Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab

Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab Ứng dụng phương pháp chia đôi để giải các bài toán thực tế bằng matlab

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -o0o - KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Môn học: Phương pháp tính BÀI TẬP LỚN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐƠI ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ BẰNG MATLAB Nhóm Lớp: L09 Giáo viên hướng dẫn: ThS Võ Trần An TP Hồ Chí Minh, tháng 05/2021 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM STT Họ tên MSSV Nội dung công việc % điểm Lê Minh Mẩn 1712129 Bài 8% Bùi Thanh Tú 1915808 Bài 8% Võ Minh Khôi 1812684 Bài 8% Phan Trần Phước Đạt 1911024 Bài 8% Phạm Tiến Khoa 2010344 Bài 8% Đỗ Xuân Thăng 1713208 Bài 8% Trịnh Quang Khải 1910257 Kiểm tra code 12% Cao Quốc Cường 1910891 Bài 8% Nguyễn Hoàng Gia 1911075 Bài 8% 10 Trương Nhật Tân 1910522 Bài 8% 11 Hồ Phan Lưu Vũ 1915971 Bài 8% 12 Nguyễn Đức Tài 1713013 Bài 8% MỤC LỤC DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM BÀI 8.1 Đề Lý thuyết liên quan Phân tích giải tốn 4 Kết luận nhận xét BÀI 8.2 Đề Lý thuyết liên quan Phân tích giải toán 11 BÀI 8.3 13 Đề 13 Lý thuyết liên quan 13 Phân tích giải toán 15 BÀI 8.4 17 Đề 17 Lý thuyết 17 Phân tích giải tốn 18 BÀI 8.5 20 Đề 20 Lý thuyết liên quan 20 Phân tích giải tốn 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 BÀI 8.1 Đề Thực tính tốn 8.1, ancol etylic (a=12.02 b=0,08407) nhiệt độ 375K áp suất 2.0 atm So sánh kết tính với định luật khí lý tưởng Sử dụng phương pháp học mơn phương pháp tính Chứng minh cho lựa chọn cách giải anh/chị Lý thuyết liên quan Đối với chất khí lí tưởng, ta có cơng thức: pV=nRT (1) với R = 0.082054 L.atm/(mol.K), p áp suất tuyệt đối; T nhiệt độ tuyệt đối, V thể tích n số mole Mặc dù sử dụng rộng rãi chương trình học bậc phổ thơng cơng thức (1) cịn nhiều hạn chế, khí thực Khi ta thường dùng phương trình trạng thái chất khí sau: (p + 𝑎 𝑣2 )(v-b)=RT (2) Phương trình (2) gọi phương trình Van der Waals Trong phương trình (2), a,b số phụ thuộc vào chất khí cụ thể v = 𝑉 𝑛 thể tích mole Vấn đề đặt là: cần tìm thuật tốn để xác định thể tích mol v cho giá trị xác có sai số Ở phần này, áp dụng Phương pháp chia đơi để tìm nghiệm cho tốn Phân tích giải tốn Trong phương pháp chia đơi, cần tìm khoảng phân ly nghiệm phương trình cho, sau thực bước tính tốn Trong tập này, ta tìm khoảng phân ly nghiệm phương pháp hình học (Graphical Method) Ta viết lại phương trình (2): pv + Hay 𝑎 𝑣 − 𝑎𝑏 𝑣2 – pb – RT = p𝑣 + a.v = ab + (pb + RT)𝑣 Đặt vế phải: y =y(x) = p𝑣 +av (3), vế trái z = z(x )= (pb + RT)𝑣 +ab (4) Ta thấy phương trình (2) sau viết lại phương trình bậc 3, phương trình có tối đa nghiệm Để tìm khoảng phân ly nghiệm theo phương pháp hình học, cần tìm điểm giao hai đồ thị hai phương trình trên, sau chọn khoảng (a;b) cho x thuộc (a;b), từ dùng phương pháp chia đơi để tìm nghiệm xác phương trình (2) Theo định luật khí lý tưởng, ta tính v = 𝑅𝑇 𝑝 = 0.082054.375 = 15.3851 Ta thực vẽ đồ thị hai phương trình y(x) z(x) phần mềm matlab để tìm giao điểm hai đồ thị, từ giá trị v suy từ định luật khí lý tưởng, ta ước lượng nghiệm cần tìm phương trình (2) có sai số không lớn so với giá trị 𝑣0 = 15.3851 Để đơn giản hơn, ta chọn miền giá trị x để vẽ đồ thị nằm khoảng (a;b)=(0;16) (không nhận giá trị v < 0) Vẽ đồ thị y(x) = p𝑣 +av: Code: >> x = 0:0.5:16 >> y(x) = 2*x.^3 + 12.02*x >> plot(x,y)= 2*x.^3 + 12.02*x Hình Vẽ đồ thị: z(x )= (pb + RT)𝑣 +ab Code: >> >> z = (2*0.08407 + 0.082054*375)*x.^2 + 12.02*0.08407 plot(x,z) = (2*0.08407 + 0.082054*375)*x.^2 + 12.02*0.08407 Hình Tìm giao hai đồ thị: Code: >> hold on plot(x,z) >> plot(x,y) Hình Từ đồ thị, ta thấy phương trình có khoảng nghiệm (0;2) (14;16) Như ta nói đầu mục, nghiệm phương trình (2) có sai số khơng q lớn so với nghiệm tìm từ phương trình khí lí tưởng, ta quan tâm tới khoảng nghiệm (14;16) Tiếp theo sau đây, để tìm nghiệm phương trình (2) phương pháp chia đơi, ta thực nhập thuật tốn bisect vào matlab sau: function [x,fx] = bisect(f,a,b,N) if nargin f = inline('2*x.^3 - (2*0.08407 + 0.082054*375)*x.^2 + 12.02*x 12.02*0.08407','x'); >> a = 14; b = 16; N = N = >> [x,fx] = bisect(f,a,b,N); Kết đoạn chương trình thể hình bên dưới: Hình Ta tìm được, v6 = 15.0781 Kết luận nhận xét Nghiệm v=15.3851 tính theo định luật khí lý tưởng nghiệm tìm theo phương pháp chia đơi có khoảng sai số lớn, cụ thể ta tính được: 𝛿𝑎 = |𝑣 − 𝑣6 | |15.3851 − 15.0781| = ≈ 1,9954% |𝑣| |15.3851| Như vậy, ta nhận xét rằng: nghiệm tìm theo phương pháp chia đôi chưa thật tối ưu, để tìm nghiệm gần phương trình (2) xác hơn, ta cần sử dụng phương pháp khác để giảm thiểu tối đa sai số tính tốn BÀI 8.2 Đề Trong ngành kỹ thuật hóa học, Plug Flow Reactors (là phận mà dịng chất lỏng chảy từ đầu sang đầu bị pha tạp dọc theo trục dọc) thường sử dụng để chuyển đổi chất phản ứng thành sản phẩm Người ta xác định hiệu việc chuyển đổi đơi cải thiện cách tái sử dụng lại phần luồng sản phẩm, cho trở lại đường vào để có thêm lần chảy qua reactor (Hình 1) Hình Tỉ lệ tái sử dụng định nghĩa sau: 