Các nguyên lí toán học quan trọng của thị trường tài chính

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ CÁC NGUYÊN LÍ TOÁN HỌC QUAN TRỌNG CỦA THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH NGUYỄN CHÍ LONG* TÓM TẮT Đến cuối tháng năm 2013, ngành công nghiệp phái sinh tài giới, có giá trị danh nghĩa khoản 700.000 tỉ Dollar Mĩ ngành công nghiệp quản trị danh mục đầu tư, có lẽ có giá trị lớn Do đó, toán học tài ngành quan trọng toán ứng dụng Mục đích báo tóm tắt nguyên lí toán học quan trọng thị trường tài Từ khóa: toán tài chính, lí thuyết định giá tài sản, thị trường đầy đủ ABSTRACT The important mathematical principles of financial markets The derivatives industry worth totals in notional amount more than 700 trillion USD at end-June 2013 and the portfolio management industry is probably even bigger Therefore, the financial mathematics is an important branch of applied mathematics The aim of this article is to summarize the most important mathematical principles in financial markets Keywords: Mathematical Finance, Theory of asset pricing, Complete market Giới thiệu Hầu hết mô hình toán ngành tài bắt nguồn từ luận án Tiến sĩ năm 1900 Louis Bachelier (1870-1946) có tên “Lí thuyết đầu tài (Theory de speculation)” Đại học Sorbonne (Paris), hướng dẫn nhà toán học lừng danh Henri Poincare’ Luận án nhiều nhà khoa học thừa nhận công trình khai sinh ngành toán tài Tuy nhiên kỷ sau, nhà toán học nghiên cứu ứng dụng tài biết đến công trình Năm 1953, Harry Markovitz James Tobin đưa lí thuyết “Lựa chọn danh mục đầu tư” tài qua việc phân tích trung bình phương sai lí thuyết xác suất Năm 1965, nhà kinh tế học Paul Samuelson Henry McKean chứng tỏ giá cổ phiếu chứng khoán tăng giảm có tính ngẫu nhiên mô hình tốt diễn tả thay đổi giá cổ phiếu mô hình chuyển động Brown hình học Nhưng cột mốc quan trọng, đánh dấu thời kì phát triển mạnh mẽ toán tài đời mô hình Black-Scholes năm 1973 tính hợp lí giá quyền chọn (Pricing of Options and Corporate Liabilities) Fisher Black Myron S Scholes, với nhà kinh tế học làm việc độc lập Robert Merton đưa công thức tính giá quyền chọn Giải Nobel kinh tế 1997 trao cho R C Merton M S Scholes (lúc Black mất) Phương pháp họ mở * TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: nguyen.c.long@gmail.com 189 Tư liệu tham khảo Số 9(75) năm 2015 _ đường cho việc xác định giá trị kinh tế nhiều lĩnh vực, tạo nhiều loại công cụ tài tạo điều kiện cho việc quản trị rủi ro xã hội hiệu Giải Nobel kinh tế năm 2003 dành cho Clive Grange phương pháp phân tích kinh tế qua chuỗi thời gian Robert F Engle III mô hình dao động ngẫu nhiên Ngành công nghệ phái sinh tài giới ước tính khoảng 700.000 tỉ đô la năm 2013 ngành quản trị danh mục đầu tư tài có lẽ có giá trị cao hơn, điều cho thấy tầm quan trọng ngành toán học tài đại Tại Việt Nam, toán tài quan tâm nghiên cứu khoảng 10 năm gần đây, số người nghiên cứu, quy mô, tài liệu nhỏ, chưa đáp ứng yêu cầu hội nhập Việt Nam vào kinh tế giới Đặc biệt công tác đào tạo chưa đáp ứng nhu cầu nhân công ty tài chứng khoán thành lập Việt Nam Do thuật ngữ, khái niệm, nguyên lí toán tài cần làm sáng tỏ trình bày chặc chẽ, có tính sư phạm để giúp sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh dễ tiếp cận, từ quan tâm nghiên cứu lĩnh vực đặt biệt quan trọng Một số khái niệm Chúng ta xét thị trường tài chu kì tổng quát, mà nhà đầu tư (NĐT) phép đầu tư tài khoản ngân hàng (tài khoản tiết kiệm) tập hợp hữu hạn cổ phiếu chứng khoán S1 , ,SN Giá cổ phiếu thứ i, Si thời điểm t = Si0 , thời t = S1i Giả sử rằng, thời điểm t = 1, giới tài k trạng thái 1 , 2 , , k với xác suất dương P(i )  0, i  1, , k Do đó, giới tài có không gian trạng thái là:  : 1 , , k  Giá cổ phiếu S1i :   xem biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P), F:= {A : A ⊂ Ω} Vậy S1i ( ) giá cổ phiếu thứ i, thời điểm t = giới tài trang thái ω ∈ Ω Dĩ nhiên mô hình tài chu kì không thực tế, tế bào môt cấu trúc kinh tế, cho phép hiểu giải thích nhiều nguyên lí quan trọng toán tài Giá trị thời gian tiền tệ: USD tay hôm có giá trị kì vọng nhận USD ngày tương lai, việc vay tiền tự Người vay phải trả chi phí, gọi lãi suất, cho người cho vay Gọi r > lãi bội rời rạc không rủi ro, mà đơn vị tiền tệ gửi tài khoản ngân hàng tăng thành (1 + r) đơn vị chu kì thời gian T Khấu hao giá trị tiền theo thời gian với thừa số khấu hao c : cho phép ta so sánh giá trị tiền tệ thời 1 r điểm khác Vậy số tiền X thời điểm T xem số tiền cX ngày hôm Một chiến lược kinh doanh (hay phương án đầu tư) cặp (x, H), H  (H , H1 , , H N )  N 1 (đôi để đơn giản ta viết chiến lược kinh doanh 190 Nguyễn Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ H) véc tơ (N + 1)chiều, x tổng số vốn ban đầu (tại thời điểm t = 0) H i ,i  1, 2, , N số lượng cổ phiếu chứng khoán thứ i Giả sử S00  S10   r Cho trước chiến lược kinh doanh (x;H) trên, ta giả sử số tiền lại x –  H1S10 +H 2S02 + + H N S0N   H đầu tư không rủi ro tài khoản ngân hàng Vậy giá trị V0  x, H  (x, H) thời điểm t = cho H V0 (x, H) :  H iS0i  x i 0 Giá trị V1  x, H  chiến lược kinh doanh (x, H) thời điểm t = biến ngẫu nhiên N V1  x, H  :=  H iS1i (1) i0 Quá trình lãi (hoặc lỗ) G(x, H) định nghĩa N G(x, H)  H r   H i Si (2) i 1 Si : S1i  Si0 thay đổi giá cổ phiếu chứng khoán thứ i Dễ dàng kiểm chứng V1 (x, H)  V0 (x, H)  G(x, H) Quá trình giá cổ phiếu khấu hao định nghĩa Sˆ i : Si and Sˆ i : cSi 0 1 Khi i = 1, , N Và trình giá khấu hao tương ứng (x, H) ˆ (x, H) : x V N and ˆ  x, H  : H   H Sˆ i V i i 1 ˆ Quá trình lãi khấu hao G(x, H) biến ngẫu nhiên N ˆ G(x, H) :  H i Sˆ i i 1 Với Sˆ i : Sˆ 1i  Sˆ i0 Bằng phép tính đơn giản ta có ˆ (x, H) : V (x, H) V 0 and ˆ (x, H)  cV (x, H) V 1 ˆ H) ˆ (x, H)  V ˆ (x, H)  G(x, V Định nghĩa Một chiến lược kinh doanh (x, H) vớ i H  (H , H1 , , H N ) gọi có hội chênh lệch thị giá (hay gọi tắt chênh lệch thị giá) x  V0  x, H   191 Số 9(75) năm 2015 Tư liệu tham khảo _ V1  x, H   N E  V1  x, H   :  P(i )V1 (x, H)(i )  Điều kiện tương đương với: i 1 Tồn ω ∈ Ω cho V1  x, H    Ghi Vì c :  , nên dễ dàng suy kết (x, H) chiến lược 1 r kinh doanh chênh lệch thị giá V  x, H   V1  x, H   E  V1  x, H    Bằng tính toán đơn giản có kết sau: chiến lược kinh (x, H) có hội chênh lệch thị giá ˆ G(x, H)  (3) ˆ E[G(x, H)]  (4) Một cách trực giác, chiến lược đầu tư có hội chênh lệch thị giá chiến lược đầu tư không gặp rủi ro nào, xác suất kiếm lợi nhuận dương Sự hữu hội chênh lệch thị xem thị trường tài không hiệu quả, theo nghĩa chắn tài sản không định giá cách hợp lí Trong thị trường thực tế, hội chênh lệch thị giá tìm thấy Do đó, vắng mặt hội chênh lệch thị giá giả thiết then chốt Sự vắng mặt hội chênh lệch thị giá dẫn đến S1i triệt tiêu P-hkn Si0  Do không tính tổng quát giả sử Si0  0, i  1, 2, , N (5) Bổ đề sau đâu chứng tỏ rằng, không xuất hội chênh lệch thị giá, thị trường có tính chất sau: Mọi đầu tư vào tài sản rủi ro mà có kết tốt đầu tư tài sản không rủi ro, thỏa mãn với xác suất dương, chiến lược đầu tư phải chấp nhận nhược điểm gặp rủi ro Bổ đề Các phát biểu sau tương đương (a) Thị trường tài có hội chênh lệch thị giá (b) Có véc tơ H1   H1, , H N   N cho N H1S1 :  H iS1i  (1  r)H1S0 : (r  1) H i S0i i 1 Và P[H1S1  (r  1)H1S0 ]  192 i 1 P  a.s (6) Nguyễn Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Chứng minh Để chứng minh (a) suy (b), lấy (x, H) với H   H , H1    H , H , , H N  phương án đầu tư có hội chênh lệch thị giá,  V0 (x, H)  H  H1S0 Do đó, H1S1  (1  r)H1S0  H1S`  (1  r)H  V1 (x, H) (7) (8) Vì V1  x, H  không âm P-hầu khắp nơi dương ngặt với xác suất dương, ta có kết tương tư cho H1S1  1  r  H1 S0 Chứng minh (b) suy (a): Lấy H   H , H1  với H1 =  H1 , , H N  (b) Ta khẳng định phương án đầu tư (x, H) với H  H1S1 phương án chênh lệch thị giá Thật vậy, V0  x, H  = H  H1S0 = theo định nghĩa Mặt khác, V1  x, H   H 1  r   H1S1   1  r  H1S0  H1S1 mà không âm hầu khắp nơi dương ngặt với xác suất dương □ Định nghĩa Một độ đo xác suất (Ω, F, P) gọi độ đo rủi ro trung tính hay độ đo martingale    , Với ω ∈ Ω E  cS1i   Si0 , i  1, 2, , N Điều kiện tương đương với với điều kiện E  Sˆ i   0, i  1, 2, , N Ví dụ (Mô hình thị trường tài chính, hai trạng thái, chu kì) Xét mô hình tài đơn giản gồm hai trạng thái chu kì sau  Một tập hợp thời gian giao dịch T : 0;1 Thời điểm t = 0, thời điểm bắt đầu giao dịch thời điểm T = thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch Tại thời điểm T = giả sử không gian tài gồm hai trạng thái (hay kịch bản): Ω := { 1 , 2 }, 1 biểu diễn thị trường tốt, 2 biểu diễn thị trường xấu  Độ đo xác suất P Ω xác định P( 1 ) = p, (  p  ) P( 2 ) = − p ≡ q Ta định nghĩa u : S   S1 (1 ) ; d : giả sử  d   u Điều có S0 S0 nghĩa giá chứng khoán lên 1 xảy giảm 2 xảy ra, trường hợp u d dương Ta nói thị trường không chênh lệch giá (arbitrage free) hội chênh lệch thị giá mô hình 193 Tư liệu tham khảo Số 9(75) năm 2015 _ Mệnh đề Mô hình tài hai trạng thái, chu kì không chênh lệch giá d   r  u Chứng minh Xem [5] Gọi PN tập hợp tất độ đo xác suất rủi ro trung tính mà tương đương với độ đo P Nhắc lại hai độ đo Q P gọi tương đương (Q ∼ P) nếu, Với A ∈ F, Q(A) = P(A) = Nguyên lí định giá tài sản Định lí sau nguyên lí quan trọng ngành toán học tài Định lí (Nguyên lí định giá tài sản) Mô hình tài chu kì tổng quát không chênh lệch giá PN   Chứng minh Xem [3] Nguyên lí thị trường đầy đủ Một quyền chọn hay quyền tài (a contingent claim) (còn gọi sản phẩm phái sinh (derivatives)) biến ngẫu nhiên X, xác định không gian tài sở (Ω, F, P), biểu diễn thu hoạch nhà đầu tư thời điểm đáo hạn T=1 Chú ý quyền chọn hợp đồng tài người mua người bán, kí thời điểm t = Người bán cam kết trả cho