SKKN PP TOA DO GIAI HINH HOC KHONG GIAN

Phần MỞ ĐẦU Mục đích sáng kiến Trong chương trình Toán Trung học phổ thông tập hình học không gian sách giáo khoa đề thi thường toán khó em học sinh Vấn đề đặt làm cho học sinh thấy cần thiết phải giải toán này? Để giúp em học sinh đạt kết tốt học tập kì thi trung học phổ thông quốc gia, giúp giáo viên có thêm kinh nghiệm việc giảng dạy môn hình học không gian Tôi trình bày kinh nghiệm nhỏ giảng dạy Toán, là: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Với phương pháp giải số toán hình học không gian, mong muốn tạo cho em học sinh thấy yêu thích môn Toán hơn, môn Hình học không gian Tính ưu điểm nối bật sáng kiến Từ thực tế giảng dạy cho học sinh ôn thi Đại học, Cao đẳng kì thi trung học phổ thông quốc gia năm qua yêu cầu chuyên môn đòi hỏi nghiên cứu vận dụng phối hợp nguồn kiến thức nhằm đem đến cho học sinh phương pháp hữu hiệu giải toán đề thi Đại học, Cao đẳng Tôi nhận thấy đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuất toán hình học không gian tổng hợp (cổ điển) mà lời giải đòi hỏi vận dụng phức tạp kiến thức hình học không gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc, dựng hình để tính góc khoảng cách, tính thể tích khối đa diện… Việc tiếp cận lời giải thực tế cho thấy thật khó khăn cho học sinh, chí giáo viên, chẳng hạn toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Trong đó, bỏ qua yêu cầu bắt buộc phải dựng hình mà dừng mức độ tính toán rõ ràng phương pháp tọa độ tỏ hiệu tất tính toán công thức hóa Lời giải phương pháp khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu áp dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập Đóng góp sáng kiến để nâng cao chất lượng dạy học - Giúp học sinh có phương pháp khác tiếp cận toán hình học không gian - Giúp học sinh có hứng thú việc tiếp cận nội dung cho khó đề thi đại học - Tạo tư giải vấn đề cho học sinh phương pháp hay dùng gặp khó khăn Phần NỘI DUNG Chương 1: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Bản thân giáo viên giảng dạy nhiều năm, trình giảng dạy phát khó khăn học sinh việc giải toán hình học không gian là: + Khó khăn việc vận dụng kiến thức cũ từ năm học trước + Chưa vận dụng thành thạo việc vận dụng lí thuyết để giải tập + Chưa nhận thức tầm quan trọng việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình định hướng phương pháp giải toán + Khi làm học sinh làm cách máy móc, lập luận thiếu cứ, không xác, không phân biệt đâu giả thiết đâu phần cần chứng minh + Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải toán nên nhiều vướng mắc, dẫn đến kết giải toán hình không gian không tốt Từ thiếu hứng thú học tập Nhằm giúp học sinh cảm thấy thoải mái trình tiếp thu chủ động giải toán hình học không gian, giúp học sinh giải tập hình học không gian phức tạp, giúp học sinh hiểu phải học giải toán đề thi, học sinh cảm thấy hứng thú giải toán hình học không gian = Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’ a Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng b Tính độ dài AA’ theo a để BMDN hình vuông Lời giải Nếu giải theo phương pháp hình học không gian túy ta tiến hành sau: a Ta có A’M // CN A’M = CN  A’MCN hình bình hành Suy A’C  MN O trung điểm đường I nên B’MDN hình bình hành Do B’, M, D, N thuộc mặt phẳng b Ta có: DM2 = AD2 + AM2 (1) DN2 = CD2 + CN2  = 600  ∆ BAD  AD = CD (2) Vì: BAD Từ (1), (2)  DM2 = DN2  DM = DN Suy B’DMN hình thoi Để B’DMN hình vuông MN = B’D  AC2 = B’D2 (1’) Gọi H = AC  BD  H trung điểm AC BD ∆ BAD  H đường cao  AH = a => AC = a (2’) Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2 (3’) Từ (1’), (2’), (3’)  3a2 = BB’2 + BD2  BB’2 = 3a2- a2 = 2a2  BB = a  AA’ = a Vậy AA’ = a B’MDN hình vuông Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải sau:  = 600  ∆ BAD ∆ BAD có BAD Gọi O, O’ tâm hình bình hành ABCD A’B’C’D’ Ta có: AO=OC = BD a a , OB = OD = = 2 Giả sử: AA’ = b Chọn hệ trục tọa độ ozyz cho: O gốc tọa độ, C  Ox, D Oy, O’  Oz Khi đó: O( 0, 