TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THỨ MƯỜI CỦA HILBERT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  NGUYỄN THU THẢO TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THỨ MƯỜI CỦA HILBERT LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  NGUYỄN THU THẢO TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THỨ MƯỜI CỦA HILBERT Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60.46.05 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. DƯƠNG QUỐC VIỆT HÀ NỘI - 2011 1 Mục lục Lời mở đầu………………………………………………………………… 2 Chương 1. Sơ bộ về ngôn ngữ hình thức, văn phạm và ôtômát ………… 4 1.1. Vị nhóm, vị nhóm tự do………………………………………… 4 1.2. Ngôn ngữ hình thức……………………………………………… 6 1.3. Văn phạm và ngôn ngữ sinh bởi văn phạm………………………. 15 1.4. Ôtômát hữu hạn………………………………………………… 28 Chương 2. Máy Turing và hàm đệ quy………………………………… 32 1.1. Máy Turing…………………………………………………… 32 1.2. Hàm đệ quy…………………………………………………… ….37 1.3. Các tập hợp và các tân từ đệ quy, đệ quy kể được……………… 41 1.4. Các tính chất của tập đệ quy, đệ quy kể được………………… 46 1.5. Đánh số Gödel các máy Turing………………………………… 49 1.6. Luận đề Turing – Church……………………………………… 51 1.7. Các kết quả không quyết định được cơ bản……………………… 52 1.8. Khả năng rút gọn………………………………………………… 57 Chương 3. Bài toán thứ mười của Hilbert …………………… ………… 60 3.1. Bài toán quyết định và vấn đề giải được………………………… 60 3.2. Bài toán tương ứng Post………………………………………… 63 3.3. Bài toán thứ mười của Hilber và hệ quả…………………… . … 70 Kết luận…………………………………………………………………… 78 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………. 79 2 Lời mở đầu Trong Toán học nói chung và trong lĩnh vực Đại số, số học nói riêng, từ cổ xưa con người đã gặp rất nhiều bài toán khó, trong đó có lớp bài toán Điôphăng về giải phương trình nguyên. Mỗi một bài toán thuộc lớp này là một bài toán khó. Câu hỏi đặt ra là giải các bài toán này như thế nào. Người ta luôn nghĩ rằng đã đưa ra bài toán là có thể giải được. Gần đây, có những nhà toán học luôn nghi ngờ mọi sự kiện hiển nhiên, trong đó có một đại diện là Hilbert. Ông đặt ra câu hỏi là liệu có thể tìm được một thuật toán giúp ta xác định sau một số hữu hạn bước, một phương trình Điôphăng bất kỳ có nghiệm nguyên hay không. Đó cũng là nội dung bài toán thứ mười trong số 23 bài toán được ông nêu ra tại Đại hội toán học thế giới năm 1900. Câu trả lời đã được nhà toán học Matijasevitch đưa ra năm 1970 là không có thuật toán như vậy. Nếu như để trả lời cho câu hỏi khi nào một phương trình đa thức giải được bằng căn thức hay khi nào một hình có thể dựng được bằng thước kẻ và compa, người ta cần đến lý thuyết mới đó là lý thuyết Galois, thì vấn đề một bài toán có quyết định (giải) được hay không đòi hỏi phải sử dụng đến các công cụ để hiểu sâu về bản chất tư duy tính toán của con người về các hàm số học và thuật toán mà đối tượng cần nghiên cứu để dẫn đến kết quả của Matijasevitch là các hàm đệ quy, các hàm số học tính được, tập và quan hệ đệ quy và khái niệm thuật toán theo nghĩa của mô hình máy Turing. Luận văn này được hoàn thành với mục đích tìm hiểu các khái niệm này, trình