Ôn thi Toán Trung học Phổ thông Quốc gia Tuyển sinh Đại họcCao đẳng 2016.Tài liệu cần thiết cho các sĩ tử Kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia 2016. Ôn thi nhanh Khoảng Đồng biến Nghịch biến, các bài toán liên quan đến Khoảng Đồng biến Nghịch biến, định hướng làm bài thi THPT Quốc gia 2016.
Trang 1TOÁN 12 Bài 1: Khoảng Đồng biến, khoảng Nghịch biến của Hàm số
Tiết 1:
Quy ước: Khi không nói gì thêm thì K được dùng để chỉ một đoạn, một khoảng, hoặc nửa khoảng Bây giờ, cho Hàm số y=f(x) xác định trên K Ta nói:
(1) Hàm số y=f(x) Đồng biến trên K nếu x tăng thì y tăng và x giảm thì y giảm
(2) Hàm số y=f(x) Nghịch biến trên K nếu x tăng thì y giảm và x giảm thì y tăng
Định lý 1: Cho Hàm số y=f(x) có Đạo hàm trên K
Nếu y’>0 trên K thì Hàm số Đồng biến trên K
Nếu y’<0 trên K thì Hàm số Nghịch biến trên K
Dựa vào Định lý 1, ta có Quy tắc tìm Khoảng Đồng biến, Nghịch biến của Hàm số như sau:
B1: Tìm tập xác định (viết tắt là TXĐ)
B2: Tính y’ Cho y’=0 và tìm các nghiệm xi (i=1,2, ,n) của phương trình y’=0
B3: Lập Bảng Biến Thiên (viết tắt là BBT) gồm 3 dòng:
x Các xi và xj
y Chiều biến thiên của y Bài tập:
BT-1.1 Tìm Khoảng Đồng biến, Nghịch biến của Hàm số:
1) y=x3+3x2-3 2) y=x4-8x2+10 3) y= –x3+3x2-5x+5 4) y=x4+2x2-3
Giải:
1) y=x3+3x2-3
TXĐ: D=R
y’=3x2+6x Cho y’=0 <=> 3x2+6x=0 <=> x=0 hoặc x= –2
Bảng Biến Thiên:
x -∞ –2 0 +∞
y’ + 0 – 0 +
y 1
–3
2) y=x4-8x2+10 TXĐ: D=R y’=4x3-16x Cho y’=0 <=> 4x3-16x =0 <=>x=0 hoặc x= 2 hoặc x= –2 Bảng Biến Thiên: x -∞ –2 0 2 +∞
y’ – 0 + 0 – 0 +
y 10
–6 –6
Tiết 2:
BT-1.2 Tìm Khoảng Đồng biến, Nghịch biến của Hàm số:
Trang 21) y= 2) y=√ − 25 3) y= 4) y=√25 −
Giải:
1) y=
TXĐ: D=R\{3}
y’=
( ) Cho y’=0 Phương trình vô nghiệm
Bảng Biến Thiên:
x -∞ 3 +∞
y’ – –
y +∞ +∞
-∞ -∞
2) y=√ − 25 TXĐ: D=(-∞;–5]∪[5; +∞) y’= √ Dấu của y’ phụ thuộc vào biểu thức tử 2x Chỉ cần xét dấu 2x Cho 2x=0 <=>x=0 Bảng Biến Thiên: x -∞ -5 0 5 +∞
y’ + 0 +
y
Tiết 3: Mở rộng Định lý 1, ta có: Định lý 1*: Cho Hàm số y=f(x) có Đạo hàm trên K Nếu y’≥0 trên K, dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm, thì Hàm số Đồng biến trên K Nếu y’≤0 trên K, dấu = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm, thì Hàm số Nghịch biến trên K Nhắc lại Kiến thức về Dấu của Tam thức Bậc hai: f(x)=ax2+bx+c (a≠0) ∆=b2–4ac 1)∆<0 (hoặc ∆’<0) thì f(x) luôn cùng dấu với a, ∀x∈R 2)∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu với a, ∀x≠ – 3)∆>0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, và ta có Bảng xét dấu sau: x -∞ x1 x2 +∞
f(x) + 0 – 0 +
Cách nhớ : “Trong trái, ngoài cùng.”