0,0) , D(0, M(- a , 0), A’(- A(- a a a ,0 ,0) , B( 0, - , 0) , C( ,0 ,0), 2 a a ,0 ,b), B’(0, - , b), C’( a a ,0 , b), D’(0, , b), 2 b b a a ,0 , ), N( ,0 , ) 2 2  a Ta có DM  ( a  a b   a a b , ), NB ' = ( , , ) , 2 2 2    DM  NB '  DM = B’N DM // B’N  B’DMN hình bình hành Vậy điểm M, N, B’, D thuộc mặt phẳng  b Ta có: MB ' ( a a b , , ) 2    DM '  NB '  MB ' Hay B’MDN hình thoi    Để B’MDN hình vuông MB '.MN   3a a b b2 a2 b2 a   0     b  2a  b  a 4 4 Vậy AA’ = a B’MDN hình vuông Giải theo phương pháp theo có nhiều ưu điểm hơn, học sinh dễ tiếp thu CHƯƠNG 2: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Để giải toán hình không gian phương pháp tọa độ cần phải thực bước sau: Phương pháp giải: Bước 1: Thực việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết (chú ý đến vị trí gốc O) Xác định tọa độ điểm có liên quan ta dựa vào: ♦ Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (các điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) ♦ Dựa vào quan hệ hình học nhau, vuông góc, song song, phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ điểm ♦ Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng,mặt phẳng ♦ Dựa vào quan hệ góc đường thẳng mặt phẳng Tìm độ dài cạnh hình Bước 2: Chuyển hẳn toán cho toán hình học giải tích Giải toán hình học giải tích nói Bước 3: Chuyển kết luận toán hình học giải tích sang tính chất hình học tương ứng Các dạng toán thường gặp - Độ dài đoạn thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách hai đường thẳng - Góc hai đường thẳng - Góc đường thẳng với mặt phẳng - Góc hai mặt phẳng - Thể tích khối đa diện - Diện tích thiết diện - Chứng minh quan hệ song song, vuông góc II MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG Ở đề cập hoàn toàn cách giải ứng dụng phương pháp tọa độ chủ yếu lấy đề thi đại học làm minh họa Trong số toán giải nhiều phương pháp khác Bạn đọc tham khảo lời giải theo phương pháp hình học túy Bộ giáo dục qua năm BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP 1.1 HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc nhau, OA = a, OB = b, OC = c a Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O b Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn c Gọi  ,  ,  góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh rằng: cos2   cos2   cos2   Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia OA  tia Ox, tia OB  tia Oy, tia OC  tia Oz Khi đó: A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) a) Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O x y z     bcx  cay  abz  abc  a b c Dễ thấy phương trình mặt phẳng (ABC) Độ dài h đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh O khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC): abc h  d (O ,( ABC ))  ( ab)2  (bc )2  ( ca )2  abc ( ab)2  (bc )2  ( ca )2 b Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn       cos( AB, AC )  Ta có: AB  (  a; b;0), AC  ( a;0; c )  cos BAC a2 a  b2 a  c 0  nhọn  BAC     cos( BA, BC )  Tương tự: cos ABC     cos(CA, CB )  cos ACB b2 a  b2 b2  c c2 2 a c b c  nhọn   ABC  nhọn   ACB Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn c Chứng minh cos2   cos2   cos   Với  ,  ,  góc (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Dễ thấy mặt phẳng (ABC), (OBC), (OCA), (OAB) có VTPT     n  ( bc; ca; ab) , i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1) bc Do đó: cos   2 ( bc)  ( ca )  ( ab) cos   ab 2 (bc )  ( ca )  ( ab) 2 , cos   ca (bc )  ( ca )  ( ab) , Suy ra: cos2   cos2   cos2   Nhận xét: Qua trình bày, ta nhận thấy yếu tố thuận lợi cho việc tọa độ hóa điều kiện đôi vuông góc ba cạnh xuất phát từ đỉnh đa diện, thông thường điều kiện ẩn chứa giả thiết cho trước Tuy vậy, lúc điều kiện thỏa mãn nên số trường hợp ta cần phải có cách xây dựng hệ trục tọa độ cách khéo léo Bài 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm , AB  3cm , BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Lời giải ABC có : AB  AC  BC  