bai giang xac suat thong ke

XÁC SUẤT THỐNG KÊ Y DƯỢC Phạm Minh Trí Khoa Khoa học 22 février 2016 NỘI DUNG MÔN HỌC Đại số tổ hợp Định nghĩa & Công thức xác suất Biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất Thống kê mô tả Ước lượng tham số Kiểm định tham số Tương quan hồi qui tuyến tính Phạm Minh Trí (pmtri27@gmail.com) XÁC SUẤT THỐNG KÊ Y DƯỢC 22 février 2016 / 46 ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quí tắc đếm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Bài tập QUÍ TẮC ĐẾM Qui tắc cộng Một công việc hoàn thành hai phương án : phương án I có m cách thực hiện, phương án II có n cách thức ; có m + n cách thực Qui tắc nhân Một công việc hoàn thành hai bước : bước I có m cách thực hiện, bước II có n cách thực ; có m.n cách thực Ví dụ Dùng chữ số 1, 2, , viết số x gồm chữ số khác a Có số x số chẵn ? b Có số x chia hết cho ? c Có mặt chữ số ? ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chỉnh hợp Xếp n phần tử vào k vị trị (có thứ tự) Mỗi cách xếp gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Akn = n! (n − k)! Hoán vị Xếp n phần tử vào n vị trị (có thứ tự) Mỗi cách xếp gọi hoán vị n phần tử n! = n(n − 1) Tổ hợp Chọn k phần tử từ n phần tử Mỗi cách chọn tổ hợp chập k n phần tử Cnk = Ak n! = n k!(n − k)! k! ĐẠI SỐ TỔ HỢP Ví dụ Xếp học sinh A, B, C, D vào bàn dài có chỗ ngồi Hỏi có cách Ví dụ Xếp học sinh A, B, C, D vào bàn dài có chỗ ngồi Hỏi có cách Ví dụ Một hộp có bi đỏ, bi vàng Có cách lấy từ hộp a bi đỏ b bi có nhiều bi đỏ Ví dụ Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (xem hồng đôi khác nhau) người ta chọn Hỏi có cách chọn để chọn có hồng đỏ ? BÀI TẬP Bài Giả sử phòng thí nghiệm có công việc khác phải làm có người làm việc Hỏi có cách để giao công việc cho người ? Bài Có số tự nhiên lập từ chữ số {0, 1,2,3,4}, biết số tự nhiên có a Ba chữ số b Ba chữ số khác đôi Bài Một tổ sinh viên có nam, nữ Chia thành nhóm trực đồng thời bệnh viện A, B, C Hỏi có cách phân công : bệnh viện A cần nam nữ, bệnh viện B cần người có nam, số lại đến bệnh viện C ? BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN & XÁC SUÂT CỦA BIẾN CỐ Phép thử & Biến cố Định nghĩa xác suất Công thức xác suất Xác suất toàn phần & Công thức Bayes Bài tập PHÉP THỬ & BIẾN CỐ Định nghĩa Phép thử việc thực nhóm điều kiện xác định (chẳng hạn thí nghiệm) để quan sát tượng có xảy hay không Hiện tượng xảy kết phép thử gọi biến cố ngẫu nhiên hay biến cố Ví dụ Gieo đồng tiền (phép thử), biến cố ngẫu nhiên xuất mặt hình, xuất mặt số Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra, biến cố lấy phẩm, lấy phế phẩm Đặc biệt Biến cố chắn, không gian mẫu, Ω, biến cố định xảy Biến cố không, ∅, biến cố định không xảy XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Định nghĩa Trong phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả xác suất để A xảy P(A) = Số trường hợp để A xảy n(A) = n(Ω) Số trường hợp xảy Tính chất P(Ω) = ; P(∅) = ; ≤ P(A) ≤ Ví dụ Tung xúc xắc Tính xác suất xuất mặt chẵn Ví dụ Lớp có 99 sinh viên có 30 nam Gọi ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất gọi sinh viên nam Ví dụ Khoa phổi Khoa Thận bệnh viện A có 50 bệnh nhân số có 35 bệnh nhân nữ Có 12 bệnh nhân Khoa Thận có người nữ Chọn ngẫu nhiên bệnh nhân : tính xác xuất chọn bệnh nhân nam ; chọn bệnh nhân nằm Khoa Phổi PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Giả sử X số lần thành công thực n lần thử độc lập, xác suất thành công lần p ; X có phân phối nhị thức Phân phối nhị thức : X ∼ B(n; p) P{X = x} = Cnx p x (1 − p)n−x EX = np; VarX = npq; ModX = x0 với np − q ≤ x0 ≤ np + p PHÂN PHỐI NHỊ THỨC Ví dụ 29 Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức với n = 2, p = 0, a Vẽ biểu đồ cho khả xảy b Tính kỳ vọng, phương sai c Tính xác suất có lần thành công d Tính xác suất hai lần thành công e Tính xác suất không lần thành công f Vẽ biểu đồ phân phối X Ví dụ 30 Tỉ lệ niên hút thuốc 10% Chọn ngẫu nhiên 10 niên, tính xác suất có niên hút thuốc Ví dụ 31 Tỉ lệ viêm phế quản bé tuổi 5% Theo dõi 20 bé, tính xác suất có bé mắc viêm phế quản PHÂN PHỐI POISSON Một tượng A xảy trung bình λ lần khoảng thời gian t Gọi X số lần xuất hiện tưởng A khoảng thời gian t X có phân phối Poisson Phân phối Poisson : X ∼ P(λ) X (Ω) = {0, 1, , n, } P{X = x} = e −λ λx ; x ∈ X (Ω) x! E (X ) = Var (X ) = λ ; ModX = x0 , với λ − ≤ x0 ≤ λ Ví dụ 32 Cho X ∼ P(3) Tính P(X = 0), · · · , P(X = 4); P(X ≥ 5) Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Khi n lớn p nhỏ B(n, p) ∼ P(λ), với λ = np PHÂN PHỐI POISSON Ví dụ 33 Giả sử số ca tử vong sốt thương hàn xảy năm có phân phối Poission với tham số λ = 4, Tìm phân phối xác suất số ca tử vong tháng Tìm phân phối xác suất số ca tử vong tháng Ví dụ 34 Một dây chuyền sản xuất tự động có tỉ lệ phế phẩm 0.1% Khảo sát ngẫu nhiên 1000 sản phẩm Tính xác suất có phế phẩm ; có phế phẩm PHÂN PHỐI CHUẨN Phân phối chuẩn : X ∼ N(µ, σ ), hàm mật độ (x−µ)2 f (x) = √ e 2σ2 , ∀x ∈ R σ 2π ModX = MedX = µ; EX = µ; VarX = σ ; σ(X ) = σ −x Phân phối chuẩn tắc : X ∼ N(0, 1), hàm mật độ f (x) = √ e 2π PHÂN PHỐI CHUẨN Tính chất hàm Laplace ϕ(x) = √1 2π x − t2 −∞ e dt 1.ϕ(−x) = −ϕ(x) 2.ϕ(x) = 0, với x > 3.ϕ(−∞) = −0, 5; ϕ(+∞) = 0, 4.P(X < x) = 0, + ϕ(x) Định lý Nếu X ∼ N(0, 1) P{a < X < b} = ϕ(b) − ϕ(a) Nếu X ∼ N(µ, σ ) X −µ ∼ N(0; 1) σ P{a < X < b} = ϕ b−µ a−µ −ϕ σ σ PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ 35 Cho X ∼ N(0; 1) tính P(−1, 96 < X < 1, 96), P(−1 < X < 1), P(−2, 58 < X < 2, 58) PHÂN PHỐI CHUẨN Ví dụ 36 Cho X ∼ N(80; 122 ) Tính P(90 < X < 100) Ví dụ 37 Cho X ∼ N(80, 122 ) Tính P(X > 120), P(X < 40) PHÂN PHỐI CHUẨN Cho X ∼ N(0, 1) phân vị xác suất mức α số zα cho P(X ≥ zα ) = α Ta có P(X ≥ zα ) = 0.5 − ϕ(zα ) = α ⇔ ϕ(zα ) = 0.5 − α Nên để tính zα ta tính (0.5 − α) tra bảng Laplace ngược Hơn z1−α = −zα Ví dụ 38 Cho X ∼ N(0, 1) Tính z0,01 ; z0,015 ; z0,025 ; z0,05 ; z0,95 ; z0,98 ; z0,97 PHÂN PHỐI STUDENT X ∼ t(n), hàm mật độ xác suất Γ n+1 n f (x) = √ πn Γ n2 Với n > E (X ) = 0; Var (X ) = x2 1+ n n n−2 − n+1 PHÂN PHỐI STUDENT Nếu X ∼ t(n) phân vị mức α số t(n,α) cho P(X ≥ t(n,α) ) = α Hơn t(n,1−α) = −t(n,α) Ví dụ 39 Tính t(20;0.01) , t(20;0.05) , t(23;0.025) , t(20;0.95) , t(23;0.98) BÀI TẬP Bài 15 Bệnh cườm mắt (Glaucoma) tăng nhãn áp (high intraocular pressure) (IOP) Biết số đo nhãn áp (IOP) có phân phối chuẩn với trung bình 16 mmHg, phương sai mmHg Tính xác suất P(11, < X < 20, 5) Bài 16 Giả sử số đo huyết áp người từ 35 đến 40 tuổi có phân phối chuẩn với trung bình 80 mmHg, phương sai 144 mmHg Tính xác suất P(µ − 1, 645σ < X < µ + 1, 645σ) Bài 17 Biết chiều cao nam niên Việt Nam có phân phối chuẩn với trung bình µ = 163, 72 phương sai σ = 4, 672 Đo chiều cao nam niên, tính xác suất người có chiều cao khoảng (156, 248; 171, 192) BÀI TẬP Bài 18 Đường kính chi tiết máy máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung bình µ = 50mm độ lệch chuẩn σ = 0, 05mm Chi tiết xem đạt yêu cầu đường kính không sai 0, 01mm a Tính tỉ lệ đạt yêu cầu b Lấy ngẫu nhiên ba sản phẩm máy tiện Tính xác suất sản phẩm không đạt yêu cầu Bài 19 ∗ Một lô thuốc viên có trọng lượng trung bình µ = 250, mg, σ = 4, mg a Tìm x0 cho có 25% viên thuốc A có trọng lượng thuộc (µ; x0 ) b Tìm y0 lớn cho có nhiều 15% viên thuốc A có trọng lượng thuộc (µ; y0 ) BÀI TẬP Bài 20 Một doanh nghiệp cần mua loại trục máy có đường kính từ 1, 18cm đến 1, 22cm Có hai nhà máy bán loại trục máy đường kính loại trục máy sản xuất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với số đặc trưng cho bảng Nhà máy Nhà máy µ 1, 1, σ 0, 01 0, 015 Giá bán triệu/1 hộp/100 2, triệu/1 hộp/100 Vậy doanh nghiệp cần mua loại trục máy ? BÀI TẬP Bài 21 Khảo sát lô thuốc viên, trọng lượng trung bình viên thuốc µ = 252, 6mg có độ lệch chuẩn σ = 4, 2mg Giả sử trọng lượng phân phối theo qui luật bình phương a Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn 260mg b Tính trọng lượng x0 cho có 30% viên thuốc nhẹ x0 c Theo dược điển, viên thuốc tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trọng lượng trung bình với độ gia giảm tối đa 5% Tính tỷ lệ viên thuốc tiêu chuẩn lô thuốc khảo sát