Giải bài tập toán cao cấp A3 - phần 1

BÀI TẬP CHƯƠNG I Tìm miền xác định hàm số: (trang 44) a) f(x,y) = + Miền xác định hàm số điểm (x,y) mpOxy cho hàm f(x,y) có nghĩa, đó: b) f(x,y) = Miền xác định hàm số điểm (x,y) mpOxy cho hàm f(x,y) có nghĩa, đó: c) f(x,y,z) = arcsin Miền xác định hàm số điểm (x,y) -1 - mpOxy cho hàm f(x,y) có nghĩa, đó: z d) f(x,y,z) = Miền xác định hàm số điểm (x,y) mpOxy cho hàm f(x,y) có nghĩa, đó: Tính giới hạn sau tồn tại:(trang 44) a) Sử dụng tính chất kẹp: Mà: =0 b) NX: Các hệ số đẳng cấp (bậc 2) nên thường Ta có: M˳ (0,0) O(0,0) • Hướng điểm M theo đường thẳng y = x: M M(x,x) • Hướng điểm M theo đường thẳng y = 0: M M(x,0) = Vì nên =0 c) Ta có: = = Vậy: = = = -1 d) Ta có: Mà: = = = nên Hàm số: f(x,y) = (trang 44) a) Tính ), * = * = = = =0 = -1 =1 b) Chứng minh: Ta có: M˳(0,0) • không tồn O(0,0) Hướng điểm M theo đường thẳng y = x = • M y =x M(x,x) M y=0 M(x,0) =0 Hướng điểm M theo đường thẳng y =0 = =1 Do # nên Tính giới hạn sau tồn tại:(trang 44) a) Ta có: Vì = = = nên =0 b) Ta có: M˳(0,0) • O(0,0) Hướng điểm M theo đường thẳng y = x: M M(x,x) = • = Hướng điểm M theo đường thẳng y =0 = = Vì # nên =2 M y=0 M(x,0) =1 không tồn c) Ta có: Mà: d) = = nên = e) 5.Cho hàm số f(x,y)= =0 Chứng minh rằng: (trang 45) =0 = =0 không tồn Ta có: =0 =0 nên Ta có: M˳(0,0) • = =0 (đpcm) O(0,0) Hướng điểm M theo đường thằng y= x M y=x M(x,x) M y=0 M(x,0) =1 • Hướng điểm M theo đường thằng y= =0 Vì Chứng minh hàm số sau liên tục điểm (1,-1) (trang 45) f(x,y)= Ta có: • f(x˳,y˳) xác định f(x˳,y˳)=f(1,-1)= • = = = = f(1,- 1) Hàm liên tục (1,-1) Tìm tất điểm gián đoạn hàm số: (trang 45) f(x,y)= Ta có: • Xét điểm (x,y) (x,y) • f(x,y)= hàm số f(x,y) liên tục điểm (0,0) hàm sơ cấp liên tục tập xác định Xét điểm (x,y) =(0,0): f(x,y) = f(0,0) =0 nên xác định (0,0) Ta có: đặt Khi x Ta được: ,y cho r = = nên hàm số f(x,y) bị gián đoạn điểm (0,0) 8.tính đạo hàm riêng cấp hàm số: (trang 45) a) f(x,y) = xy2+y3-2x+5 Ta có: = y2-2 = 2xy+3y2 b) f(x,y) = ln(x2+ 2y) = = c) f(x,y) = arctan(x2 = = d) f(x,y) = = y2 , x > 0, y > .2y.lnx e) f(x,y) = y2 - f) f(x,y) = u cos(y/x) + v + , v= yx2 , u= ( + -v ( -v +( u 0+(u ).2xy ).x2= ( u 9) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau: (trang 46) a) f(x,y) = arctan = ).x2 =( + ).x2 = = = = b) f(x,y) = ylnx ylnx.lny = lnx = = lnx.(lnx -1) 10.Hàm số f(x,y) = x + (y-1)arcsin Ta có: = +(y-1) , tính (trang 46) =1 11.Dùng vi phân cấp một, tính gần giá trị (trang 46) a)T1 = Chọn: biết = 2, x = x= 1, 0,02 = y- Xét hàm tương ứng: f(x,y) = = = f( + Tính: Vậy: T1 ) = f(2,1) = ( , )= (2,1) = 0.4559 ( , )= (2,1) = 0.3420 1.71 + 0.4559*0.02+0.3420*0.03 = , x = x- , ) + + 1.71 b) T2 = sin59ocos32o = sin(60o-1o)cos(30o+2o) Chọn: ( 1.73 sin( cos( ( , ) = , = y- Xét hàm tương ứng: f(x,y) = sinx.cosy T2 = sin(xo + = f( Tính: + )= ( , )= ( , )= ( , )= ( , )=- Vậy: T2 c) T3= (1,03) 5,95 Chọn x0 = 1; ∆x = 0,03 y = 6; ∆y = −0,05 Xét tương ứng: f ( x, y ) = x y ⇒ T3 = ( x0 + ∆x ) • • y + ∆y = f ( x0 + ∆x; y0 + ∆y ) f ( x0 , y0 ) = 16 = ∂f = 6.16 −1 = ∂x ( cos(yo + , ) + + ( , ) ∂f = 16 ln = ∂y → T3 = + 6.0,03 + 0.(−0,05) ≈ 1,18 • d)T4= ln(0,994 + 1,034 − 1) Chọn x0 = 1; ∆x = −0,01 y0 = 1; ∆y = 0,03 Xét tưng ứng f ( x, y ) = ln( x + y − 1) T 4= ln(( x0 + ∆x) + ( y0 + ∆y ) − 1) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) • f ( x0 , y0 ) = ln(14 + 14 − 1) = ∂f 4.13 = 4 =4 ∂x + − ∂f 4.13 = =4 • ∂y 14 + 14 − → T4 = + 4.0,01 + 4.0,03 ≈ 1,16 • 12 Cho hàm z = z ( x, y ) xác định từ phương trình dz ( x, y ) = z x = ln  + (trang 46) y  y ∂z ∂z ∂z ∂z dx + dy ⇒ dz (1,1) = (1,1) dx + (1,1)dy ∂x ∂y ∂x ∂y Tính đạo hàm riêng hàm ẩn z = z ( x, y ) f ( x, y , z ) ≡ z x − ln  − = y  y tacó : ∂z F ′x z ∂z y =− = = ⇒ (1,1) = ∂x F ′z − y ∂x z − x y ∂z z ∂z y = = ( y − x ) ⇒ (1,1) = −1 ∂y ∂y y z → dz (1,1) = 1.dx + 0.dy = dx 13 Tính df(x,y) nếu: (trang 46) a) f ( x, y ) = x sin y − y cos df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y ∂f = sin y + y sin x ∂x ∂f • = x cos y − cos x ∂y ⇒ df = (sin y + y sin x )dx + ( x cos y − cos x )dy • b) f (u , v) = u 2v − v 2u , với u=ycox, v=xsiny df ( x, y ) = ∂f ∂f dx + dy (1) ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x = ( 2uv − v )(− y sin x) + (u − su ) sin y • = ( xy cos x sin x − x sin y )(− y sin x) + ( y cos x − xy cos x sin y ) sin y • ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y = ( xy cos x sin x − x sin y ) cos x + ( y cos2 x − xy cos x sin y ) cos yx ⇒ df = ((2 xy cos x sin x − x sin y )(− y sin x ) + ( y cos x − xy cos x sin y ) sin y )dx + ((2 xy cos x sin x − x sin y ) cos x + ( y cos x − xy cos x sin y ) cos yx)dy 14 Cho phương trình x2 + y2 + z2 -3xyz = 0(trang 46) '' a) Tính z x' , z xy với z = z(x, y) xác định (1) Đặt F(x,y,z)= x2+ y2+z2-3xyz=0 (1) ∂z F ' x x − xy =− ' = ∂x F z z − xy ∂z F ' y z − xz =− = ∂y F ' z y − 3xz z xy'' = =− =− ∂2z ∂ x − yz = (− ) ∂x∂y ∂y z − xy (2 x − yz ) 'y ( z − xy ) − (2 x − yz )(2 z − xy ) 'y (2 z − xy ) (3z + z 'y ( −3 y ))(2 z − x y ) − (2 z 'y − x)(2 x − yz ) (2 z − yx) (3 z − =− y − xz y − xz y )(2 z − yx ) − (2 − − x)(2 x − yz ) z − xy z − xy (2 z − yz ) 2 x − yz ).xy y z − z x' xy y z − (− ∂f b) f = = = z − 3xy ∂x z2 z2 ' x  f x' (1,1,1) = 15 Khai triển Mac-Laurin đến số hạn bậc hàm(trang 46) f ( x, y ) = cos( x + y ) Đặt t = x + y x→0 y →0 nên t → +∞ Vậy ta có t 2n f (t ) = cos t = ∑ (−1) 2n! −∞ n t2 t4 t6 = − + − + θ (t ), t → 2! 4! 6! ( x3 + y ) ( x3 + y ) ( x3 + y )6 + − + R6 ( x, y ) 2! 4! 6! 1 = − ( x + x y + y ) = − x + x y + y + R6 ( x, y ) 2! 2 ⇒ f ( x, y ) = − 16 Khai triển Taylor hàm f(x,y) = -3 - 4xy +2 +x +6y -5 lân cận điểm (-1,2) (trang 46) Ta có: = f(x0,y0) + d f(x0,y0) + d2 f(x0,y0) + d3 f(x0,y0) + 0( f(x,y)= Tính : • f(x0,y0) =f(-1,2) = 17 • d f(x0,y0) = (x0,y0).dx +  =6  = -4x +4y +6 dy (-1,2) = (-1,2) = 18 df(-1,2) = 5dx + 18dy • d2 f(x0,y0) = (x0,y0).d =  =  f3 f(x0,y0) = (-1,2) =-4 ( )=4 dx3+3 (x0,y0).d (-1,2) = -18 = -4 9-1,2) = d2 f(x0,y0) = -18d • (x0,y0) + ( ) = 12x -6 =  +2 d -8dxdy + 4d + 3dxd + dy3 ) =  ( ) = 12 (-1,2) = 12  = ( )=0 (-1,2) =  = ( ) =0 (-1,2) = =  ( ) =0 (-1,2) = d3f(-1,2) = 12dx3 f(x,y) =17 +5(x+1) +18(y-2) -9(x+1) -4(x+1)(y-2) +2(y-2)2 +2(x+1)3 + 0( 3) 17.Tìm đạo hàm theo hướng (12,16) hàm f(x,y) = x3 + y2 -3xy điểm A(1,1) (trang 46) Ta có: (12,16) có (1,1) = e1 + = • =0 • = -1 Vậy = = 20 vecto đơn vị e = =( , ) e2 (1,1) = 18 Chứng minh hàm hợp: thỏa: (trang 46) ∀ (x ; y) Giải: Đặt: , xem t hàm biến • Tính đạo hàm cấp 1: • Tính đạo hàm cấp 2:  (1) (2) = (3) ∀ (x ; y) ) Từ (1), (2) (3) ta suy = f(x,y,z) điểm Mo(3,4,5) theo hướng vecto M M với 19.Tính đạo hàm u = arctan M(0,0,5) (trang 47) Ta có: M M = ( − 3,−4,0 ) ⇒ M M = + 16 + = => M M chưa vector đơn vị, đưa M M đơn vị: eM M = Vậy −3 −4  = , ,0  M 0M  5  M 0M ∂f ∂M 0M ∂f = Tính ∂x ⇒ ( M ) = ∂f ( M ) e1 + ∂f ( M ) e2 + ∂f ( M ) e3 ∂x ∂y ∂z   z   =  2     x + y x z  1+   x2 + y2    (x ∂f ( 3,4,5) = − ∂x 50 Do x,y vai