Chuyên đề - Dùng PP tọa độ giải hình KG

Chuyên đề 17: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : • Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). • Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ • Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. • Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: • Độ dài đọan thẳng • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách giữa hai đường thẳng • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc • Bài toán cực trò, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S ' bằng tích của S với cosin của góc ϕ giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu ϕ cos. ' SS = 2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ' , B ' , C ' khác với S Ta luôn có: SC SC SB SB SA SA V V ABCS CBAS ''' . ''' . = MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= 3a và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60 0 1) Tính MN và SO. 138 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) . Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH ⊥ (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố đònh còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC . Hãy xác đònh vò trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc γβα ,, . Chứng minh rằng: 1) 2coscoscos 222 =++ γβα 2) 2222 ABCOCAOBCOAB SSSS ∆∆∆∆ =++ Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho 4 3 , 2 a DN a BM == . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho 2 6a SD = , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bước Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Ta có: Ox, Oy, Oz vng góc với đơi Do đó, hình vẽ tốn cho có chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ Cụ thể: Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); A’(0; 0; a); B’(a; 0; a); C’(a; a; 0); D(0; a; 0) D’(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; b; 0); D(0; b; 0) A’(0; 0; c); B’(a; 0; c); C’(a; b; c); D’(0; b; c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A’B’C’D’ Chọn hệ trục tọa độ cho: • • Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD Trục Oz qua tâm đáy Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO = h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng Khi a a a a ;0; 0); C ( ; 0;0); ; B(0; − ;0); D(0; ; 0) 2 2 S (0; 0; h) A(− Với hình chóp tam giác S.ABC cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0) Khi đó: a a A(− ;0;0); B( ;0;0) 2 a a C (0; ;0); S (0; ; h) cách 2: chọn H trùng với gốc tọa độ O a a a => suy dc tọa độ đỉnh AB = => CH = , HI = 2 a a a a a A(− ; − ; 0) ∈ xy; B( ; − ;0) ∈ xy, C (0; ;0) ∈ oy; 6 a a S (0; − ; h) ∈ yz; I (0; − ; 0) ∈ y 6 cách 3: từ A ta dựng đường thẳng Az // SH, Ax // BC chọn hệ trục cho A= O (0;0;0), tính CI = a a B( ; ;0) ∈ xy; a a C (− ; ;0) ∈ xy, a S (0; ; h) ∈ oz Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA ⊥ (ABCD) ABCD hình chữ nhật AB = a; AD = b chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(a;0;0); D(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA ⊥ (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng A Tam giác ABC vng A có AB = a; AC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Δ ABC vng B Tam giác ABC vng B có BA = a; BC = b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi đó: A(a;0;0); C(0;b;0); S(a;0;h) Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng C ΔABC vng C với CA = a; CB = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) Khi đó: A(a; 0; 0); B (0; b;0); S(a/2; b/2; h) 10 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), Δ SAB cân S Δ ABC vng A hình a) ΔABC vng A: AB = a; AC = b chiều cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; a/2; h) hình b) Tam giác ABC vng cân C có CA = CB = a đường cao h H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0) a a a ;0), B(0, − ; 0); C ( ;0; 0) S (0; 0; h) 2 11.Hình lăng trụ có đáy tam giác vng O Khi đó: A(0; Bước 2: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải tốn: Các dạng câu hỏi thường gặp 1.khoảng cách điểm : (ý phụ)  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A ) 2.khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (d) r Cách 1:( d qua M0 có vtcp u ) uuuuur r [M M , u ] d ( M , ∆) = r u Cách 2: Phương pháp :  Lập ptmp( α )đi qua M vàvng gócvới (d)  Tìm tọa độ giao điểm H mp( α ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho cơngthức d (M ,α ) = Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 4.khoảng cách mặt phẳng //: Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 5.khoảng cách đường thẳng A, Khoảng cách hai đường chéo r  Cách 1: (d) điqua M(x0;y0;z0);cóvtcp a = (a1 ; a2 ; a3 ) (d’)quaM’(x’0;y’0;z’0) r uur uuuuur [ a, a '].MM ' Vhop d (d , d ') = = r uur S day [a, a ']  Cách 2: r d điqua M(x0;y0;z0);có vtcp a = (a1 ; a2 ; a3 ) uur d’quaM’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) Phương pháp :  Lập ptmp( α )chứa d songsong với d’ d(d,d’)= d(M’,( α )) ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng uuur uuur uuur  AB, CD  AC   d ( AB, CD) = uuur uuur  AB, CD    B khoảng cách đường thẳng //: -Khoảng cách đường thẳng // khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quay dạng tốn khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  góc đường thẳng Góc hai đường thẳng r (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) uur (∆’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) r uur a.a ' r uur a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 cosϕ = cos(a, a ') = r uur = a a' a12 + a22 + a32 a '12 + a '22 + a '32 7.góc mặt phẳng  Gọiφ góc hai mặt phẳng (00≤φ≤900) (P):Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 uur uur n P nQ uur uur cosϕ = cos(n P , nQ ) = uur uur = nP nQ A.A' + B.B '+ C.C ' A2 + B + C A '2 + B '2 + C '2 8.góc đường thẳng mặt phẳng r r (∆) qua M0 có VTCP a , mp(α) có VTPT n = ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp (∆) mp(α) rr Aa1 +Ba +Ca sin ϕ = cos(a, n) = A + B + C a12 + a22 + a32 diện tích thiết diện uuur uuur [ AB, AC ] uuur uuur  Diện tích hình bình hành: SABCD= [ AB, AD]  Diện tích tam giác : S ABC = 10.thể ... Trường THPT Tân Quới thaitungtq@gmail.com CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp. (Quyết định sự thành công của bài toán) Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán. Các dạng toán thường gặp: • Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … • Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, … • Bài toán cực trị, quỹ tích. …………… Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= 3a , (a>0) và đường cao OA= 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM. Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0), (0;0; 3); ( ;0;0), (0; 3;0),A a B a C a 3 ; ; 0 2 2 a a M    ÷  ÷   , gọi N là trung điểm của AC ⇒ 3 3 0; ; 2 2 a a N    ÷  ÷   . MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)). 3 3 3 ; ; 0 , 0; ; 2 2 2 2 a a a a OM ON     = =  ÷  ÷  ÷  ÷     uuuur uuur ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 [ ; ] ; ; 3; 1; 1 4 4 4 4 4 a a a a a OM ON n   = = =  ÷  ÷   uuuur uuur r , với ( 3; 1; 1)n = r . Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến : 3 0n x y z+ + = r Ta có: 3. 0 0 3 15 ( ; ( )) 5 3 1 1 5 a a a d B OMN + + = = = + + . Vậy, 15 ( ; ) . 5 a d AB OM = Cách 2: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình). ⇒ OM // (ABN) ⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)). Dựng , ( ; )OK BN OH AK K BN H AK⊥ ⊥ ∈ ∈ Ta có: ( );AO OBC OK BN AK BN⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ; ( )BN OK BN AK BN AOK BN OH⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ; ( ) ( ; ( )OH AK OH BN OH ABN d O ABN OH⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 15 5 3 3 3 a OH OH OA OK OA OB ON a a a a = + = + + = + + = ⇒ = . Vậy, 15 ( ; ) . 5 a d OM AB OH= = b. Dạng khác Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC∆ vuông tại C. Độ dài của các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (SHB) và (SBC). Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 z A 3a 3a y C N O M a x B O A 3a 3a C N M a B GSP 4.06.exe Trường THPT Tân Quới thaitungtq@gmail.com Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy ( ) ( ) · ( ) , , SHB SBC IH IK= uuur uur (1). ( 1; 3; 4)SB = − − uur , (0; 3; 4)SC = − uuur suy ra: ptts SB: 1 3 3 4 x t y t z t = −   = −   =  , SC: 0 3 3 4 x y t z t =   = −   =  và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. 5 15 3 51 32 ; ; , 0; ; 8 8 2 25 25 I K     ⇒  ÷  ÷     ( ) ( ) · . cos , . IH IK SHB SBC IH IK   ⇒ =   uuur uur = … Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K. Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC. Đặt SG = x (x > 0). Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60 o . Cách 1 : 2BC a= Gọi M là trung điểm của BC 2 2 ; 2 3 a a AM AG⇒ = = . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G lên AB, AC. Tứ MATHVN.COM www.mathvn.com www.mathvn.com book.mathvn.com 1 BI TP HèNH HC KHễNG GIAN (Cể TH DNG PP TA GII) Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12) Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD. Gọi I, J lần l-ợt là trung điểm của AD và BB. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC b) Chứng minh rằng DB vuông góc với mp(ACD), DB vuông góc với mp(ACB) c) Tính góc giữa hai đ-ờng thẳng IJ và A / D Bài 2: Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD có cạnh bằng a. a) Chứng minh rằng giao điểm của đ-ờng chéo AC và mp (ABD) là trọng tâm tam giác ABD. b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (ABD) và mp (CBD). c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DAC) và mp (ABBA). Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại th-ơng TP. Hồ Chí Minh 2001-2002) Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD, cạnh bằng a. Giả sử M,N lần l-ợt là trung điểm của BC và DD. a) Chứng minh rằng MN// (ABD). b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a. Bài 4: ( Đề thi Học viện Công nghệ B-u chính viễn thông 2001-2002) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB=a ; AD=2a; AA=a. a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho 3 AM MD = .Tính khoảng cách từ M đến (ABC) b) Tính thể tích tứ diện ABDC. Bài 5: Bài tập số 7. Ôn tập ch-ơng 2- SGK HH12) Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD cạnh a. Điểm M thuộc AD và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = k (0 2) k a< < a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất. b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(ADBC) khi k biến thiên. c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đ-ờng vuông góc chung của AD và DB và MN song song với AC. Bài 6: Tính khoảng cách giữa đ-ờng chéo của một hình lập ph-ơng và đ-ờng chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập ph-ơng bằng a. MATHVN.COM www.mathvn.com www.mathvn.com book.mathvn.com 2 Bài 7: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đ-ờng thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy điểm C. a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. b) Từ O vẽ OH ^ (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC. c) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Bài 8: ( Bài tập số 9 bài 9. Góc SGK Hình 12) Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi , , a b g là góc lần l-ợt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có 3 góc nhọn. b) 2 2 2 cos cos cos 1 a b g + + = Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đ-ờng cao bằng b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC. Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đ-ờng cao SO ^ mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng chéo nhau SC, AB. Bài 11: ( Đề thi Đại học- Cao đẳng khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a 2 và SA ^ mp(ABCD). Gọi M,N lần l-ợt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng mp(SAC) ^ (SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Bài 12: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA ^ mp(ABC) ; SA = 2a Gọi ( ) a là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp ( ) a . Bài 13: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm. a) Chứng minh rằng đ-ờng thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó. b) Gọi A là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 3 ' GA GA = Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm những điểm M trong không gian sao cho: MA 2 MB 2 + MC 2 MATHVN.COM www.mathvn.com www.mathvn.com book.mathvn.com 3 Bài 15: Cho hình lập ph-ơng ABCDABCD. Chứng minh AC ^ (ABD); AC ^ (CBD); Bài 16: Cho hình lập ph-ơng Phần MỞ ĐẦU Mục đích sáng kiến Trong chương trình Toán Trung học phổ thông tập hình học không gian sách giáo khoa đề thi thường toán khó em học sinh Vấn đề đặt làm cho học sinh thấy cần thiết phải giải toán này? Để giúp em học sinh đạt kết tốt học tập kì thi trung học phổ thông quốc gia, giúp giáo viên có thêm kinh nghiệm việc giảng dạy môn hình học không gian Tôi trình bày kinh nghiệm nhỏ giảng dạy Toán, là: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Với phương pháp giải số toán hình học không gian, mong muốn tạo cho em học sinh thấy yêu thích môn Toán hơn, môn Hình học không gian Tính ưu điểm nối bật sáng kiến Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng kì thi trung học phổ thông quốc gia năm qua yêu cầu chuyên môn đòi hỏi nghiên cứu vận dụng phối hợp nguồn kiến thức nhằm đem đến cho học sinh phương pháp hữu hiệu giải toán đề thi Đại học, Cao đẳng Tôi nhận thấy đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuất toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải đòi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, chí giáo viên, chẳng hạn toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính toán rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ hiệu tất tính toán công thức hóa Lời giải phương pháp khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu áp dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập Đóng góp sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy học - Giúp học sinh có phương pháp khác tiếp cận toán hình học không gian - Giúp học sinh có hứng thú việc tiếp cận nội dung cho khó đề thi đại học - Tạo tư giải vấn