người mua số tiền X(ω) thời điểm T = ω ∈ Ω trạng thái tài lúc Do đó, xem xét thời điểm t = thu hoạch X biến ngẫu nhiên, vấn đề quan tâm là: xác định, thời điểm t = 0, giá trị thu hoạch X Định nghĩa Cho X quyền tài chính, phương án đầu tư (x, H) gọi phương án đáp ứng (a replicating strategy) hay bảo hộ (a hedge) cho X V1  x, H   X thời điểm t = Định nghĩa Một quyền tài X gọi đạt (attainable) hay mua bán (marketable) có phương án đầu tư (x, H) bảo hộ cho X (nghĩa V1  x, H   X) Thị trường tài gọi đầy đủ (complete) quyền tài X, tìm phương án đầu tư (x, H) bảo hộ cho X Ta có nguyên lí quan trọng tính toán giá trị quyền tài X thời điểm t = (được gọi nguyên lí giá trị rủi ro trung tính (Risk neutral valuation principle)), qua định lí sau 194 Nguyễn Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Định lí (Risk neutral valuation principle) Nếu thị trường tài chu kì tổng quát không chênh lệch giá, giá trị quyền tài mua bán X thời điểm kí hợp đồng, t = 0, tính qua công thức V0  E cX 9 đo xác suất rủi ro trung tính Chứng minh Lấy (x, H) chiến lược đầu tư bảo hộ X, i.e.V1 (x, H)  X ∈ PN , ta có ˆ ˆ  E [V ˆ ]  E [V ˆ  G] V0  V 0 N ˆ ]  E [  H Sˆ i ]  E [V i N i 1 ˆ ]   H E[ Sˆ i ]  E [V i i 1 ˆ ]   E [V ˆ ]  E [cX]  E [V 1 Ghi Trong thị trường tài lành mạnh (nghĩa chênh lệch giá), X quyền tài (x, H) phương án đầu tư đáp ứng cho X, x giá quyền tài X thời điểm t = Ví dụ (tiếp theo ví dụ 1) Ta xét quyền tài quyền chọn mua kiểu châu Âu (viết tắc QCMKCA) QCMKCA hợp đồng kí kết bên viết hợp đồng (để bán) bên mua hợp đồng (giữ nó) sở tài sản (như chứng khoán, trái phiếu, loại tiền tệ…), quy định người giữ hợp đồng có quyền, không bắt buộc mua tài sản thời điểm đáo hạn tương lai T với giá thực thi quy định trước K Tài sản, thời điểm đáo hạn T giá thực thi K yếu tố quan trọng hợp đồng Người giữ hợp đồng làm sau thời điểm đáo hạn: Nếu giá chứng khoán S1 thời điểm T = cao K người giữ hợp đồng mua người viết hợp đồng đem bán lại cho thị trường tài với giá S1 thu lợi S1  K Nếu giá chứng khoán khoán S1 thời điểm T = thấp K người giữ hợp đồng không thực thi, đơn giản giá bên thị trường rẻ Trong trường hợp này, người giữ hợp đồng không thu lợi Vì lí nên ta xem QMKCA tài sản mà lợi nhuận thời điểm đáo hạn T = max  S1  K,  Câu hỏi tự nhiên là: Giá QMKCA thời điểm t = bao nhiêu? Lời đáp câu hỏi áp dụng nguyên lí đáp ứng để bảo hộ (Replication Principle) mà ta xem xét sau Giả sử ta có quyền tài tổng quát QCMKCA vừa xét, tức sản phẩm có dạng h( S1 ), h :  hàm số cho h( S1 ) biến ngẫu nhiên, QMKCA chọn hàm riêng cho h h  x  : max  x  K,  Có nhiều khả khác chọn hàm h để có nhiều quyền tài khác 195 Số 9(75) năm 2015 Tư liệu tham khảo _ Theo Định nghĩa 3, phương án đầu tư bảo hộ cho h( S1 ) chiến lược kinh doanh (x, H) (với H : (H , H1 ) ) thỏa mãn điều kiện V1  x, H   h S1  , điều kiện tương đương với H 1  r  +H1S1 1   h  S1 1   H 1  r   H1S1  2   h  S1  2   10  11 Hay H + cH1S1 1   ch S1  1   H + cH1S1 2   ch S1 2   c : 12  13 thừa số khấu hao r 1 Mệnh đề Trong mô hình tài chu kì, hai trạng thái không chênh lệch giá; giả sử h( S1 ) quyền tài (x, H) phương án đầu tư bảo hộ cho h( S1 ), x giá quyền tài h( S1 ) thời điểm t = Chứng minh Từ (12) (13) ta có H1  