trò giống hàm f(x,y,z) ⇒ ∂f ( 3,4,5) = − ∂y 25 ∂f ( 3,4,5) = ∂z 10 ∂f ∂M M ( 3,4,5) = −  −  − 50   2 4 1   + = 25   10 10 − xz +y ) z2 1+ x + y2 20 Cho hàm u = f(x,y,z) (trang 47) *Hoán đổi vai trò x,y,z Tương tự : Vậy: * Tốc độ biến thiên nhanh hàm f hướng với giá trị lớn tức max Vậy tốc độ biến thiên chậm ngược hướng với giá trị nhỏ tức 21.Tìm xấp xỉ bậc cùa hàm z = f(x,y) = ln(1 + x)ln(1 + y) (trang 47) Theo côngthức Mac-Laurinvới n =  với R =  ∂ + ∂  ∂x ∂y  y   f (θ ,θ ) , < θ < Ta cóf(0,0) = ln1.ln2=0 f x' = 1 ln(1 + x) ln(1 + y), f y' = 1+ y 1+ x f x' (0,0) = f y' (0,0) = ; '' (0,0) = ; ⇒ f xx f '' = xx (−1) (1 + x) f ' ' (0,0) = ; yy ln(1 + y) ; f '' = yy (−1) (1 + y) ln(1 + x) 1 f '' = ln(1 + y) .ln(1 + x) xy + x 1+ y '' = f '' = f '' = ⇒ f xx yy xy ''' = (−1) ln(1 + y ) ln(1 + x) f xxy 1+ y (1 + x) ''' = f xyy ⇒ (−1) ln(1 + y ) .ln(1 + x) 1+ x (1 + y) ∂3 f ∀k = 0,1,2,3 (0,0) = ∂x k ∂y 3−k Vậy ta có: vớisaisố f ( x, y) ≈ R =0 x ≤ 0,2 ; y ≤ 0,2 ta vẫncósaisố R =0 22.Khai triển Taylor đến số hạng cấp hàm z = f(x,y) = xy lân cận Mo(1;1) (trang 47) Ta có: 1 f ( x, y ) = f ( x o , y o ) + df ( xo , y o ) + d f ( x o , y o ) + d f ( x o , y o ) + θ ( ρ ) 1! 2! 3! • f ( xo , y o ) = f (1,1) = = ∂f ∂f ( xo , y o ).dx + ( xo , y o ).dy ∂x ∂x y −1 y ⇒ df (1,1) = y.x (1,1) dx + x ln x (1,1) dy = dx • df ( x o , y o ) = ∂  ∂ ∂2 f ∂2 f ∂2 f • d f (1,1) =  dx + dy  f = (1,1)dx + (1,1).dx.dy + (1,1).dy ∂y  (1,1) ∂x.∂y ∂x ∂y  ∂x = 0.dx + 2.dx.dy + 0.dy = 2.dx.dy ∂  ∂ ∂ f (1,1) ∂ f (1,1) ∂ f (1,1) ∂ f (1,1) • d f (1,1) =  dx + dy  f = dx + d dy + dx dy + dy ∂y  (1,1) ∂x ∂x ∂y ∂x.∂y ∂y  ∂x Taco : ∂3 f ∂  ∂2 f  ∂  = = y.( y − 1).x y −2 = y ( y − 1)( y − 2) y y −3 ∂x ∂x  ∂x  ∂x ∂3 f ⇒ (1,1) = ∂x ∂3 f ∂  ∂ f  ∂ y −1 = • =  x + y ln x.x y −1 ∂x ∂y ∂y  ∂x.∂y  ∂y ( ) ( ) = x y −1 ln x + ln x.x y −1 + x y −1 ln x y ln x ⇒ • ∂3 f (1,1) = ∂x.∂y ∂3 f (1,1) = ∂y ⇒ d f (1,1) = 0.dx + 3.1.dx dy + 3.0.dx.dy + 0.dy = 3.dx dy Vậy : 1 f ( x, y ) = + (dx) + ( 2.dx.dy ) + (3.dx dy ) + θ ( ρ ) 1! 2! 3! ⇒ f ( x, y ) = + ( x − 1) + ( x − 1).( y − 1) + ( x − 1) ( y − 1) + θ ( ρ ) Với ρ = ( x − 1) + ( y − 1) [...]... f(x0,y0) = -1 8d • (x0,y0) + ( ) = 12 x -6 =  +2 d -8 dxdy + 4d + 3dxd + dy3 ) =  ( ) = 12 ( -1 ,2) = 12  = ( )=0 ( -1 ,2) = 0  = ( ) =0 ( -1 ,2) = 0 =  ( ) =0 ( -1 ,2) = 0 d3f ( -1 ,2) = 12 dx3 f(x,y) =17 +5(x +1) +18 (y-2) -9 (x +1) -4 (x +1) (y-2) +2(y-2)2 +2(x +1) 3 + 0( 3) 17 .Tìm đạo hàm theo hướng (12 ,16 ) của hàm f(x,y) = x3 + y2 -3 xy tại điểm A (1, 1) (trang 46) Ta có: (12 ,16 ) có (1, 1) = e1 + = • =0 • = -1 Vậy = =... 1 − 16 Khai triển Taylor hàm f(x,y) = 2 -3 - 4xy +2 +x +6y -5 tại lân cận điểm ( -1 ,2) (trang 46) Ta có: = f(x0,y0) + d f(x0,y0) + d2 f(x0,y0) + d3 f(x0,y0) + 0( f(x,y)= Tính : • f(x0,y0) =f ( -1 ,2) = 17 • d f(x0,y0) = (x0,y0).dx +  =6  = -4 x +4y +6 dy ( -1 ,2) = 5 ( -1 ,2) = 18 df ( -1 ,2) = 5dx + 18 dy • d2 f(x0,y0) = (x0,y0).d =  =  f3 f(x0,y0) = 2 ( -1 ,2) =-4 ( )=4 dx3+3 (x0,y0).d ( -1 ,2) = -1 8 = -4 9 -1 ,2)... − 1) T 4= ln(( x0 + ∆x) 4 + ( y0 + ∆y ) 4 − 1) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) • f ( x0 , y0 ) = ln (14 + 14 − 1) = 1 ∂f 4 .13 = 4 4 =4 ∂x 1 + 1 − 1 ∂f 4 .13 = =4 • ∂y 14 + 14 − 1 → T4 = 1 + 4.0, 01 + 4.0,03 ≈ 1, 16 • 12 Cho hàm z = z ( x, y ) xác định từ phương trình dz ( x, y ) = z x = ln  + 1 (trang 46) y  y ∂z ∂z ∂z ∂z dx + dy ⇒ dz (1, 1) = (1, 1) dx + (1, 1)dy ∂x ∂y ∂x ∂y Tính đạo hàm riêng của hàm ẩn... Ta có: 1 1 1 f ( x, y ) = f ( x o , y o ) + df ( xo , y o ) + d 2 f ( x o , y o ) + d 3 f ( x o , y o ) + θ ( ρ 3 ) 1! 2! 3! 1 • f ( xo , y o ) = f (1, 1) = 1 = 1 ∂f ∂f ( xo , y o ).dx + ( xo , y o ).dy ∂x ∂x y 1 y ⇒ df (1, 1) = y.x (1, 1) dx + x ln x (1, 1) dy = dx • df ( x o , y o ) = 2 ∂  ∂ ∂2 f ∂2 f ∂2 f • d f (1, 1) =  dx + dy  f = 2 (1, 1)dx 2 + 2 (1, 1).dx.dy + 2 (1, 1).dy 2 ∂y  (1, 1) ∂x.∂y ∂x... = x y 1 ln x + ln x.x y 1 + x y 1 ln x y ln x ⇒ • ∂3 f (1, 1) = 0 ∂x.∂y 2 ∂3 f (1, 1) = 0 ∂y 3 ⇒ d 3 f (1, 1) = 0.dx 3 + 3 .1. dx 2 dy + 3.0.dx.dy 2 + 0.dy 3 = 3.dx 2 dy Vậy : 1 1 1 f ( x, y ) = 1 + (dx) + ( 2.dx.dy ) + (3.dx 2 dy ) + θ ( ρ 3 ) 1! 2! 3! 1 ⇒ f ( x, y ) = 1 + ( x − 1) + ( x − 1) .( y − 1) + ( x − 1) 2 ( y − 1) + θ ( ρ 3 ) 2 Với ρ = ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ... 21. Tìm xấp xỉ bậc 3 cùa hàm z = f(x,y) = ln (1 + x)ln (1 + y) (trang 47) Theo côngthức Mac-Laurinvới n = 3  với R =  ∂ + ∂ 3  ∂x ∂y  y   4 f (θ ,θ ) , 0 < θ < 1 Ta cóf(0,0) = ln1.ln2=0 f x' = 1 1 ln (1 + x) ln (1 + y), f y' = 1+ y 1+ x f x' (0,0) = f y' (0,0) = 0 ; '' (0,0) = 0 ; ⇒ f xx f '' = xx ( 1) (1 + x) 2 f ' ' (0,0) = 0 ; yy ln (1 + y) ; f '' = yy ( 1) (1 + y) 2 ln (1 + x) 1 1 f '' = ln (1. .. .ln (1 + x) xy 1 + x 1+ y '' = f '' = f '' = 0 ⇒ f xx yy xy ''' = ( 1) ln (1 + y ) 1 ln (1 + x) f xxy 1+ y (1 + x) 2 ''' = f xyy ⇒ ( 1) 1 ln (1 + y ) .ln (1 + x) 2 1+ x (1 + y) ∂3 f ∀k = 0 ,1, 2,3 (0,0) = 0 ∂x k ∂y 3−k Vậy ta có: vớisaisố khi f ( x, y) ≈ 0 R =0 3 x ≤ 0,2 ; y ≤ 0,2 ta vẫncósaisố R =0 3 22.Khai triển Taylor đến các số hạng cấp 3 của hàm z = f(x,y) = xy tại lân cận Mo (1; 1) (trang 47) Ta có: 1 1... 3 f (1, 1) 3 ∂ 3 f (1, 1) 2 ∂ 3 f (1, 1) ∂ 3 f (1, 1) 3 2 • d f (1, 1) =  dx + dy  f = dx + 3 d dy + 3 dx dy + dy ∂y  (1, 1) ∂x 3 ∂x 2 ∂y ∂x.∂y 2 ∂y 3  ∂x 3 Taco : ∂3 f ∂  ∂2 f  ∂  = = y.( y − 1) .x y −2 = y ( y − 1) ( y − 2) y y −3 ∂x 3 ∂x  ∂x 2  ∂x ∂3 f ⇒ 3 (1, 1) = 0 ∂x ∂3 f ∂  ∂ 2 f  ∂ y 1 = • 2 =  x + y ln x.x y 1 ∂x ∂y ∂y  ∂x.∂y  ∂y ( ) ( ) = x y 1 ln x + ln x.x y 1 +.. .11 .Dùng vi phân cấp một, tính gần đúng giá trị của (trang 46) a)T1 = Chọn: biết = 2, x = x= 1, 0,02 = y- Xét hàm tương ứng: f(x,y) = = = f( + Tính: Vậy: T1 ) = f(2 ,1) = ( , )= (2 ,1) = 0.4559 ( , )= (2 ,1) = 0.3420 1. 71 + 0.4559*0.02+0.3420*0.03 = , x = x- , ) + + 1. 71 b) T2 = sin59ocos32o = sin(60o-1o)cos(30o+2o) Chọn: ( 1. 73 sin( cos( ( , ) = , = y- Xét hàm tương ứng: f(x,y)... ) =- Vậy: T2 c) T3= (1, 03) 5,95 Chọn x0 = 1; ∆x = 0,03 y 0 = 6; ∆y = −0,05 Xét tương ứng: f ( x, y ) = x y ⇒ T3 = ( x0 + ∆x ) • • y 0 + ∆y = f ( x0 + ∆x; y0 + ∆y ) f ( x0 , y0 ) = 16 = 1 ∂f = 6 .16 1 = 6 ∂x ( cos(yo + , ) + + ( , ) ∂f = 16 ln 1 = 0 ∂y → T3 = 1 + 6.0,03 + 0.(−0,05) ≈ 1, 18 • d)T4= ln(0,994 + 1, 034 − 1) Chọn x0 = 1; ∆x = −0, 01 y0 = 1; ∆y = 0,03 Xét tưng ứng f ( x, y ) = ln( x 4 + y 4 − 1) ... 2uv − v )(− y sin x) + (u − su ) sin y • = ( xy cos x sin x − x sin y )(− y sin x) + ( y cos x − xy cos x sin y ) sin y • ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y = ( xy cos x sin x − x sin y ) cos x... − xy cos x sin y ) cos yx ⇒ df = ((2 xy cos x sin x − x sin y )(− y sin x ) + ( y cos x − xy cos x sin y ) sin y )dx + ((2 xy cos x sin x − x sin y ) cos x + ( y cos x − xy cos x sin y ) cos yx)dy... x sin y − y cos df = ∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y ∂f = sin y + y sin x ∂x ∂f • = x cos y − cos x ∂y ⇒ df = (sin y + y sin x )dx + ( x cos y − cos x )dy • b) f (u , v) = u 2v − v 2u , với u=ycox, v=xsiny