25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau O  A(0;0;0) , B (3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) Tính : AH  d  A, ( BCD) Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) ( BCD ) : x y z     x  y  z  12  4 d  A, ( BCD)    12 16    12 34  17 34 Bài 3: Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A AD  a, AC  b, AB  c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi đó: B  c;0;0  , C  0; b;0  , D  0;0; a    Ta có: BC   c; b;0  , BD   c; 0; a     BC , BD    ac; ac; bc    a Tính diện tích S tam giác BCD S    2  BC , BD   a b  a 2c2  b2c2   2 b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Ta có : abc  a  b  c   a 2bc  b ac  c ab   b2  c   a  c   a  b2  2 2 2  a  b  c    a b  a c  b c  S BCD       Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a  Khi đó: A  0; ;0  ;    a  B   ;0;    a   a   a  C  ;0;  ; S  0; ; h  ; H  0; ;  6 2       a a h a a h M   ; ;  ; N  ; ;   12   12    a 5a h    a 5a h  AM    ;  ;  , AN   ;  ;  12  12   4     + Pháp vectơ mp (AMN): n1   AM , AN    0;      ah 5a  ;  24  + Pháp vectơ mp (SBC): n2   SB, SC    0; ah;  a2        a h 75a AM , AN    2 16 242 Diện tích tam giác AMN: SAMN   15a 75a a 10 (đvdt)   90 a  24 24 48 16 Bài 5: (Đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB,mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N, biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Lời giải Đặt SA=z>0 Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, lúc đó: A(2a;0;0), B(0;0;0), C(0;2a;0), M(a;00), S(2a;0;z) Từ suy điểm N(a;a;0) Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (SBC) là:  nSBC  ( z;0;2a)  Véctơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) là: nABC  (0;0;1) 10  Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: H (0;0;0) , S  0;0;  a 3a a a a 3   3a A   ; 0;0  , B  ;0;0  , D   ; 2a;0  , M  ;0;0  , N  ; a;0        2      a a 3 SM   ;0;  ,  2  DN   2a; a;0    3a a 3 SN   ; a;  ,     3a a    a a 3 SB   ; 0;   , SD    ; 2a;  ,     + Thể tích khối chóp S.BMDN là: VS BMDN  VSMNB  VSMND    a a a  SM , SN       ; ;  VSMNB     3a 3     a 3 ,  SM , SN  SD   ,  SM , SN  SB  2     a 3    a 3  SM , SN  SB   SM , SN  SD  , V  SMND   6 12 6 a 3 a3 a 3 VS BMDN  VSMNB  VSMND    12   SM DN a cos  SM , DN       2 SM DN a 3a  4a  a 4 Bài 6: (Đề dự bị ĐH &CĐ khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD 600, SA vuông góc vứi mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD cắt SB, SD B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải Gọi O giao điểm AC BD 17 a Vì tam giác ABD nên OB  OD  , OA  a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó: A( a a a a a a ;0; 0) , B(0; ; 0) , C( ;0;0) , D(0; ;0), C'(0; 0; ) , S( ;0; a) 2 2 2 Tìm B'( a a a a a a ; ; ) D'( ; ; ) 3 3 Thể tích khối chóp S.AB’C’D’ là: VS AB ' C ' D '  VS AB 'C '  VS AC ' D '        a 3 a 3 a 3  SA, SC ' SB '   SA, SC ' SD '      6 6 6 6 18 HÌNH LĂNG TRỤ 2.1 HÌNH LĂNG TRỤ TAM GIÁC Bài 1: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’ I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Lời giải Ta có: AC  A ' C  AA '2  a BC  AC  AB  2a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O trùng với B, tia Ox chứa A, Tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó: 18 a B(0;0;0), A(a;0;0), C(0;2a;0), M ( ; a;2a)   Gọi I(x;y;z), IA  2 IM  I ( 2a 2a a ; ; ) 3    Thể tích khối tứ diện IABC là: VIABC [BA, BC ]BI  Gọi  n vectơ pháp    8a 4a n   BI , BC   ( ;0; ) 3 tuyến mặt 8a 4a  phẳng (IBC) Khi đó:  phương với n'  (2;0;1) Mặt phẳng (IBC)  qua B có vectơ pháp tuyến n'  (2; 0;1) nên có phương trình là: -2x+z=0 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) d ( A, ( IBC ))  2a ( 2)   2a 5 Bài 2: (Đề dự bị ĐH &CĐ khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cạnh a, M trung điểm đoạn AA’ Chứng minh BM vuông góc với B’C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B’C Lời giải Gọi O trung điểm BC chọn hệ trục tọa độ Oxyz có tia Ox chứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa trung điểm B’C’ (xem hình vẽ) Khi đó: B (0; a a a a ;0; ) ;0) , C(0; ; 0) , M( 2 2 B '(0; a ; a)   Ta có: BC  (0; a;0) , BM  ( a a a  ; ; ) , B ' C  (0; a;  a ) 2 19   a a BM B ' C     BM  B ' C 2   a  a  BM , B ' C   ( a ; ; )   2    a3  BM , B ' C  BC a 30 Suy ra: d ( BM , B ' C )      22  10 a 10 [ BM , B ' C ] Nhận xét: Nếu so với đáp án thức việc tính d(H,(SCD)) lời giải rõ ràng trực tiếp hơn, dễ hiểu (đáp án thức tính d(H, (SCD)) thông qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,(SCD)) lại tính d(B,(SCD)) thông qua thể tích tứ diện SBCD) Bài 3: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: B(0;0;0), A  0; a;0  , C  a;0;0  , a B’  0;0; a  , M  ;0;0      a   AM   ;  a;  , B ' C  a; 0; a 2    AB '  0; a; a    + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: VABC A' B 'C '  AA '.SABC  a3 (đvtt) 20 + Khoảng cách AM B’C    a3 Vì :  AM , B ' C  AB '   AM B’C chéo a3     AM , B ' C  AB ' a   d  AM , B ' C        AM , B ' C  2a  a  a   Nhận xét: Theo đáp án thức, việc tính khoảng cách hai đường thẳng AM B’C toán hoàn toàn không dễ, đòi hỏi dựng mặt phẳng chứa AM song song với B’C, qui việc tính khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách từ C, lại từ B đến mặt phẳng dựng Lời giải tọa độ rõ ràng ngắn gọn trực tiếp Bài 4: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối A năm 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a, AC  a hình chiếu vuông góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khói chóp A’.ABC cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Lời giải Gọi O trung điểm BC, H trung điểm AB, K trung điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có: BC  AB  AC  2a , OA  BC a OA '  AA '2  OA2  4a  a  a OH  OA2  AH  a  a2 a 3a a , OK  OA2  AK  a    4 21 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia ox chứa H, Tia Oy chứa K tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó: A '(0;0; a 3) , A( a a a a a a ; ;0) , B( ; ;0) , C( ; ; 0) 2 2 2 Thể tích khối chóp A’.ABC là: VA ' ABC     a  A ' A, A ' B  A ' C     BC  (  a 3; a;0) Gọi  góc AA’ B’C’   Khi đó: cos   cos( AA ', BC )  2.2 HÌNH LĂNG TRỤ TỨ GIÁC Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a Chứng minh đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB ' D' ) b Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB ' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB ' D' ) (C ' BD ) d Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB ' A' ) e Chứng minh hai đường chéo B ' D ' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B ' D ' A' B Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O  A(0;0;0) , A' (0;0; a ) B (a;0;0) , B ' ( a;0; a ) , C ( a; a;0) , C ' ( a; a; a ) 22 D (0; a; 0), D ' (0; a; a )  A' C  (a; a; a)   A' C AB'  a   a   a Ta có:  AB'  (a;0; a) Vì   A' C AD'   a  a    AD'  (0; a; a )  A' C  AB'   A' C  AD' Nên A' C  mp ( AB ' D ' ) b Gọi G  A' C  ( AB ' D ' ) Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB ' D ' ) nghiệm hệ: x y   z  x  t  t  a  y a  x   a  G  a ; a ; 2a      y  3 3   t  2a   z  z   xA  xB'  xD' a   xG  3  y y y a (1) Mặt khác: yG  A B' D'  (2) 3  zA  zB'  zD' 2a   zG  3  Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB ' D ' ) trọng tâm tam giác AB ' D' c Ta có : ( AB' D' ) : x  y  z  , (C ' BD ) : x  y  z  a   ( AB ' D ' ) // (C ' BD )  d ( AB' D ' ), (C ' BD )   d B, ( AB' D ' )   a d Vec tơ pháp tuyến ( ABB ' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) :    ( DA ' C ), ( ABB ' A ')   45o n  (0;1; 1), cos  ( DA ' C ), ( ABB ' A ')      e Ta có : B ' D '  (a;  a; 0) , A ' B  (0; a;  a ) , BB '  (0; 0; a )       B ' D ', A ' B   (a ; a ; a ) ,  B ' D ', A ' B  BB '  a          ba vectơ B ' D ', A ' B, BB ' không đồng phẳng Hay B ' D ' A' B chéo 23    [ B ' D ', A ' B ].BB ' a3 a3 a d  B ' D ', A ' B        4 a [ B ' D ', A ' B ] a a a Bài 2: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C=a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Lời