Các phương pháp giải phương trình một ẩn trong chương trình toán THCS

TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM*************** Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Môn toán Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Tâm Ch

TRƯỜNG THCS THANH XUÂN NAM

***************

Sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài:

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN THCS

Môn toán Tác giả : Nguyễn Thị Thanh Tâm

Chức vụ: Giáo viên tổ Tự nhiên I

Năm học: 2013- 2014

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 Cơ sở lý luận

Qua thực tế giảng dạy cho thấy phần lớn các thầy cô giáo lấy việc giải nhiều bài tập để rèn luyện cho học sinh mà theo tôi nên rút ra được phương pháp giải cho từng loại bài tập, phân loại các dạng bài tập cơ bản

Thực hiện chương trình cải cách giáo dục nội dung kiến thức của cấp học ngày càng cao đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản một cách thực sự Học sinh phải có phương pháp học, phương pháp tự nghiên cứu hợp lý để thực sự có kết quả cao, cũng như việc hình thành các kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh Hơn nữa do tính sư phạm có những định nghĩa, định lý, học sinh phải công nhận trong giải toán Hệ thống bài tập không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức mà còn phải biết đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kho tàng kiến thức khổng lồ trong chương trình cấp học THCS là phương trình

Giải phương trình là một bài toán cơ bản liên quan đến nhiều bài toán khác như tìm tập xác định, giải bài toán có lời văn bằng cách lập phương trình Đối với những phương trình có dạng cơ bản thì học sinh có thể áp dụng giải dễ dàng Tuy nhiên với những phương trình dạng bậc cao hoặc những phép tính phức tạp học sinh chưa đủ cơ sở để làm

Vì những lý do trên tôi thấy cần phải nghiên cứu chuyên đề về phương trình trong chương trình toán THCS để giải phương trình một cách chính xác và nhanh nhất

2 Ứng dụng trong thực tiễn

• Về phía giáo viên: Hệ thống được các khái niệm cơ bản của phương trình, các tính chất các cách giải phương trình từ cơ bản đến phức tạp Nghiên cứu khai thác để tìm được ứng dụng đa dạng, phong phú của chương trình Mặt khác phải lựa chọn các phương pháp thích hợp đối với từng đơn vị kiến thức phù hợp với từng đối tượng học sinh,đồng thời nâng cao trình độ nghiệp vụ của giáo viên

• Đối với học sinh: Nắm được một cách có hệ thống các khái niệm về phương trình, các tính chất và đặc biệt là các phép biến đổi tương đương, các hệ quả Từ đó nhằm phát trển khả năng tư duy lôgíc cho học sinh Giúp học sinh phát triển trí tuệ thông qua hệ thống bài tập

Học sinh thấy được sự thuận tiện hơn giữa giải bài toán số học và phương trình

II NỘI DUNG.

A- Những kiến thức cần thiết để giải phương trình :

1 Các định nghĩa.

a) Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn:

Cho A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi nói A(x) = B(x) là một phương trình ta hiểu rằng phải tìm các giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau

- Biến x gọi là ẩn

- Giá trị tìm được gọi là nghiệm

- Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình

- Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình

b) Tập xác định của phương trình: Là những giá trị của biến làm cho

mọi biểu thức trong phương trình đều có nghĩa

c) Đối với hai phương trình tương đương: Hai phương trình gọi là

tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

d) Định nghĩa hai phương trình hệ quả

Nếu mỗi nghiệm của phương trình thứ nhất đều là nghiệm của phương trình thứ hai thì phương trình thứ hai gọi là phương trình hệ quả của phương trình thứ nhất

e) Định nghĩa phép biến đổi tương đương các phương trình:

Biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình khác tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn gọi là phép biến đổi tương đương

2 Các định lý về biến đổi tương đương phương trình.

a) Định lý 1 : Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn vào hai vế của

phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình

đã cho

Ví dụ :5 x =10 <=> 5 x-3 x = 10 - 3 x

Hệ quả 1 : Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: 2 x - 5 = 7 x + 9 <=> 2 x- 7 x =9 + 5

Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ : 5 x - x2 - 7 = 3 x + x2 <=> 5 x- 7 = 3 x

b) Định lý 2 : Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình

thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ: - 2 x + 3 = x - 1 <=> 4 x - 6 = - 2 x + 2

Chú ý : Nếu nhân hai vế của phương trình với một đa thức chứa ẩn nhưng không cùng tập xác định thì có thể chỉ được phương trình hệ quả mà thôi.

