Tóm tăt nghiên cứu nhóm lượng tử su(2) trong vật lí hạt cơ bản

1 M U i xng l c tớnh ph bin nhiu h vt lớ Vic tỡm kim nhng i xng v s vi phm nú mt cỏch tun t kim soỏt c, cng nh vic tỡm kim nhng i lng bt bin vt lớ l phng phỏp ch ng ph bin cụng cuc khỏm phỏ cỏc nh lut vt lớ Chng hn, i xng gng P (Parity), khụng cú gỡ cho ta phõn bit c mi hin tng ngoi gng v hỡnh chiu ca nú gng, s hoỏn chuyn khụng gian khụng lm chỳng thay i, chỳng bt bin Hai nh vt lớ Trung Quc M L D Lee v C N Yang (gii Nobel Vt lớ nm 1957) ó khỏm phỏ l lc ht nhõn yu vi phm ti a i xng gng P, ú Spin ca electron v ca neutrino u hon ton quay v phớa trỏi m khụng quay v phớa phi Mt thớ d khỏc l i xng vt cht phn vt cht CP (Charge Parity), hoỏn chuyn vt cht phn vt cht, trc tiờn l thay i du ca in tớch theo ú cỏc nh lut hnh ca vt v phn vt phi ging ht Trong bn tng tỏc c bn thỡ ba lc hp dn, in t v ht nhõn mnh u tuõn th phộp i xng P v CP, ch lc ht nhõn yu mi vi phm chỳng, ti a vi i xng P, ụi chỳt vi i xng CP, tng tỏc yu ca ht v ca phn ht khỏc mc va phi Cú mt i xng khụng h b vi phm, mt i xng c trng ca vt lớ lng t mang tờn i xng chun (Gauge Symmetry) i xng ny ó m mt chõn tri mi l v l ngun gc cho s thnh cụng k diu ca Mụ hỡnh chun (Standard Model) Ta bit rng bỡnh phng ca hm súng cho ta xỏc sut xy i vi mt i lng no ú Ta thy phộp hoỏn chuyn chun lm thay i vi bt k hm thc (x) no u khụng , cng vy nú khụng lm thay i cỏc nh lut ca Mụ hỡnh chun, cỏc i lng vt lớ phi bt bin vi hoỏn chuyn chun Chớnh vỡ vy m i xng chun chi phi ton din s hnh ca cỏc tng tỏc mnh v in-yu Phng trỡnh Maxwell ca tng tỏc in-t tuõn th phộp i xng chun, i xng ny tr thnh nguyờn lý ch trỡ cho s phỏt trin k diu ca in ng lc hc lng t, nhng tớnh toỏn lý thuyt ny ó a nhiu tiờn oỏn c thc nghim kim nh ti chớnh xỏc cao hn mt phn t (momen t ca electron l mt vớ d) Mu chun ó chng t l mt lớ thuyt tt m hu ht cỏc d oỏn ca nú ó c thc nghim khng nh vựng nng lng 200 GeV Gii Nobel v Vt lớ nm 2008 ó vinh tng ba nh vt lớ Nht bn, ú l cỏc giỏo s Yoichiro Nambu, Makato Kobayashi v Toshihide Maskawa vỡ ó tiờn oỏn s tn ti ca ht Higgs, ht to nờn lng cho vt cht v tiờn oỏn v s hin hu tt yu ca hai quark nh (quark top) v quark ỏy (quark bottom), gii thớch s bt i xng vt cht -phn vt cht Mụ hỡnh chun Chng trỡnh u tiờn s mt ca mỏy gia tc ht hng u th gii LHC ( Large Hadron Collider ) CERN l sn tỡm ht c bn Higgs hon thnh Mụ hỡnh chun v tr li cõu hi õu ri phn vt cht hon v bao la? Mc dự vy, Mụ hỡnh chun cũn nhiu hn ch, trc ht l liờn quan n cỏc quỏ trỡnh xy vựng nng lng cao hn 200 GeV v vựng nng lng Planck, hn na l cha gii quyt c mt s lớ thuyt c bn ca bn thõn mụ hỡnh nh s lng v cu trỳc ca cỏc th h fermion, s khỏc v lng ca quark t so vi cỏc quark khỏc, s gión n ca v tr cng nh cỏc vt cht ti khụng baryon, nng lng ti Nhng hn ch ny dn n s cn thit phi nghiờn cu cỏc mụ hỡnh chun m rng Cho n nay, ó cú nhiu lớ thuyt m rng mụ hỡnh chun nh lớ thuyt siờu i xng, lớ thuyt thng nht ln, lớ thuyt dõy, mụ hỡnh - 1, lớ thuyt nhúm lng t m biu din toỏn hc ca nú l i s lng t [1,2,3,] Nhúm lng t v i s lng t úng vai trũ quan trng vt lớ v toỏn hc bi cu trỳc ca i s lng t phự hp vi nhiu ca vt lớ nh lớ thuyt tỏn x ngc lng t [4], vi phng trỡnh Yang Baxter lng t [5] Cỏc i s ny cú th c mụ t nh l s bin dng ca i s Lie thụng thng ti: Nghiờn cu nhúm lng t SU(2) vt lớ ht c bn cng nm hng nghiờn cu ny Vỡ vy, chỳng tụi ó la chn hng nghiờn cu v ti ny vi mc ớch tỡm biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) Ni dung chớnh ca ti c th hin ba chng Chng mt chỳng tụi trỡnh by v i xng ca cỏc ht tng tỏc mnh, bao gm i xng ng v SU(2), i xng SU(3) v cỏc i xng cao hn Trong chng hai, chỳng tụi trỡnh by v i s SU(2); õy, chỳng tụi trỡnh by biu din dao ng ca i s SU(2) c th l chỳng tụi biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t boson Chng 3, trờn c s lớ thuyt q- s, chỳng tụi kho sỏt dao ng t iu hũa phi tuyn, tỡm c ph nng lng v xõy dng thng kờ Bose Einstein bin dng q; tỡm c biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) cho h dao ng t hai mode m mi mode c lp vi v cho h dao ng t a mode m cỏc mode khụng c lp vi Cỏc kt qu chớnh ó t c ca ti l 01 bỏo cỏo khoa hc ti Hi ngh VLLT Ton Quc ln th 36, 02 bi bỏo ng trờn Tp Khoa hc Trng HSP H Ni Hng dn thnh cụng 03 lun Thc s Vt lớ v 05 khúa lun tt nghip cho sinh viờn Khoa Vt lớ Chng I XNG CA CC HT TNG TC MNH Bi I XNG NG V SU(2) Vo nm 1930, kt qu nghiờn cu thc nghim v lc ht nhõn ca proton v neutron ó dn n suy ngh rng: nu nh tỏch c in tớch ca proton thỡ khụng cú cỏch no phõn bit c proton vi neutron vỡ chỳng cú lng v cng tng tỏc vi cỏc ht khỏc xp x Trờn quan im ú cú th xem proton vi neutron nh hai trng thỏi khỏc ca cựng mt ht nucleon N mụ t iu ny, Heisenberg a vo khỏi nim spin ng v Cng tng t nh vi spin thụng thng, ht cú spin ng v I cú th (2I+1) trng thỏi khỏc vi cỏc giỏ tr: I = I , I 1, , I Nh vy nucleon cú spin ng v I = , proton ng vi giỏ tr I3 = + 1 , cũn neutron ng vi giỏ tr I = V sau khỏi nim spin ng v c m 2 rng cho mi ht tng tỏc mnh khỏc Vớ d meson + , , c xem nh ba trng + thỏi khỏc ca cựng mt ht , cú spin ng v I = 1, cú I = +1, cú I = 0, cú I = 1, tng t vi meson k, cỏc baryon , , i xng ng v c mụ t bng ngụn ng toỏn hc bi nhúm cỏc phộp bin i SU(2), ú l nhúm cỏc phộp bin i thc hin bi cỏc toỏn t U cú dng: (1.1) U ( ) = e i a Ia a=1 ú a l cỏc thụng s nhn cỏc giỏ tr thc, cỏc vi t I a c ng nht vi toỏn t spin ng v, hermitic I a + = I a v tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn: [ I a , Ib ] = i abc I c (1.2) Di tỏc dng ca phộp bin i ng v cỏc toỏn t trng bin i theo qui tc tng quỏt: ( x) '( x) = e i a I a a ( x) e i a Ia a (1.3) Nu cú r ht vi cỏc trng tng ng i ( x ) , i = 1, 2, , r , bin i theo qui lut: j i aTa ữ j ( x) i ( x ) = e a ữ i ú Ta l cỏc ma trn r ì r , tuõn theo h thc giao hoỏn nh I a , (1.4) [ Ta , Tb ] = i abcTc (1.5) ta núi rng r ht ny thc hin bin din r chiu ca nhúm SU(2), hoc núi rng chỳng to thnh mt a tuyn ng v r Rừ rng rng r = I + , ú I l spin ng v ca cỏc ht a tuyn x Cú th th trc tip thy rng cỏc ma trn Ta( ) tha h thc giao hoỏn: Ta( x ) , Tb( x ) = i abcTc( x ) Cỏc ht tng tỏc mnh cũn c c trng bi siờu tớch Y, nh i vi cỏc ht cựng mt a tuyn ng v in tớch, spin ng v v siờu tớch tha h thc Gell-Nishijima Q = I3 + Y (1.17) ú in tớch Q tớnh theo n v in tớch ca positron e + ( proton), Y liờn h vi s baryon B v s l S bi h thc: Y=B+S (1.18) Theo ú nucleon v K-meson cú Y=1, , meson, , meson cú : Y = 0, , K meson cú Y=-1 Mt h vt lớ cú tớnh i xng ng v cú ngha l Lagrangian mụ t h, toỏn t tỏn x S,phi bt bin i vi cỏc phộp bin i SU ( ) I , tc l: L ' ( x ) = U ( ) L ( x ) U ( ) = L ( x ) , S ' = U ( ) SU ( ) = S , hay: (1.19) I a , L ( x ) = [ Ia , S ] = (1.20) Hóy xột mt vớ d c th Gi s ta cn lp Lagrangian bt bin ng v mụ t tng tỏc gia nucleon v meson Dng n gin nht ca Lint ( x ) tha (1.19), (1.20) l Lagrangian tng tỏc dng Yukawa nh sau: _ Lint ( x ) = g ( x ) a ( x ) a ( x ) (1.21) a Bin thc (1.21) ta cn hiu l vit di dng ma trn i vi c cỏc ch s spinor Dirac , , v cỏc ch s spinor ng v i, j , ca