bày các kết quả có liên quan đưa đến kết quả về tính không giải được của bài toán thứ mười của Hilbert. Với mục tiêu như vậy luận văn được chia thành các chương với nội dung như sau: 3 Chương 1. Sơ bộ về ngôn ngữ hình thức, văn phạm và ôtômát. Trong chương này tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về ngôn ngữ hình thức, văn phạm và ôtômát. Chương 2. Máy Turing và hàm đệ quy. Chương này tác giả tập trung trình bày các đối tượng để dẫn đến kết quả của Matijasevitch đó là các hàm đệ quy, các hàm số học tính được, tập và quan hệ đệ quy và khái niệm thuật toán theo nghĩa của mô hình máy Turing. Sau đó đi đến luận đề Turing-Church cho phép đồng nhất khái niệm trực giác về thuật toán với khái niệm chính xác toán học (máy Turing). Cuối cùng tác giả trình bày một số kết quả không quyết định được cơ bản và khả năng rút gọn của các tập. Chương 3. Bài toán thứ mười của Hilbert. Từ các kết quả của chương 2, tác giả sẽ trình bày đến tính không giải được của bài toán thứ mười của Hilbert, cũng như một số bài toán không giải được khác. Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng do điều kiện thời gian ngắn, trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tác giả có thể tiếp tục nghiên cứu tốt hơn. Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Trung Huy. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng tới thầy đã tận tình giúp đỡ để em hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, phòng quản lý nghiên cứu khoa học của trường Đại học sư phạm Hà nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình. Hà nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả 4 Chương 1 Sơ bộ về ngôn ngữ hình thức, văn phạm và ôtômát Chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do, ngôn ngữ hình thức, văn phạm, ngôn ngữ sinh bởi văn phạm và ôtômát. 1.1 Vị nhóm. Vị nhóm tự do 1.1.1 Nửa nhóm.Vị nhóm Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp S cùng với phép toán hai ngôi có tính chất kết hợp được gọi là một nửa nhóm, tức là (ab)c = a(bc) với mọi a,b,c S  . Định nghĩa 1.1.2. Nửa nhóm S có đơn vị được gọi là một vị nhóm, nghĩa là trong S tồn tại phần tử e sao cho ea = ae =a với mọi a S  . 1.1.2 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do Định nghĩa 1.1.3. Tập Σ khác rỗng gồm hũu hạn hay vô hạn các ký hiệu được gọi là bảng chữ cái. Mỗi phần tử a  Σ được gọi là một chữ cái hay một ký hiệu. Thí dụ: Dưới đây là các bảng chữ cái: 1.  = {a, b, c, … , x, y, z}. 2. Δ = {α, β, γ, δ, ε, η, ϕ, κ, μ, χ, ν, π, θ, ρ, σ, τ, ω,ξ, ψ}. 3. Г = {0, 1}. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử có bảng chữ cái Σ = {a 1 , a 2 , …, a m }, một dãy các chữ cái α = 1 2 t i i i a a a , với j i a  Σ (1 ≤ j ≤ t) được gọi là một từ hay một xâu trên 5 bảng chữ cái Σ. Xâu rỗng là từ đặc biệt không có chữ cái nào, ký hiệu là  .  Tổng số vị trí của các ký hiệu xuất hiện trong xâu α được gọi là độ dài của xâu α và kí hiệu là  .  Hai từ α = a 1 a 2 …a n và β = b 1 b 2 …b m được gọi là bằng nhau, và được ký hiệu là α = β, nếu n = m và a i = b i với mọi i = 1, 2, …, n.  