giải Từ giải thiết ta tính AC  AA '  AB  a a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc O trùng với điểm A a a a 2 Ta có: A(0;0;0), B(0; ;0) , C( ; ;0) , a D( ;0;0) A'(0; 0; a a a a a a a a ) , B'(0; ; ) , C'( ; ; ) , D'( ;0; ) 2 2 2 2   a a a  a a a AB  (0; ;0) , AB '  (0; ; ) , AC '  ( ; ; ) 2 2 2      a2 a3    a  AB, AB '  (  AB, AB ' AC '   AB, AB ' AC '  ;0;0)   V  ABB ' C '   2    6 48      a a2 a2 a a ; ) )  CD, CD '  (0; CB  ( ;0;0), CD '  (0; ; 2 2 24   n  (0; 2;1) véctơ pháp tuyến mặt phẳng (BCD’) nên (BCD’) có 2.0   phương trình là: y  z  a   d ( A, ( BCD '))  a 2  ( 2)  12 a 6 Bài 3: (Đề tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD  a Hình chiếu vuông góc điểm A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD’A’) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: A( B( a a ; ; 0) , 2 a a  a a a a ; ;0) , C( ; ;0) , D( ; ;0) 2 2 2 Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (ADD’A’) mặt phẳng (ABCD) 600 tìm A’ (0;0; a a ) Suy B’ (0;  a; ) 2 Thể tích khối lăng trụ cho là: VABCD A ' B 'C ' D '  3a (đvtt) Khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) d ( B ' , ( A ' BD))  a Bài tập tự rèn luyện Bài 1: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) 25 Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Đáp án: VA.BCNM  3a 3 50 Bài 2: (Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Đáp án: VS ABC  a3 a 42 , d(SA,BC)= 12 Bài 3: (Toán học tuổi trẻ) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông A, Bc=a góc ABC 300 Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 600 Biết hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Đáp án: VS ABC  (3  3) a 32 Bài 4: (Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD  a , SA=a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Đáp án: VANIB  a3 36 Bài 5: (Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, 26 CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Đáp án: VCMNP  a3 96 Bài 6: (Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=2a, CD=a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đáp án: VS ABCD  3a 15 Bài 7: (Đề tuyển sinh đại học khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA=a, hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC cho AH  AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Đáp án: VS MBC  a 14 48 Bài 8: (Đề tuyển sinh cao đẳng năm 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Đáp án: VAMNP  a3 48 Bài 9: (Đề dự bị đại học khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=AC=a, AA’= a Gọi M, N trung 27 điểm đoạn AA’ BC’ Chứng minh MN đường vuông góc chung AA’ BC’ Tính thể tích khối chóp MA’BC’ Đáp án: VM A ' BC '  a3 12 Bài 10: (Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB=a, góc (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Đáp án: VABC A ' B 'C '  7a a3 , R 12 Bài 11: (Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600 Tam giác ABC vuông C góc BAC 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC theo a Đáp án: VA ' ABC  9a 208 Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=a Điểm M AD cho AM=3AD Tính khoảng cách AD’ B’C; tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’C) tính thể tích tứ diện AB’D’C a Đáp án: d(AD’,B’C)=a, d(M,(AB’C)= , VAB’D’C= 2a 3 CHƯƠNG III: KIỂM CHỨNG GIẢI PHÁP Song song với việc tiếp thu kiến thức toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng phương trình mặt phẳng, qua việc sử dụng công cụ 28 dùng phương pháp tọa độ trong không gian em chủ động hơn, tự tin tiếp xúc với toán hình học không gian Qua khảo sát, nhìn chung em biết vận dụng linh hoạt, biết nhận biết vấn đề xác định tọa độ điểm liên quan hệ trục tọa độ Kết khảo sát qua tập sau: Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh: MN  A' C Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với A Gọi M điểm tam giác BCD  ,  ,  góc AM mặt phẳng (ABC), (CAD), (DAB) Chứng minh