𝑅= 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑙ỏ𝑛𝑔 𝑞𝑢𝑎𝑦 𝑡𝑟ở 𝑙ạ𝑖 đườ𝑛𝑔 𝑣à𝑜 𝑡ℎể 𝑡í𝑐ℎ 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑐ℎấ𝑡 𝑙ỏ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑘ℎỏ𝑖 ℎệ 𝑡ℎố𝑛𝑔 Giả sử xử lý hóa chất A thành sản phẩm B Trong trường hợp chất A tạo thành B theo phản ứng tự xúc tác (tức sản phẩm đóng vai trò chất xúc tác chất kích thích phản ứng) cho thấy phải có tỷ lệ tái sử dụng tối ưu thỏa mãn phương trình: 𝑙𝑛 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 ) 𝑅+1 = 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 ) 𝑅[1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 )] Ở 𝑋𝐴𝑓 = phân số phần chất phản ứng A biến đổi thành sản phẩm B Một tỷ lệ tái sử dụng tối ưu tương ứng với reactor cỡ nhỏ để đạt mức chuyển đổi mong muốn Sử dụng kiến thức phương pháp tính, xác định mức tái sử dụng cần thiết để giảm thiểu kích thước reactor cho đạt mức chuyển đổi 𝑋𝐴𝑓 = 0.9 Lý thuyết liên quan 2.1 Khoảng ly nghiệm Xét phương trình: 𝑓(𝑥) = (1) Định nghĩa 1: Giả sử 𝛼 nghiệm phương trình (1) Ta nói (𝑎, 𝑏) khoảng cách ly nghiệm 𝛼 phương trình (1) khoảng phương trình (1) có nghiệm thực 𝛼 Định lý 2.1: Giả sử 𝑓(𝑥) hàm số liên tục tập 𝐷 ⊂ 𝑅 Khi (𝑎, 𝑏) ⊂ 𝐷 khoảng cách ly nghiệm phương trình (1) 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < 𝑓(𝑥) đơn điệu [𝑎, 𝑏] Định lý 2.2: Với giả thiết định lý khoảng cách ly nghiệm 𝛼 phương trình (1) 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < tồn 𝑓 ′ (𝑥) đồng thời 𝑓 ′ (𝑥) giữ nguyên dấu ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Từ định lý suy ra, (𝑎, 𝑏) khoảng cách ly nghiệm 𝛼 phương trình (1) khoảng (𝑐, 𝑑) ⊂ (𝑎, 𝑏), cho 𝑓(𝑐) 𝑓(𝑑) < khoảng cách ly nghiệm phương trình (thu hẹp khoảng chứa nghiệm) Khi có khoảng cách ly nghiệm tùy theo phương pháp chọn điểm 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] làm xấp xỉ đầu 2.2 Tìm khoảng cách ly nghiệm phương pháp hình học Giả thiết 𝑓(𝑥) hàm số liên tục tập 𝐷 ⊂ 𝑅 Để tìm KCN nghiệm, ta tiến hành: Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) Giao điểm đồ thị với trục hoành điểm 𝑥0 ∈ 𝐷 Nếu 𝑓(𝑥0 ) = 𝑥0 = 𝛼 nghiệm phương trình Nếu 𝑓(𝑥0 ) ≠ KCL nghiệm 𝛼 phương trình chọn lân cận phía 𝑥0 , nghĩa khoảng (𝑎, 𝑏) cho 𝑎 < 𝑥0 < 𝑏 , phải kiểm tra lại điều kiện để khẳng định nghiệm Trường hợp 𝑦 = 𝑓(𝑥) khó vẽ, ta viết lại dạng ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) Khảo sát vẽ đồ thị hàm 𝑦 = ℎ(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) hệ trục tọa độ, hoành độ giao điểm hai đồ thị 𝑥0 Nếu ℎ(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 ) 𝑥0 = 𝛼 nghiệm phương trình Nếu ℎ(𝑥0 ) ≠ 𝑔(𝑥0 ) lân cận phía 𝑥0 khoảng cách ly nghiệm thỏa điều kiện khẳng định nghiệm 2.3 Phương pháp chia đôi Giả sử (𝑎, 𝑏) khoảng cách ly nghiệm phương trình 𝑓(𝑥) = Nội dung phương pháp chia đơi sau: Giả sử phương trình có nghiệm xác 𝑥 khoảng cách ly nghiệm [𝑎, 𝑏] 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) < Đặt 𝑎0 = 𝑎, 𝑏0 = 𝑏, 𝑑0 = 𝑏0 − 𝑎0 = 𝑏 − 𝑎 𝑥0 điểm đoạn [𝑎, 𝑏] 10 Nếu 𝑓(𝑥0 ) = 𝑥0 nghiệm dừng lại Ngược lại 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑎0 ) < đặt 𝑎1 = 𝑎0 , 𝑏1 = 𝑥0 Nếu 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑏0 ) < đặt 𝑎1 = 𝑥0 , 𝑏1 = 𝑏0 Như ta [𝑎1 , 𝑏1 ] ⊂ [𝑎0 , 𝑏0 ] 𝑑1 = 𝑏1 − 𝑎1 = 𝑑0 = 𝑏−𝑎 Tiếp tục q trình chia đơi [𝑎1 , 𝑏1 ], [𝑎2 , 𝑏2 ] … [𝑎𝑛−1 , 𝑏𝑛−1 ] 𝑛 lần ta Phân tích giải tốn Từ đề ta suy hàm: 𝑓(𝑅) = 𝑅+1 𝑅[1 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 )] − 𝑙𝑛 + 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 ) 𝑅(1 − 𝑋𝐴𝑓 ) R tỉ lệ tái sử dụng Với 𝑋𝐴𝑓 = 0.9, rút gọn hàm, ta được: 𝑓(𝑅) = 𝑅+1 + 𝑅 0,1 − 𝑙𝑛 𝑅(1 + 𝑅 0,1) 𝑅 0,1 Vẽ đồ thị hàm số 𝑓(𝑅): 11 Hình Từ đồ thị, ta nhận thấy nghiệm hàm nằm khoảng (0.01, 0.5) (Khơng sử dụng cận hàm số không xác định) ⇨ Chọn khoảng cách ly nghiệm hàm (0.01, 0.5) Sử dụng Matlab, nhập dòng lệnh sau: Ở đây, ta có: ⮚ x: biến R: tỉ lệ tái sử dụng ⮚ a: cận trái khoảng cách ly nghiệm ⮚ b: cận phải khoảng cách ly nghiệm ⮚ n: số lần lặp theo phương pháp chia đôi Theo đề, thực lặp lần, tương ứng với n=6 khoảng cách ly nghiệm (0.01, 0.5), thu kết quả: 12 Vậy nghiệm gần x, hay tức tỉ lệ tái sử dụng R lần lặp thứ 0.43109375 BÀI 8.3 Đề Trong q trình kỹ thuật hóa học, nước (H2O) đun nóng nhiệt độ cao vừa đủ đến phần đáng kể để đạt phân ly tách rời để tạo thành oxy (O2) hidro (H2): H2 + O2 ↔H2O Nếu giả định phản ứng có liên quan số mol phản ứng x H2O lúc phân ly biểu diễn bằng: 𝒙 𝟐𝒑 K= 𝟏−𝒙 √𝟐+𝒙𝒕 K =hằng số cân phản ứng pt = Áp suất tổng hợp hợp chất Nếu pt = 3atm K = 0.05 Xác định giá trị x thỏa mãn Lý thuyết liên quan 2.1 Thực phương pháp chia đôi MATLAB Cho phương trình f(x) = 0, f(x) liên tục trái dấu đầu [a,b] Giả sử f(a) < 0, f(b) < (nếu ngược lại xét –f(x)=0 ) Theo định lý 1, [a,b] phương trình có nghiệm µ Để tìm nghiệm gần c, ta thực số hữu hạn lần trình lặp bước sau đây: Bước 1: Ta chọn c điểm đoạn [a, b]: c = (a + b) / Bước 2: Nếu f(c) = ta khẳng định c nghiệm cần tìm chuyển sang bước 4, ngược lại chuyển sang bước Bước 3: Nếu f(a) * f(c) < ta đặt lại b = c quay bước Còn f(a) * f(c) > đặt lại a = c quay bước 13 Bước 4: Thông báo nghiệm c tìm