Phép toán nhân ghép (.) là phép toán thỏa mãn: ωε = εω = ω và α = a 1 a 2 …a m , β = b 1 b 2 …b n thì γ = α.β = a 1 a 2 …a m b 1 b 2 …b n với mọi , ,    .  Tập mọi từ trên bảng chữ cái Σ được kí hiệu là *  .  Tập mọi từ khác rỗng trên bảng chữ cái Σ được ký hiệu là   . Như vậy   * \      và   *       . Dễ thấy rằng các tập *  và   là vô hạn. Nhận xét 1.1.5. Dễ thấy   cùng với phép nhân ghép (.) làm thành một nửa nhóm, còn *  cùng với phép nhân ghép (.) làm thành một vị nhóm với đơn vị là ε. Định nghĩa 1.1.6.   cùng với phép nhân ghép (.) làm thành một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm tự do sinh bởi Σ. Định nghĩa 1.1.7. *  cùng với phép nhân ghép (.) làm thành một vị nhóm với đơn vị là từ rỗng ε được gọi là vị nhóm tự do sinh bởi Σ . Mệnh đề 1.1.8. Nếu Σ là bảng chữ cái thì Σ * là tập (vô hạn) đếm được. Chứng minh. Do mỗi số tự nhiên n đều tồn tại một từ trên Σ có độ dài n nên Σ * là một tập vô hạn. Giả sử Σ={a 1 , a 2 , …, a n }. Xét ánh xạ f từ Σ * vào tập hợp N các số tự nhiên xác định bởi: f(ε) = 0, f(a i ) = i, f(αa i ) = (n+1)f(α)+i,  α  Σ * . 6 với α = 0 1 k i i i a a a , β = 0 1 h j j j b b b và f(α) = f(β). Khi đó (n+1) k i 0 +(n+1) k-1 i 1 + … +(n+1)i k-1 +i k = (n+1) h j 0 +(n+1) h-1 j 1 + … +(n+1)j h-1 +j h trong đó 2 vế là hai khai triển của một số nguyên theo cơ số n+1. Do đó, k=h và i u =j u với 1 ≤ u ≤ k hay α=β. Vì vậy, f là một đơn ánh. Từ đó suy ra Σ * là một tập đếm được.  Ví dụ 1.1.9. 1. Ta có ε , 0, 01, 101, 1010, 110011 là các từ trên bảng chữ cái Г = {0,1}. 2. Các xâu ε, happy, holiday là các từ trên bảng chữ cái Σ = {a, b, c, …, z}. 1.2 Ngôn ngữ hình thức Các từ điển định nghĩa ngôn ngữ một cách không chính xác là một hệ thống thích hợp cho việc biểu thị các ý nghĩ, các sự kiện, hay các khái niệm, bao gồm một tập các ký hiệu và các qui tắc để vận dụng chúng. Định nghĩa trên chưa đủ chính xác để nghiên cứu về ngôn ngữ hình thức. Chúng ta sẽ xét một định nghĩa toán học cho khái niệm ngôn ngữ. 1.2.1 Ngôn ngữ Định nghĩa 1.2.1. Cho bảng chữ cái Σ, mỗt tập con L  *  được gọi là một ngôn ngữ hình thức (hay ngôn ngữ) trên bảng chữ cái Σ.  Tập rỗng, ký hiệu  , là một ngôn ngữ không gồm một từ nào và được gọi là ngôn ngữ rỗng. Vậy ngôn ngữ rỗng là ngôn ngữ trên mọi bảng chữ cái.  Ngôn ngữ rỗng: L =  khác với ngôn ngữ chỉ gồm một từ rỗng: L = {ε}. Ví dụ 1.2.2. 1. *  là ngôn ngữ gồm tất cả các từ trên Σ còn   là ngôn ngữ gồm tất cả các từ khác từ trống trên Σ. 7 2. L = { ε, 0, 1, 01, 10, 00, 11, 011,100} là một ngôn ngữ trên bảng chữ cái Г = {0, 1}. 3. L = {a, b, c, aa, ab, ac, abc } là ngôn ngữ trên bảng chữ cái Σ = {a, b, c}. 4. L 1 = {ε, a, b, abb, aab, aaa, bbb, abab}, L 2 = {a n b n | n  N} là hai ngôn ngữ trên bảng chữ Σ = {a, b}, L 1 là ngôn ngữ hữu hạn trong khi L 2 là ngôn ngữ vô hạn. Mỗi từ thuộc ngôn ngữ L 2 có số chữ cái a bằng số chữ cái b với a và b không xen kẽ, a nằm ở phía trái và b ở phía phải của từ. 1.2.2 Các phép toán trên các từ Các phép toán sau đây thực hiện trên các từ trên cùng một bảng chữ cái Σ, tạo nên các từ mới cũng thuộc cùng một bảng chữ cái. 1.2.2.1 Phép nhân ghép Định nghĩa 1.2.2.1. Tích ghép (hay nhân ghép) của hai từ α = a 1 a 2 …a m và từ β = b 1 b 2 …b n trên bảng chữ cái Σ, là từ γ = a 1 a 2 …a m b 1 b 2 …b n trên bảng chữ cái Σ. Kí hiệu phép nhân ghép là γ = α.