h  S1 1    h  S1  2   Ta định nghĩa 1 r  d p : ud Vì d   r  u suy  p  ta có  p : 14  S1 1   S1  2  u 1 r u d 15 16   (1 )  (1  p)S  (2 ))  S0 c(pS (17) Ta nhân phương trình (12) với p , phương trình (13) với − p cộng vế đối vế, ta  1   1  p  S1 2    S0   c  ph   S1 1    1  p  h S1  2    x  H1  c  pS Từ (17) suy  (1 ))  (1  p)h(S  x  c[ph(S (2 ))] (18) (19) Vì u  d  , nên ta luôn tìm phương án đầu tư bảo hộ cho quyền tài mô hình chu kì, hai trạng thái Mô hình tài có tính chất gọi mô hình đầy đủ (complete) ngược lại, ta gọi mô hình tài 196 Nguyễn Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ không đầy đủ Công thức (14) thường gọi công thức bảo hộ Delta (Delta Hedging Formula) Trong mô hình tài không đầy đủ, ta dùng kĩ thuật định giá phái sinh theo nguyên lí đáp ứng để bảo hộ Điều đáng lưu ý giá x quyền tài theo công thức không phụ thuộc vào xác suất p hay q:= − p xuất trạng thái tài 1 2 Đặc biệt, lấy P độ đo xác suất khác Ω := {  ,  } với   ) : p,  P(   ) :  p P( Thì x giá trị kì vọng lợi nhuận khấu hao, lấy theo độ đo xác suất P , nghĩa x  E P [ch(S1 )] (20) Độ đo xác suất P độ đo xác suất rủi ro trung tính, độ đo này, giá quyền tài phụ thuộc vào kì vọng lợi nhuận mà không chi phối rủi ro Bổ đề Giả sử mô hình tài chu kì tổng quát lành mạnh (hay chênh lệch giá); thị trường đầy đủ số trạng thái thị trường Ω với số véc tơ độc lập tuyến tính { S10 ,S11 , ,S1N }, nghĩa ma trận k hàng, (N + 1) cột A cho S10 S11 (1 )  S S11 (2 ) A    S1 S1 (k ) S1N (1 )   S1N (2 )      N S1 (k )  phải có hạng k Chứng minh Theo kết từ đại số tuyến tính, ma trận A có hạng k khi, với X  k , phương trình AH = X có nghiệm H  N1 Mặt khác ta có S10  S1   S1 S11 (1 ) S1N (1 )   H   V1 (x, H)(1 )      S11 (2 ) S1N (2 )   H1   V1 (x, H)(2 )                N S1 (k ) S1 (k )   H N   V1 (x, H)(k )  Điều chứng tỏ tìm phương án đầu tư bảo hộ cho quyền tài X tương đương với việc giải hệ phương trình AH = X □ Bổ đề (Farkas Lemma) Cho ma trận A, m hàng, n cột véc tơ cột m chiều b, AX  b, x  0, x  n (21) 197 Số 9(75) năm 2015 Tư liệu tham khảo _ có nghiệm, bT y  0, A T y  0, y  m (22) có nghiệm, hai lúc xảy Chứng minh (có thể xem [4]) Ghi Từ Bổ đề Farkas, ta kiểm chứng dễ dàng hệ (21) vô nghiệm, tồn y  m cho bT y  0, and A T y  (23) Bổ đề Giả sử mô hình tài chu kì tổng quát lành mạnh, quyền tài X mua bán E  cX  lấy giá trị với  PN Chứng minh Giả sử quyền tài X buôn bán được, theo Định lí Ghi E [cX]  V0 (constant) độ đo xác suất rủi ro trung tính Ngược lại, giả sử X không buôn bán được, ta chứng minh có hai độ đo xác suất rủi ro trung tính Ω cho E [cX]  E [cX] Nếu X không buôn bán hệ (21) nghiệm, theo Bổ đề 4, Ghi 3, có véc tơ   (1 , ,  k ) thỏa  A   X  Cho trước độ đo xác suất rủi ro trung tính (i ) : 1 Ω Bây ta xem k i   với i ∈ Ω Vì tính chất k  (i ) :  i 1 i 1 định nghĩa (i )    i S10 với λ > cho Do Π A = 0, dẫn đến k (i )     i S1  i 1 độ đo xác suất rủi ro trung tính Ω Mặt khác, k E [cX]   (i )[cX(i )] i 1 k  c i 1 k (i )X(i )     i X(i )  E [cX]    X Từ λΠX > suy E [cX]  E [cX] 198 i 1 □ Nguyễn Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Định lí Giả sử mô hình thị trường tài chu kì tổng quát không chênh lệch giá, thị trường đầy đủ có độ đo xác