tuyển tập 60 bài toán giải hệ phương trình hay

Bài .vn TỔNG HỢP 60 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN  x3 − y3 = 35 (1) 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2) Giải hệ phương trình: ma th Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 2)3 = (3 + y)3 ⇒ x = y + y = −2 ⇒ x = Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 + 5y + = ⇔ y = −3 ⇒ x = Đáp số: (3; −2), (2; −3) nghiệm hệ Bài  x3 + y3 = (1) Giải hệ phương trình: x2 + 2y2 = x + 4y (2) (3) ww Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 1)3 = (2 − y)3 ⇒ x = − y (3) y=1⇒x=2 Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 − 3y + = ⇔ y=2⇒x=1 Đáp số: (2; 1), (1; 2) nghiệm hệ Bài  x3 + y3 = 91 (1) Giải hệ phương trình: 4x2 + 3y2 = 16x + 9y (2) htt p:/ /w Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 4)3 = (3 − y)3 ⇒ x = − y (3) y=4⇒x=3 Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 − 7y + 12 = ⇔ y=3⇒x=4 Đáp số: (3; 4), (4; 3) nghiệm hệ Bài  x2 + y2 =  (1) Giải hệ phương trình: 4x2 + 3x − 57 = −y (3x + 1) (2)  25 Giải Lấy phương trình (1) nhân với 25 cộng theo với với phương trình (2) nhân với 50 nhóm lại ta được: 17 25(3x + y)2 + 50(3x + y) − 119 = ⇔ 3x + y = ; 3x + y = − 5  x2 + y2 =  11 Trường hợp 1: Thế ta được: x = ⇒ y = ; x = ⇒y= y = − 3x 5 25 25   x2 + y2 =  Trường hợp 2: vô nghiệm y = − 17 − 3x  11 Vậy ; ; ; nghiệm hệ 5 25 25 Bài x3 + 3xy2 = −49 (1) x2 − 8xy + y2 = 8y − 17x (2) Giải Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) nhân với được: Giải hệ phương trình: x3 + 3x2 + (3y2 − 24y + 51)x + 3y2 − 24y + 49 = ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = ⇔ x = −1 x = −1, y = ma th Lần lượt vào phương trình (1) hệ ta (−1; 4), (−1; −4) nghiệm hệ Bài 6x2 y + 2y3 + 35 = (1) Giải hệ phương trình: 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = (2) ww Giải Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) theo vế ta được: (6y + 15)x2 + 3(2y + 5)x + 2y3 + 15y2 + + 35 = 39y y=−  ⇔ (2y + 5) x + =0⇔ + y+ 2 x=− , y=− 2 5 Lần lượt vào phương trình (1) ta được: ;− ; − ;− nghiệm hệ 2 2 Bài  x2 + y2 = xy + x + y Giải hệ phương trình: x2 − y2 = Giải /w Chú ý rằng: x2 − xy + y2 = 3(x − y)2 + (x + y)2   a = x + y 3a2 + b2 = 4b nên ta đặt hệ mới: b = x − y ab = (1) (2) p:/ Đem a = từ phương trình (2) vào phương trình (1) giải tìm b = ⇒ a = b Từ tìm lại được: x = 2; y = nghiệm hệ Bài 7.1 √  x2 + 2x + = y + Giải hệ phương trình: x2 + xy + y2 = htt Giải ĐK: y ≥ −1 Hệ cho tương đương với:  x2 + 2x + = y2 + 2y + (x − y)(x + y + 2) = −5 (∗∗) ⇔  3(x + y)2 + (x − y)2 = 3(x + y)2 + (x − y)2 = 28     a = x + y b(a + 2) = −5 a = −1 a = hay Đặt (∗∗) trở thành ⇔ b = x − y 3a2 + b2 = 28 b = −5 b = −1   x = −3 x = Giải hệ ta thu nghiệm: hay y = y = Kết luận: Hệ phương trình cho có tập hợp nghiệm là: {(−3; 2), (1; 2)} Bài Giải hệ phương trình: 2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2 y x2 + 2y2 = xy + 2y ma th Giải Với y = ⇒ x = nghiệm hệ Với y = 0, nhân phương trình với −y cộng theo vế với phương trình ta được: 2x3 − 4x2 y + 4xy2 − 2y3 = ⇔ x = y Thế lại vào phương trình hệ ta được: 2y2 = 2y ⇔ y = ⇒ x = Vậy (1; 1), (0; 0) nghiệm hệ Bài  x√x − y√=y = 8√x + 2√y Giải hệ phương trình: (∗) x − 3y = Giải  x > Đk: y > Bài 10    ww  3 x√x − y√y = 4√x + √y (1) Lúc hpt (∗) ⇔ x − 3y = (2) √ √ √ √ √ √ √ Thay (2) vào (1) có:3 x x − y y = (x − 3y) x + y ⇔ x x + xy − 12y x = √ √ √ √ √ √ √ ⇔ x x − y  + y = ⇔ x = y ⇔ x = 9y Thay vào (2) có y = ⇒ x = x x = Vậy hpt có nghiệm y = 2x 2y + =3 y x  x − y + xy = Giải hệ phương trình: Giải (∗) /w   2x 2y 2x2 + 2y2 − 5xy =  + =3 y x ⇔ Đk x.y > Lúc hpt (∗) ⇔ x − y + xy =  x − y + xy =    (x − 2y) (2x − y) = x = 2y y = 2x ⇔ ⇔ hay x − y + xy = 2y2 + y − = 2x2 − x − = Bài 11 p:/ Lúc kết hợp với đk ta hpt có nghiệm (x; y) (2; 1) ; −3; − Giải hệ phương trình: 3 ; (−1; −2) ; ;3 2  x4 − y4 = 240 x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2 ) − 4(x − 8y) htt Giải Lấy phương trình trừ phương trình nhân với ta được: (x − 2)2 = (y − 4)4 ⇔ x = y − 2; x = − y Lần lượt vào phương trình thứ hệ ta   x4 − y4 = 240 x = −4 Trường hợp 1: ⇔ x = y − y = −2   x4 − y4 = 240 x = Trường hợp 2: ⇔ x = − y y = Vậy (4; 2), (−4; −2) nghiệm hệ Bài 12 Giải hệ phương trình: √  (x − y) = √xy x2 − y2 = Giải √ x = 2y √ (x − y) = xy ⇔ 2x2 − 5xy + 2y2 = ⇔ (x − 2y)(2x − y) = ⇔ y = 2x   x = x = −2 Khi x = 2y ⇒ y = ±1 ⇒ hay y = y = −1 Lúc ma th Đk: x ≥ y Khi y = 2x ⇒ −3x2 = (pt vơ nghiệm) Vậy đối chiếu với đk hpt có nghiệm (2; 1) Bài 13  (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y2 = 20 Giải hệ phương trình: x2 + (2y + 1)2 = Giải  y = x + (1) 3x − ⇔  x + 4y2 = − 4y (1) vào hệ (2) ta x2 + ww  x2 − 2x + + 6xy − 6y + 4y2 = 20 hệ phương trình ⇔ x2 + 4y2 = − 4y 2x + 18 +1 3x − =2⇔ −9 x− 55 = hay x = −1 suy x = −1 ⇒ y = −1 Bài 14  x2 + 2xy + 2y2 + 3x = (1) Giải hệ phương trình: xy + y2 + 3y + = (2) htt p:/ /w Giải Lấy (1)+2.(2) ta :(x + 2y)2 + (x + 2y) + = 0⇔ (x + 2y + 1) (x + 2y + 2) = TH1: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta √ √ − 2y − = ⇒ y = + √2 ⇒ x = −3 − 2√2 y y = − ⇒ x = −3 + 2 TH2: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta √  √ 1− ⇒ x = −3 + y = 2√ y2 − y − = ⇒  √ 1+ y= ⇒ x = −3 − Do hpt cho có nghiệm √ √ √ √ √ √ √ 1− √ 1+ (x; y) : −3 − 2; + ; −3 + 2; − ; −3 + 5; ; −3 − 5; 2 Bài 15  x3 − y3 = 3x + Giải hệ phương trình: x2 + 3y2 = 3x + Giải  t = x3 − 3x − hệ phương trình ⇔ 3t + (x2 − 3x − 1)y = ta có D = x2 − 3x − 1, với t = y3 Dt = (x3 − 3x − 1)(x2 − 3x − 1), Dy = −3(x3 − 3x − 1) ma th nhận thấy D = mà Dy = suy pt VN Dy Dt = Xét D = ta có hay (x2 − 3x − 1)3 = −27(x3 − 3x − 1) D D ⇒ x = hay 28x5 + 47x4 − 44x3 − 151x2 − 83x − 13 = ⇒ x = hay x ≈ −1, 53209 từ suy y Bài 16   2x2 + y (x + y) + x (2x + 1) = − 2y Giải hệ phương trình: x (4x + 1) = − 3y ww Giải Cách 1: Thế = 4x2 + x + 3y phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: (2x2 + y)(x + y) = 2x2 + y ⇒ y = −2x2 y = − x  y = −2x2 vô nghiệm Trường hợp 1: x (4x + 1) = − 3y √ √    + 17 − 17   y = − x x = x = 4 √ √ Trường hợp 2: ⇔ x (4x + 1) = − 3y   y = − 17 y = + 17 √ √ √ √ − 17 + 17 + 17 − 17 Đáp số: ; ; ; nghiệm hệ 4 4 Cách 2: Phân tích (1) ta có 2x3 + 2x2 y + xy + y2 + 2x2 + x = − 2y ⇔ 2x3 + 2x2 (y + 1) + x(y + 1) + (y + 1)2 = ⇔ 2x2 (x + y + 1) + (y + 1)(x + y + 1) = /w ⇔ (x + y + 1)(2x2 + y + 1) = ⇔ (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16   (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16 (x + y + 1) [9 − (x + y)] = 16 ta có ⇔ suy x+y = hay x+y = 4x2 = − x − 3y 4x2 = − x − 3y √ Với x + y = ta tìm đc x = ± 17 hay y = − x Với x + y = thay vào (2) phương trình VN KL Bài 16.1  x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + (1) Giải hệ phương trình: 3x2 + y2 + 8y + = 8x (2) p:/ Giải Từ pt thứ (2) hệ ta rút = 8x − 3x2 − y2 − 8y Thay vào pt thứ (1) hệ thu gọn ta (x − y)  x2 + 2x − 15 x=y  =0⇔ x=3 x = −5 htt Với x = y thay vào pt thứ ta −4x2 = pt vô nghiệm y = −1 Với x = thay vào pt thứ ta y2 + 8y + = 0⇔ y = −7 + 8y + 119 = pt vô nghiệm Với x = −5 thay vào pt thư ta y Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (3; −1); (3; −7) Bài 17 .vn  x3 − 12z2 + 48z − 64 =    y3 − 12x2 + 48x − 64 =   3 z − 12y2 + 48y − 64 = Giải hệ phương trình: ma th Giải Cộng theo vế phương trình hệ ta được: (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = (∗) từ suy số hạng tổng phải có số hạng không âm, không tổng quát ta giả sử (z − 4)3 ≥ ⇒ z ≥ Thế phương trình thứ hệ tương đương x3 − 16 = 12(z − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương y3 − 16 = 12(x − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = (∗) ⇒ x = y = z = Thử lại thỏa mãn Vậy (4; 4; 4) nghiệm hệ Bài 18  x4 + 4x2 + y2 − 4y = Giải hệ phương trình: x2 y + 2x2 + 6y = 23 Giải ww  t − 4y = − x4 − 4x2 hệ cho tương đương (x2 + 6)y = 23 − 2x2 /w với t = y2 ta tính D = x2 + 6, Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104, Dy = 23 − 2x2 Dy Dt = suy (x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 − 2x2 )2 ta có D D ⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x2 )(x4 + 16x2 + 95) = suy x = hay x = −1 , từ tìm y Bài 19  x2 + xy + y2 = Giải hệ phương trình: x2 + 2xy − 7x − 5y + = p:/ Giải Cách 1: Cộng theo vế phương trình hệ ta (2x + y − 3)(x + y − 2) = Từ dẫn đến trường hợp:    x2 + xy + y2 = x = x = Trường hợp 1: ⇔ y = − 2x y = y = −1   x2 + xy + y2 = x = Trường hợp 2: ⇔ y = − x y = Kết luận: (1; 1), (2; −1) nghiệm hệ   x = a + a2 + b2 + 3a + 3b + ab = Cách 1: đặt hệ trở thành y = b + a2 − 3a − 3b + 2ab = htt cộng (1) (2) ta đc Bài 20 2a2 + b2 + 3ab = Giải hệ phương trình:  3 x2 + y2 +  (1) (2) ⇔ (2a + b)(a + b) = suy x y = 2(10 − xy) (x − y)2 2x + =  x−y Giải = 20 (x − y)2  u = x + y Hệ ⇔  2(x + y)2 + (x − y)2 +  Giải hệ phương trình: ma th Đặt v = x − y + x + y + x − y + =  x−y x−y     u = 2u2 + v2 − = 20 v = − u u =  Ta có hệ sau: ⇔ ⇔ u + v = 2u2 + (5 − u)2 = 22 v = v = 14      x + y = x = u = x + y = ⇔ ⇔ TH 1: ⇔ x − y = y = v = x − y + = x−y     u = x + y = x + y = x + y =     √ √ 3 TH 2: ⇔ ⇔ v = 14 x − y + = 14 x − y = + 10 x − y = − 10     3 √   x − y √3 x = + 10 x = − 10   3√ 3√ ⇔   y = −3 − 10 y = −3 + 10 3 Bài 21  a(a + b) =    ww b(b + c) = 30    c(c + a) = 12 Giải Bài 22  x3 + y3 − xy2 = 4x4 + y4 − 4x − y = Giải hệ phương trình: /w Giải Với x = ⇒ y = Với y = ⇒ x = Với x = 0; y = thay (1) vào (2) ta được: p:/ 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ 3y2 − 4xy + x2 = ⇔ Với x = y thay vào (1) ta có x = ⇒ y = Với x = 3y thay vào (1) ta có x = √ ⇒ y = √ 3 25 25 y x  y =1 y −4 +1 = ⇔  x y x = x htt Vậy hpt có nghiệm phân biệt (x; y) (0; 1); (1; 0); (1; 1); √ ; √ 3 25 25 Bài 23  x2 − y2 = (1) Giải hệ phương trình: log (x + y) − log (x − y) = (2) ĐK: Giải  x + y > x − y > Từ pt (1) có log3 (x2 − y2 ) = ⇔ log3 (x + y) + log3 (x − y) = ⇔ log3 (x + y) = − log3 (x − y) (∗) .vn Thay (∗) vào pt (2) có − log3 (x − y) − log5 log3 (x − y) = ⇔ log3 (x − y)(1 −  5) = ⇔ log3 (x − y) = ⇔ x − y = log  x2 − y2 = x + y = x = Lúc ta có hpt ⇔ ⇔ x − y = x − y = y =  x = Vậy hpt có nghiệm y = ma th Bài 24  log (x2 + y2 ) − log (2x) + = log (x + 3y)  4 Giải hệ phương trình: log4 (xy + 1) − log4 (2y2 + y − x + 2) = log4 x −  y Giải ww  2  (x + y )2  = x + 3y (1) x hệ phương trình ⇔ x xy +   = (2) +y−x+2 2y 2y x = y (3) (1) ⇔ x2 − 3xy + 2y2 = ⇔ x = 2y (4) (2), (3) ⇔ x, y ∈ R > (2), (4) ⇔ x = 2, y = Bài 25  x2 (y + 1) = 6y − 2(1) Giải hệ phương trình: x4 y2 + 2x2 y2 + y(x2 + 1) = 12y2 − 1(2) Giải 9y + 4y − ;x +3 = y+1 y+1 Thay (1) vào (2), ta có: x4 y2 + x2 y2 + y + 6y2 − 2y = 12y2 −  (x2 − 2)(x2 + 3)y2 − y + = ⇔ √ y=1⇒x=± y=1 4(y − 1)(9y + 1)y = y−1 ⇔ ⇔ ⇔ (y + 1)2 4(9y + 1)y2 = (y + 1)2 y= ⇒x=0 Bài 26  x3 − y3 + 3y2 − 3x = 2(1) Giải hệ phương trình: √ x2 + − x2 − 2y − y2 = −2(2) p:/ Giải /w Dễ thấy y = y = −1 Từ (1) ⇒ x2 y(y + 1) = 6y2 − 2y, x2 − =  1 − x2 ≥ Cách 1: Đk: 2y − y2 ≥  −1 ≤ x ≤ ⇒ 0 ≤ y ≤ htt Đặt t = x + 1, ≤ t ≤ 2.Lúc hpt cho trở thành:  t − 3t + = y3 − 3y2 + t − 3t = y3 − 3y2 ⇒ √ √ x2 + − x2 − 2y − y2 = −2 x2 + − x2 − 2y − y2 = −2 a=0 a=2 − 3a2 nghịch biến với ≤ a ≤ Vậy f (t) = f (y) ⇒ t = y ⇒ x + = y Lập BBT ta có f (a) = a √ √ Thay x + = y vào pt (2) có x2 − − x2 = −2 ⇔ − x2 + − x2 − = √ √ √ − x2 = ⇔ ( − x2 − 1)( − x2 + 3) = ⇔ √ ⇒x=0⇒y=1 − x2 = −3 Xét hàm số f (a) = a3 − 3a2 , ≤ a ≤ Có f (a) = 3a2 − 6a; f (a) = ⇔ 3a2 − 6a = ⇔ ma th Phương trình (1) hệ tương đương x + z = x2 + xz + z2 = Thế xảy trường hợp:    z = −x x = x = Trường hợp 1: ⇔ ⇔ √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 z = y =  x2 + xz + z2 = Trường hợp 2: √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 Vậy hpt có nghiệm (x; y) là(0; 1) Cách 2: Sự xuất thức pt (2) mách bảo ta đặt z = − y hệ trở thành  x3 − 3x + z3 − 3z = √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 ww Phương trình đầu hệ kết hợp với điều kiện x z dẫn đến x = z = −1; x = z = 1, khả không thỏa mãn phương trình thứ 2, nên trường hợp vơ nghiệm Kết luận: (0; 1) nghiệm hệ Bài 27  x2 − y2 − y = Giải hệ phương trình: x2 + xy + x = Giải Bài 28  9y3 (3x3 − 1) = −125 45x2 y + 75x = 6y2 Giải hệ phương trình: htt p:/ /w Giải Với  y = hệ pt vô nghiệm Với y = chia vế pt (1) pt (2) cho y = 0; y = ta có hpt   125 27x + 27x3 + 125 = =9   y3 y3 ⇔ (∗)  x 3x (3x + ) = 45 + 75 x =   y y y y2 Đặt u = 3x; v = , v = y    u3 + v3 = (u + v)3 − 3uv(u + v) = (u + v)3 = 27 Lúc đó: (∗) ⇔ ⇔ ⇔ uv(u + v) = 6n uv(u + v) = uv(u + v) =    u = u + v = u = ⇔ hay ⇔ v = uv = v =    x = u = 3x =  Với ⇔ ⇔ v =  =2 y =  y    u = 3x = x = Với ⇔ ⇔ v =  =1 y = y Vậy hpt cho có nghiệm (x; y) ; ; ;5 3 Bài 29 Giải hệ phương trình: Giải  0 ≤ x ≤ 32 Đk: y ≤ Lấy (1) + (2) vế theo vế ta có  √x + √32 − x − y2 + = (1) √ √  x + 32 − x + 6y − 24 = (2) √ √ √ √ x + 32 − x + x + 32 − x = y2 − 6y + 21 (∗) √ √ (1 + 1)( x + 32 − x) = ma th Có y2 + 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12 √ √ √ √ Lại có x + 32 − x ≤ (1 + 1)(x + 32 − x) = ⇔ x + 32 − x ≤ √ √ √ √ + Vậy x + 32 − x x + 32 − x ≤ 12  √x = √32 − x   x = 16  √ √ Do (∗) nên có hpt x = 32 − x ⇔ y =    y − = Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (16; 3) Bài 30  √x + y + + = 4(x + y)2 + √3x + 3y (1) Giải hệ phương trình: 12x(2x2 + 3y + 7xy) = −1 − 12y2 (3 + 5x) (2) /w ww Giải √ √ Đặt x + y + = a ≥ 0; 3x + 3y = b ≥    3a2 − b2 = 3a2 − b2 = 3a2 − b2 = (1) ⇔ ⇔ ⇔ 9a + = 4b4 + 9a + 3a2 − b2 = 4b4 + 9b 9a − 9b + 9a4 − 6a2 b2 − 3b4 =   3a2 − b2 = 3a2 − b2 = ⇔ ⇔ (a − b) 9a3 + 9a2 b + 3ab2 + 3b3 = a = b √ ⇔ 2x + 2y = ⇔ 2x = − 2y ⇔b= −1 −5 ; , ; Thay vào (2) ta : (x, y) = 10 Bài 31  x3 y (1 + y) + x2 y2 (y + 2) + xy3 = 30 Giải hệ phương trình: x2 y + x + y + y2 + y − 11 = Bài 32 p:/ Giải Giải hệ phương trình: Giải   x(1 + x) + 1 + = y y Giải hệ  3 x y + y2 x2 + xy + = 4y3 (2) 1 x2 + = Từ (1), (2) ⇒ x + x2 + nghiệm pt y y  y  1  x+ = x + =   y − 4A + = ⇔ y A ⇔ ⇔x=y=1 x2 + =  x =1   y y2 Bài 33 htt (2) ⇔ x + y (1) 10 Giải hệ phương trình:  √ 2 + 6y + x − 2y = x y √  x + x − 2y = x + 3y − Giải Bài 34 Giải hệ phương trình: ma th  √   − 12 x = (1)  y + 3x √   + 12 y = (2)  y + 3x Giải Cách 1: Đk: x > 0; y > Bài 35 Giải hệ phương trình: /w ww  √ + =  √  x y Từ lấy (1) + (2); (2) − (1) ta hpt  24 = − √  √  y + 3x y x 12 ⇒ = − ⇒ 12xy = (y + 3x)(9 − y) y + 3x y x ⇒ y2 + 6xy − 27x2 = ⇒ (y + 9x)(y − 3x) = ⇒ y = 3x x > 0, y > √ √ √ √ √ Thay y = 3x vào pt (1) ta được: x − x − = ⇒ x = + ⇒ x = + ⇒ y = 3(4 + 3) √ √ Vậy hpt có nghiệm (x; y) (4 + 3; 3(4 + 3)) √ Cách 2:Đk: x > 0; y > Nhân pt (1) với nhân pt (2) với hệ số ảo i cộng vế ta được: √ √ 12 √ √ √ ( 3x − yi) = + 6i 3x + yi − y + 3x √ √ √ 12 √ Đặt z = 3x + yi z − = + 6i ⇔ z2 − (2 + 6i)z − 12 = z √ √ √ √ √ ⇔ z = + + (3 + 3i) (thỏa mãn) z = ( − + (3 − 3i)(loại 3x < 0) 3)  √ √   x = + 2√3 √ √ 3x = + Với z = + + (3 + 3i ⇔ √ ⇔ √  √y = +  y = 12 +  2y x2 − y2 = 3x x x2 + y2 = 10y p:/ Giải Nhân chéo ta có: 3x2 x2 + y2 = 20y2 x2 − y2 ⇔ 3x4 − 17x2 y2 + 20y4 = ⇔ 3x2 = 5y2 or x2 = 4y2 Thay vào ta có nghiệm (x;y)= (0; 0) , ± Bài 36 ; (±1; ±2)  2√x + 3y + − 3√y = √x + (1) √y − − √4 − x + − x2 = (2) htt Giải hệ phương trình: 27 ;± 125 Giải √ √ √ (1) ⇔ x + 3y + = x + + y ⇔ 4(x + 3y + 2) = x + + 9y + y(x + 2) √ √ ⇔ ( x + − y)2 = ⇔ y = x + √ √ x−3 x−3 Thay vào (2), ta có: x + − − x + − x2 = ⇔ √ +√ + (3 − x)(3 + x) = 4−x+1 x+1+2 ⇔x=3⇒y=5 11 .vn 1 √ Ta cần cm pt √ + = x + 3(∗) vô nghiệm đoạn [−1, 4] x+1+2 1+ 4−x 1 1 √ Ta có: √ ≤ √ ≤1⇒ √ + < mà x + ≥ ⇒ (∗) vô nghiệm x+1+2 4−x+1 x+1+2 1+ 4−x Bài 37  (x + √1 + x2 )(y + + y2 ) = (1) Giải hệ phương trình: x√6x − 2xy + = 4xy + 6x + (2) √ Cách 1:Xét f (t) = t + t + 1, √ |t| − t t2 + + t = √ >√ ≥0 f (t) = + √ t2 + t2 + t2 + t ma th Giải Giải /w ww Do f (t) đồng biến R √ (1) ⇔ x + x2 + = −y + + y2 ⇔ f (x) = f (−y) ⇔ x = −y √ √ √ 2x2 + 6x + = 3x x 25 2 + = −4x2 + 6x + ⇔ ( 2x2 + 6x + − )2 = (2) ⇔ x 6x + 2x x ⇔ √ 2 2x + 6x + = −2x   7x2 − 6x − = 2x2 + 6x + = 9x2 √ ⇔ ⇔ x = → y = −1 Với 2x2 + 6x + = 3x ⇔ x ≥ x ≥   √ √ 2x2 + 6x + = 4x2 2x2 − 6x − = √ − 11 −3 + 11 + 6x + = −2x ⇔ ⇔ ⇔x= →y= Với 2x x ≤ x ≤ 2 √ Cách 2:Biến đổi phương trình thứ hệ thành: x + + x2 = −y + + y2 (1) √ Rõ ràng (1) khiến ta nghĩ đến hàm số f (t) = t + t + 1, hàm đồng biến R nên (1) tương đương x = −y vào phương trình thứ hai hệ ta được: √ x 6x + 2x2 + = −4x2 + 6x + (2) Có cách hay để giải (2) ẩn phụ, để đơn giản, ta √ − 11 lũy thừa vế ta tìm nghiệm x = 1; x = √ √ − 11 − 11 Kết luận: (1; −1); ( ;− ) nghiệm hệ 2 Bài 38  2x3 − 4x2 + 3x − = 2x3 (2 − y)√3 − 2y Giải hệ phương trình: √x + = 14 − x√3 − 2y + htt p:/ √ √ + 1− = (3 − 2y)3 + − 2y 2x3 − 4x2 + 3x − = 2x3 (2 − y) − 2y ⇔ − x x √ ⇔ − 2y = − (Do hàm số f (t) = t + t đồng biến R) x √ √ Thay vào phương trình thứ hai ta được: x + − − 15 − x − = x−7 x−7 111 ⇔√ + =0⇔x=7⇒y= √ 98 x+2+3 (15 − x)2 + 15 − x + Bài 39  x2 + 2xy − 2x − y = Giải hệ phương trình: x4 − 4(x + y − 1)x2 + y2 + 2xy = Giải Từ pt (2) ta có x4 − 4x3 − 4yx2 + 4x2 + y2 + 2xy = ⇔ (x4 − 4x3 + 4x2 ) − 4(x2 − 2x)y + 4y2 − 3y2 − 6xy = ⇔ (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy 12 Từ (4) có 2y(2xy + 2x2 − 3x − y) = ⇔ + Với y= từ (3) có x2 − 2x = ⇔  y = x2 + 2xy − 2x (3) ⇒ y2 (1 + 2x)2 = 3y(y + 2x) (4) y=0 2xy + 2x2 − 3x − y = x=0 x=2  x2 + 2xy − 2x − y = Lúc hpt cho trở thành: (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy ma th  +Với 2xy+2x2 −3x−y = ⇒ y = 2xy+2x2 y−3x thay vào (3) có x(2xy−x−1) = ⇔  x+1 Thay y = (x = 0) vào pt (3) ta có (x − 1)(2x2 + 1) = ⇔ x = ⇒ y = 2x Vậy hpt cho có nghiệm (x; y) (0; 0), (2; 0), (1; 1) Bài 40  x2 + y2 + 2y = Giải hệ phương trình: (x2 + xy)(y + 1) + x = Giải Bài 41 htt p:/ /w ww  3y − m√x2 + =  Tìm m để hệ có nghiệm nhất: x + y + √ = m2  +1 1+ x Giải  √ y + x2 + = m2 Hệ pt cho trở thành (I) √ 3y − m x2 + = * Điều kiện cần: giả sử hpt có nghiệm (x0 ; y0 ) (−x0 ; y0 ) nghiệm hệ nên hpt có nghiệm ⇔ x0 = −x0 ⇒ x0 =  y = m2 − Lúc hệ (I) ⇔ ⇒ 3m2 − m − = ⇔ m = −1 ∨ m = 3y = + m *Điều kiện đủ:  √  y + x2 + = x = + Với m= -1 ta có (I) ⇔ ⇔ Vậy m= -1 (nhận) √ 3y + x2 + = y =    √ y + x + = 16 x = 4 + Với m = ta có (I) ⇔ ⇒ Vậy m = (nhận) 3y − √x2 + = y = 3  Do m = −1; m = giá trị cần tìm Bài 42  x2 y2 − 2x + y − = Giải hệ phương trình: 2x2 + y2 − 4x − = Giải Bài 43 13 x=0⇒y=0 x+1 (x = 0) y= 2x .vn  xy + x − 7y = −1 (1) Giải hệ: x2 y2 + xy − 13y2 = −1 (2) ma th Giải Từ pt (1) ⇒ xy + = 7y − x xuống pt (2) pt (2) ⇔ (xy + 1)2 − xy − 13y2 = ⇔ (7y − x)2 − xy − 13y2 = ⇔ x2 − 15xy + 36y2 = ⇔ (x − 3y)(x − 12y) = ⇒ x = 3y Hoặc x = 12y Tới :D Bài 44  (2011x + 3) (ln(x − 2) − ln 2011x) = (2011y + 3) (ln(y − 2) − ln 2011y) (1) Giải hệ: (x; y ∈ Z) 2y6 + 55y2 + 58√x − = 2011 (2) /w Giải ww Giải Điều kiện: x, y > 2, từ (1), ta xét hàm số: f (t) = (2011t + 3)(ln(t − 2) − ln 2011t) t > 2, dễ thấy f (t) đơn điệu tập xác định nên : f (x) = f (y) ⇔ x = y, Thay vào (2), ta phương trình: √ √ 2x6 + 55x2 + 58 x − = 2011 ⇔ 2x6 + 55x2 − 1953 + 58 x − − = x−3 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x4 + 18x2 + 217) + 58 √ =0 x−2+1 58 ⇔ (x − 3) (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ =0 x−2+1 58 >0 x>2 ⇔ x = 3, vì: (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ x−2+1 Kết luận: Hệ phương trình cho có nghiêm là:(3; 3) Bài 45  8x6 − xy = y − 3x4 (1) Giải hệ: x3 − 4x2 y = y (2) 8x6 + 3x2 x+2 x3 Từ phương trình thứ hai rút ra: y = 4x + 8x6 + 3x2 x3 Từ dẫn đến: = ⇒ x3 (64x6 + 16x4 + 23x2 − 2x + 6) = ⇒ x = ⇒ y = x+2 4x + Đáp số: (0; 0) Bài 46  x2 + xy + 2x + 2y − 16 = (1) Giải hệ: (x + y)(4 + xy) = 32 (2) Giải p:/ Từ phương trình thứ rút ra: y = htt  (x + y)(x + 2) = 16 Hệ pt cho (x + y)(4 + xy) = 32 (1 ) (2 ) * Với x = y từ pt(1) có x2 + 2x − = ⇔ x=2 x = −4 hpt cho thỏa hpt cho không thỏa * Với x = −y hpt không thỏa (1 ) x+2 ⇒ = ⇒ x(2 − y) = ⇒ * Với x = −y lấy (2 ) + xy 14 x=0 ⇒y=8 y = ⇒ x = hay x = −6 Giải Từ phương trình thứ hệ rút x theo y ta được: x = 7y + y−1 ma th 7y + 2 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: y = 10y2 − y−1  y = −1 ⇒ x = ⇒ 39y4 + 34y3 − 8y2 − 2y + = ⇒  y=− ⇒x=1 Đáp số: (3; −1), 1; − nghiệm hệ Bài 48  x3 (3y + 55) = 64 Giải hệ: xy(y2 + 3y + 3) = 12 + 51x Vậy hpt có nghiệm phân biệt (x; y) (2; 2), (0; 8), (−6; 2) Bài 47  xy = x + 7y + Giải hệ: x2 y2 = 10y2 − 3y + 55 = t y3 + 3y2 + 3y = 3t + 51 ww Giải Dễ thấy x = không thỏa mãn hệ Viết lại hệ dạng: Cộng vế với vế hệ ta được: x (y + 1)3 + (y + 1) + 51 = t + 3t + 51 ⇔ y + = t ( f (t) = t + 3t + 51 đồng biến R) từ có: t − (y − 1) − 55 = ⇔ (t − 4) t + 4t + 13 = ⇔ t = x=1 Vậy hệ có nghiệm y=3 Bài 49  log (2x + 1) − log (x − y) = √4x2 + 4x + − (x − y)2 + − 3x2 + y2 − 4x − 2xy − 3 Giải hệ phương trình: √ √ log (2x) + 4x2 − 4x2 + = − /w với t = htt p:/ Giải Viết phương trình thứ hệ thành: (2x + 1)2 + − (2x + 1)2 − log3 (2x + 1) = (x − y)2 + − (x − y)2 − log3 (x − y) (∗) Xét hàm số: f (t) = (t)2 + − (t)2 − log3 (t) với t > √ t 1 Có: f (t) = − (2t + ) ≤ √ − 2 ≤ nên f nghịch biến Thế (∗) ⇔ 2x + = x − y (1) t (t)2 + √ Với phương trình thứ hai, xét hàm: f (x) = log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + với x > 1 Có: f (x) = 4x(2 − √ ) + > nên f đồng biến x 4x2 + √ 1 Thế mà f = − nên x = thỏa mãn phương trình thứ hai 2 3 Kết hợp với (1) cho ta y = − Vậy ;− nghiệm hệ 2 Bài 50  2  x4 y4  + − ( x + y ) + x + y = −2 (1) y2 x2 y x Giải hệ: y4 x4  x + y6 − 8x + = (2) 15 /w Giải Dễ thấy xy = không thỏa mãn hệ   Với: xy = viết lại hệ dạng:  ww ma th Giải ĐK: x = 0; y = x y x2 y2 x2 y2 Với pt(1): Đặt + = t ⇒ t = + + ⇒ + = t − y x y x y x 2 4 y x y x Mặt khác : + = (t − 2)2 ⇒ + + = t − 4t + y x y x 4 x y Từ đó: + = t − 4t + y x x2 y2 Theo AM_GM có + ≥ ⇔ t ≥ ⇔ |t| ≥ y x Ta có vế trái pt (1) g(t) = t − 5t + t + 4, |t| ≥ Có g (t) = 2t(2t − 5) + Nhận xét: + t ≥ ⇒ 2t(2t − 5) ≥ 4(8 − 5) > ⇒ g (t) > + t ≤ −2 ⇒ 2t ≤ −4; 2t − ≥ ⇒ −2t(2t − 5) ≥ 12 ⇒ 2t(2t − 5) ≤ −12 ⇒ g (t) < Lập BBT có giá trị nhỏ g(t) =-2 đạt t = −2 x y Vậy từ pt(1) có + = −2 (∗) y x x y Đặt u = ⇒ = , u = y x u Lúc pt (∗) ⇔ u + = −2 ⇔ (u + 1)2 = ⇔ u = −1 ⇔ x = −y u Thay x = −y vào pt(2) có :x6 + x2 − 8x + = ⇔ (x − 1)2 (x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 6) = ⇔ (x − 1)2 x2 (x + 1)2 + 2(x + 1)2 + = ⇔ x − = ⇒ x = ⇒ y = −1 Vậy hpt có nghiệm (x; y) (1; −1) Bài 51  (2x2 − 1)(2y2 − 1) = xy Giải hệ phương trình: x2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = 2y − = x y 2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = x + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = ( ẩn x) có nghiệm là: ĐK để phương trình x ∆1 = (y − 7)2 − 4y2 + 24y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1; + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = ( ẩn y) có nghiệm là: ĐK để phương trình x 10 ∆2 = (x − 6)2 − 4x2 + 28x − 56 ≥ ⇔ x ∈ 2; Xét hàm số f (t) = 2t − đồng biến (0; +∞) t Nên: ⇒ f (x) f (y) ≥ f (2) f (1) = x=2 Kết hợp với phương trình thứ ta nghiệm hệ y=1 Bài 52  √  x + 2y3 − x = − + 3 (1) Giải hệ phương trình: y4 + 2x3 − y = − − 3√3 (2)  htt p:/ 2x − 16 .vn Giải ma th −1 Lấy (1)+(2), ta có: x4 + 2x3 − x + y4 + 2y3 − y = 2 + x)2 − (x2 + x) + + (y2 + y)2 − (y2 + y) + = ⇔ (x 4 + x − )2 + (y2 + y − )2 = ⇔ (x √  −1 −  x = 2√ ⇔  −1 + y = Bài 53 Đề thi thử lần chun Lê Q Đơn_ Bình Đinh  log (3x + 1) − log y = (1) √2 Giải hệ phương trình: −4y 2 x + 3log9 = 10 (2) Giải x > − , y > 0, x2 − 4y ≥ √ √ Từ pt(1) có: log2 (3x + 1) = + log2 y ⇔ 3x + = 4y (∗) √ √ 2 Từ pt(2) có: x −4y + = 10 ⇔ x −4y = ⇔ x2 − 4y = ⇔ 4y = x2 − (∗∗) √ 19 Thay (∗∗) vào (∗) ta được: x2 − = 16(x2 − 9) ⇔ 7x2 − 6x − 145 = ⇔ x = ∨ x = − Với x = ⇒ y = Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (5; 4) Bài 54  √   √ + y = x + 2(1) x x y Giải hệ:  √ y( x + − 1) = 3(x2 + 1)(2) (loại) ww Đk: htt p:/ /w Giải √ √ √ x = −y(∗) y + x 2(y + x) = ⇔ (1) ⇔ x y y = 2x(∗∗) Với (∗), ta dễ thấy y < , tức VT (2) < 0, VP lại lớn nên loại! √ √ Với (∗∗), ta có: 2x( x2 + − 1) =  + 1) ⇔ 4x4 − 8x2 x2 + − 3(x2 + 1) = ( ĐK: x > ) 3(x √ 2 x2 + 1(i) √  x − x +1 = 2 − x2 + 1)2 = (x + 1) ⇔  √ ⇔ 4(x  − x − x2 + = x2 + 1(ii) √ 11 √ − 11 √ Dễ thấy (ii) vơ nghiệm + < Cịn (i) ⇔ x4 − ( + 7)x2 − ( + 7) = 4 11 √ Đặt α = + −α + (α)2 + 4α ⇔x= Bài 55  2√2x + 3y + √5 − x − y = Giải hệ: 3√5 − x − y − √2x + y − = Giải Bài 56 Bài hệ hay! 17 .vn  6x2 + y2 − 5xy − 7x + 3y + = (1) Giải hệ: x − y  = ln(x + 2) − ln(y + 2) (2) Giải Đk: x > −2; y > −2 Từ pt (2) có x − ln(x + 2) = y − ln(y + 2) y = 3x − y = 2x − ma th Từ pt (1) có :y2 + (3 − 5x)y + 6x2 − 7x + = ⇔ (y − 3x + 2)(y − 2x + 1) = ⇔ Xét hàm số y = f (t) = t − 3ln(t + 2),t > −2 Có f (t) = t −1 t +2 ww Từ f (t) = ⇔ t − = ⇔ t = Lập BBT ta nhận có nhận xét hàm số y = f (t) nghịch biến (−2; 1) đồng biến (1; +∞) Từ ta đến nhận xét sau: + Với x = ⇒ y = kiểm tra ta thấy x; y thỏa hệ + Với x, y ∈ (−2; +∞), (x = 1) ⇒ f (y) > f (x) Thật vậy: y = 3x − ∨ y = 2x − ⇒ y − x = 2(x − 1) ∨ y − x = x − Nhận thấy + x > ⇒ y > x ⇒ f (y) > f (x) hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) +x < ⇒ y < x ⇒ f (y) > f (x) hàm số nghịch biến khoảng (−2; 1) Do hệ pt cho có nghiệm (x; y) (1; 1) Bài 57 Trích đề học sinh giỏi Thừa Thiên Huế 2008 - 2009 khối chuyên  2x + 4y = 32 Giải hệ: xy = /w Giải Ta có x; y phải số dương Vì x;√âm 2x + 4y < < 32 y √ √ x + 4y ≥ 2x+2y ≥ 22 2xy = 32 Khi ta có: Dấu = xảy x = 2y Khi x = y = Bài 58 Trích đề học sinh giỏi Hà Tĩnh 2008 - 2009   x4 − 16 y4 −  = 8x y Giải hệ:  x − 2xy + y2 = htt p:/ Giải Điều kiện x = 0, y = x Phương trình thứ hệ có dạng f = f (y) (1) −1 t Với f (t) = ,t = Ta có f (t) = 3t + > t t Suy hàm số f đồng biến khoảng (−∞; 0) , (0; +∞) Trên (−∞; 0) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình thứ hai hệ thu được: y2 = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 2 Trên (0; +∞) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình thứ hai hệ thu được: y2 = ⇔ y = 2 ⇒ x = 2 √ √ √ √ Vậy hệ có nghiệm (x; y) 2; , −2 2; −4 Bài 59 Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ 2008 - 2009 vòng 18 .vn  y2 − xy + = Giải hệ: x2 + y2 + 2x + 2y + = ma th Giải Thay y2 + = xy vào phương trình ta được: x2 + xy + 2(x + y) = ⇔ (x + 2)(x + y) = Nếu x = −2 y = −1 ±1 Nếu x = −y y = √ Bài 60 Trích đề học sinh giỏi Quảng Bình 2008 - 2009 vịng √  x2 + 2x + 22 − √y = y2 + 2y + Giải hệ:  y2 + 2y + 22 − √x = x2 + 2x + htt p:/ /w ww Giải Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, x = y = không thỏa hệ nênx > 0, y > Trừ hai phương trình hệ theo vế ta √ √ √ x2 + 2x + 22 + x + x2 + 2x + = y2 + 2y + 22 + y + y2 + 2y + √ √ Phương trình có dạng f (x) = f (y) với f (t) = t + 2t + 22 + t + t + 2t + t +1 Ta có f (t) = √ + √ + 2t + > t + 2t + 22 t Suy f hàm đồng biến ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y √ √ Thay vào PT thứ ta có x2 + 2x + − x2 + 2x + 22 + x = √ √ Phương trình có dạng g (x) = g (1) với g (x) = x2 + 2x + − x2 + 2x + 22 + x = 0, x+1 x+1 g (x) = 2x + + √ − √ > 2− √ >0 x x2 + 2x + 22 √ x2 + 2x + 22 |x + 1| x2 + 2x + x+1 (Vì √ ≤√ =√ < 1) ⇒ g hàm đồng biến nên g (x) = g (1) ⇔ x = x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) 19 ... = hay x+y = 4x2 = − x − 3y 4x2 = − x − 3y √ Với x + y = ta tìm đc x = ± 17 hay y = − x Với x + y = thay vào (2) phương trình VN KL Bài 16.1  x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + (1) Giải hệ phương. .. ta có hay (x2 − 3x − 1)3 = −27(x3 − 3x − 1) D D ⇒ x = hay 28x5 + 47x4 − 44x3 − 151x2 − 83x − 13 = ⇒ x = hay x ≈ −1, 53209 từ suy y Bài 16   2x2 + y (x + y) + x (2x + 1) = − 2y Giải hệ phương. .. lượt vào phương trình (1) hệ ta (−1; 4), (−1; −4) nghiệm hệ Bài 6x2 y + 2y3 + 35 = (1) Giải hệ phương trình: 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = (2) ww Giải Lấy phương trình (1) cộng với lần phương