kết thúc cơng việc tìm nghiệm phương trình f(x) = Quá trình gọi phương pháp chia đơi lần lặp lại từ đầu khoảng [a, b] cần xem xét thu gọn lại nửa so với lần trước điểm c Q trình lặp dừng lại đoạn [a,b] ngắn (nhỏ số dương nhỏ đó, gọi sai số) 2.2 Hằng số cân hóa học Giả sử có phản ứng thuận nghịch sau: aA(rắn) + bB(lỏng) ⇌ cC(lỏng) + dD(khí) A, B, C, D chất rắn, chất tan dung dịch chất khí phản ứng trạng thái cân Trong đó: [A], [B], [C], [D] nồng độ mol/l chất A, B, C D; a, b, c, d hệ số chất phương trình phản ứng Nếu chất A chất rắn nên nồng độ khơng thay đổi, ta biểu thức tính K sau: Nếu A chất lỏng chất khí ta có biểu thức tính K sau: Chú ý: Hằng số cân K phụ thuộc vào nhiệt độ Ví dụ: Ở nhiệt độ định, phản ứng thuận nghịch đạt trạng thái cân nồng độ chất sau: [H2] = mol/lít [N2] = 0,02 mol/lít [NH3] = 0,2 mol/lít Tìm số cân nhiệt độ Theo biểu thức tính K ta có: 14 Phân tích giải toán 3.1 Code Sử dụng Matlab để nhập khởi tạo đầu vào f(x), khoảng ly nghiệm (a;b) khởi tạo vòng lặp while kèm điều kiện if - else Từ đề sinh viên xác định khoảng ly nghiệm (0; 0.5) số lần lặp là số vòng lặp mong muốn Xác định khoảng ly nghiệm phương trình cách vẽ đồ thị hàm, kết cho ta thấy khoảng ly nghiệm phương trình (0;0.5) Hình Code MATLAB mà sinh viên thực hiện: 15 3.2 Kết Kết f(x) sau thực vòng lặp theo đề bài: Hình 10 16 BÀI 8.4 Đề Phương trình sau thể nồng độ hóa chất phản ứng hỗn hợp hồn tồn: 𝒄 = 𝒄𝒊𝒏(𝟏−𝒆−𝟎.𝟎𝟒 𝒕) + 𝒄𝟎 𝒆−𝟎.𝟎𝟒𝒕 (*) Nếu nồng độ ban đầu c0 = nồng độ bơm vào cin = 10, Tính thời gian cần thiết để nồng độ c = 93% cin Lý thuyết 2.1 Nồng độ gì? Nồng độ khái niệm cho ta biết lượng hóa chất có hỗn hợp, thường dung dịch Dung dịch bao gồm chất tan dung môi Nếu chất tan nhiều lượng dung mơi cố định, nồng độ cao Nồng độ đạt giá trị cao điều kiện môi trường định dung dịch bão hịa, có nghĩa chất tan khơng thể hòa tan thêm vào dung dịch 2.2 Cách sử dụng cơng thức tính nồng độ phần trăm Đối với hóa học có nhiều dạng tập khác nhau, có u cầu tính số mol, khối lượng, hay đơn giản xác định công thức hóa học chất,… Nếu đề yêu cầu tính nồng độ phần trăm (C%) chất có dung dịch sau phản ứng cần phải thực bước sau: Bước 1: xác định số chất có dung dịch (đặc biệt quan tâm đến số dư chất tham gia phản ứng) Bước 2: xác định khối lượng dung dịch sau tham gia phản ứng theo công thức: mdd = khối lượng chất tan cho vào dung dịch + khối lượng dung môi – khối lượng chất kết tủa – khối lượng chất khí Bước 3: Tìm khối lượng chất tan cần xác định Bước 4: Tính C% theo cơng thức tính nồng độ phần trăm 17 Phân tích giải tốn 3.1 Tìm khoảng ly nghiệm phương trình theo đề Khi thay cin =10, c0 = ,c = 93% cin vào phương trình (*) ta có phương trình : 9,3 = 10(1 − 𝑒 −0.04𝑡 ) + 4𝑒 −0.04𝑡 (*) ⇔ 0,7 − 6𝑒 −0.04𝑡 = Vẽ đồ thị hàm 𝑦 = 0,7 − 6𝑒 −0.04𝑥 𝑣à 𝑦 = ta : Hình Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm nằm khoảng cách ly nghiệm [ 107 , 54] 3.2 Code Sau xác định khoảng ly nghiệm phương trình, ta tiến hành thành lập thuật toán để giải theo phương pháp lặp với khoảng ly nghiệm (53.5;54) với số vịng lặp Tồn code mà sinh viên trình bên 18 Hình 10 3.3 Kết quả: Sau thực chạy thuật toán, kết vịng lặp theo phương trình f(x) khoảng ly nghiệm ban đầu trình bên dưới: Hình 11 Kết sai số: 19 BÀI 8.5 Đề Cho phương trình hóa học chiều: 2𝐴 + 𝐵 ⇌ 𝐶 Được xác định phương trình quan hệ: 𝐾= 𝑐𝑐 𝑐𝑎 𝑐𝑏 Trong 𝑐𝑖 thể nồng độ phân tử i Ta giả sử biến 𝑥 số mole C tạo Áp dụng định luật bảo toàn khối lượng vào phương trình ta có: 𝐾= (𝑐𝑐,0 + 𝑥) (𝑐𝑎,0 − 2𝑥)2 (𝑐𝑏,0 − 𝑥) Trong biểu thị nồng độ ban đầu phần tử Nếu 𝐾 = 0.015, 𝑐𝑎,0 = 42, 𝑐𝑏,0 = 30, 𝑐𝑐,0 = 4, xác định giá trị biến x Sử dụng phương pháp hình học (tìm khoảng cách ly nghiệm) Dựa vào câu (a), tìm nghiệm xác phương trình với 𝑥𝑙 = 𝑥𝑢 = 20 độ xác 𝜀𝑠 = 0.5% Sử dụng phương pháp chia đơi vi sai Giải thích lại chọn phương pháp Lý thuyết liên quan 2.1 Cân hóa học Phản ứng thuận nghịch phản ứng xảy theo chiều thuận nghịch điều kiện Cân hoá học trạng thái hệ phản ứng thuận nghịch mà tốc độ phản ứng thuận tốc độ phản ứng nghịch 20 Cân hoá học cân động trạng thái cân bằng, phản ứng thuận nghịch tiếp tục xảy với tốc độ nên không làm thay đổi nồng độ chất hệ phản ứng Biểu thức tính số cân phản ứng thuận nghịch: nA + mB ↔ pC + qD là: Kcb =[C]p.[D]q/[A]a.[B]b Chú ý: số tốc độ phản ứng số cân phản ứng thuận nghịch phụ thuộc vào yếu tố nhiệt độ Phân tích giải toán 3.1 Đồ thị toán Ta xác định khoảng ly nghiệm toán vẽ phương trình đề u cầu, từ ta xác định khoảng ly nghiệm cần tìm (15.5;16.5) Đồ thị phương trình 8.2 trình bên dưới: 21 Hình 12 3.2 Code Tiến hành nhập hàm f(x) đề bài, khoảng ly nghiệm tìm (15.5; 16.5) với số vịng lặp Tồn thuật tốn mà sinh viên trình bên dưới: 3.3 Kết Kết f(x) lần lặp: 22 Hình 13 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giáo trình phương pháp tính (2017), Đại học Bách Khoa TP.HCM, nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP HCM [2] Giáo trình phương pháp tính MATLAB (2013), Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhà xuất Bách Khoa – Hà Nội 24 ... Sử dụng phương pháp hình học (tìm khoảng cách ly nghiệm) Dựa vào câu (a), tìm nghiệm xác phương trình với