bài giảng xác suất thống kê

Chương I : Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Phép thử loại biến cố 1.1.1 Phép thử a) Các thí dụ +) Muốn biết sản phẩm hộp sản phẩm tốt hay xấu ta lấy từ hộp sản phẩm quan sát xem sản phẩm tốt hay xấu v.v b) Khái niệm phép thử Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay không xảy gọi thực phép thử Chú ý : Ứng với phép thử gắn với hành động mục đích quan sát 1.1.2 Biến cố Khái niệm : Hiện tượng xảy hay không xảy kết phép thử gọi biến cố Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy sản phẩm (tức ta thực phép thử), gọi A = (Lấy sản phẩm tốt) A biến cố 1.1.3 Phân loại biến cố +) Biến cố chắn (ký hiệu chữ U): Là biến cố định xảy thực phép thử +) Biến cố có (ký hiệu chữ V): Là biến cố định không xảy thực phép thử +) Biến cố ngẫu nhiên (ký hiệu chữ A, B, C, ): Là biến cố xảy thực phép thử Thí dụ 1: Tung đồng xu có mặt Sấp(S) Ngửa(N) Gọi A = (Đồng xu xuất mặt sấp), ta có A biến cố ngẫu nhiên Thí dụ 2: Gieo xúc xắc (giải thích xúc xắc) Gọi U = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm ≤ 6), ta có U biến cố chắn V = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có V biến cố có A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm), ta có A1 biến cố ngẫu nhiên C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có C biến cố ngẫu nhiên Chú ý : Việc đưa biến cố U, V vào để hoàn thiện mặt lý thuyết , thực tế ta quan tâm tới biến cố ngẫu nhiên, từ nói biến cố ta hiểu biến cố ngẫu nhiên 1.2 Xác suất biến cố, định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.1 Khái niệm xác suất biến cố Cho A biến cố, xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) (Probability of event A) số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố A thực phép thử 1.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất biến cố a) Kết cục đồng khả xảy Thí dụ 1: Tung đồng xu cân đối đồng chất, giả sử khả đồng xu xuất mặt sấp hay mặt ngửa Khi ta có hai kết cục đồng khả xảy ra, là: {S; N} Thí dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Gọi Ai = (Con xúc xắc xuất mặt i chấm); ≤ i ≤ Khi ta có kết cục đồng khả xảy ra, {A1; A2; ;A6} Thí dụ 3: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp Khi ta có 10 kết cục đồng khả xảy b) Kết cục thuộn lợi cho biến cố Thí dụ 1: Trở lại thí dụ gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), C xảy A2 xảy A4 xảy ra, A6 xảy Do kết cục {A2; A4; A6} gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố C xảy ra, ta nói có kết cục thuộn lợi cho C Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 sản phẩm loại, có phẩm phế phẩm, lấy sản phẩm từ hộp, gọi A = (Lấy phẩm) ta có kết cục thuộn lợi cho A Vậy kết cục xảy làm cho biến cố A xảy thực phép thử gọi kết cục thuộn lợi cho biến cố A c) Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa: Xét phép thử, gọi n số kết cục đồng khả xảy ra, gọi m số kết cục thuộn lợi cho biến cố A xảy ra, P ( A) = m n ( P(A) xác suất xảy biến cố A) Thí dụ 1: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, tính xác suất để xúc xắc xuất măt có số chấm chẵn Lời giải: Gọi C = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn), ta có n = 6, mC = đó: P (C ) = = 0,5 Thí dụ 2: Một hộp đựng 10 cầu giống hệt mặt hình thức, có màu đỏ, màu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp, tính xác suất lấy cầu màu đỏ Lời giải: Gọi A = (Lấy cầu màu đỏ), ta có n = 10, mA = P ( A) = = 0,8 10 d) Các tính chất xác suất +) Nếu A biến cố ngẫu nhiên < P(A) < +) Nếu B biến cố ≤ P(B) ≤ +) Nếu U biến cố chắn P(U) = +) Nếu V biến cố có P(V) = Chú ý : P(A) = chưa A biến cố chắn P(B) = chưa B biến cố có Thí dụ : 1.3 Các phương pháp tính xác suất định nghĩa cổ điển 1.3.1 Phương pháp suy luận trực tiếp Thí dụ 1: (xem thí dụ giáo trình) Tính xác suất cách vẽ hình (biểu đồ Ven, hình cây) Tính xác suất cách liệt kê tất giá trị có thực phép thử, đếm kết cục thuộn lợi cho biến cố, sau áp dụng công thức tính xác suất định nghĩa cổ điển Thí dụ 2: Tung đồng xu giống đồng xu cân đối đồng chất, tính xác suất để có đồng xu xuất mặt ngửa Lời giải : Gọi A = (Có đồng xu xuất mặt ngửa) Những khả xảy tung đồng thời 3đồng xu {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SSN, SNS, SSS} ta thấy n = 8, mA = P( A) = 1.3.2 Phương pháp dùng công thức giải tích tổ hợp (Nhắc lại ý nghĩa phương pháp tính công thức n!, Cnk , Ank , Ank ) Thí dụ 1: Một hộp đựng 10 cầu có kích thước giống có màu xanh, màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp cầu, tính xác suất để a) Lấy màu xanh b) Lấy màu đỏ Lời giải : Ta có số kết cục đồng khả xảy n = C103 a) Gọi A = (Lấy màu xanh), ta có mA = C63 P ( A) = C63 20 = = C10 120 b) Gọi B = (Lấy màu đỏ), ta có mB = C61.C42 C61 C42 36 P ( B) = = = 0,3 C103 120 Thí dụ 2: Một công ty cần tuyển người Có 20 người nộp đơn có nam 12 nữ Giả sử khả trúng tuyển 20 người nhau, tính xác suất để a) Có nam trúng tuyển b) Có nữ trúng tuyển Lời giải: Số khả xảy n = C205 = 15504 a) Gọi A = (có nam trúng tuyển); có mA = C82 C123 = 6160 P ( A) = ta có C82 C123 6160 = = 0,3973 C20 15504 b) Gọi B = (có nữ trúng tuyển); có mB = C123 C82 + C124 C81 + C125 = 10912 P( B) = ta có 10912 = 0, 70382 15504 1.3.3 Ưu điểm hạn chế phương pháp cổ điển *) Ưu điểm : +) Không cần thực phép thử, phép thử tiến hành cách giả định +) Cho phép tìm cách xác giá trị xác suất *) Hạn chế : +) Số kết cục đồng khả phải hữu hạn thực tế có nhiều phép thử mà số kết cục vô hạn +) Tính đối xứng hay tính đồng khả thực gặp thực tế 1.4 Định nghĩa xác suất tần suất 1.4.1 Tần suất xuất biến cố Ta biết với phép thử ta có biến cố A (mà ta quan tâm) xuất không xuất Giả sử ta thực n phép thử độc lập, n phép thử biến cố A xuất k lần tần suất xuất biến cố A ký hiệu f ( A) xác định: f ( A) = k n Thí dụ : Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm máy sản xuất người ta phát phế phẩm Gọi A biến cố (lấy phế phẩm) 100 sản phẩm f ( A) = = 0, 03 100 1.4.2 Định nghĩa xác suất tần suất Khi số phép thử n tăng lên lớn (tùy thuộc tình thực tế) ta định nghĩa xác suất để biến cố A xảy P( A) = f ( A) 1.4.3 Ưu điểm hạn chế phương pháp tần suất *) Ưu điểm : Không đòi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển *) Hạn chế : Phải thực phép thử với số lần lớn dẫn đến tốn nhiều thời gian 1.5 Nguyên lý xác suất lớn nguyên lý xác suất nhỏ *) Nguyên lý xác suất lớn : Biến cố A coi xảy phép thử thực tế P(A) ≥ - α, với α xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : *) Nguyên lý xác suất nhỏ : Biến cố B coi không xảy phép thử thực tế P(B) < α, với α xác suất nhỏ tùy thuộc vào tình thực tế Thí dụ : 1.6 Mối quan hệ biến cố 1.6.1 Tổng biến cố a) Tổng hai biến cố : Biến cố C gọi tổng hai biến cố A B, ký hiệu C = A + B, biến cố C xảy có hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), gọi B = (Người thứ hai bắn trúng bia), C = (Bia bị trúng đạn) Khi C=A+B n +) Mở rộng : Cho A1 , A2 , , An biến cố, đặt biến cố A = ∑ Ai , i =1 biến cố A xảy có biến cố A1 , A2 , , An xảy b) Hai biến cố xung khắc : Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng không xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố không xung khắc Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = (Con xúc xắc xuất mặt chấm); A2 = (Con xúc xắc xuất mặt hai chấm), A1, A2 hai biến cố xung khắc Thí dụ : Hai người bắn viên đạn vào bia, gọi B1 = (Người thứ bắn trúng bia); B2 = (Người thứ hai bắn trúng bia), B1, B2 hai biến cố không xung khắc +) Mở rộng : Nhóm biến cố A1 ; A2 ; ; An gọi xung khắc với đôi hai biến cố nhóm xung khắc với c) Nhóm đầy đủ biến cố : Các biến cố H1; H2; ; Hn gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố Hay nói khác biến cố H 1; H2; ; Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố chúng đôi n xung khắc ∑H i =1 i =U Thí dụ : Gieo xúc xắc cân đối đồng chất, gọi Ai = ( Con xúc xắc xuất mặt i chấm ), ≤ i ≤ biến cố A1; A2; ; A6 tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Nếu gọi HC = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn); HL = (Con xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ) biến cố H C, HL tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Chú ý: Với phép thử có nhiều nhóm đầy đủ d) Hai biến cố đối lập : Hai biến cố A A gọi đối lập với chúng tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : Bắn viên đạn vào bia, gọi A = (Viên đạn trúng bia) A = (Viên đạn không trúng bia) A A hai biến cố đối lập Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Lấy sản phẩm, gọi B = (Lấy phẩm) B = (Lấy phế phẩm) B B hai biến cố đối lập 1.6.2 Tích biến cố a) Tích hai biến cố : Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu C = A.B, biến cố C xảy đồng thời hai biến cố A B xảy Thí dụ : Hai người bắn vào bia viên đạn, gọi A = (Người thứ bắn trúng bia), B = (Người thứ hai bắn trúng bia), gọi C = (Bia bị trúng viên đạn) C = A.B n +) Mở rộng : Cho A1 , A2 , , An biến cố, đặt biến cố A = ∏ Ai , biến cố i =1 A xảy tất biến cố A1 , A2 , , An xảy b) Hai biến cố độc lập : Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố A không làm thay đổi xác suất xảy biến cố B ngược lại Trong trường hợp biến cố A xảy hay không xảy có làm thay đổi xác suất xảy biến cố B A B hai biến cố phụ thuộc Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, người ta lấy sản phẩm theo hai phương thức, thứ có hoàn lại thứ hai không hoàn lại Gọi A = (Lấy phẩm lần thứ nhất), B = (Lấy phẩm lần thứ hai) Hỏi lấy theo phương thức hai biến cố A B độc lập Lời giải : Lấy theo phương thức thứ +) Mở rộng : -) Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập đôi với hai biến cố n biến cố độc lập với -) Các biến cố A1 , A2 , , An gọi độc lập toàn phần với biến cố n biến cố độc lập với tổ hợp biến cố lại Thí dụ : Tung đồng xu lần, gọi Ai = (Đồng xu xuất mặt ngửa lần tung thứ i), i = 1;3 biến cố A1; A2; A3 độc lập với đôi 1.7 Các định lý công thức xác suất 1.7.1 Định lý cộng xác suất +) Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) +) Nếu A B hai biến cố không xung khắc P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) +) Nếu biến cố A1 , A2 , , An xung khắc với đôi  n  n P  ∑ Ai  = ∑ P ( Ai )  i =1  i =1 +) Nếu biến cố H1 , H , , H n tạo thành nhóm đầy đủ biến cố n ∑ P( H ) = i =1 i +) Nếu A A hai biến cố đối lập P(A) + P(A) = +) Nếu A1, A2, A3 ba biến cố không xung khắc P(A1+A2+A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2)-P(A2A3)-P(A3A1) + P(A1A2A3) +) Nếu A1 , A2 , , An biến cố không xung khắc độc lập toàn phần với n  n  P  ∑ Ai  = − ∏ P ( Ai )  i =1  i =1 +) Một số công thức khác Cho A B hai biến cố, ta có g AB + AB + AB + AB = U g A + B = AB + AB + AB g A + B = AB + AB + AB g AB = A + B g AB = A + B 1.7.2 Xác suất có điều kiện, định lý nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A, ký hiệu P(A/B) Thí dụ : Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, lấy hai sản phẩm Tính xác suất để lần thứ hai lấy phẩm biết lần thứ lấy phế phẩm Lời giải : Gọi A = (Lấy phẩm lần thứ hai), B = (Lấy phế phẩm lần thứ nhất) Theo đầu ta có biến cố B xảy với P(B) = 0,4 P(A / B) = = b) Tính chất Nếu A B hai biến cố độc lập P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) c) Định lý nhân xác suất +) Nếu A B hai biến cố độc lập điều kiện cần đủ P(AB) = P(A)P(B) +) Nếu A1 , A2 , , An biến cố độc lập toàn phần  n  n P  ∏ Ai  = ∏ P (Ai )  i =1  i =1 +) Cho A B hai biến cố ta có P(A.B) = P(B)P(A/B) = P(A)P(B/A) P (AB) P(A/B) = P(B) với P(B) > P (AB) P(B/A) = P(A) với P(A) > +) Nếu A1, A2, , An n biến cố phụ thuộc ta có công thức P(A1.A2 An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) 1.7.3 Công thức Bernoulli a) Công thức Bernoulli : Giả sử ta thực n phép thử độc lập, với phép thử có trường hợp biến cố A xảy với P(A) = p biến cố A xảy với P( A ) = 1- p Gọi B = (Trong n phép thử độc lập nói biến cố A xuất k lần), ≤ k ≤ n Khi ta có P ( B ) = Pn (k ) = Cnk p k (1 − p ) n − k (công thức Bernoulli) b) Thí dụ : Một xạ thủ có xác suất bắn trúng vòng mười 0,8 cho lần bắn Anh ta phát viên đạn để bắn vào bia, gọi B = (Anh ta bắn trúng vòng mười viên đạn viên phát) Tính P(B) = ? Lời giải : Áp dụng công thức Bernoulli với p = 0,8 n = k = ta có P ( B) = C53 0,830, 22 = 0, 2048 1.7.