Bài tập:
BT-1.3 Tìm m để Hàm số: y= Nghịch biến trên từng khoảng xác định
Trang 3Giải:
TXĐ: D=R\{ }
y’=
Hàm số Nghịch biến trên từng khoảng xác định <=> y’≤0,∀ ∈D <=>
( ) ≤0,∀ ∈D
<=>2 − 6 ≤ 0 <=>−√3 ≤ ≤ √3
BT-1.4 Tìm m để Hàm số: y= + 2 + (2 + 1) − 3 + 2 nghịch biến trên R
Giải:
TXĐ: D=R
y’=− + 4 + 2 + 1
y’ là một Tam thức Bậc hai Áp dụng kiến thức về dấu Tam thức Bậc hai
Hàm số nghịch biến trên R <=> y’≤0,∀ ∈ <=>− + 4 + 2 + 1 ≤0,∀ ∈
<=> ∆′ ≤ 0
< 0<=>
2 + 5 ≤ 0
−1 < 0 <=> 2 + 5 ≤ 0<=> ≤ −5/2
Chú ý: Đối với Hàm Bậc ba, y’ là một Tam thức Bậc hai Khi đó:
1) Hàm số y Đồng biến trên R <=> y’≥0,∀ ∈ <=> ∆≤ 0
> 0
2) Hàm số y Nghịch biến trên R <=> y’≤0,∀ ∈ <=> ∆≤ 0
< 0 BT-1.5 Tìm m để Hàm số: y=( − 1) + ( − 1) − Nghịch biến trên R
Giải:
TXĐ: D=R
y’=3( − 1) + 2( − 1) − 1
(y’ có thể chưa là một Tam thức Bậc hai, vì hệ số cao nhất có chứa tham số m Chưa thể áp dụng kiến thức về dấu Tam thức Bậc hai.)
Hàm số Nghịch biến trên R <=> y’≤0,∀ ∈ <=>3( − 1) + 2( − 1) − 1 ≤0,∀ ∈ (*)
Trường hợp 1: a=0, tức là 3(m-1)=0 hay m=1
Lúc này (*) trở thành: -1≤ 0 ,∀ ∈ , là một điều luôn đúng Vậy giá trị m=1 thỏa mãn Đề bài
hai
(*)<=> ∆ ≤ 0
< 0<=>
+ − 2 ≤ 0 3( − 1) < 0 <=>
−2 ≤ ≤ 1
< 1 <=> −2 ≤ < 1 Kết hợp các kết quả ở CẢ HAI TRƯỜNG HỢP, đáp án của Bài toán là: −2 ≤ ≤ 1
BT-1.6 Tìm m để Hàm số: y= + ( − 1) + ( − 4) + 9 Đồng biến trên R
Giải:
Trang 4TXĐ: D=R
y’=3 + 2( − 1) + − 4
y’ là một Tam thức Bậc hai Áp dụng kiến thức về dấu Tam thức Bậc hai
Hàm số Đồng biến trên R <=> y’≥0,∀ ∈ <=>3 + 2( − 1) + − 4 ≥0,∀ ∈
<=> ∆ ≤ 0
> 0<=>
−2 − 2 + 13 ≤ 0
3 > 0 <=> −2 − 2 + 13 ≤ 0
<=> ≤ √ hoặc ≥ √
<=> ≤ √ hoặc ≥ √
Tiết 4:Phần Nâng cao
Nhắc lại một số Công thức về Phương trình vô tỷ:
1) √ ≤ <=>
≥ 0
≥ 0
≤
2) √ < <=>
> 0
≥ 0
<
3) √ ≥ <=> < 0
≥ 0 hay
≥ 0
≥ 4) √ > <=> < 0
≥ 0 hay
≥ 0
>
BT-1.7 Cho Hàm số y=2 + √1 − Giải Bất phương trình y’≤ 0
Giải:
TXĐ: D=[-1;1]
y’=2 −
√ =2 −
√ = √
√
y’≤ 0 <=> √
√ ≤ 0 (1) Điều kiện để Phương trình (1) xác định là 1 − > 0 hay là -1<x<1 (*)