suất rủi ro trung tính, nghĩa | PN | = Chứng minh (⇒): Giả sử thị trường không chênh lệch giá đầy đủ, theo nguyên lí định giá tài sản, tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính Giả sử PN chứa hai độ đo xác suất rủi ro trung tính Ta chứng minh  Với i = 1, 2,… , k, lấy quyền tài X định nghĩa  S0 , X i ( )   0,   i   i Thì X i quyền tài với i = 1, 2, , k Hơn (i )  E [ Do đó,  i X ]  E [ X i ]= S1 S1 2 (i ) (⇐): Giả sử thị trường không chênh lệch giá có độ đo xác suất rủi ro trung tính Ta chứng tỏ thị trường đầy đủ, nghĩa lấy X quyền tài bất kì, ta chứng minh X mua bán Điều Thật vậy, với giả thiết thị trường có độ đo xác suất rủi ro trung tính , E cX có giá trị Từ Bổ đề 5, suy X mua bán Định lí chứng minh □ TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Hữu Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Chí Long (2008), “Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên”, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Tái lần I Nguyễn Chí Long (2010), “Nguyên lí định giá tài sản thị trường tài chính”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 21(55), tr 38-51 Nguyễn Chí Long (2011), “Bổ đề Farkas áp dụng thị trường tài chính”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 27(61), tr 41-53 Nguyễn Chí Long (2011), “Định giá tài sản mô hình nhị thức”, Số chuyên đề Trường Đại học Sài Gòn: Hội thảo Khoa học Quốc tế Giải tích Toán Ứng dụng, tr 513-525 Nguyễn Chí Long (2011), “Mô hình định giá tài sản tư bản”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 30(64) tr 25-41 199 Số 9(75) năm 2015 Tư liệu tham khảo _ B Guerrien - Nguyễn Đôn Phước (dịch) (2007), Từ điển phân tích Kinh tế, Nxb Tri thức Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Trần Hùng Thao (2009), “Toán học Tài chính, ngành khoa học phát triển mạnh”, Thông tin Toán học - Hội Toán học Việt Nam, tập 13, số 2, tr 13-16 10 Elliott R J and Kopp P E (2005), Mathematics of Financial Markets, Springe Finance, Second Edition 11 Foellmer H and Schied A (2002), An Introduction in Discrete Time, Walter de Gruyter 12 Pennacchi G.(2008), Theory of Asset Pricing, Pearson Education, Inc 13 Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance, Blackwell Publishing 14 Shreve S E (2005), Stochastic Calculus for Finance, Volume 1: The Binomial Asset Pricing Model Springer 15 Oliver Ewald C., Discrete Time Finance, at http://ssrn.com/abstract=976589 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 03-8-2015; ngày phản biện đánh giá: 31-8-2015; ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015) CÁC SỐ TẠP CHÍ KHOA HỌC SẮP TỚI:  Số 10(76)/2015: Khoa học xã hội nhân văn  Số 11(77)/2015: Khoa học giáo dục  Số 12(78)/2015: Khoa học tự nhiên công nghệ Ban biên tập Tạp chí Khoa học mong nhận trao đổi thông tin đơn vị bạn bạn đọc thường xuyên cộng tác vở, góp ý xây dựng 200 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long _ 201 [...]