β (hay γ = αβ). Nhận xét 1.2.2.2. Từ định nghĩa trên, ta thấy:  Từ rỗng là phần tử đơn vị đối với phép nhân ghép, tức là: ωε = εω = ω đúng với mọi từ ω.  Phép nhân ghép có tính kết hợp, nghĩa là với mọi từ α, β, γ, ta có (αβ)γ = α(βγ).  Kí hiệu ω n , với n là số tự nhiên, được dùng theo nghĩa quen thuộc: 1 khi n=0 khi n=1 khi n > 1 n n             Đối với phép nhân ghép thì hàm độ dài có một số tính chất hình thức 8 của lôgarit: với mọi từ α, β và mọi số tự nhiên n, thì:      , và n n    .  Với phần tử đơn vị, tức là từ rỗng ε, thì  = 0. 1.2.2.2 Phép lấy từ ngược Định nghĩa 1.2.2.3. Giả sử có từ khác rỗng ω = a 1 a 2 …a m trên bảng chữ cái Σ, khi đó từ a m a m-1 … a 2 a 1 được gọi là từ ngược (hay từ soi gương) của từ ω, và được kí hiệu là r  , hay ^  . Khi ω = ε ta quy ước r    . Tính chất 1.2.2.4. Từ định nghĩa trên dễ thấy rằng phép lấy từ ngược có các tính chất sau:    r r       r r r      r    Ví dụ 1.2.2.5. 1. Cho các từ α = 100110 và β = aabb trên bảng chữ cái {0,1,a,b}, theo định nghĩa ta có: α r = 011001 và (α r ) r = (011001) r = 100110 = α. β r = bbaa và (β r ) r = (bbaa) r = aabb = β. 2. Cho các từ happy và oto trên bảng chữ cái  = {a, b, c, …x, y, z}, khi đó ta có: (happy) r = yppah và (oto) r = oto. Ngoài ra ta có:   happy r = yppah = happy = 3. 1.2.2.3 Phép cắt từ Cho u, v là hai từ thuộc bảng chữ cái *  . [...]... này về tính toán có như nhau không Chương này nhằm là sáng tỏ vấn đề đó thông qua luận đề Turing – Church Đồng thời trình bày một số kết quả không quyết định được cơ bản 2.1 Máy Turing 2.1.1 Thuật toán và máy Turing Khái niệm trực giác về thuật toán đã được dùng từ lâu trong toán học Thuật toán là một số quy tắc xác định một quá trình tính toán nào đó Đầu thế kỉ 20, trong toán học xuất hiện một số bài. .. trình tính toán nào đó Đầu thế kỉ 20, trong toán học xuất hiện một số bài toán mà việc có thuật toán để giải chúng là đáng nghi ngờ Để chứng minh một bài toán không có thuật toán để giải chúng thì trước hết ta cần có một định nghĩa toán học chính xác cho khái niệm thuật toán Trong số các khái niệm toán học chính xác về thuật toán đã được nghiên cứu, các khái niệm máy Turing và hàm đệ quy là được thừa... L  L   L    Ln được gọi là ngôn ngữ lặp của 2 n n0 * ngôn ngữ L (hay bao đóng Kleen của ngôn ngữ L), kí hiệu L  * n Vậy ngôn ngữ lặp của L là hợp của mọi luỹ thừa của L: L   L n 1   Tập từ L  L2   Ln    Ln được gọi là ngôn ngữ lặp cắt của n 1  ngôn ngữ L , kí hiệu L  n Vậy ngôn ngữ lặp cắt của L là hợp của mọi luỹ thừa dương của L: L   L  n 1 Ví dụ 1.2.3.12 1 Xét ngôn... thuộc kiểu 1 thì nó đoán nhận được bởi máy Turing luôn dừng, tức là bài toán thành viên cho nó là giải được Nói chung thuật toán giải bài toán thành viên có cỡ lũy thừa  Ngôn ngữ kiểu 2: Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm kiểu 2 gọi là ngôn ngữ kiểu 2 hay ngôn ngữ phi ngữ cảnh Ngôn ngữ thuộc kiểu 2 có thuật toán giải bài toán thành viên cỡ đa thức bậc ba 21  Ngôn ngữ kiểu 3: Ngôn ngữ sinh bởi văn phạm loại... theo G nào đều bắt đầu với một áp dụng sản xuất thứ nhất hoặc thứ hai, sản xuất thứ nhất cho ngay từ kết thúc abc Xét một dẫn xuất bất kì D từ một từ có dạng a i Abic i , i  1 , mà nó dẫn đến một từ trên bộ chữ cái kết thúc D cần phải bắt đầu với i áp dụng sản xuất thứ ba (A đi sang phải) và sau đó tiếp tục với một sản xuất thứ tư (một xuất hiện nữa của b và c đặt vào) Hiện ta đã dẫn ra từ a ibi Bbc... chính quy Ngôn ngữ thuộc kiểu 3 có thuật toán giải bài toán thành viên cỡ đa thức bậc một (tuyến tính) (theo 5 ) Nhận xét 1.3.16 Từ các định nghĩa trên, ta thấy lớp văn phạm tổng quát là rộng nhất, nó chứa đựng các văn phạm cảm ngữ cảnh, lớp văn phạm cảm ngữ cảnh chứa các văn phạm phi ngữ cảnh và lớp văn phạm phi ngữ cảnh chứa các văn phạm chính quy Ngôn ngữ hình thức được gọi là ngôn ngữ đệ qui kể được... Turing là một khái niệm toán học nhằm chính xác hoá quan niệm thuật toán Mọi quá trình thuật toán bất kỳ đều là một trình tự thực hiện một số phép biến đổi sơ cấp nào đó Trong mô hình máy Turing, ta chỉ dùng một loại phép biến đổi sơ cấp đơn giản, đó là việc thay thế một ký hiệu này bởi một ký hiệu khác Hàm đệ quy và tập đệ quy là cách tiếp cận để xem xét bản chất tính toán của con người dựa trên quan... trong tập cũ các sản xuất và  nhận được từ  bằng cách xóa bớt đi một số bằng 0 hoặc lớn hơn lần xuất hiện của các phần tử của M Như vậy mọi sản xuất ban đầu được bảo toàn trừ các sản xuất A   Hiệu quả của các sản xuất đó ( với  ở vế phải) được khôi phục bằng cách dùng các biến thể xóa của các sản xuất ban đầu Bước tiếp theo là để tránh các sản xuất dây chuyền A  B , với mỗi chữ  ta xác định... A3 Am là  ) Sản xuất thứ nhất trong (6) có dạng đúng, sản xuất thứ hai so với (5) ở cả hai vế có ít hơn một ký hiệu Nếu n  3 , chính thủ tục này được lặp lại cho sản xuất thứ hai trong (6) cho tới khi nhận được chỉ các sản xuất dạng đúng 1.4 Ôtômát hữu hạn Ôtômát là một đối tượng quan trọng trong tin học lý thuyết và ứng dụng Chúng được dùng để biểu diễn và xây dựng các thuật toán hiệu quả Ôtômát... nhớ và khi thực hiện được ôtômát thì giải thuật thể hiện bởi ôtômát có chất lượng cao Nó cung cấp những mô hình cơ sở để xây dựng các thuật toán có hiệu quả trong thực tế với tốc độ tính toán nhanh (cỡ tuyến tính) tùy theo kích thước của dữ liệu đầu vào Mục đích của phần này nhằm trình bày ôtômát như là một dạng máy Turing đặc biệt (máy Turing tổng quát được xét ở chương sau) và là công cụ để đoán nhận . gọn của các tập. Chương 3. Bài toán thứ mười của Hilbert. Từ các kết quả của chương 2, tác giả sẽ trình bày đến tính không giải được của bài toán thứ mười của Hilbert, cũng như một số bài. Chương 3. Bài toán thứ mười của Hilbert …………………… ………… 60 3.1. Bài toán quyết định và vấn đề giải được………………………… 60 3.2. Bài toán tương ứng Post………………………………………… 63 3.3. Bài toán thứ mười của Hilber. ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  NGUYỄN THU THẢO TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN THỨ MƯỜI CỦA HILBERT LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI - 2011 BỘ GIÁO