Lúc này, vì mẫu thức √1 − >0, Phương trình (1) tương đương với: 2√1 − − ≤ 0
<=>√1 − ≤ <=>
≥ 0
1 − ≥ 0
1 − ≤
<=>
≥ 0
−1 ≤ ≤ 1
≤
√ ℎ ≥
√
<=>
√ ≤ ≤ 1
Kết hợp với Điều kiện (*), nghiệm của Bất phương trình y’=0 là
√ ≤ < 1
Tính biến thiên của Hàm số (trên một khoảng K) phụ thuộc vào dấu của Đạo hàm của Hàm số đó (trên khoảng K) Vì vậy, xét tính biến thiên của Hàm số,ta quy về xét dấu của Đạo hàm của hàm
số đó Ở những tiết trước, chúng ta dễ dàng xét dấu của Đạo hàm vì đó là các Hàm số Đa thức (đã
có quy tắc xét dấu được học từ lớp 10) Bây giờ, vấn đề đặt ra là: Làm sao xét tính biến thiên của
Trang 5Hàm số có Đạo hàm không phải là Hàm số Đa thức? Câu trả lời là: Để xét tính biến thiên của một Hàm số y=f(x) có Đạo hàm phức tạp (không phải là Hàm số Đa thức), ta xét dấu Đạo hàm của Hàm số dựa vào việc giải Bất phương trình y’≥ (hoặc y’≤ )
BT-1.8 Xét tính biến thiên của Hàm số y=2 + √1 −
Giải:
TXĐ: D=[-1;1]
y’=2 −
√ =2 −
√ = √
√
y’≤ 0 <=> √
√ ≤ 0 (1) Điều kiện để Bất phương trình (1) xác định là 1 − > 0 hay là -1<x<1 (*)
Lúc này, vì mẫu thức √1 − >0, Bất phương trình (1) tương đương với: 2√1 − − ≤ 0
<=>√1 − ≤ <=>
≥ 0
1 − ≥ 0
1 − ≤
<=>
≥ 0
−1 ≤ ≤ 1
≤
√ ℎ ≥
√
<=>
√ ≤ ≤ 1
Kết hợp với Điều kiện (*), nghiệm của Bất phương trình y’≤0 là
√ ≤ < 1 Bảng Biến thiên:
x -∞ -1
√ 1 +∞
y’ + 0 −
y
Định lý Viet:
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của Phương trình Bậc hai ax2 + bx +c = 0 thì:
1) x1+x2 =
2) x1x2 =
Một Bài toán liên quan: Tìm m để Hàm số đơn điệu trên một khoảng có độ dài k
BT-1.9 Cho Hàm số y=− + + ( − 2) − (1), với là tham số thực Tìm để Hàm số (1) đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 4
Giải:
Ta có: = − + 2 + − 2
Hàm số Đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> Phương trình = có hai nghiệm x 1 và x 2
thỏa mãn: |x 1 -x 2 | = 4 (*)
(*) <=> ∆ > 0
|x − x | = 4<=>
+ − 2 > 0 (x − x ) = 16 <=>
+ − 2 > 0 (x + x ) − 4x x = 16 (**) Theo Định lý Viet: x + x =2 và x x =−( − 2)
(**)<=> + − 2 > 0
4 + 4( − 2) = 16<=>
[ [ <=>[