... (2010), Nguyên lí căn bản định giá tài sản trong thị trường tài chính , Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 21(55), tr 38-51 4 Nguyễn Chí Long (2011), “Bổ đề Farkas và áp dụng trong thị trường tài chính , Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 27(61), tr 41-53 5 Nguyễn Chí Long (2011), “Định giá tài sản trong mô hình nhị thức”, Số chuyên đề của Trường Đại học Sài Gòn: Hội thảo Khoa học. .. Chí Long TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Định lí 3 Giả sử mô hình thị trường tài chính một chu kì tổng quát không chênh lệch giá, thì thị trường là đầy đủ nếu và chỉ nếu có đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính, nghĩa là | PN | = 1 Chứng minh (⇒): Giả sử thị trường không chênh lệch giá và đầy đủ, theo nguyên lí định giá tài sản, tồn tại một độ... với giả thiết thị trường có đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính , thì E cX có một giá trị duy nhất Từ Bổ đề 5, suy ra rằng X là mua bán được Định lí được chứng minh □ TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Văn Hữu và Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học trong tài chính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 2 Nguyễn Chí Long (2008), “Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên”, Nxb Đại học Quốc gia TP... k, lấy quyền tài chính X định nghĩa bởi  S0 , X i ( )   1 0,   i   i Thì X i là quyền tài chính với mỗi i = 1, 2, , k Hơn nữa 1 (i )  E 1 [ Do đó, 1  1 i 1 X ]  E 2 [ 0 X i ]= 0 S1 S1 2 2 (i ) (⇐): Giả sử rằng thị trường là không chênh lệch giá và có đúng một độ đo xác suất rủi ro trung tính Ta sẽ chứng tỏ rằng thị trường là đầy đủ, nghĩa là lấy X là một quyền tài chính bất kì,... và Toán Ứng dụng, tr 513-525 6 Nguyễn Chí Long (2011), “Mô hình định giá tài sản tư bản”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 30(64) tr 25-41 199 Số 9(75) năm 2015 Tư liệu tham khảo _ 7 B Guerrien - Nguyễn Đôn Phước (dịch) (2007), Từ điển phân tích Kinh tế, Nxb Tri thức 8 Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học. .. (2007), Từ điển phân tích Kinh tế, Nxb Tri thức 8 Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội 9 Trần Hùng Thao (2009), Toán học Tài chính, một ngành khoa học đang phát triển mạnh”, Thông tin Toán học - Hội Toán học Việt Nam, tập 13, số 2, tr 13-16 10 Elliott R J and Kopp P E (2005), Mathematics of Financial Markets, Springe Finance, Second Edition 11 Foellmer H and... 31-8-2015; ngày chấp nhận đăng: 24-9-2015) CÁC SỐ TẠP CHÍ KHOA HỌC SẮP TỚI:  Số 10(76)/2015: Khoa học xã hội và nhân văn  Số 11(77)/2015: Khoa học giáo dục  Số 12(78)/2015: Khoa học tự nhiên và công nghệ Ban biên tập Tạp chí Khoa học rất mong nhận được sự trao đổi thông tin của các đơn vị bạn và được bạn đọc thường xuyên cộng tác bài vở, góp ý xây dựng 200 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Chí Long ... P) nếu, Với A ∈ F, Q(A) = P(A) = Nguyên lí định giá tài sản Định lí sau nguyên lí quan trọng ngành toán học tài Định lí (Nguyên lí định giá tài sản) Mô hình tài chu kì tổng quát không chênh lệch... (2004), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Trần Hùng Thao (2009), Toán học Tài chính, ngành khoa học phát triển mạnh”, Thông tin Toán học - Hội Toán học Việt Nam, tập... trình ngẫu nhiên”, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Tái lần I Nguyễn Chí Long (2010), Nguyên lí định giá tài sản thị trường tài chính , Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TPHCM, 21(55),