Bài toán tương ứng Post

Trong mục trước ta đã xem xét vấn đề bài toán quyết định và tính giải được cũngnhư không giải được của các bài toán đó dựa trên tân từ P*(n) tương ứng có là đệ qui hay không.

Bây giờ ta xét thêm một bài toán quyết định và kết quả về tính không giải được có bản chất khác một chút để từ đó ta có tầm nhìn rộng hơn về các bài toán quyết định.

Trong chương trước ta đã chỉ ra rằng các chứng minh về tính không quyết định được hoặc là trực tiếp hoặc là gián tiếp. Chứng minh gián tiếp cần dựa vào căn cứ điểm là các bài toán đã được biết là không quyết định được.

Bài toán tương ứng Post được dùng làm căn cứ điểm rất tiện lợi đối với lý thuyết ngôn ngữ.

Nội dung bài toán tương ứng Post được mô tả như sau: Giả sử có hai danh sách đều gồm n từ. Có hay không một từ ghép nào đó các từ của danh sách này bằng từ ghép tương ứng các từ của danh sách kia? Tương ứng tức là các từ phải ở đúng cùng các vị trí trong hai danh sách.

Ví dụ 3.2.1. i) Xét hai danh sách:  2 2 2 , , a b ab và  2  , , a b ba b (1) Ta ghép các từ thứ nhất, thứ hai của danh sách đầu và ghép các từ thứ nhất, thứ ba của danh sách thứ hai thì đều nhận được từ a b a b2 2 3 2.

Ta nói dãy các chỉ số 1,2,1,3 là một lời giải đối với tình huống (1) của bài toán tương ứng Post.

ii) Xét hai danh sách:  2 

,

a b a và  2 2

,

a ba (2) Tình huống (2) không có lời giải. Thật vậy, một lời giải của (2) cần bắt đầu với chỉ số 1, sau đó phải là chỉ số 2 vì từ lấy từ danh sách thứ hai thiếu b. Khi đó ta có các từ a ba2 và a ba2 2. Do một trong các từ phải là tiền tố của từ kia nên chỉ số tiếp theo của lời giải là 2, ta được các từ: a ba2 2 và a ba ba2 2 2. Vì không có từ nào trong danh sách thứ nhất bắt đầu với b nên không thể tiếp tục. Trước khi chứng minh bài toán tương ứng Post là không giải được ta xét một định nghĩa hình thức của bài toán này bằng cách sử dụng khái niệm cấu xạ như sau:

Định nghĩa 3.2.2. Giả sử g và h là hai cấu xạ với bộ chữ cái gốc  và bộ chữ cái ảnh . Cặp (g,h) được gọi là một tình huống của bài toán tương ứng Post. Một từ không rỗng  trên  sao cho g() = h() được gọi là một lời giải của tình huống này.

Tính quyết định được của bài toán tương ứng Post được hiểu là sự tồn tại của một thuật toán để giải quyết mọi tình huống, nghĩa là khi cho một tình huống bất kỳ làm thông tin vào, thuật toán cho câu trả lời có hay không tuỳ theo tình huống đó có hay không có lời giải. Với một số lớp tình huống nào đó có phương pháp quyết định nhưng với bài toán tổng quát thì không có phương

pháp quyết định nào.

Định lý 3.2.3. Bài toán tương ứng Post là không quyết định được. Chứng minh:

Theo chương 2 ta đã biết các ngôn ngữ đệ qui kể được trùng với các ngôn ngữ được chấp nhận bởi các máy Turing. Do đó, nếu ta có thể giải bài toán thành viên đối với các ngôn ngữ đệ qui kể được thì ta cũng có thể giải được bài toán dừng mà theo định lý 2.7.2 là không thể giải được

Ta sẽ chứng minh định lý 3.2.3 bằng phản chứng. Giả sử bài toán tương ứng Post là quyết định được. Ta sẽ chỉ ra rằng một thuật toán giải bài toán tương ứng Post cho một thuật toán giải bài toán thành viên của các ngôn ngữ đệ qui kể được.

Xét một văn phạm bất kỳ với bộ chữ cái kết thúcT, bộ chữ cái không kết thúc N, chữ xuất phát S, các sản xuất P.

Xét một từ  bất kỳ trên T. Ta xây dựng một tình huống PCP của bài toán tương ứng Post sao cho PCP có lời giải nếu  L(G).

Từ định lý 1.3.19 ta có thể giả sử rằng G không có sản xuất mà vế trái của nó bằng . Ta cũng có thể giả sử rằng G không có sản xuất mà vế phải của nó bằng  vì trái lại ta thay mỗi sản xuất  bởi mọi sản xuất a a và a

a, với a chạy trên các chữ của   N T.

Trong quá trình này có thể mất từ rỗng trong ngôn ngữ được sinh, tuy nhiên việc mất từ rỗng không ảnh hưởng đến các kết quả về tính quyết định được trong lý luận.

Kí hiệu các chữ của   N T= 1 là a1, a2,…, ar với a1 là chữ xuất phát. Ta bỏ qua qui ước các chữ nhỏ là kết thúc để có cách ký hiệu giống nhau. Giả sử : i i 1 i n

'  '  1 = a a 1    và      1 1'  ' , , #, # B E

trong đó B, E, #, #’ là các chữ không thuộc các bộ chữ cái khác đã xét. B đánh dấu sự bắt đầu một dẫn xuất, E đánh dấu sự kết thúc nó, # và #’ đánh dấu giữa hai từ liên tiếp trong một dẫn xuất.

Với từ x bất kỳ trên 1, kí hiệu x’ là từ trên 1' nhận từ x bằng cách thay ai

bởi ai'.

Xét tình huống PCP = (g,h) của bài toán tương ứng Post. - Bộchữ cái miền xác định của g và h là:

 1, 2,..., 2r2n4

- Bộ chữ cái giá trị là  được xác định ở trên Các cấu xạ g,h được định nghĩa như sau:

1 2 3 4 4+i 4+r+i 4+2r+j 4+2r+n+j g Ba1# #’ # E ai' ai ' j  j h B # # #’ E ai ai' j ' j  i = 1,…,r ; j = 1,…,n

PCP có lời giải nếu   L(G), do đó nếu bài toán tương ứng Post quyết định được thì bài toán thành viên đối với các ngôn ngữ đệ qui kể được cũng quyết định được.

Việc xây dựng PCP là các dẫn xuất theo G sẽ được bắt chước và g sinh dẫn xuất nhanh hơn h vì nó bắt đầu với Ba1# trong khi h bắt đầu chỉ với B. Cấu xạ h có thể đuổi kịp ở cuối dẫn xuất nhờ chỉ số 4 nếu  là từ cuối cùng của dẫn xuất này.

Chẳng hạn, giả sử ba dẫn xuất đầu của G là: S ACD, CD D, D d

giả sử a và D tương ứng là các chữ thứ hai và thứ ba của 1

xét từ  = ad. Khi đó  có dẫn xuất sau:

S aCDaDad (3) Một lời giải cho PCP được xây dựng theo bảng sau:

1 4+2r+1 2 4+r+2 4+2r+n+2 3 4+2 g BS# a’C’D’ #’ a D # A’ h B S # a’ C’D’ #’ a 4+3 2 4+r+2 4+2r+n+3 4 g D’ #’ a d E h D # A’ D’ #’adE Do vậy từ: 1(4+2r+1)2(4+r+2)(4+2r+n+2)3(4+2)(4+3)2(4+r+2)(4+2r+n+3)4

là một lời giải cho PCP, giá trị chung của các cấu xạ g và h đối với từ này là: BS# a’C’D’#’ aD # a’D’#’ adE (4)

Dễ thấy (4) nhận được từ (3) sau các sửa đổi sau: Các đánh dấu biên B và E được thêm vào ở chỗ bắt đầu và kết thúc, dấu  được thay bởi # và mỗi bước thứ hai được đánh dấu phẩy cũng như cái đánh dấu thứ hai. Sau cùng, một bước từ aD lên a’D’ được thêm vào để đuổi kịp từ không phẩy ad tương ứng với chỉ số cuối cùng của (3).

Lập luận tương tự cũng đúng cho trường hợp tổng quát: khi   L(G) thì PCP có nghiệm. 

Bài toán tương ứng Post là công cụ rất tiện lợi, đặc biệt khi thiết lập các kết quả về tính không quyết định được trong lý thuyết ngôn ngữ. Sử dụng bài toán tương ứng Post ta dễ dàng chứng minh được một số kết quả sau:

Định lý 3.2.4. Không có thuật toán để quyết định hai ngôn ngữ phi ngữ cảnh có giao nhau hay không.

Chứng minh: Phản chứng lại, giả sử có một thuật toán như vậy, ta sẽ chỉ ra bài toán tương ứng Post quyết định được, điều này mâu thuẫn với định lý 3.2.3 Xét một tình huống PCP = (g,h) bất kỳ của bài toán tương ứng Post mà các cấu xạ có bộ chữ cái miền gốc  = {1,…,n} được xác định bởi:

g i 1 và h i i với i = 1,…,n ,

i i

  là các từ trên bộ chữ cái  nào đó rời với 

Xét văn phạm phi ngữ cảnh G (tương ứng G) được xác định bởi các sản xuất:

S iSi và S ii (tương ứng S iSi và S ii), i = 1,…,n, S là kí hiệu không kết thúc duy nhất. Dễ thấy PCP có lời giải nếu

   

L G L G  . 

Định lý 3.2.5. Bài toán tương đương đối với các văn phạm phi ngữ cảnh là không quyết định được.

Chứng minh: Ta vẫn xét một tình huống PCP = (g,h) bất kỳ của bài toán tương ứng Post mà các cấu xạ có bộ chữ cái miền gốc  = {1,…,n} được xác định bởi:

g i 1 và h i i với i = 1,…,n ,

i i

  là các từ trên bộ chữ cái  nào đó rời với 

Xét ba ngôn ngữ L, Lg, Lh trên bộ chữ cái     # , # là một chữ mới.Theo định nghĩa

L *#*

#g mi   ,  (5)

mi: ảnh gương

Ngôn ngữ Lh được định nghĩa một cách tương tự với h thay cho g trong (5) Dễ thấy PCP không có lời giải nếu LLg Lh (6)

Ta định nghĩa hai văn phạm phi ngữ cảnh G1, G2 như sau: hai văn phạm có: - chữ xuất phát: S

- các bộ chữ cái kết thúc và không kết thúc tương ứng là:     # và S S S S S A B, 1, 2, 3, 4, ,  Các sản xuất của G1:     4 3 3 1 1 , S B S # A aAg , B aBh , , B S , , B aS S A S B a a A S b b A aS x y           trong đó:

a chạy trên  , b chạy trên 

x (tương ứng y) chạy trên tất cả các từ trên  và ngắn hơn g(a) (tương ứng h(a)) kể cả từ rỗng

AaS x2 , BaS2y

trong đó: x (tương ứng y) chạy trên mọi từ trên  có độ dài g a  (tương ứng

 

h a ) nhưng khác g(a) (tương ứng khác h(a) ).

1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 , S # S S # S S aS S aS S S S b S aS S b        

Các sản xuất của G2 nhận được từ các sản xuất của G1 bằng cách thay hai sản xuất S1# và S3 # bằng sản xuất S4 # Ta có:     1 2 (7) L (8) g h L G L L G L   

Từ (6), (7), (8) ta suy ra nếu có một thuật toán để giải bài toán tương đương đối với các văn phạm phi ngữ cảnh thì sẽ có một thuật toán giải bài toán tương ứng Post. 