trng nucleon Vit tng minh s l: Lint ( x ) = g a i ( x ) ( ) ( a ) i j ( x ) a ( x ) j (1.22) Khai trin (1.22) v thay vo ú: = i + + , = + 2 ( ) ( ) Ta cú: Lint ( x ) = g { } p n + + n p + p n n n (1.23) T õy suy h thc gia cỏc hng s liờn kt Yukawa NN nh sau: G pn + : Gnp : G pp : Gnn = 1:1: 1 : 2 Bi I XNG SU(3) (1.24) Vo nm 1960 s ht c bn phỏt hin c ó tng rt nhiu so vi 30 nm trc ú, Heisenberg xut ý tng v spin ng v Mt khỏc , nhng kt qu p thu c t lớ thuyt i xng ng v SU(2) ó gi ý tng m rng nhúm i xng ny, tc l tỡm mt nhúm i xng rng hn cú cha SU(2) nh mt nhúm Lỳc ú ta cú th kt hp nhiu a tuyn ng v li vi thnh mt a tuyn ln hn thc hin biu din ca nhúm i xng m rng ny S tn ti ht baryon spin 1+ quen thuc lỳc ú: p , n, + , , , , , Cng nh ht meson spin : : : K , K , , , , K , K + + vi lng khỏc khụng nhiu lm gi m ý tng rng tỏm baryon ny, cng nh meson ny to thnh cỏc tuyn tỏm ca nhúm i xng mi Gell-Mann l ngi u tiờn xng ý tng m rng trờn c s i xng SU(3) v ly tờn l i xng tỏm li ( Eightfold Way Bỏt chỏnh o) Nhúm cỏc phộp bin i SU(3) l nhúm cỏc phộp bin i Unita c thc hin bi cỏc toỏn t U ph thuc thụng s v cú dng i a M a U ( ) = e a=1 ú a (2.1) + l cỏc thụng s thc, M a l cỏc vi t hermitic M a = M a , tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn: [ M a , M b ] = if abc M c f abc l cỏc hng s cu trỳc ca nhúm SU(3) hon ton phn xng theo cỏc ch s: (2.2) f abc = fbca = f cba = f acb Di tỏc dng ca phộp bin i SU(3) cỏc toỏn t trng bin i theo qui tc tng quỏt: i a M a ( x ) ' ( x ) = e a=1 ( x) e i a M a a =1 (2.4) Cng hon ton tng t nh trng hp SU(2), nu cú r ht tng ng vi cỏc trng i ( x ) , i = 1, 2,3, , r bin i theo qui lut: j i aTa ' ( x ) = e a=1 ữ j ( x ) ữ i (2.5) ú: Ta l cỏc ma trn r ì r tuõn theo cỏc h thc giao hoỏn: [ Ta , Tb ] = i f abcTc (2.6) thỡ ta núi rng r ht ny thc hin biu din r chiu ca nhúm bin i SU(3), hoc núi rng chỳng to thnh mt a tuyn r T (2.4) v (2.5) suy ra: [ M a , i ] = ( Ta ) ij j Vớ d n gin nht l r = 1, Ta = ú l trng hp n tuyn SU(3), bt bin (2.7) ' = , [ M a , ] = Trng hp r=3 c gi l biu din c s Lỳc ny Ta l cỏc ma trn ì cú dng: Ta = a a l cỏc ma trn Gell-Mann, cú cỏc tớnh cht sau: b + = a , Tra = 0, Tra b = ab , (2.9) [ a , b ] = 2i f abc c , { a , b } = 2d abc c + ab ú Tr ( Trace ) l ký hiu ly vt m trn, d abc l cỏc hng s hon ton i xng theo cỏc ch s v nhn cỏc giỏ tr khỏc nh sau: 1 1 , d 247 = , d355 = , d 558 = , 2 3 1 1 d146 = , d 256 = , d366 = , d 668 = , 2 2 1 1 d157 = , d 338 = , d177 = , d 778 = , 2 3 1 1 d 228 = , d 344 = , d 448 = , d888 = , 3 d118 = (2.10) T cỏc cụng thc (1.9) ta suy rng: f abc = Tr ( a b c b a c ) d abc = Tr ( a b c + b a c ) T (2.2) v bng giỏ tr f abc (2.11) (2.3) ta thy rng ba v t M , M , M to nờn i s SU(2) v ú c ng nht vi cỏc toỏn t spin ng v trc õy: M a = I a , a = 1, 2,3 (2.12) Ngoi ra, ta thy rng M giao hoỏn vi tt c M , M , M Do ú cú th ng nht ( t l) vi toỏn t siờu tớch Y phự hp vi cỏc giỏ tr Y ó cú trc õy ca cỏc ht ta cn t: 10 M8 = Y (2.13) Nh vy, h thc Gell-Mann-Nishijima (1.17) tng ng vi s ng nht toỏn t in tớch: Q = M3 + M8 (2.14) Bi CC A TUYN HADRON Trong bi ny chỳng ta s núi v cỏch sp xp cỏc hadron, c th l cỏc baryon spin 1+ 3+ , cỏc meson spin ,1 v cỏc baryon cng hng spin cỏc a tuyn 2 SU(3) 3.1 a tuyn tỏm baryon 1+ ú l a tuyn gm cỏc ht: p , n, + , , , , , Thc hin biu din tỏm tng ng vi cỏc trng bin i theo qui lut ( 2.5) v (2.7) vi: ( Ta ) b = i f abc c Tc l: [ M a , b ] = i f abc c 3.2 a tuyn tỏm meson ú l cỏc a tuyn gm cỏc ht: : : K , K , , , , K , K + + (3.1) 20 Chỳng ta thit lp c cỏc cụng thc sau: n = n n , a n = n n , a n = n + n + , n = a N n! +n + (8.13) = a al toỏn Cỏc toỏn t av a gi l toỏn t hy ht v sinh ht, tng ng, toỏn t N + + t s ht, n l vộc t trng thỏi cú n ht Bi BIU DIN DAO NG CA I S SU(2) 9.1.H dao ng t boson a mode Xột h dao ng t boson a mode, h thc (8.7) i vi cỏc dao ng t boson n mode c tng quỏt húa cho cỏc dao ng t boson a mode nh sau: , + = i a j ij a , =0 i a j a (9.1) Toỏn t s dao ng t mode i biu din theo cỏc toỏn t N = a a a , a i + i qua cụng thc + i i Trng thỏi cú n1 dao ng t mode 1, n2 (9.2) i dao ng t mode 2, v.v c mụ t n bi vect trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng t n = n , n , , n a2+ i =1 n2 ak+ nk n1 !n2 ! nk ! Tỏc dng ca toỏn t N i v cú dng: k ( ) ( ) ( ) = n1 a1+ N = N i (9.5) lờn vộc t trng thỏi n l: N n i = ni 9.2.Biu din dao ng ca i s SU(2) n (9.6) 21 Biu din dao ng t ca i s SU(2) c thc hin bi h dao ng t hai J , J , J mode Cỏc vi t J = 2 ( a a + a a ) , J + + 2 = ca i s SU(2) c biu din theo cỏc toỏn t boson 2i ( a a a a ) , J + + 2 = ( a a a a ) + + 2 (9.9) Ta tỡm c h thc giao hoỏn ca cỏc vi t J i , cũn gi l cỏc biu thc ca i s SU(2): , =i J i J j ijk J k ú ijk (9.10) hon ton phn i xng vi cỏc ch s v 123 = thun tin ụi ngi ta cũn dựng cỏc vi t ca i s SU(2) l t hp ca cỏc vi t trờn nh sau: E J+ J1 + iJ2 = a1+ a2 , F J J1 iJ2 = a2+ a1 , H J3 a1+ a1 a2+ a2 = N N (9.11) Khi ú, cỏc vi t trờn thc hin i s SU(2) úng kớn cú dng nh sau: E , F = H , H , F = E , H , F = F J3 , J+ = J+ , Hoc: J3 , J = J , J+ , J = J3 (9.13) Khụng gian ca biu din SU(2) l khụng gian Fock vi cỏc c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng t n = n ,n = ( ) ( ) a1+ n1 a2+ n1 !n2 ! n2 (9.14) 22 T khụng gian biu din ny, cỏc khụng gian bt kh quy ca biu din c xỏc nh nh sau: Xột toỏn t Casimir 2 C = J1 + J + J (9.15) t J = ( N + N 2) (9.16) Chỳng ta cú th biu din toỏn t Casimir theo toỏn t J nh sau: = J ( J + ) C (9.17) i vi biu din bt kh quy, toỏn t Casimir cú giỏ tr riờng xỏc nh, cho nờn t dng (9.17) chỳng ta thy rng cú th c trng cho biu din bt kh quy ca i s SU(2) bi cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t J v t cụng thc (9.16) chỳng ta Theo nh ngha ca toỏn t s dao ng t N i cú: J n = j n , ( ) N1 + N n = j n , ( n1 + n2 ) n = j n (9.18) T õy, chỳng ta suy ra: j = (n + n ) ú (9.19) n1 , n2 l cỏc s nguyờn, suy j l mt s nguyờn hoc bỏn nguyờn, khụng õm 23 xỏc nh cỏc vộc t riờng ca khụng gian ca khụng gian Hilbert, tc l tỡm biu din bt kh quy ca i s SU(2) ta nhn xột rng biu din ny phi c xỏc nh bi hai giỏ tr riờng (do khụng gian chung c xỏc nh bi hai s n1 v n2) Ta nhn xột rng toỏn t J giao hoỏn vi J nờn J cú giỏ tr riờng xỏc nh, ký hiu tr riờng ny l m v t nh ngha ca J (9.9), ta cú: m= 1( n n) (9.20) Vy biu din bt kh quy ca SU(2) khụng gian cỏc vộc t c s (9.14) cú th c trng bi cỏc tr riờng j v m liờn h vi n1 v n2 nh sau: n = j + m , n2 = j m , (9.21) Khụng gian vi cỏc vộc t c s ca biu din bt kh quy ca i s SU(2) l: j ,m = ( a ) j + m ( a ) j + m ( j + m )! ( j m )! + + (9.22) T (9.20) v (9.19) ta thy rng vi mt giỏ tr j xỏc nh thỡ m cú 2j+1 giỏ tr nh sau: m = j , j , , j + , j (9.21) Do ú, khụng gian biu din bt kh quy cú 2j + chiu ta cú phng trỡnh: N j , m = n j , m (9.26) N j , m = n j , m (9.28) 1 2 Hn na, t biu thc: J = ( N N ) (9.29) 24 chỳng ta suy cỏc vi t J3 , J+ , J ca i s SU(2) tỏc dng lờn vộc t trng thỏi j , m khụng gian ca biu din bt kh quy theo cỏc phng trỡnh sau: J j , m = ( j + m + ) ( J j , m = ( j m + ) ( J j , m = m j , m , + j m ) j ,m , j + m ) j ,m (9.30) Kt lun chng 2: Trờn c s hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi i n biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson v trỡnh by v biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) khụng gian j + chiu CHNG BIU DIN DAO NG CA I S LNG T SUq(2) Bi 10 Lí THUYT q S Chỳng ta a vo nh ngha q- s tng ng vi s thụng thng x nh sau: [x] = q q q qq x x (10.1) Vi q l mt tham s, nu x l mt toỏn t cng cú nh ngha ging nh biu thc (10.1) Bi 11 DAO NG T BOSON BIN DNG q 11.1 Dao ng t Boson bin dng q + Dao động tử boson biến dạng q đợc định nghĩa theo toán tử sinh hạt aq , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng q: aq aq + qa q + a q = q N (11.1) 25 Liên hệ toán tử sinh hạt aq + , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N đợc diễn tả hệ thức a +q aq = N ; aq a q+ = N + q q (11.2) Cơ sở không gian Fock đợc xác định tác động liên tiếp toán tử sinh a +q lên trạng thái chân không bị hủy aq , ta có aq = 0, aq n = n q = ( a + ) [ n] q n , a +q n = [ n + 1] q n +1 n [ n] q ! (11.3) Hamiltonian dao động tử điều hòa biến dạng q: p m 2 h H= + q = aq a +q + a q+ aq ) ( 2m 2 = { h N + N + q q } (11.6) Ta thu đợc phổ lợng dao động tử điều hòa biến dạng q En = { } h [ n ] q + [ n + 1] q (11.7) 11.2 Phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng q Biểu thức tính giá trị trung bình đại lợng vật lý F là: F = ( Tr e ( H N Z ) F ) (11.8) 26 Trong Z tổng trạng thái hệ, xác định tính chất nhiệt động hệ có dạng: ( Z = Tr e ( H N ) ) Trong trờng hợp biến dạng, hàm phân bố thống kê Bose Einstein có biến dạng q N = e ( ) = ( q + q ) e ( ) + e ( ) e kT kT e 1ữ ( q + q ) e kT (11.12) +1 Bi 12 BIU DIN DAO NG CA I S LNG T SUq(2) a biu din bt kh quy ca i s lng t SU q(2) chỳng ta da vo hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng q trờn vi trng hp hai mode m cỏc dao ng t cỏc mode khỏc c lp vi Khi ú chỳng ta cú h thc giao hoỏn ca toỏn t sinh, hy dao ng t nh sau: a +j ( ( q 1) ij + 1) a +j = ijq Ni , , a j = ai+ , a +j = (12.1) Trong ú N i l toỏn t s dao ng t mode i, tha cỏc h thc ai+ = N i , ai+ = N i + q q (12.2) v + , = , ,a a a j j ij N i N i j = a + j ij (12.3) Khụng gian Fock vi c s l cỏc vộc t trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t N = N1 + N2 27 ( a ) n ( a ) n + n n ,n = = q 1 q + 2 n1 ! n ! q q (12.4) Cng tng t nh biu din dao ng t ca i s SU(2), biu din bt kh quy ca i s lng t SUq(2) cú th thu c t trng thỏi (12.4) vi n1 = j + m v n2 = j m T ú khụng gian vi cỏc vộc t c s ca biu din bt kh quy l ( a ) ( a ) j ,m = j + m , j m = q q + j +m + j m j+m q ! jm q ! , (12.5) ú j = ( n + n ) ,m = ( n n ) 2 2 nh vy, vi mi giỏ tr j xỏc nh thỡ m cú 2j + giỏ tr nh sau: m = j , j , , j + , j + Cỏc toỏn t , (i = 1, 2) tỏc dng khụng gian ny nh sau: a j , m q + a j , m q a j , m q a j , m q + j + m j , m , 2 ,m j + + m +1 j + 2 ,m + , j m j 2 ,m j m +1 j + 2 = = = = q , q (12.6) q q i s lng t SU(2)q l mt bin dng q ca i s SU(2), c xõy dng bi ba toỏn t liờn hp J1 , J2 , J3 biu din theo cỏc toỏn t hy v sinh dao ng nh sau: 1 J = ( a a + a a ) , J = 2i ( a a a a ) , J = ( N N + 1 + 2 + + 2 ) (12.7) 28 Hoc thun tin, thụng thng ngi ta s dng cỏc vi t l t hp ca cỏc vi t trờn: E J+ J1 + iJ2 = a1+ a2 , F J J1 iJ2 = a2+ a1 , H J3 = N N (12.8) Da vo cỏc h thc giao hoỏn (12.1) chỳng ta chng minh c i s SU q(2) úng kớn nh sau: , J + J = J , , J J q = J (12.9) Hoc, i s lng t SUq(2) cú dng: E , F = H , H , F = E , H , F = F q Tỏc dng ca cỏc vi t J3 , J+ , J lờn c s j , m q khụng gian ca biu din bt kh quy (biu din Jimbo) nh sau: J j , m = q j + m j m + j , m + q J j , m = j m j + m + j , m J j , m = m j , m + q q q q , , (12.11) q Toỏn t Casimir cú dng: C = ( J J + J J ) + J q q + + q (12.12) Toỏn t Casimir cú giỏ tr riờng l Cq = [ j ] q [ j + 1] q Bi 13 BIU DIN CA I S SUq(2) THEO CC DAO NG T BOSON A MODE KHễNG C LP 29 õy, chỳng tụi quan tõm n mt kiu bin dng ca cỏc dao ng t a mode m cỏc dao ng thuc cỏc mode khỏc khụng c lp vi nhau, bng vic a vo tham s bin dng q gia cỏc dao ng cỏc mode khỏc thụng qua h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh hy boson mode i v mode j: a +j qa +j = ij q N (13.3) N , = , a j = 0, ú, tham s bin dng q l s thc v i j , N (13.4) l toỏn t tng s dao ng t ca tt c cỏc mode khỏc k N = N i , i =1 N i , a +j = ija +j N i , a j = ija j , (13.5) i s (13.3) c thc hin khụng gian Fock cú cỏc vộct c s l cỏc vộct trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t tng s dao ng t n1 , n2 , , nk = q n ( n 1) + a ( ) n !n ! n ! k n1 ( a2+ ) ( ak+ ) n2 nk N (13.6) Trong khụng gian ny, cỏc h thc sau c tha ai+ = q N ( N i + 1) ai+ = q N N i , (13.7) v k a a i =1 + i i =q N õy k l s mode dao ng N , k a a i =1 + i i = q N ( N + k ) (13.8) 30 i vi hai mode dao ng, cỏc vi t ca i s SUq(2) c biu din theo cỏc toỏn t boson bin dng q nh sau: J+ = q1 N a1+ a2 , J = q1 N a2+ a1 , ( J3 = N N 2 ) (13.9) Chỳng ta cú th chng minh c cỏc vi t ny tha i s SU(2) dng J3 , J+ = J+ , J+ , J = J3 J3 , J = J , Hoc di dng E J+ J1 + iJ2 = q1 N a1+ a2 , F J J1 iJ2 = q1 N a2+ a1 , H J3 = N N v i s lng t SU(2) cú dng quen thuc E , F = H , H , F = E , H , F = F Biu din ca i s SUq(2) trờn c s h thc (13.3) c thc hin khụng gian Fock vi c s l cỏc vect trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t s dao ng t j, m = q ( j j ữ j + m ) !( j m ) ! ( a1+ ) j +m ( a2+ ) j m (13.10) Bi 14 BIU DIN CA SUq(2) THEO CC DAO NG BOSON A MODE BIN DNG q TRONG ể MI MODE DAO NG Cể MT THAM S BIN DNG RIấNG Bõy gi chỳng tụi quan tõm n mt kiu dao ng boson a mode bin dng q, ú mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng v cỏc dao ng cỏc mode khỏc l khụng c lp vi nhau, th hiờn qua h thc a +j qi q j a +j = ij qi2 N , (14.1) 31 N , = q j 1ai a j qi1ai a j = (14.2) õy N l toỏn t tng s dao ng t k N = N i , i =1 N i , a j = ija j , N i , a +j = ija +j (14.4) C s ca khụng gian Fock c xỏc nh bi s tỏc ng liờn tip ca cỏc toỏn t sinh dao ng t lờn trng thỏi chõn khụng n1 , n2 , , nk = k ni qi n1 !n2 ! nk ! i =1 nj j >i ni ( ni 1) ( a ) ( a ) + n1 + n2 ( ak+ ) nk (14.5) k l s mode dao ng Trong khụng gian ny, chỳng ta cú cỏc h thc sau ai+ = qi2( N 1) N i , ( ) ai+ = qi2 N N i + (14.6) c bit i vi h dao ng t hai mode, cỏc h thc (14.1), (14.2) cú dng + + ai+ qi2 ai+ = qi2 N , a1a2 = q1q2 a2 a1 q21a1a2 = q11a2 a1 Biu din ca i s SU(2) trờn c s biu thc (17)c thc hin khụng gian Fock vi cỏc vect c s sau jm = ( j + m ) !( j m ) ! ( j + m ) ( j + m 1) ( j m ) ( j m 1) ( j + m ) ( j m ) + 2 q q Cỏc vi t ca i s SUq(2) tha ng nht thc sau ( a ) ( a ) + j +m + j m (14.8) 32 2( N ) + 2( N ) + N N + N N + J + = q1 q2 a1 a2 , J = q1 q2 a2 a1 , J = q1 a1 a1 q2 a2 a2 (14.9) Hoc di dng: E = q11 N q12 N a1+ a2 , F q11 N q12 N a2+ a1 , F q11 N q12 N a2+ a1 , (14.10) S dng h thc (14.7), chỳng ta chng minh c cỏc vi t trờn tha i s SU(2) J3 , J+ = J+ , J3 , J = J , J+ , J = J3 Hoc E , F = H , H , F = E , H , F = F Kt lun chng 3: Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc v biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu i s bin dng, ú cỏc dao ng t cỏc mode khỏc c kho xỏt lớ thuyt khụng hon ton c lp vi v m rng cho trng hp mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng KT LUN ti Nghiờn cu nhúm lng t SU(2) vt lớ ht c bn ó t c mt s kt qu sau: Trỡnh by v lớ thuyt i xng ca cỏc ht tng tỏc mnh, bao gm i xng ng v SU(2), i xng SU(3) v cỏc i xng cao hn T biu din ca nhúm i xng, cỏc ht c bn c sp xp theo cỏc a tuyn c bit, t biu din c s ca nhúm i xng SU(3) lp nờn a tuyn cỏc quark, vi c im l tt c cỏc biu din khỏc cú th to nờn t biu din ny, vy cỏc nh vt lớ ó kt lun rng cỏc ht c bn c to nờn t cỏc quark Cho n nay, cha cú thớ nghim no phỏt hin c cỏc quark trng thỏi t do, vỡ chỳng b chi phi bi nguyờn lý cm tự, nhng cú nhiu kt qu thc nghim chng t s tn ti ca cỏc quark Cỏc h thc v lng 33 Gell Mann Okubo, h thc rng phõn ró, biờn tỏn x ca cỏc quỏ trỡnh i vi cỏc ht c bn cng c trỡnh by Trờn c s hỡnh thc lun dao ng t iu hũa tuyn tớnh, vi cỏc h thc giao hoỏn ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi i n biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson v trỡnh by v biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) khụng gian j + chiu Trỡnh by cỏc v biu din dao ng ca i s lng t SU q(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu i s bin dng, ú cỏc dao ng t cỏc mode khỏc c kho sỏt lớ thuyt khụng hon ton c lp vi v m rng cho trng hp mi mode dao ng cú mt tham s bin dng riờng Tỡm c biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) cỏc trng hp trờn Cỏc kt qu chớnh ca ti c th hin trờn 01 bỏo cỏo khoa hc ti Hi ngh VLLT Ton Quc ln th 36, 02 bi bỏo ng trờn Tp Khoa hc Trng HSP H Ni Hng dn thnh cụng 03 lun Thc s Vt lớ v 05 khúa lun tt nghip cho sinh viờn Khoa Vt lớ DANH MC CC CễNG TRèNH C CễNG B [1] Lu Th Kim Thanh, Trn Thỏi Hoa (2011), On the q Defomed mulmode Oscillator, The 35th National Conference on Theoretical Physics, Quy Nhn [2] Lu Th Kim Thanh, Th Thm (2011), Phõn b thng kờ Bose _ Einstein bin dng q vi nhit chuyn pha ca cht siờu dn, Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, s 17 , 140 -146 [3] Lu Thi Kim Thanh (2012), Quantum Algebras SUq(2), Tp khoa hc Trng HSP H Ni 2, s 19 Xỏc nhn ca c quan H Ni, ngy 12 thỏng nm 2012 34 LU TH KIM THANH [...]... tử sinh hạt aq , toán tử hủy hạt aq và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng q: aq aq + qa q + a q = q N (11.1) 25 Liên hệ giữa các toán tử sinh hạt aq + , toán tử hủy hạt aq và toán tử số hạt N đợc diễn tả bởi hệ thức a +q aq = N ; aq a q+ = N + 1 q q (11.2) Cơ sở của không gian Fock đợc xác định bởi sự tác động liên tiếp của toán tử sinh a +q lên trạng... nhúm SU(2) trong khụng gian con 2 j + 1 chiu CHNG 3 BIU DIN DAO NG CA I S LNG T SUq(2) Bi 10 Lí THUYT q S Chỳng ta a vo nh ngha q- s tng ng vi s thụng thng x nh sau: [x] = q q q qq x x (10.1) 1 Vi q l mt tham s, nu x l mt toỏn t cng cú nh ngha ging nh biu thc (10.1) Bi 11 DAO NG T BOSON BIN DNG q 11.1 Dao ng t Boson bin dng q + Dao động tử boson biến dạng q đợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt. .. dao ng ca i s SU(2) n (9.6) 21 Biu din dao ng t ca i s SU(2) c thc hin bi h dao ng t hai J , J , J mode Cỏc vi t J 1 = 1 2 1 2 ( a a + a a ) , J + 1 + 2 2 1 2 = 3 ca i s SU(2) c biu din theo cỏc toỏn t boson 1 2i ( a a a a ) , J + 1 + 2 2 1 3 = 1 2 ( a a a a ) + 1 + 1 2 2 (9.9) Ta tỡm c h thc giao hoỏn ca cỏc vi t J i , cũn gi l cỏc biu thc ca i s SU(2): , =i J i J j ijk J k trong ú ijk (9.10)... sinh, hy dao ng t v toỏn t s ht; chỳng tụi i n biu din cỏc vi t ca i s SU(2) theo cỏc toỏn t sinh, hy boson v trỡnh by v biu din bt kh quy ca nhúm SU(2) trong khụng gian con 2 j + 1 chiu Trỡnh by cỏc vn v biu din dao ng ca i s lng t SU q(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu i s bin dng, trong ú cỏc dao ng t cỏc mode khỏc nhau c kho sỏt trong lớ thuyt khụng hon ton c lp vi nhau v m rng ra cho trng hp mi... chỳng ta chng minh c cỏc vi t trờn tha món i s SU(2) J3 , J+ = J+ , J3 , J = J , J+ , J = 2 J3 Hoc E , F = H , H , F = 2 E , H , F = 2 F Kt lun chng 3: Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc vn v biu din dao ng ca i s lng t SUq(2) c bit, chỳng tụi ó xut hai kiu i s bin dng, trong ú cỏc dao ng t cỏc mode khỏc nhau c kho xỏt trong lớ thuyt khụng hon ton c lp vi nhau v m rng... Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q: p 2 m 2 2 h H= + q = aq a +q + a q+ aq ) ( 2m 2 2 = { h N + N + 1 q 2 q } (11.6) Ta thu đợc phổ năng lợng của dao động tử điều hòa biến dạng q En = { } h [ n ] q + [ n + 1] q 2 (11.7) 11.2 Phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng q Biểu thức tính giá trị trung bình của đại lợng vật lý F là: F = ( Tr e ( H à N Z ) F ) (11.8) 26 Trong đó Z là tổng trạng... khi ngi ta cũn dựng cỏc vi t ca i s SU(2) l t hp ca cỏc vi t trờn nh sau: E J+ J1 + iJ2 = a1+ a2 , F J J1 iJ2 = a2+ a1 , H 2 J3 a1+ a1 a2+ a2 = N 1 N 2 (9.11) Khi ú, cỏc vi t trờn thc hin i s SU(2) úng kớn cú dng nh sau: E , F = H , H , F = 2 E , H , F = 2 F J3 , J+ = J+ , Hoc: J3 , J = J , J+ , J = 2 J3 (9.13) Khụng gian ca biu din SU(2) l khụng gian Fock vi cỏc c s... khụng gian Hilbert, tc l tỡm biu din bt kh quy ca i s SU(2) ta nhn xột rng biu din ny phi c xỏc nh bi hai giỏ tr riờng (do khụng gian chung c xỏc nh bi hai s n1 v n2) Ta nhn xột rng toỏn t J 3 giao hoỏn vi J nờn J 3 cú giỏ tr riờng xỏc nh, ký hiu tr riờng ny l m v t nh ngha ca J 3 (9.9), ta cú: m= 1( n n) 2 1 (9.20) 2 Vy biu din bt kh quy ca SU(2) trong khụng gian cỏc vộc t c s (9.14) cú th c trng bi... 0, trong ú, tham s bin dng q l s thc v i j , N (13.4) l toỏn t tng s dao ng t ca tt c cỏc mode khỏc nhau k N = N i , i =1 N i , a +j = ija +j N i , a j = ija j , (13.5) i s (13.3) c thc hin trong khụng gian Fock cú cỏc vộct c s l cỏc vộct trng thỏi riờng ó chun húa ca toỏn t tng s dao ng t n1 , n2 , , nk = q n ( n 1) 4 + a ( ) 1 n !n ! n ! 1 2 k n1 ( a2+ ) ( ak+ ) n2 nk N 0 (13.6) Trong. .. Chỳng ta cú th chng minh c cỏc vi t ny tha món i s SU(2) dng J3 , J+ = J+ , J+ , J = 2 J3 J3 , J = J , Hoc di dng E J+ J1 + iJ2 = q1 N a1+ a2 , F J J1 iJ2 = q1 N a2+ a1 , H 2 J3 = N 1 N 2 v i s lng t SU(2) cú dng quen thuc E , F = H , H , F = 2 E , H , F = 2 F Biu din ca i s SUq(2) trờn c s h thc (13.3) c thc hin trong khụng gian Fock vi c s l cỏc vect trng thỏi riờng ... hệ toán tử sinh hạt aq + , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N đợc diễn tả hệ thức a +q aq = N ; aq a q+ = N + q q (11.2) Cơ sở không gian Fock đợc xác định tác động liên tiếp toán tử sinh... BIN DNG q 11.1 Dao ng t Boson bin dng q + Dao động tử boson biến dạng q đợc định nghĩa theo toán tử sinh hạt aq , toán tử hủy hạt aq toán tử số hạt N thỏa mãn hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham... xng ng v SU(2), i xng SU(3) v cỏc i xng cao hn Trong chng hai, chỳng tụi trỡnh by v i s SU(2); õy, chỳng tụi trỡnh by biu din dao ng ca i s SU(2) c th l chỳng tụi biu din cỏc vi t ca i s SU(2)