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H1, H2, ,Hn ta có công thức n P (A) = ∑ P ( H i ) P (A/Hi ) i =1 (Công thức xác suất đầy đủ) Thí dụ : Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A B, dây chuyền A sản xuất 60% số sản phẩm nhà máy, dây chuyền B sản xuất 40% số sản phẩm nhà máy Biết tỉ lệ phế phẩm dây chuyền A sản xuất 1,5% tỉ lệ phế phẩm dây chuyền B sản xuất 2% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ nhà máy, tính xác suất lấy phẩm Lời giải : Gọi H1 = (Lấy sản phẩm dây chuyền A sản xuất) H2 = (Lấy sản phẩm dây chuyền B sản xuất A =(Lấy phẩm nhà máy)=> A = (Lấy phế phẩm nhà máy) Theo giả thiết : P(H1) = 0,6 P(H2) = 0,4 P( A /H1) = 0,015; P( A /H2) = 0,02 => P(A/H1) = 0,985; P(A/H2) = 0,98 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 0,6.0,985 + 0,4.0,98 = 0,983 Thí dụ : Có hai hộp sản phẩm giống nhau, hộp thứ đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, hộp thứ hai đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta chuyển sản phẩm từ hộp thứ sang hộp thứ hai sau lấy từ hộp hai sản phẩm, tính xác suất lấy phẩm phế phẩm từ hộp thứ hai Lời giải : Gọi H1 = (Chuyển phẩm từ hộp sang hộp 2); H2 = (Chuyển phế phẩm từ hộp sang hộp 2) A = (Lấy phẩm phế phẩm từ hộp 2) Ta có : P(H1) = 0,8 P(H2) = 0,2 C81.C31 24 = P(A/H1) = ; P(A/H2) = C102 45 C71 C41 28 = C102 45 P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 24 28 248 + = = 0,551111 10 45 10 45 450 b) Công thức Bayes Giả sử biến cố H1, H2, ,Hn tạo thành nhóm đầy đủ biến cố, biến cố A xảy đồng thời với biến cố H1, H2, ,Hn ta có công thức P ( H j /A) = P ( H j ) P (A/H j ) n ∑ P( H ) P(A/H ) i =1 hay P ( H j / A) = i P ( H j ) P(A/H j ) P(A) j = 1; n i ; j = 1; n Thí dụ : Có hai hộp sản phẩm giống hệt nhau, hộp I đựng 20 sản phẩm có 16 phẩm phế phẩm, hộp II đựng 20 sản phẩm có 18 phẩm phế phẩm Người ta lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm thấy phẩm, tính xác suất để sản phẩm lấy hộp I Lời giải : Gọi H1 = (Lấy hộp I); H2 = (Lấy hộp II); A = (Lấy phẩm) Ta có P(H1) = P(H2) = 0,5 P(A/H 1) = 0,8 P(A/H2) = 0,9 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) = 0,5(0,8 + 0,9) = 0,85 Áp dụng công thức Bayes ta có P(H1/A) = P (H1 ) P (A/H1 ) 0,5.0,8 = = 0,47058824 P(A) 0,85 Chú ý : +) Các xác suất P(H 1), P(H2), , P(Hn) gọi xác suất tiên nghiệm xác suất P(H1/A), P(H2/A), , P(Hn/A) gọi xác suất hậu nghiệm +) Nhóm biến cố (H1/A), (H2/A), , (Hn/A) tạo thành nhóm đầy đủ biến cố Thí dụ : ( Bài tập 1.64 sách tập xác suất thống kê toán, có lời giải) Chương II : Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên : Một biến số gọi ngẫu nhiên kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên +) Biến ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ in hoa X, Y, Z, +) Các giá trị có biến ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ thường x, y, z, +) Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x ký hiệu (X = x) thực chất biến cố ngẫu nhiên Thí dụ : Gieo xúc xắc, gọi A1 = ( Con xúc xắc xuất mặt chấm) A1 biến cố ngẫu nhiên, gọi X = (Số chấm xuất hiện) X biến ngẫu nhiên (X = 1) ≡ A1 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc : biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm phần tử Hay nói cách khác : Biến ngẫu nhiên rời rạc ta liệt kê tất giá trị có Thí dụ : +) Gieo xúc xắc, gọi X = (Số chấm xuất hiện) X biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có X {1,2, ,6} +) Một hộp đựng 10 viên bi có bi đỏ bi trắng, lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Gọi Y = (Số bi đỏ lấy được) Y biến ngẫu nhiên rời rạc giá trị có Y {0,1,2,3} +) Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia cho lần bắn 0,8 phát viên đạn để bắn vào bia bắn trúng bia dừng Gọi Z = (Số viên đạn xạ thủ nhận) Z 6.3.3 Ước lượng phương sai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (Ý nghĩa : tức ta ước lượng độ phân tán tổng thể) Giả sử tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2), tham số σ2 chưa biết, ta cần ước lượng σ2 phương pháp khoảng tin cậy Từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên Wn = (X1, X2, , Xn), từ mẫu Wn ta xác định thống kê mẫu X S2 Để ước lượng σ2 phương pháp khoảng tin cậy ta xét hai trường hợp a) Trường hợp : Đã biết tham số μ biến ngẫu nhiên gốc X, * biết ta xác định thống kê S = n ( X i − m) với ∑ n i =1 k ∑n i =1 i = n Khi ta nS * G=χ = σ chọn thống kê : χ ~ χ (n) Với độ tin cậy - α cho trước, ta tìm α1 , α không âm cho α1 + α = α tra bảng giá trị tới hạn bình phương (phụ lục 7) tìm 2 giá trị χ1−α (n), χα (n) thỏa mãn ( ) P χ12−α1 (n) < χ < χα22 (n) = − (α1 + α )   nS * ⇔ P  χ12−α1 (n) < < χα22 (n)  = − α   σ   2  nS *2 nS *  ⇔ P uα   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0; H1: μ > μ0 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0 X − µ0   Wα =  U = n , U > uα  σ   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0 ; H1: μ < μ0 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0 X − µ0   Wα =  U = n , U < − uα  σ   Chú ý : Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) ta có U qs = x − µ0 n σ Thí dụ : Làm tập 8.5 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: μ = 453 ; H1: μ < 453 2) Trường hợp chưa biết σ2 biến ngẫu nhiên gốc Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G =T = X − µ0 n S Nếu giả thuyết H0: μ = μ0 T ~ T(n - 1) Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0 ; H1: μ ≠ μ0 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0  X − µ0 Wα = T = n, S   T > t α( n −1)   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0; H1: μ > μ0 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0   X − µ0 Wα = T = n , T > tα( n −1)  S   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ = μ0 ; H1: μ < μ0 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0   X − µ0 Wα = T = n , T < − tα( n −1)  S   Chú ý : Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) ta có Tqs = x − µ0 s n Thí dụ : Làm tập 8.10 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: μ = 14; H1: μ ≠ 14 8.2.2 Kiểm định giả thuyết tham số σ2 biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (ý nghĩa : kiểm định độ phân tán tổng thể ) Giả sử ta có tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Ta chưa biết σ2 song có ý kiến cho σ 02 ( σ 02 cho trước), ta đưa giả thuyết H0: σ = σ 02 Để kiểm định giả thuyết từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n : Wn = (X1, X2, , Xn) từ mẫu Wn ta xác định thống kê mẫu X , S Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G = χ2 = (n − 1) S σ 02 Nếu giả thuyết H0: σ = σ 02 thống kê χ ~ χ (n − 1) Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ 02 ; H1: σ ≠ σ 02 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0  (n − 1) S  Wα =  χ = , σ 02  +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ 02   χ > χ α2 (n − 1)    2 0 < χ < χ1 − α (n − 1)    2 ; H1: σ > σ miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0  (n − 1) S  Wα =  χ = , χ > χα2 (n − 1)  σ0   2 +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ ; H1: σ < σ 02 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0   (n − 1) S Wα =  χ = , < χ < χ12− α (n − 1)  σ0   Chú ý : -)Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) ta có χ qs = (n − 1) s σ 02 -) Khi nói độ đồng giảm sút tức độ phân tán tăng lên, độ ổn định giảm sút tức độ bất ổn định tăng lên, độ an toàn giảm sút tức độ rủi ro tăng lên Thí dụ : Làm tập 8.46 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: σ2 = 10 ; H1: σ2 >10 8.2.3 Kiểm định giả thuyết tham số p biến ngẫu nhiên gốc có phân phối Không - Một Giả sử ta có tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định tính đặc trưng biến ngẫu nhiên X ~ A(p) Ta chưa biết p, song có ý kiến cho p = p0 (p0 cho trước), ta đưa giả thuyết H0: p = p0 Để kiểm định giả thuyết từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n Wn = (X1, X2, , Xn) với Xi = {0; 1} ∀i = 1; n , từ mẫu Wn ta xác định thống kê tần suất mẫu f Chọn tiêu chuẩn kiểm định G =U = ( f − p0 ) n p0 (1 − p0 ) Nếu giả thuyết H0: p = p0 U ~ N(0; 1) Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc giả thuyết đối H mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p ≠ p0 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0  ( f − p0 ) n Wα = U = , p0 (1 − p0 )   U > uα   +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p > p0 ta có miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0   ( f − p0 ) n Wα = U = , U > uα  p0 (1 − p0 )   +) Nếu cặp giả thuyết H0: p = p0 ; H1: p < p0 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0   ( f − p0 ) n Wα = U = , U < − uα  p0 (1 − p0 )   Chú ý : Với mẫu cụ thể wn = (x1, x2, , xn) với xi = {0; 1} ∀i = 1; n f giá trị cụ thể, ta có U qs = ( f − p0 ) n p0 (1 − p0 ) Thí dụ : Làm tập 8.29 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: p = 0,03; H1: p > 0,03 8.2.4 Kiểm định giả thuyết hai tham số p hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối Không - Một Giả sử ta có hai tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định tính đặc trưng hai biến ngẫu nhiên X1 X2 với X1 ~ A(p1), X2 ~ A(p2) Ta chưa biết p1, p2 song có ý kiến cho chúng nhau, ta đưa giả thuyết H0: p1 = p2 Để kiểm định giả thuyết từ hai tổng thể X1 X2 ta rút hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1 > 100, n2 > 100 Wn = ( X 11 , X 12 , , X 1n ), Wn = ( X 21 , X 22 , , X n ) từ hai mẫu Wn , Wn ta xác định thống kê mẫu (chú ý X1i = {0; 1} ∀i = 1; n1 , X2j = {0; 1} ∀j = 1; n2 ) từ hai mẫu Wn , Wn ta xác định thống kê mẫu f1 f2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định 1 2 G =U = 2 ( f1 − f ) − ( p1 − p2 ) p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p2 ) + n1 n2 Nếu giả thuyết H0: p1 = p2 (giả sử p1 = p2 = p đó) thống kê U ~ N(0; 1), p chưa biết mà n1 > 100, n2 > 100 nên ta lấy xấp xỉ p f với f = n1 f1 + n2 f k1 + k2 = n1 + n2 n1 + n2 Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc giả thuyết đối H mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; H1: p1 ≠ p2 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0    Wα = U =    f1 − f 1 1 f 1− f  +   n1 n2  ( ) +) Nếu cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; bên phải giả thuyết H0    Wα = U =    ,    U > uα     H1: p1 > p2 ta có miền bác bỏ   f1 − f  , U > uα  1 1  f 1− f  +    n1 n2   ( ) +) Nếu cặp giả thuyết H0: p1 = p2 ; trái giả thuyết H0 H1: p1 < p2 miền bác bỏ bên    Wα = U =      f1 − f  , U < − uα  1 1  f 1− f  +    n1 n2   ( ) Thí dụ : Làm tập 8.41 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: p1 = p2; H1: p1 ≠ p2 8.2.5 Kiểm định giả thuyết hai tham số μ hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (Ý nghĩa : kiểm định trung bình hai tổng thể) Giả sử ta có hai tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng hai biến ngẫu nhiên X1 X2 Giả sử ta biết X1 ~ N( µ1; σ 12 ) X2 ~ N( µ2 ; σ 22 ) chưa biết μ1 μ2 song có ý kiến cho chúng nhau, ta đưa giả thuyết H0 : μ1 = μ2 Để kiểm định giả thuyết từ hai tổng thể X X2 ta rút hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1, n2 : Wn = ( X 11 , X 12 , , X 1n ), Wn = ( X 21 , X 22 , , X n ) từ hai mẫu Wn , Wn ta xác định thống kê mẫu X , S12 X , S 22 Để chọn tiêu chuẩn kiểm định G thích hợp ta xét hai trường hợp 1 2 1) Trường hợp biết σ 12 , σ 22 hai biến ngẫu nhiên gốc Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G =U = (X − X ) − ( µ1 − µ2 ) σ 12 σ 22 + n1 n2 Nếu giả thuyết H0: μ1 = μ2 U ~ N(0; 1) Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2 ; H1: μ1 ≠ μ2 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0   X1 − X  Wα = U = , σ 12 σ 22  +  n1 n2     U > uα     +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2; H1: μ1 > μ2 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0     X1 − X   Wα = U = , U > uα  σ 12 σ 22   +   n1 n2   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2; H1: μ1 < μ2 miền bác bỏ bên trái giả thuyết H0     X1 − X   Wα = U = , U < − uα  2 σ1 σ   +   n1 n2   Chú ý : Với hai mẫu cụ thể w n1 = ( x11 , x12 , , x1n1 ) w n2 = ( x21 , x22 , , x2 n2 ) ta có U qs = x1 − x2 σ 12 σ 22 + n1 n2 2) Trường hợp chưa biết σ 12 , σ 22 hai biến ngẫu nhiên gốc (trường hợp ta xét với n1 > 30, n2 >30) Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định G =T = (X − X ) − ( µ1 − µ2 ) S12 S 22 + n1 n2 Nếu giả thuyết H0: μ1 = μ2 thống kê T ~ N(0;1) (do n1 > 30, n2 >30) Với mức ý nghĩa α cho trước, tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2; H1: μ1 ≠ μ2 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0   X − X2  Wα = T = , 2 S S  +  n n2  +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2 ; phải giả thuyết H0    T > uα     H1: μ1 > μ2 miền bác bỏ bên     X1 − X   Wα = T = , T > uα  S12 S 22   +   n1 n2   +) Nếu cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2; giả thuyết H0 H1: μ1 < μ2 miền bác bỏ bên trái     X1 − X   Wα = T = , T < − uα  2 S1 S   +   n1 n2   Chú ý : Với hai mẫu cụ thể w n1 = ( x11 , x12 , , x1n1 ) w n2 = ( x21 , x22 , , x2 n2 ) ta có Tqs = x1 − x2 s12 s22 + n1 n2 Thí dụ : Làm tập 8.19 sách tập Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: μ1 = μ2; H1: μ1 < μ2 8.2.6 Kiểm định giả thuyết hai tham số σ hai biến ngẫu nhiên gốc có phân phối chuẩn (Ý nghĩa : kiểm định độ phân tán hai tổng thể) Giả sử ta có hai tổng thể với dấu hiệu nghiên cứu định lượng đặc trưng hai biến ngẫu nhiên X1 X2 Giả sử ta biết X1 ~ N( µ1; σ 12 ) X2 ~ N( µ2 ; σ 22 ) chưa biết σ 12 σ 22 song có ý kiến cho chúng ta đưa giả thuyết H0 : σ 12 = σ 22 Để kiểm định giả thuyết từ hai tổng thể X1 X2 ta rút hai mẫu ngẫu nhiên kích thước n1, n2 : Wn = ( X 11 , X 12 , , X 1n ), Wn = ( X 21 , X 22 , , X n ) từ hai mẫu Wn , Wn ta xác định thống kê mẫu X , S12 X , S22 Ta chọn tiêu chuẩn kiểm định 1 2 G=F= S12 σ 22 S22 σ 12 Nếu giả thuyết H0 F ~ F(n1 - 1; n2 - 1) Với mức ý nghĩa α cho trước tùy thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng miền bác bỏ Wα tốt tương ứng với trường hợp sau : +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ 12 = σ 22 ; H1: σ 12 ≠ σ 22 miền bác bỏ hai phía giả thuyết H0    F > f α( n1 −1; n2 −1) S12    Wα =  F = , ( n1 −1; n2 −1)  S2 0 < F < f1 − α    +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ 12 = σ 22 ; phải giả thuyết H0 H1: σ 12 > σ 22 miền bác bỏ bên   S2 Wα =  F = 12 , F > fα( n1 −1; n2 −1)  S2   2 +) Nếu cặp giả thuyết H0: σ = σ ; H1: σ 12 < σ 22 miền bác bỏ bên phải giả thuyết H0   S12 Wα =  F = , < F < f1(−n1α−1; n2 −1)  S2   Với mẫu cụ thể ta có Fqs = s12 s22 Thí dụ : Làm 8.49 Gợi ý : kiểm định cặp giả thuyết H0: σ A2 = σ B2 ; H1: σ A2 ≠ σ B2 8.3.Kiểm định phi tham số 8.3.1 Kiểm định giả thuyết tính độc lập hai dấu hiệu định tính Giả sử cần nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu định tính A B tổng thể Dấu hiệu A có phạm trù A1, A2, , Ah, dấu hiệu B có phạm trù B1, B2, , Bk Nếu có ý kiến cho A B độc lập, ta đưa cặp giả thuyết H0: A B độc lập H1: A B phụ thuộc Để kiểm định cặp giả thuyết từ tổng thể lập mẫu kích thước n trình bày số liệu mẫu dạng bảng sau B A A1 A2 B1 B2 Bk Σ n11 n21 n12 n22 n1k n2k n1 n2 Ah Σ nh1 m1 nh2 m2 nhk mk nh Σ=n Trong n kích thước mẫu nij tần số ứng với phần tử đồng thời mang dấu hiệu Ai Bj ni tổng tần số ứng với thành phần Ai mj tổng tần số ứng với thành phần Bj Tiêu chuẩn kiểm định chọn  h k nij2 χ = n  ∑∑  i =1 j =1 ni × m j    − 1   Nếu giả thuyết H0 với n lớn χ ~ χ ( [h − 1] × [k − 1]) Do với mức ý nghĩa α cho trước ta có miền bác bỏ giả thuyết H0 { Wα = χ ; χ >χα2 ( [h -1] × [k -1]) } Thí dụ : Làm tập 8.55 sách tập Lời giải : 8.55 Ta kiểm định cặp giả thuyết H0: Quy mô công ty hiệu quảng cáo độc lập H1: Quy mô công ty hiệu quảng cáo phụ thuộc Tiêu chuẩn kiểm định  3 n χ = n  ∑∑ ij  i =1 j =1 ni × m j    − 1   Với mẫu cụ thể ta có  202 522 252   χ = 356  + +L +  − 1 85.124    140.104 131.104 qs = 356(1,08325252-1) = 29,6379 Với mức ý nghĩa α = 0,1 ta có miền bác bỏ giả thuyết H0 2 Wα = ( χ 0,1 [(3-1).(3-1)];+∞) = ( χ 0,1 (4); +∞) = (7, 779; +∞) => χ qs2 ∈ Wα => Bác bỏ giả thuyết H0, quy mô công ty hiệu quảng cáo phụ thuộc 8.3.2 Kiểm định giả thuyết dạng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên gốc Giả sử chưa biết quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên gốc X tổng thể nghiên cứu Song có sở để giả thiết X phân phối theo quy luật N(μ, σ2) Lúc ta đưa cặp giả thuyết thống kê H0: X có phân phối theo quy luật chuẩn H1: X không phân phối theo quy luật chuẩn Để kiểm định cặp giả thuyết từ tổng thể ta lấy mẫu Wn = (X1 ,X2 ,…, Xn) từ mẫu Wn ta xác định thống kê sau • Phương sai độ lệch chuẩn n S X2 = ( X i − X ) ⇒ S X = S X2 ∑ n − i =1 • Hệ số bất đối xứng S (Skewness) n ( X i − X )3 ∑ n S = i =1 SX • Hệ số nhọn K (Kurtosis) n ( X i − X )4 ∑ n K = i =1 SX Để kiểm định cặp giả thuyết ta chọn tiêu chuẩn kiểm định Jarque – Bera  S ( K − 3)  JB = n  + 24  6 Nếu giả thuyết H0 với n đủ lớn, (thông thường n > 100) JB ~ χ (2) Do với mức ý nghĩa α cho trước ta có miền bác bỏ giả thuyết H0 ( Wα = χα2 (2) ; + ∞ Với mẫu cụ thể mà ) JBqs ∈ Wα bác bỏ H0, kết luận X phân phối chuẩn [...]... ứng giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên nhận các giá trị đó +) Để mô tả quy luật phân phối xác suất người ta thường dùng -) Bảng phân phối xác suất (đối với biến ngẫu nhiên rời rạc) -) Hàm phân bố xác suất -) Hàm mật độ xác suất (đối với biến ngẫu nhiên liên tục) 2.2.2 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X Giả sử biến ngẫu nhiên... rạc X Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị x1, x2, ,xn với các xác suất tương ứng là p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), , pn = P(X = xn) Khi đó ta có bảng phân phối xác suất của X như sau X P x1 p1 x2 p2 xn pn Bảng phân phối xác suất trên trở thành quy luật phân phối xác suất nếu các xác suất pi (với i = 1; n ) thỏa mãn 0 ≤ pi ≤ 1  n  ∑ pi = 1  i =1 Thí dụ 1: Gieo một... bảng trên trở thành bảng quy luật phân phối xác suất đồng thời nếu các xác suất p(xi, yj) thỏa mãn  0 ≤ p (xi ,yj ) 1≤ ∀i = 1; n và ∀j = 1; m  +) Biết bảng phân  n m phối xác suất đồng  ∑ ∑p ( xi , yj )= 1 thời của biến ngẫu  i=1 j =1 nhiên hai chiều (X, Y) bao giờ cũng có thể tìm được bảng phân phối xác suất biên của mỗi thành phần -) Bảng phân phối xác suất biên thành phần X X P x1 p(x1) x2 p(x2)... những giá trị có thể có của nó đều không làm thay đổi quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y và ngược lại (Yêu cầu sinh viên đọc - hiểu các thí dụ 5; 6 và phần ứng dụng thực tế của kỳ vọng toán trong giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của Tg : PGS TS Nguễn Cao Văn và TS Trần Thái Ninh biên soạn, NXB Thống kê - 2005 ( từ trang 100 đến 104 )) 2.3.2 Các tham số trung vị (md) và mốt... 0,5 < F(xi+1) với F(x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) thì trung vị md md là giá trị thỏa mãn điều kiện : ∫ f ( x)dx = 0,5 −∞ b) Mốt : Ký hiệu là m0 là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với +) Xác suất lớn nhất nếu là biến ngẫu nhiên rời rạc +) Giá trị cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục Chú... ( X i ) (Yêu cầu sinh viên đọc - hiểu các thí dụ 11; 12 và phần ứng dụng thực tế của phương sai trong giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của Tg : PGS TS Nguễn Cao Văn và TS Trần Thái Ninh biên soạn, NXB Thống kê - 2005 ( từ trang 111 đến 114 )).Làm bài tập 2.58 sách bài tập tại lớp 2.3.4 Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ký hiệu σX là căn bậc hai của phương sai : σ X = V... lớn nhất được xác định : np - p ≤ m0 ≤ np + q c) Quy luật phân phối xác suất của tần suất Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập, với mỗi phép thử biến cố A xảy ra với xác suất P(A) = p Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử, nhưng ta muốn quan tâm tới tỉ lệ xuất hiện biến cố A trong n phép thử hơn là số lần xuất hiện biến cố A Đặt f = X n +) Bảng quy luật phân phối xác suất của f là... - = = 0, 25 3 3 4 3 4 4 4 4 4 iii) Ta có F(x) = Chú ý : F(x) = P(X < x) phản ánh mức độ tập trung xác suất ở phía bên trái của 1 số thực x nào đó 2.2.4.Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X a) Định nghĩa : Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất F(x) Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là f(x) được định nghĩa : f(x) = F'(x) x Nếu biết trước... F(1) - F(0,6) = 1 - (3.0,62 - 2.0,63) = 0,352 Bài tập tự giải tại lớp học 1) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f ( x) = 1 π (1 + x 2 ) ∀x Tìm xác suất để khi tiến hành 3 phép thử độc lập thì có 2 lần biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong khoảng (-1; 1) 2) Tuổi thọ của một loại sản phẩm là một biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất m  f ( x) =  x 2  0 với x > 400 giờ... trong đó : n  p( x )= 1 i  ∑ i =1 -) Bảng phân phối xác suất biên thành phần Y Y y1 y2 P p(y1) p(y2) xn p(xn) i = 1; n ym p(ym) n   p( yj )= ∑ p( xi , yj )  i =1 trong đó :  m  ∑ p( y )= 1 j  j =1 j = 1; m +) Ta cũng có thể tìm được bảng phân phối xác suất có điều kiện, tùy theo yêu cầu bài toán Chẳng hạn tìm quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (X / Y = yj) với mỗi j Ta có