DÃY TỶ số TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

NGUYỄN THÀNH HIỂN ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015) (PHẦN 1) Một tính chất đơn giản toán học, biết cách khai thác tạo vô số toán Hệ phương trình hay độc đáo Xin gửi tặng thành viên group Nhóm Toán viết nhỏ "Dãy tỷ số nhau", hướng giải câu hệ mà đăng khoảng thời gian vừa qua ! A Tính chất dãy tỷ số Nếu tồn h(x, y) f (x, y) = , g(x, y) k(x, y) h(x, y) a.f (x, y) b.h(x, y) a.f (x, y) + b.h(x, y) f (x, y) = = = = , với a, b = g(x, y) k(x, y) a.g(x, y) b.k(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y) f (x, y) g(x, y) n = h(x, y) k(x, y) n = b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n a.(f (x, y))n = = , với a, b = a.(g(x, y))n b.(k(x, y))n a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n B Sáng tạo hệ phương trình • Bước : Chọn dãy tỷ số cho tìm nghiệm x y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !) T = h(x, y) f (x, y) = g(x, y) k(x, y) Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y) • Bước : Sử dụng dãy tỷ số [1] [2] để tạo phương trình (2) Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y)) Mức độ khó : a.(f (x, y))n + b.(h(x, y))n = T n (a.(g(x, y))n + b.(k(x, y))n ) Ví dụ Xét dãy tỷ số √ x x−1 √ = = y+1 x+1 √ √ 1+2 2−2 Ta nhận nghiệm (x; y) = + 2; √ √ • Phương trình (1) : xy + x = x + x − √ • Mức độ dễ : chọn a = x + + y ; b = −1, ta hệ phương trình sau √ √ xy + x = √ x + x − (1) √ (x, y ∈ R ) (x − 2y ) x + + xy + 2y = 2x + x − (2) • Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2 , ta hệ phương trình sau √ √ xy + x = x + x − (1)√ (x, y ∈ R ) x2 [1 + (2y + 2)3 ] = 8(x + 1) x + (2) C Các ví dụ minh họa Ví dụ Giải hệ phương trình  √  x y + − y x2 − y = x2 − y (1) √ x2 + √  y y + + x x2 − y = √ − y + (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x2 − y y+2 • Dễ thấy x = y = 1, (1) ⇔ = Chọn a = y + 2; b = x2 − y, ta có y+1 x √ x2 − y y+2 x2 + = = √ y+1 x (y + 1) y + + x x2 − y • Từ (2) ⇔ • Vậy √ x2 + = (y + 1) y + + x x2 − y  √  √  y= y+2= √ 3(y + 1) ⇔  x2 − y = 3x  x= √ √ ( 13 − 5) √ 1 − 13 Ví dụ Giải hệ phương trình √ x3 + 2x2 y√= (2x + 1) 2x + y (1) 2x3 + 2y 2x + y = 2y + xy + 3x + (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : (2x + 1) (x + 2y) = , chọn a = y; b = x + 1, ta có • (1) ⇔ √ x2 y + 2x 2x2 + 2y + xy + 3x + y(x + 2y) (2x + 1)(x + 1) √ √ = = x2 (x + 1) y y + 2x y 2x + y + x3 + • Từ (2) ⇔ 2x2 + 2y + xy + 3x + √ = y 2x + y + x3 + (2x + 1) (x + 2y) • Vậy √ = = 2, suy (x, y) = x2 y + 2x √ (1 − 3); ? ; √ (1 + 3); ? Ví dụ Giải hệ phương trình √ √ (x + 3) x + y + 5√− (y + 1) x + 11 = xy − (1) √ 3y x + y + + x x + 11 = x2 + 6y + 6x + 3y (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ x+y+5+1 x + 11 + x • (1) ⇔ = , chọn a = 3y; b = x, ta có y+1 x+3 √ √ √ √ 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 x+y+5+1 x + 11 + x = = y+1 x+3 3y + x2 + 3x + 3y √ √ 3y x + y + + 3y + x x + 11 + x2 • Từ (2) ⇔ = 3y + x2 + 3x + 3y √ √ x+y+5+1 x + 11 + x • Vậy = = 2, suy (x, y) = y+1 x+3 √ ( 21 − 11); ? Ví dụ 4.Giải hệ phương trình 8x6 + 12x4 + 30x2 + 71x + y + 57 = (1) √ 2x3 + 4x2 + = (x + 1)( x − y − 1) (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn : √ √ 2x2 + x−y • (2) ⇔ (2x + 1)(x + 2) = (x + 1) x − y ⇔ = , chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có x+1 x+2 √ 3 2x2 + (2x2 + 1)3 − x + y x−y = = x+1 x+2 (x + 1)3 − (x + 2)3 (2x2 + 1)3 − x + y = (x + 1)3 − (x + 2)3 √ 2x2 + x−y = = • Vậy x+1 x+2 • Từ (1) ⇔ B Bài tập Câu Giải hệ phương trình √ √ √ x( x + − y − x − 1) = 3(x + y x + 1) (1) √ 9x2 − 6xy + 9y = 2x y − x − + y (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ x( x + + y√+ 1) = (x + 1)(y + 1) (1) √ x(3 y + − x + 1) = 2x2 + y − x (2) (x, y ∈ R ) Câu √ √ √ √ x3√ ( x + 2y − x + 1) + y(x − 6) = xy + y − √ 8( x + + 1) = x2 ( x + 2y − x) (2) xy + 2y + 8x (1) Câu Giải hệ phương trình √ 2y(√ x − + x) = x2 √(1) 4x x − + (2x − 5y) x + = x2 (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ 2y( √ x − + x) = x2 (1) 2x(2 x − + y) = x2 + 5y (2) (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy √+ x x + = 3y √x + (1) √ √ x2 + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + 1√= 3y x +√2 (1) √ 8x + 14 + 2y x + = x 5x + 10 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) * Phần hướng dẫn bạn số kỹ thuật nhận dạng xử lý dấu hiệu "dãy tỷ số" hệ phương trình * Năm vui vẻ hạnh phúc ! ... x+2 • Từ (1) ⇔ B Bài tập Câu Giải hệ phương trình √ √ √ x( x + − y − x − 1) = 3(x + y x + 1) (1) √ 9x2 − 6xy + 9y = 2x y − x − + y (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ x( x + + y√+ 1) =... x2 ( x + 2y − x) (2) xy + 2y + 8x (1) Câu Giải hệ phương trình √ 2y(√ x − + x) = x2 √(1) 4x x − + (2x − 5y) x + = x2 (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ 2y( √ x − + x) = x2 (1) 2x(2 x −... (x, y ∈ R ) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy √+ x x + = 3y √x + (1) √ √ x2 + 5x + + 2y x + + 2x + = x 5x + 15 + y 5x + (2) (x, y ∈ R ) Câu Giải hệ phương trình √ √ xy + x x + 1√= 3y