đề cho học sinh phương pháp hay dùng gặp khó khăn Phần NỘI DUNG Chương 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Bản thân giáo viên giảng dạy nhiều năm, trình giảng dạy phát khó khăn học sinh việc giải toán hình học không gian là: + Khó khăn việc vận dụng kiến thức cũ từ năm học trước + Chưa vận dụng thành thạo việc vận dụng lí thuyết để giải tập + Chưa nhận thức tầm quan trọng việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình định hướng phương pháp giải toán + Khi làm học sinh làm cách máy móc, lập luận thiếu cứ, không xác, không phân biệt đâu giả thiết đâu phần cần chứng minh + Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải toán nên nhiều vướng mắc, dẫn đến kết giải toán hình không gian không tốt Từ thiếu hứng thú học tập Nhằm giúp học sinh cảm thấy thoải mái trình tiếp thu chủ động giải toán hình học không gian, giúp học sinh giải tập hình học không gian phức tạp, giúp học sinh hiểu phải học giải toán đề thi, học sinh cảm thấy hứng thú giải toán hình học không gian = Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ a Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính độ dài AA’ theo a để BMDN hình vuông Lời giải Nếu giải theo phương pháp hình học không gian túy ta tiến hành sau: a Ta có A’M // CN A’M = CN  A’MCN hình bình hành Suy A’C  MN O trung điểm đường I nên B’MDN hình bình hành Do B’, M, D, N thuộc mặt phẳng b Ta có: DM2 = AD2 + AM2 (1) DN2 = CD2 + CN2  = 600  ∆ BAD  AD = CD (2) Vì: BAD Từ (1), (2)  DM2 = DN2  DM = DN Suy B’DMN hình thoi Để B’DMN hình vuông MN = B’D  AC2 = B’D2 (1’) Gọi H = AC  BD  H trung điểm AC BD ∆ BAD  H đường cao  AH = a => AC = a (2’) Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2 (3’) Từ (1’), (2’), (3’)  3a2 = BB’2 + BD2  BB’2 = 3a2- a2 = 2a2  BB = a  AA’ = a Vậy AA’ = a B’MDN hình vuông Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải sau:  = 600  ∆ BAD ∆ BAD có BAD Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Ta có: AO=OC = BD a a , OB = OD = = 2 Giả sử: AA’ = b Chọn hệ trục tọa độ ozyz cho: O gốc tọa độ, C  Ox, D Oy, O’  Oz Khi đó: O( 0, 0,0) , D(0, M(- a , 0), A’(- A(- a a a ,0 ,0) , B( 0, - , 0) , C( ,0 ,0), 2 a a ,0 ,b), B’(0, - , b), C’( a a ,0 , b), D’(0, , b), 2 b b a a ,0 , ), N( ,0 , ) 2 2 [...]... PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O) Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ tất cả các... xác đònh toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : • Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) • Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ • Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng • Dưạ vào các... là hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b D SAD đều... =0 hay M ≡ A 4 Chú ý + Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy + Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật III CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài 1 (Trích đề thi Đại học khối D... = 0 ⇒ h 2 = ⇒ S ∆AMN =  AM , AN  = 12 2 16 z S M N h B I C y O a 2 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình x A chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b... =0 hay M≡ A 4 Chú ý + Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy + Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật II CÁC DẠNG BÀI TẬP 1 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D... 4: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy là tam giác đề cạnh a AA1 = 2a và vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MC1D Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡O; B∈Oy; A1∈Oz Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a 3 a  C1  ; ; 2a ÷ ÷và D(0;a;a)  2 2  Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t)... tại C Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1 Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0) mp(P) qua H vng góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy uur uur [H, SB, C] = ( IH, IK ) (1) uur uur SB = (- 1; - 3; 4)... = (0; - 3; 4) suy ra: ïìï x = 1 - t ïìï x = 0 ï ï ptts SB: ïí y = 3 - 3t , SC: ïí y = 3 - 3t ïï ïï ïï z = 4t ïï z = 4t ỵï ỵï và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0 5 15 3 51 32 Þ I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 uur uur IH.IK =… Þ cos[H, SB, C] = IH.IK Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta khơng cần phải tìm K ( ) ( ) Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC... D(0;–b; 0), S(0; 0; h) c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b ∆SAD đều cạnh a và vng góc với đáy Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), a 3 a a  a   a   A  ; 0; 0 ÷, B  ; b; 0 ÷ , C  − ; b;0 ÷, D  − ; 0;0 ÷, S  0; 0; 2 ÷  2   2   2  2   z 3 Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn