Giải phương trình một ẩn f(x) = 0 bằng phương pháp chia đôi

Giải phương trình một ẩn f(x) = 0 bằng phương pháp chia đôi

Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG - - TIỂU LUẬN Đề tài: Giải phương trình ẩn f(x) = phương pháp chia đôi Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực : Tơ Văn Ba Lớp: tốn 2-k51 Hà Nội, tháng 11 năm 2009 Sv:Tô Văn Ba Toán Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển Giới thiệu Maple phần mềm tính tốn hang Maple Soft, phận chủ yếu liên hợp công ty Waterloo Maple phát triển Cho đến Maple phát triển qua nhiều phiên khác ngày hồn thiện Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy tất hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt dễ sử dụng tối ưu cấu hình máy đặc biệt có trình trợ giúp ( Help ) dễ sử dụng Từ phiên 7, Maple cung cấp ngày nhiều công cụ trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Ưu điểm làm cho nhiều nước giới lựa chọn sử dụng Maple với phần mềm toán học khác giảng dạy học tốn trước địi hỏi thực tiễn phát triển giáo dục Các tính Maple: • Là hệ thống tính tốn biểu thức đại số • Có thể thực hầu hết phép toán chương trình tốn đại học phổ thơng • Cung cấp cơng cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh động đường mặt cho hàm tùy ý nhiều hệ tọa độ khác • Một ngơn ngữ lập trình đơn giản mạnh mẽ có khả tương tác với nhiều ngơn ngữ lập trình khác • Cho phép trích xuất định dạng khác LaTex, Word, HTML,… • Một cơng cụ biên soạn giáo án giảng điện tử, thích hợp với lớp học tương tác trực tiếp • Một trợ giáo hữu ích cho hoc sinh việc tự học Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển Giải phương trình ẩn f(x) = phương pháp chia đơi I.Giới thiệu tốn Trong thực tế có nhiều tốn khơng thể tìm nghiệm cách giải thơng thường., để tìm nghiệm ta phải sử dụng số phương pháp lặp để tìm nghiệm gần Phương pháp chia đôi khoảng nghiệm phương pháp tìm nghiệm phương trình f(x) = Xét phương trình ẩn: f(x) = (*) f hàm cho trước với đối số x Ta tìm nghiêm tốn Định lý: Nếu hàm f(x) đơn điệu ( tăng giảm ) đoạn [a, b] f(x) có đạo hàm khơng đổi dấu đoạn chắn phương trình f(x) = có nghiệm c đoạn [a, b] Đoạn [a, b] gọi khoảng phân ly nghiệm phương trình f(x) = b a Để tìm nghiệm gần c, ta thực số hữu hạn lần trình lặp bước sau đây: Bước 1: ta chọn c điểm đoạn [a, b] C=(a+b)/2 Bước 2: f(c) = ta khẳng định c nghiệm cần tìm chuyển sang bước 4, ngược lại chuyển sang bước 3 Bước 3: • f(a)*(c) < ta đặt b := c quay bước Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển • f(a)*(c) > ta đặt a := c quay bước Bước 4: thông báo nghiệm c tìm kết thúc cơng việc tìm nghiệm phương trình f(x) = Quá trình gọi phương pháp chia đơi lần lặp lại từ đầu khoảng [a, b] cần xem xét thu gọn lại nửa so với trước điểm c Q trình lặp dừng đoạn [a, b] ngắn (nhỏ số dương gọi sai số ε ) Ta có sơ đồ Tính c = ( a + b )/2 , Đ f(c)*f(a) < b := c S a := c Tính e := b - a e chiadoi:=proc(f,a,b,delta) local alpha,beta,m; alpha:=a; beta:=b; m:=(alpha+beta)/2; while abs(beta-alpha)>=delta if evalf(f(alpha)*f(m) f:=x->x-sin(Pi*x); f := x → x − sin( π x ) > plot(f,-2 2); > chiadoi(f,-1,-0.5,0.00000001); -0.6250000000 -0.6875000000 -0.7187500000 -0.7343750000 -0.7421875000 -0.7382812500 -0.7363281250 -0.7373046875 -0.7368164060 -0.7365722655 -0.7364501955 -0.7365112305 -0.7364807130 -0.7364959715 Sv:Tô Văn Ba Toán Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển -0.7364883420 -0.7364845275 -0.7364826200 -0.7364835740 -0.7364840505 -0.7364842890 -0.7364844085 -0.7364844680 -0.7364844380 -0.7364844530 -0.7364844455 -0.7364844495 > chiadoi(f,0.5,1,0.00000001); 0.6250000000 0.6875000000 0.7187500000 0.7343750000 0.7421875000 0.7382812500 0.7363281250 0.7373046875 0.7368164060 0.7365722655 0.7364501955 0.7365112305 0.7364807130 0.7364959715 0.7364883420 0.7364845275 0.7364826200 0.7364835740 0.7364840505 0.7364842890 0.7364844085 0.7364844680 0.7364844380 0.7364844530 0.7364844455 0.7364844495 10 Sv:Tô Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển ví dụ 1: tìm nghiệm phương trình f(x) = x-cos(Pi*x) (bài tập 2.3 trang 55 - giảng lập trình tính tốn tác giả Nguyễn Hữu Điển) > f:=x->x-cos(Pi*x); f := x → x − cos( π x ) > plot(f,-2 2); > chiadoi(f,-0.9,-0.7,0.00000001); -0.7500000000 -0.7750000000 -0.7875000000 -0.7937500000 11 Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển -0.7906250000 -0.7890625000 -0.7898437500 -0.7894531250 -0.7896484375 -0.7897460940 -0.7897949220 -0.7898193360 -0.7898315430 -0.7898376465 -0.7898345950 -0.7898330690 -0.7898323060 -0.7898326875 -0.7898324965 -0.7898325920 -0.7898326400 -0.7898326160 -0.7898326280 -0.7898326335 -0.7898326305 > chiadoi(f,0,1,0.00000001); 0.2500000000 0.3750000000 0.4375000000 0.4062500000 0.3906250000 0.3828125000 0.3789062500 0.3769531250 0.3779296875 0.3774414062 0.3771972656 0.3770751953 0.3770141602 0.3769836426 0.3769683838 0.3769607544 0.3769645691 0.3769664764 0.3769674301 0.3769669533 12 Sv:Tô Văn Ba Toán Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển 0.3769671917 0.3769670725 0.3769670129 0.3769669831 0.3769669980 0.3769670054 0.3769670092 ví dụ 1: tìm nghiệm phương trình f(x) = sin(x) - exp(-x) (bài tập 2.4 trang 56 - giảng lập trình tính tốn tác giả Nguyễn Hữu Điển) > f:=x->sin(x)-exp(-x); f := x → sin( x ) − e > plot(f,0 7); 13 ( −x ) Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển > chiadoi(f,0.5,1,0.0001); 0.6250000000 0.5625000000 0.5937500000 0.5781250000 0.5859375000 0.5898437500 0.5878906250 0.5888671875 0.5883789060 0.5886230470 0.5885009765 0.5885620120 0.5885314945 > chiadoi(f,6,6.5,0.0001); 6.375000000 6.312500000 6.281250000 6.296875000 6.289062500 6.285156250 6.283203125 6.284179690 6.284667970 6.284912110 6.285034180 6.285095215 6.285064695 14 Sv:Tơ Văn Ba Tốn Tin2_k51 Gv:Nguyễn Hữu Điển Kết luận Như vậy, qua báo cáo tìm hiểu phần cú pháp, hàm sử dụng Maple.Đồng thời thấy hỗ trợ mạnh mẽ Maple Thông thường để giải tốn phải tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b], điều thật không đơn giản Tuy nhiên với hỗ trợ mạnh mẽ đồ thị Maple toán trở lên đơn giàn ta nhìn khoảng phân ly đồ thị kiểm tra kết thông qua đồ thị Tuy vậy, hạn chế mặt cá nhân em lên báo cáo cịn nhiều sai sót, em mong nhận xét đóng góp ý kiến thầy Em xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo Hướng dẫn sử dụng Maple – Nguyễn Hữu Điển Bài giảng lập trình tính tốn - Nguyễn Hữu Điển maplevn2008.wordpress.com/ 15