàm fi (x) = gi (x)hi (x) đặt S0 = {x ∈ En : fi (x) = 0, i = 1, , m} (2.36) Khi tốn bù tổng qt tương đương với việc tìm phần tử x˜ thuộc ∩N i=0 Si thỏa mãn ϕj (˜ x) = minn ϕj (x), j = 1, , N, x∈E 19 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.37) x˜ ∈ S0 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bù tổng quát xây dựng dựa vào toán cực tiểu với ràng buộc đẳng thức sau: tìm phần tử x˜ ∈ En cho ϕj (˜ x) = ϕj (x), j = 1, , N x∈S0 Ta xét toán cực tiểu sau: tìm phần tử xα ∈ En thỏa mãn Fα (xα ) = minn Fα (x), (2.38) x∈E Fα (x) xác định N Fα (x) = F (x) Em αµj ϕj (x) + α x − x∗ + En , j=1 ≤ µ1 < µj < µj+1 < 1, j = 2, , N − 1, F (x) = (f1 (x), , fm (x))T , x∗ phần tử thuộc En Từ [13] ta có tốn (2.38) có nghiệm xα với α > Định lý 2.17 Cho dãy αk → 0, k → ∞ Khi đó, dãy {xk }, xk := xαk nghiệm (2.38) với α thay αk , có dãy hội tụ Điểm giới hạn dãy hội tụ nghiệm x∗ -chuẩn nhỏ (x∗ -MNS) Nếu, biết nghiệm với x∗ -MNS x˜ nhất, lim xk = x˜ k→∞ Định lý 2.18 Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: (1) F khả vi, (2) Tồn số L > cho F (˜ x) − F (z) Em ≤ L x˜ − z z thuộc vào lân cận x˜ (3) Tồn phần tử ω ∈ Em cho x˜ − x∗ = F (˜ x)∗ ω (4) L ω Em < Khi đó, ta có xk − x˜ En √ = O( αk ) 20 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn En với 21 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Trong luận văn này, tơi hồn thành cơng việc đọc hiểu trình bày lại số kiến thức không gian Euclid không gian Metric liên quan đến nội dung luận văn Ngồi tơi trình bày số vấn đề trường hợp sau cho tốn bù: - Bài tốn bù tuyến tính - Bài toán bù phi tuyến - Bài toán bù tổng quát Đặc biệt, nghiên cứu kỹ phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa tốn cực tiểu khơng ràng buộc phụ thuộc tham số Tuy nhiên thời gian có hạn nên trình viết luận văn trình xử lý văn chắn tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, bạn đọc 22 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... vấn đề trường hợp sau cho toán bù: - Bài tốn bù tuyến tính - Bài tốn bù phi tuyến - Bài toán bù tổng quát Đặc biệt, nghiên cứu kỹ phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa toán cực tiểu không... đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Chương II Bài toán bù tổng quát Trong chương chúng tơi trình bày lại kết "Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm cho tốn bù tuyến tính, tốn bù phi tuyến,... nơi Có vài phương pháp giải toán bù NCP(F) trình bày giáo trình khác Phương pháp sử dụng luận văn gọi phương pháp hiệu chỉnh, hiệu chỉnh tốn khơng chỉnh Tóm lại, phương pháp hiệu chỉnh có gần