rằng: sin2   sin2   sin2   Kết (đã nêu trên) phản ánh rõ nét việc áp dụng phương pháp tọa độ toán hình không gian Sự thay đổi rõ rệt điểm số 91 học sinh khảo sát lớp Với trách nhiệm người thầy, chừng mực bớt băn khoăn học trò bớt ngại gặp toán hình bước biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải toán hình Phần 3: KẾT LUẬN Sáng kiến đề cập phương pháp giải toán hình học không gian Các bước cụ thể nêu sáng kiến Những nhận xét sau tập góp phần giúp cho em hiểu rõ phương pháp nêu Sau thời gian giảng dạy thử thấy số tập mà sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn đưa vào ứng dụng có tác dụng tốt cho em học sinh Phương pháp tọa độ giúp cho em hứng thú học tập hình học không gian mà mang lại kết cao 29 Với kết hy vọng phương pháp tọa độ vận dụng công tác giảng dạy Trường THPT Thuận Thành số nói riêng cho trường THPT nói chung để góp phần nâng cao khả giải toán hình học không gian Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành với ủng hộ thầy cô giáo tổ Toán Tuy nhiên khả nghiên cứu có hạn tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô giáo đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Phần 4: PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO  Hình học 11 ( sách giáo khoa ) – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện - NXB Giáo dục, 2007  Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục, 2008  Các toán phương pháp vectơ phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998  Giải toán theo chủ đề hình học không gian – Phạm An Hòa - NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2004  Phương pháp toạ độ không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000  Báo Toán học Tuổi trẻ  Các website: hoctoancapba.com, toanhoc.edu.vn, 123doc.org, violet.vn, mathvn.com 30 31 [...]... Giáo dục, 1998  Giải toán theo chủ đề hình học không gian – Phạm An Hòa - NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2004  Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000  Báo Toán học và Tuổi trẻ  Các website: hoctoancapba.com, toanhoc.edu.vn, 123doc.org, violet.vn, mathvn.com 30 31 ... không gian Sự thay đổi rõ rệt về điểm số của 91 học sinh được khảo sát trong 2 lớp Với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình đã bớt ngại khi gặp một bài toán hình và từng bước đã biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán hình Phần 3: KẾT LUẬN 1 Sáng kiến đã đề cập được phương pháp mới giải các bài toán hình học không gian Các... xét sau mỗi bài tập góp phần giúp cho các em hiểu rõ hơn về phương pháp được nêu 2 Sau thời gian giảng dạy thử tôi thấy một số bài tập mà sáng kiến kinh nghiệm lựa chọn đưa vào ứng dụng đã có tác dụng tốt cho các em học sinh Phương pháp tọa độ không những giúp cho các em hứng thú hơn trong học tập hình học không gian mà còn mang lại kết quả khá cao 29 3 Với kết quả trên tôi hy vọng phương pháp tọa độ... thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng, qua việc sử dụng công cụ 28 là dùng phương pháp tọa độ trong trong không gian các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán hình học không gian Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định được tọa độ các điểm liên quan trên hệ trục tọa độ Kết quả khảo... phương pháp tọa độ sẽ được vận dụng trong công tác giảng dạy của Trường THPT Thuận Thành số 1 nói riêng và cho các trường THPT nói chung để góp phần nâng cao khả năng giải quyết các bài toán hình học không gian Sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thành với sự ủng hộ của các thầy cô giáo trong tổ Toán Tuy nhiên vì khả năng nghiên cứu có hạn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và các... tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB  SH  (ABCD) Ta có: SA2  SB2  a 2  3a 2  AB2  SAB vuông tại S  SM  a Do đó: SAM đều  SH  a 3 2 16  Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: H (0;0;0) , S  0;0;  a 3a a a a 3  2  3a A   ; 0;0  , B  ;0;0  , D   ; 2a;0  , M  ;0;0  , N