B - Một số phương trình 1 ẩn thường gặp.

1 Phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng tổng quát : a x + b = 0 ( a, b là hằng số, a ≠ 0 )

Nghiệm của phương trình là x = -b/a

Nhận xét : Giải phương trình : m x + n = 0 , Phương trình đã cho chưa chắc là phương trình bậc nhất một ẩnnên khi giải cần phải xét hết các trường hợp

m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - n/ m

m = 0 thì phương trình có dạng 0 x = -n

- Nếu n = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

- Nếu n ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

2 Phương trình bậc hai một ẩn.

Dạng tổng quát : ax2 + b x + c = 0 (a, b, c € R , a≠ 0 )

Cách giải :

a) Dùng công thức nghiệm :

= b2 - 4ac

< 0 phương trình vô nghiệm

= 0 phương trình có nghiệm

kép

= b’2 - ac (b’ = b/2) , < 0 phương trình vô nghiệm , = 0 phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -b/2a

> 0 phương trình có 2 nghiệm

phân biệt

x1,2 =

a

b

2

∆

±

−

x1 = x2 = - b’/a , > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1,2 =

a

b' ± ∆ '

−

x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = x1 + x2 = -b/a và P= x1x2 = c/a + Phân tích vế trái thành tích

+ Giải bằng phương pháp đồ thị

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai x2 - 9x + 20 = 0

+ Giải bằng công thức nghiệm:

= 81 - 80 = 1 > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

2

1

9 +

= 5; x2 =

2

1

9 −

= 4

+ Sử dụng định lý Vi-et:

= 1> 0 x1 + x2 = -

a

b

= -

1

9

= 9 x1 x2 =

a

c

=

1

20

= 20

<=> x1 = 5

x2 = 4

<=> x2 - 4x - 5x + 20 = 0

<=> x(x - 4) - 5(x - 4) = 0

<=> (x - 4)(x - 5) = 0

<=> x1 = 5

<=> x2 = 4 Nhận xét: Khi học sinh sử dụng phương pháp này phải chuyển các biểu thức về vế trái, để vế phải bằng 0 rồi từ đó sử dụng tính chất:

A = 0 A.B.C = 0 <=> B = 0

C = 0

Sai lầm mà học sinh thường mắc khi giải bằng phương pháp này.

Ví dụ : Giải phương trình: x2 - 9x + 20 = 4

<=> (x - 4)(x - 5) = 4 (sai)

<=> x - 4 = 5 hoặc x- 5 = 4

+ Phương pháp đồ thị:

Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

<=> ax2 = -bx - c Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong

P : y = ax2 và đường thẳng D: y = -bx - c

- Nếu P và D không cắt nhau thì phương trình vô nghiệm

- Nếu P và D tiếp xúc thì phương trình có nghiệm kép

- Nếu P và D cắt nhau tại hai điểm thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Giải phương trình : x2 - 9x + 20 = 0 <=> x2 = 9x- 12

P: y = x2 ; D: y = 9x - 20 Trong phương trình bậc hai, ngoài việc trang bị cho học sinh cách giải còn phải cho học sinh tiếp cận với một số dạng toán khác như:

2.1/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Để xét một phương trình bậc 2 có nghiệm ta có thể:

- Chứng tỏ ≥ 0

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m

mx2 - 2(m - 1)x- (8m + 3) = 0 (1) Nếu > 0 thì , = (m-1)2 + m(8m + 3)

= m2 - 2m + 1 + 8m2 + 3m = 9m2 + m + 1 > 0 ∀ m Nếu m = 0 => (1) <=> 2x - 3 = 0 => x = 3/2 Trong khi xét điều kiện có nghiệm của phương trình ta cần chú ý

Nếu ac ≤ 0 mà a ≠ 0 ta cũng có ≥ 0 nên phương trình ax2 + bx + c =

0 có nghiệm

Chỉ với điều kiện ac ≤ 0 chưa đảm bảo phương trình ax2 + bx + c = 0

có nghiệm, chẳng hạn khi xét phương trình m2x2 - 3x- 5 = 0 ta có ac = -5m2 nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành 0x= 5 vô nghiệm

Như vậy khi xét trường hợp ac ≤ 0 ta phải xét 2 trường hợp a ≠ 0 và a

= 0, với a≠ 0 thì phương trình có nghiệm

Ngoài 2 cách chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm nêu trên, ta còn có thể chứng minh phương trình bậc 2 có nghiệm bằng cách sau đây:

Ví du: Cho phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh nếu tồn tại số thực α mà a.f(α) = 0 thì phương trình có

nghiệm

Giải: Ta có: f(x) = ax2 + bx + c

<=> a.f(x) = a2x2 + abx + ac

= (ax + b/2)2 - (b2/4 - ac)

= (ax + b/2)2 - ∆/4

Do đó af(α ) = (aα + b/2)2 - ∆/4

Nếu f(α )≤ 0 thì ∆/4 ≥ (aα + b/2)2 => ∆ ≥ 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ≠ 0 tồn tại một trong các

phương trình sau đây có nghiệm:

ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)

có nghiệm

x2 + 2ax + b = 0 (1)

x2 + 2bx + a = 0 (2) Bài 3: Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị α, β của x mà f(x) đổi dấu (tức là f(α ),f(β)≤

0) thì phương trình (1) có nghiệm

Dùng điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc hai để chứng minh một phương trình có nghiệm

2.2/ Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc 2.

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung

2x2 - (3m - 1)x - 3 = 0 (1) 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0 (2) Giải: Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2) Thay vào 2 phương trình ta được:

(11m - 6) x0 = 8 Với m =

11

6

thì 2 phương trình (1) và (2) vô nghiệm

Với m ≠

11

6

thì x0 = 11m8−6 thay vào (1) và rút gọn 99m2 - 164m - 68 = 0 (3)

Nghiệm nguyên của (3) là m = 2 Với m = 2 (1) là : 2x2 + 5x - 3 = 0, nghiệm là: 1/2 và -3

(2) là : 6x2 - x - 1 = 0, nghiệm là: 1/2 và -1/3

2.3/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.

Cơ sở là định lý Vi-et Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), có nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:

S = x1 + x2 = -b/a và P= x1x2 = c/a

- Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương phân biệt là:

∆ > 0

P > 0

S > 0

- Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm âm là :

∆ ≥ 0

P > 0

S < 0

Ví dụ: Cho phương trình x2 - 3x + k - 1 = 0 xác định số k để phương trình:

a) Có hai nghiệm cùng dấu

b) Có hai nghiệm trái dấu

Giải:

∆ = 9 - 4(k -1) = 13 - 4k

P = k -1

a) ∆ > 0 <=> 13 - 4k > 0 <=> 4k < 13

P > 0 k - 1 > 0 k > 1 Điều kiện 1 < k < 13/4

b) P < 0 => k < 1

Sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và một số thực nằm trong khoảng hai nghiệm đó:

- Nếu af(α ) > 0 và ∆≠ 0 thì f(x) có nghiệm và α nằm ngoài khoảng

hai nghiệm đó

- Nếu af(α ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1; x2 và x1 < α < x2

Ví dụ: Tìm m để phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Giải: Đặt X = x - 2 => x = X + 2

(1) trở thành 3(X + 2)2 - 4(X + 2) + 2(m - 1) = 0

<=> 3X2 + 8X + 2(m + 1) = 0 (2)

Phương trình có nghiệm khi:

P > 0 <=> m > -1 <=> -1 < m < 5/3

Ta phải tìm điều kiện của m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm

<=> -1 < m < 5/3

Vậy với -1 < m < 5/3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ

hơn 2.Nhận xét:

Như vậy với trường hợp so sánh nghiệm của phương trình với số α ≠ 0

ta đặt ẩn phụ đưa về một phương trình bậc hai khác mà ta cần so sánh nghiệm của phương trình đó với 0.

Bài tập:

1 Cho phương trình: mx2 - 2(m - 1)x + (m - 1) = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình với m = -2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Chú ý: a/ Học sinh thường mắc sai lầm cho rằng điều kiện để (1) có

hai nghiệm phân biệt chỉ là ∆, > 0 và chỉ xét ∆, trong khi phương trình chưa là phương trình bậc hai tức là khi m = 0.

Rõ ràng với m = 0 (1) trở thành phương trình bậc nhất một ẩn, không thể có hai nghiệm phân biệt.

b/ Cần phân biệt “nghiệm duy nhất” và “nghiệm kép”.

2 Tìm giá trị để phương trình sau vô nghiệm:

mx2 + 2m2x + 1 = 0

3 Tìm a, b nguyên sao cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn -2 < x1 < -1 ; 1 < x2 < 2

3 Phương trình bậc cao.

Định nghĩa: Ta gọi phương trình đại số bậc n trên trường số thực là các

phương trình được đưa về dạng:

anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 Trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a1, a2, ,an là các số thực xác định an≠0

Cách giải: Phương trình đại số bậc n thường được giải bằng các quy về

các phương trình bậc nhất và bậc hai

Các dạng cơ bản của phương trình bậc cao thường gặp là các phương trình trùnh phương, phương trình đối xứng, phương trình thuận nghịch

Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao

a) Đưa về phương trình tích.

• Phương pháp: Để giải phương trình P(x) = 0, P(x) là 1 đa thức bậc n với

n ∈ N, n > 2 ta phân tích P(x) thành một tích các thừa số bậc nhất hoặc bậc hai, ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x - a, từ đó hạ bậc phương trình Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình : 2x3 - x2 + 3x + 6 = 0 Tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng 5, tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ cùng bằng 5 do đó phương trình có nghiệm

là x = -1, ta biến đổi

2x3 - x2 + 3x + 6 = 0

<=> 2x2(x + 1) - 3x(x + 1) + 6(x + 1) = 0

<=> (x + 1) (2x2 – 3x + 6) = 0 Giải: x + 1 = 0 => x = -1

2x2 - 3x + 6 = 0 vô nghiệm

Phương trình đã cho có một nghiệm là: x = -1

- Sai lầm của học sinh hay mắc phải là không biến đổi cho một vế bằng 0.

+ Ví dụ: Giải phương trình

x4 - 1 = 3 <=> (x - 1).(x + 1).( x2 + 1) = 3

x - 1 = 3

<=> x + 1 = 3 (sai)

x2 + 1 = 3

b) Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình dạng sau

- Phương trình đối xứng bậc 4:

Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a ≠ 0)

Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho x2 rồi đặt ẩn phụ là: X = x + 1/x đưa phương trình về dạng:

Ax2 + Bx + C = 0 Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có nghiệm là 1 nên ta dùng phương pháp đưa về phương trình tích của (x - 1) và một đa thức đối xứng bậc chẵn

Phương trình đối xứng bậc chẵn là trường hợp đặc biệt của phương trình:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = 0 với c/a = (d/b)2 Ta thường gọi phương trình này là phương trình hồi quy, cách giải:

Đặt ẩn phụ như phương trình đối xứng bậc 4

Ví dụ: Giải phương trình 2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x+ 2 = 0 ( 1)

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho x2 ≠ 0

ta được

0 2 3 16 3

x x x

x

0 16 )

1 ( 3 )

1 (

⇔

x

x x

2

⇒

x

x x x

Thay vào PT ( 2) ta được:

0 20 3

2X2 + X − =

Phương trình này có các nghiệm X1= -4; X2=5/2

+ Với X1= -4 ta có: +1 = − 4

x x

3 2 2 , 1

0 1 4

2

±

−

=

⇒

= + +

⇒

x

x x

+ Với

5

2

X ta có:

2

5

1 = +

x x

2 x2-5x +2 =0

<=> x3=1/2 , x4=2 Phương trình đã cho có các nghiệm là: