100 bài hệ phương trình luyện thi đại học 2014-2015 full

TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CƠNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC  x 12  y  y(12  x )  12 (1)  (x, y  R) Bài Giải hệ phương trình:   x  8x   y  (2)    2  y  12 2  y  12     Điều kiện :   12  x  2  x        Giải Cách 1: Đặt a  12  y , a   y  12  a PT (1)  xa  (12  a )(12  x )  12  122  12x  12a  x 2a  12  xa  xa  12   12  12x  12a  x 2a  122  2.12.xa  x 2a    xa  12    12x  2.12xa  12a     xa  12    (x  a )2     Ta có (x – a)2 =  x = 12  y (*) Thế (*) vào (2) : (12  y ) 12  y  12  y   y   (4  y ) 12  y  y    (3  y ) 12  y  12  y    y    (3  y ) 12  y  y 12  y   2(3  y ) 1 y 2 0 y       0(vô nghiệm)  12  y  12  y   y    x  Vậy   y    (ĐH khối A – 2014) Cách 2: Ta có x 12  y  (12  x )y  x Dấu “=” xảy  12  y x   12  x 12  y  y   12 12  y  y  x y  (12  y )(12  x ) (3) Khi (1) tương đương với (3) x  x  x         x 2y  144  12x  12y  x 2y 12y  144  12x y  12  x (4)          (3)    Thế (4) vào (2) ta có (2)  x  8x   10  x  x  8x   10  x     x  8x    10  x       x  3 x  3x    x  3 x  3x    (10  x )  10  x  x2 0 0  10  x  2(x  3)   x  3 x  3x   0   10  x  x     2(x  3)  (vô nghiệm x  0) x  3x     10  x x 3y 3  x  Vậy   y    Cách 3:   Đặt a  x ; 12  x ;b    a  b  12  2  2  12  y ; y   (1)  a  b  2a.b    a  b  x  12  y (2)  x  8x   10  x     x  3 x  3x   3  x 3  x  10  x  x y 3 x   3x   10  x   3  x     Đặt f x   x  3x  1 10  x   3  x  f ' x   x   phương trình vơ nghiệm Vậy nghiệm hpt trên: (3;3) (1  y ) x  y  x   (x  y  1) y   (ĐH khối B – 2014) Bài Giải hệ phương trình:   2y  3x  6y   x  2y  4x  5y     Giải y     Điều kiện: x  2y   4x  5y     Phương trình thứ viết lại thành (1  y ) x  y  (1  y )  (x  y  1)  (x  y  1) y y  (1  y )(x y 1) y 1   (x  y  1)   x y 1 y 1 x  y  TH1 : y  thay xuống (2) ta có  3x  x   4x   x  3(TM ) TH2 : x  y  thay xuống (2) ta có 2y  3y    y   y  2y  3y    y   2(y  y  1)  (y   y )       2   (y  y  1)       y  1y   y  1 x  1 (TM ) 1 1 ; ) 2 y(x  2x  2)  x (y  6)  Bài Giải hệ phương trình:   (y  1)(x  2x  7)  (x  1)(y  1)    Vậy hệ cho có nghiệm : (x ; y )  (3;1),( Giải ĐK: x , y  R a  x   Đặt  , ta có hệ trở thành:  b  y   b(a  1)  (a  1)(b  6) (a  1)(b  6)  b(a  1) (*)       2 (b  1)(a  6)  a(b  1) (b  1)(a  6)  a(b  1)(**)       Trừ vế theo vế hai phương trình thu gọn ta có: a  b (a  b)(a  b  2ab  7)    a  b  2ab    Trường hợp 1: a  b thay vào phương trình (*) ta có: a  (a  1)(a  6)  a(a  1)  a  5a     a  x     hệ có nghiệm (x; y) là: x   Trường hợp 2: a  b  2ab   2  5  5    Trừ vế theo vế hai phương trình (*) (**) rút gọn ta có: a    b         2  2    a  b  2ab      2 Vậy ta có hệ phương trình:      a    b            2 2      a  a  a  a      Đây hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có nghiệm:  ; ; ;     b  b  b  b          Từ ta có nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2) x  12x  y  6y  16    Bài Giải hệ phương trình:   4x   x  4y  y      Giải ĐK: x  2;2 , y  0; 4 Ta có PT (1)  (x  2)3  6(x  2)  y  6y Xét hàm số f (t )  t  6t, t  0; 4 ta có f '(t )  3t  12t  3t(t  4)  0, t  0; 4  f (t ) nghịch biến  0; 4 Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y)  y  x  thay vào phương trình (2) ta có: 4x    x  x  từ ta có y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2) x  y     Bài Giải hệ phương trình:   x  4x y   9x  8y  52  4xy    Giải §K: y  1 x   y    HPT    x  4x y   4xy  4x  13x  8y  52     x   y      x (x  y  1)2  13x  8y  52     x   y     x  2y  13     x   y       y 1  5y    x   y      y    y  11y  24           x   y   x     y      y  y       y      x  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:   y    y  2x  y  x    1  Bài Giải hệ phương trình:   xy     xy  x  y     ĐK: x  0; y  0; xy  1  y  2x  2 , ta được: y  x  xy    y x   y  x    y  x  y  x thay vào 1 x2   x   y  KL: hệ pt có tập nghiệm: S  1;1     2 x  y  x  y2     x  y   xy  xy xy Bài Giải hệ phương trình:      5x    y  5x  y     ĐK: x  ;  y  Đặt u  x  y, u  0; v  xy , v   u       2 2  u   u  1   u   u  2v     1  2u  3u v  uv  2v    v   v  v         v     2  x  y  xy   x y 5x    x  3x     x  y thay vào 2 , ta được: 5x  5x        3x   x  1   3       5x     x 1 x 1 1x x   y     1    VN  x   2x 1  5x   KL: tập nghiệm hệ pt là: S  1;1   x  x    x  y  1 x    2x  11    3y  1       y y x y y   Bài Giải hệ phương trình:  x  x     1    y y2   ĐK: y        x y  x y  x y 1  y  x  x    x  y  1x  y   1              Hệ        x  y  x  x   4y  y  x  x   4y  y            KL: S  1;2   4x  3xy  7y  x  5xy  6y  3x  2xy  y  Bài Giải hệ phương trình:   3x  10xy  34y  47    2  3x  2xy  y  ĐK:   4x  3xy  7y       Chuyển vế nhân liên hợp phương trình 1 , ta được:     x  5xy  6y   4       4x  3xy  7y  3x  2xy  y       x  y n   x  6y  x   y  Với x  y thay vào 2 , ta được: x    x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y thay vào 2 , ta được: 82y  47    y   47  x   82    47    47   47 47     ;   KL: S  1;1, 1; 1,  ; 6 ;6       82 82   82 82            47 82 47 82 n  x  3xy  x  y     Bài 10 Giải hệ phương trình:  x  9y x  y  5x     x  3y  3x  3xy   Hệ   2   x  3y  3x 2y  5x      x   y    2 Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y  15y    y   x   y   x  x          KL: S  0; 0; 1;                    VN   x  2  y   4xy  13       Bài 11 Giải hệ phương trình:  x  xy  2y    x y    x y  x  y2   x  y     ĐK: x  y    x  2y     x  4xy  4y  4x  8y     Hệ    x  y  x  2y  x  y  x  y     x  2y  Ta có PT 1  x  2y   x  2y      l  x  2y  5 Với x  2y  thay vào 2 , ta được: 3y  1 y    3y  9y  6y  13y   y   x  thỏa mãn KL: S  1; 0   x  x  2y  x   2y  Bài 12 Giải hệ phương trình:   x  3y     ĐK: x  2y     x  2y  Ta có 2  x   3y thay vào 1 ta được: 1  5y   5y  5y   y   x   thỏa mãn KL: S   3;1; 3;1   x2 y y  1 2    x2 1  y 1 Bài 13 Giải hệ phương trình:    x  4y x    x  1           x   y  1     x  1  x     ĐK: y      x 1  y 1      a  x  1, a   Đặt:  , ta được:  b  y  1, b     b a  b      a  4ab  5a 2b     Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S   10;2; 10;2 20y  3y  3xy  x  y   Bài 14 Giải hệ phương trình:   x  y  3y     20y  y 3y  1  x 3y  1   Hệ    x  y  3y     Thế 2 vào 1 , ta phương trình bậc    3 1     KL: S  ;  ;  ;         2   5       x  3y  x  3y   Bài 15 Giải hệ phương trình:    2y   2x  y  3x      ĐK: y  3y  x   3y  x     y  l  Ta có PT 1  x  3y  3y  x     6y  6xy    x y      Với x  y thay vào 2 , ta được: y   x    2y   y  3y   y  6y  11y  8y    y   l   y    x      KL: S  1;1;  2;2       x  y  2x 2y x  y   Bài 16 Giải hệ phương trình:  y x  x  y2   xy  3y  4x     ĐK: x y   Ta có PT 1  x  y 2      x  x 2y  y        x  y  x  y    x  y 2  2 x y x  y           Với x  y thay vào 2 , ta được: x   y   Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  KL: S  1;1; 1; 1 10x  5y  2xy  38x  6y  41    Bài 17 Giải hệ phương trình:    x  xy  6y  y  x       x  xy  6y  ĐK:   y  x      Ta có PT 1  10x  2x y  19  5y  6y  41  Tính Δ 'x  49 y  1   y  thay vào 1 x  thỏa hệ phương trình KL: S  2;1 x  y  x 2y  xy  2xy  x  y    Bài 18 Giải hệ phương trình:    x  y  x  2x  y     ĐK: x  y  y  x 1 Ta có PT 1  x  y  1x  y  x  y     2   x  y  x  y  x   y  1 y  x  thay vào 2 , ta được: x  2x  x    x   y  x  y2  x  y   x  y  KL: S 1; 0; 0; 1 vì x  y  0 thay vào hệ không thỏa    y  8x    3 y  y    Bài 19 Giải hệ phương trình:    4  3 y   y   12x  y   4x     1 x  2  a  y   Đặt:  , ta có:  b   4x , b      ĐK: b b    b2  b   a  3a  2a  3b  b     a  b  b thay vào 1 , ta được:  a  3a  a  2b       b  b  3b  b   b   a       4x  x     Khi ta có:    3 y2   y  1                  KL: S   ;1;  ; 1 ;  ;1;  ; 1        2  2              3x  24y  2y  x 9x  18y  11   Bài 20 Giải hệ phương trình:   1  2y   x  x  6y        ĐK: y  Ta có PT 1  x  2y 3x  6x 2y  9x  12y  18y  1  Với x  2y thay vào 2 , ta được:     0    2x   x  4x   x  1    x 1 3 2  3   (4x  1)  4x  2x   (2x  1)   3 x 1y      KL: S  1;             x  y x  y     xy     xy x  y xy Bài 21 Giải hệ phương trình:    1   x y     y x   ĐK: x  0; y  Ta có PT 1     y  x  xy    x  y  xy  x  y  x 2y  xy thay vào 2 ta được:  xy  xy xy  xy  xy    xy  x 3y  y   Bài 69 Giải hệ phương trình   x y  2xy  y      y x  y   Hệ phương trình    Giải   1 y x  y   2    Từ hệ suy x y  0; x  y, y  Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu chia cho ta thu phương trình đồng bậc: Đặt x  ty t  3    8  t  1    t  1 t  t  1  t  1 t 1 73  y x  y  73 94 3 Từ phương trình suy t  ; t  t  1  3 1 9t t   1 t  1 t  Xét f t  f' t   t ta phương trình:  y3 x  y3  9t  t  1 t   t  1 9t 1  9t  8t   t  1   t  Vậy f(t) đồng biến với t  Nhận thấy t  nghiệm (3) Vậy t  nghiệm Với t  ta có x  2y vào (1) ta y   y  (vì y  ) suy x  Vậy hệ có nghiệm 2;1       Bài 70 Giải hệ phương trình          1 ĐK: x  , y  2 Trừ vế hai pt ta y x xy 2  x   1   2     y  x   1 2  2 y x y 1 2 y x 1  2  x y  2  2 0 (1) (2) 1  2   y x y x xy  x  y  TH y  x   y  x vào (1) ta  x  y x  1   xy          y x    2 2 x 0 Đặt t  x , t  ta 2  t  t     t2   t   2  t   x  y    2 2  t   4t  t t  2t         1  TH   TH vô nghiệm ĐK  xy x  y 1   xy         y x      Vậy hệ có nghiệm (1; 1)   x  2y     y Bài 71 Giải hệ phương trình:      3x  3y          y x       Điều kiện: x y  Quy đồng 1 vào 2 , ta được:    3x 3y  3xy  5xy  2x x 2y  2y  2y  y x 2y  2y  2y     x  2y  x  xy  y    x  2y thay vào 1 , ta được: 4y  2y  2y    y   x  KL: S  2;1  y  y  2x  xy  x 2y  Bài 72 Giải hệ phương trình:   8xy  2y   4x   (2x  y )2    Giải VP (1)   1 1   xy     VT (1)  y  y  2x       2 2  2y  2y  4x  (3) Từ (2) (3) suy ra: 8xy  2y   2y  2y  4x  4x   (2x  y )2  8xy   2y  8x   (2x  y )2  4xy   y  4x   (2x  y )2    (2x  y )2  y  4xy  4x  (y  2x )2 VT (4)  0,VP (4)  Do đó: (4)   x    y      y  2x y  2x   x     (4)      y  2x y  y y               x     y  1    Thử lại có: (x ; y )  ( ; 1) thỏa mãn 2 Vậy hệ cho có nghiệm (x ; y )  ( ; 1) Bài 73 Giải hệ phương trình   y x   y  1     1x x x 2    x   y  2 y   Giải x  y( x   x )  y  y  Từ PT (1) ta có:  x  y  x2   x  y Từ (2) & 3 (3) x   y  1 x  x    y     y      y   ta có:     y     x   y   y   y Thay vào 3 giải ta có nghiệm 0; 1 2x  2y  2x  y  2xy       Bài 74 Giải hệ phương trình:  3y   8x  2y    x      Giải Ta có (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  ĐK: (2x + 1)(y + 1)  2x    y     Mà x >    Ta có PT (1)   2x   y    2x   y    y  2x  2x   y   Thay vào (2): 6x   8x  4x   6x  1  6x   2x   2x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến R (3)  6x   2x  4x  3x  Nhận xét: x >1 không nghiệm phương trình Xét  x  1: Đặt x = cos  với     cos 3   2      k 2  (k  Z )        k 2     Do           Vậy hệ có nghiệm: cos ;2 cos      9    x y 3  x y        2 Bài 75 Giải hệ phương trình:  x  y x  y x  3 x  y         ln     64 y     32       Giải Theo BĐT Cauchy ta có x  y      4 x  y  1.1.1  x  y  x  y  4 Dấu xảy  x  y  (*) Từ kết hợp với điều kiện: x 3   2  x , y  y 3 x 9x 7x y4 9y 7y    ln 3  x      ln 3  y  64 32 64 32 x4 9x 7x Xét hàm số f(x) =    ln 3  x  ( với x < ) 64 32 x  9x  14 x  3  48 x 9x ' f x       16 16 x 3 16(x  3) PT thứ hai hệ      x  3x  9x  13x  x  1 x  x     ( x < 3) 16(x  3) 16(x  3) Suy hàm số nghịch biến (-2; 3), f(x) = f(y)  x  y ( **) Từ (*), (**) có x = y =       x  y  x  xy  y   ln  y  y      x  x    Bài 76 Giải hệ phương trình:        x y  3xy        Giải   y  y2     x  x       Từ x  y x  xy  y  2  ln       x  2x  ln x  x   y  2y  ln y  y   Xét f t   t  2t  ln t  t  f ' t   3t     1 t  2    t       2    t 9 t  3 2 29 t  1 26 29  t2        t 9  27 t2  t2  t2  t  27 26 29 26 29 29 1 t 9  1   0 27 3 3 Suy f ' t   t  hàm số đồng biến liên tục R Ta có t      Mà (1)  f x   f y   x  y Thay vào phương trình cịn lại hệ ta có x  3x   2 Đặt x  u u  0 suy u  3u  (3) Xét g u   u  3u  với u  g ' u   3u  có g ' u    u  1 Ta có bảng biến thiên hàm số: u g’(u) g(u) + -1 0 - - + -1 33 + Căn vào BBT phương trình (3) có nghiệm thuộc (0; 2)    Đặt u  cos  với   0;      2   Khi (3) trở thành: cos3=   =    x   cos 9           cos  ; cos   ;  cos  ;  cos   Vậy hệ có nghiệm         9  9       2x y  2x y   Bài 77 Giải hệ phương trình:    x  y 2    Giải   x  y  x  y   Ta có:   x  y2  x  y    x  y  x  y         2 2 Theo BĐT Cauchy ta có: 2x y  2y x  2x y x y  24  PT  dấu “ = ” xảy Từ ta có x = y = Vậy hệ có nghiệm (1; 1) x  8y  2xy(1  2y )    Bài 78 Giải hệ phương trình:   2y  1   x  4x      Giải §K: tõ PT (2) ,suy x> Ta có PT (1)  x (x  2y )  4y (2y  x )  (x  2y )(x  4y )   x  2y ( v× x+4y2> ) Thay vào phương trình (2) có x 4x  x  2x  (*) Ap dơng bÊt d¼ng thøc Cauchy tacã x2  x2   x  x  2x    4 x2   (  2x )  x  4x  2 3 (x  4)  2x  x  (x  4x )  2x  4 x  4x Dấu đẳng thức xảy x = Hệ phương trình có nghiệm (2,1) (Chú ý :Cách khác : Bình phương vế pt (*) (x  2)2 (x  x  4)  ) xy  4y   x (x  2)   Bài 79 Giải hệ phương trình:  (x, y  R)  x  y   2y      x  4 (1)  x  4 y  x     x  y   Giải  Với x  4 thay vào pt (2) ta y  10  10 Với x  y  vào pt (2) ta y  y   2y  (*) Ta có y  y   2y   (y  y  1)   2y    5(2y  1)  2y  Do pt (*) vô nghiệm KL: Nghiệm hệ x  4 , y  10  10 x  8x  y  2y  Bài 80 Giải hệ phương trình:   x   3(y  1)    Giải x  y  2(4x  y )(1)  Ta có PT (1)    3 x  3y  6(2)     x  x y  12xy2  x    x  3y  x  4y Thay trường hợp x vào 2  Hệ có nghiệm là: 6 6 ; ),(4 ; ) 13 13 13 13 8 x  y   3xy  2y  x   Bài 81 Giải hệ phương trình:   4  x   y  2x  y     3;1 ,  3;  1 , (4 Giải x  x  y   Điều kiện:  , phương trình (1)  x  y x  2y  8     y    Với x  2y   x  x     x  2y  Ta có :    y  2y      x   Khi đó: x  2y    không thỏa hệ  y    Với x  y   y  x thay vào phương trình (2) x  2y  Ta có PT (2)   x   x  x  Điều kiện: 3  x  Ta có (2)     x 1    x   x2 1  1x 2x 1  x 1 3x 2 x   y  1      x   (*)  3x 2   x  Xét phương trình (*), đặt f (x )  2x 1 Ta có: f ' (x )  2x   2x 1   3x 3x 2  3x 2 x 1    0; x  3;2 Mặt khác f (x ) liên tục 3;2 , suy f (x ) đồng biến 3;2 Ta có: f (2)  , suy (*) có nghiệm x  2  y  Kết hợp điều kiện, hệ có hai nghiệm 1; 1, 2;2  x  1x  1 3(y  y )(1  x  2)  x  x     Bài 82 Giải hệ phương trình:   2y  2y  x      Giải ĐK: x  Ta có 3(y  y )(1  x  2)  x  x   3(y  y )(1  x  2)  (x   x   1)          2y  2y  x   2(y  y )   x         a  b   3ab  b  b   2a a  y  y        Đặt  ta    a  11 , b  b   x  2a  b  10a  21a  11            10  x  2, y  1   Với a=b=1 suy hệ có hai nghiệm :  Vì b   x    b  không  x  2, y  1   thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm  2x  2y  2x  1y  1   Bài 83 Giải hệ phương trình:  , với x  x , y  R   3y   8x  2y     Giải Điều kiện: (2x  1)(y  1)  , Phương trình (1)  2x  1  y  1  2x  1y  1  Từ giả thiết x  ta có 2x    y   Đặt a  2x  1, b  y  ta có (1) trở thành: a  2b  ab  a  b  a  b  ab  b   a  b a  2b     a  2b  0(l ) Với a  b ta có: 2x   y   y  2x thay vào phương trình (2) ta có:     6x   8x  4x   6x  2  6x   2x   2x , (*) Xét hàm số f (t )  t  t ta có f '(t )  3t   0, t  R  hàm số f (t ) đồng biến R Do PT (*)  6x   2x  8x  6x   x  (n )  Với x   y   2(x  1)(4x  4x  1)    x   (l )  5x 5y  4xy  3y  x  y   1   Bài 84 Giải hệ phương trình:  2  xy y   x  y  2      Giải Từ (2) ta có : xy  1x  y  2   xy   x  y  2  Với xy = 1; từ (1) suy : y  2y    y  1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)  Với : x  y   1  3y x  y   4xy  2x 2y  x  y    6y  4xy  2x 2y  x  y    1  xy 2y  x    xy   x  2y Xét : xy = Đã giải  10 10   10   10   ,   ; ;     5  5         10 10   10  10    ,    Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),  ; ;      5  5      x y  1  6y   1  Bài 85 Giải hệ phương trình:  x y  2x 2y  y x   12y  2    Với : x = 2y , thay vào x  y   x ; y       Giải Điều kiện : y  0; y  1 Khi : 1  x 2y y  1  6y  2y  x   4y  9y  ;x   y 1 y 1 Thay vào (2) , ta có : x 4y  x 2y  y  6y  2y  12y   x  2x  3 y  y   y   x   y       y 1    2 y   x  4 9y  1 y  y  1  y  1   x 2y  2y  x  4xy    Bài 86 Giải hệ phương trình:     x 3  x xy y   y  19y  1 y Giải Điều kiện : x  0, y  Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm vào hai vế phương trình   x       x x y (2) nhóm chuyển dạng tích       x               x  x y    u  v   1  u  v  Đặt : u  x  ; v      uv  x x y   Đến đậy toán trở thành đơn giản   2xy x   x2  y   x  2x  Bài 87 Giải hệ phương trình:   2xy  y  y x   y  2y     Giải Cộng hai vế phương trình hệ vế với vế ta có : 2xy x  2x   2xy y  2y   x  y Ta có : x = y = nghiệm hệ Ta có : x  2x   x  1    VT  xy  xy  2xy Khi : VP  x  y  2xy Cho nên dấu xảy : x = y = Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y)=(0;0); (1;1) 1  x 1  x 1  x    y Bài 88 Giải hệ phương trình:      1  y   y    1  y    x Giải Dễ thấy : x = y = x = y = -1 nghiệm hệ Xét : x > Ta có:  y  1  x 1  x 1  x    x  x  x  x  x  x  x   x  y  x Ta có:  x  1  y 1  y 1  y    y  y  y  y  y  y  y   y  x  y Vậy hệ vô nghiệm Tương tự y>0 hệ vô nghiệm Xét : x < -1   x   y  1 Ta có : 1+ x  x   x  x   x  x   x   x  y  x Tương tự y  1 ta có x  y Hệ vô nghiệm Xét trường hợp 1  x  Hệ vô nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm :  x; y    0;0  ;  1; 1    3x (1  )  (1)   x y Bài 89 Giải hệ phương trình:     7y (1  )  (2)   x y   Giải ĐK x  0, y  Dễ thấy x = y = không thõa mãn hệ Với x > 0, y > ta có :     1   2 1       x y  1  3x 3x 7y     ( nhân vế với vế)     x y 3x 7y 2 1          x y 7y   3x 7y   x  y   21xy  (7y  24x )(x  y )  24x  38xy  7y   y  6x (vì x, y dương)   1    1   7  Thay vào phương trình (1) ta     7x   x x 21  Từ dễ dàng suy x y x  3xy  49  (1) Bài 90 Giải hệ phương trình:   x  8xy  y  8y  17x (2)    Giải Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x  3x (x  8xy  8y  17x )  49  24xy(x  1)  2x  2x  49x  49 (3) Nếu x=0 (1) vơ lí Nếu x=-1 hệ trở thành y  16  y  4 Nếu x  1 & x  từ (3) suy y  2x  49x  49 Thế trở lại phương trình (2) ta 24x 2 2x  49x  49  2x  49x  49    2x  49x  49  17x   x  8x      24x 24x 3x   2  x  2x  49x  49  49      192x  (2x  49x  49)2  49.192x      24x 3x    196x  196x  2205x  4606x  2401   196x  2205x  2401   196x  196  2205x  2205   196x  196x  2401  Phương trình cuối vơ nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) x  xy  y 10  y  (1)  Bài 91 Giải hệ phương trình:    4x   y   (2)    Giải ĐK: x   Nếu y = từ phương trình (1) ta suy x = 0, vào phương trình (2) ta thấy khơng thỏa mãn, y khác Đặt x = ky ta (1) trở thành : k 5y  ky  y 10  y  k  k  y  y (3) Xét hàm số f (t )  t  t  , ta có f '(t )  5t   t   Do f(t) hàm số đồng biến  , (3)  f (k )  f (y )  k  y  x  y Thế vào (2) ta 4x   x    5x  13  4x  37x  40  36  4x  37x  40  23  5x 23  5x  5x  23 x          16x  148x  160  25x  230x  529 9x  378x  369  x  41       Suy x = y  1   x  2x   y  2y    Bài 92 Giải hệ phương trình:    x  y 3 3    Giải x  2x      y  2y   x      Điều kiện:   x  y  3     y      Mà:  x  2x   (x  1)2    x  2x        4 2 y  2y   (y  1)    y  2y          x  2x   y  2y   Vậy (1) có nghiệm x = y = thỏa (2) x 2y  2x  2y  5y     Bài 93 Giải hệ phương trình:    y   x  y  2xy  x  x  2xy  y   y    Giải ĐK: x  y  0; y   x  y  Từ (2) : y   x  y  y  y  2xy  x  x  y  1  y  y   y  y   x  y    x  y  x  y  2 Xét hàm số : t t  0  f '(t )  f (t )  t   t  t (Vì : t     t 1 t2  1 1       2t  t   2  0     t 1  t   t   với t>0 ) t 1 Như hệ có nghiệm xảy : y  x  y hay x = 2y Thay vào (1) : 2y  y  2y   2y  5y    4y  10y  5y   2    y  2 4y  2y    y  : 4y  2y   vơ nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x; y) = (4; 2)   x 1 8y  2   y  x 1  Bài 94 Giải hệ phương trình:    x y 2 2  x y  2   2     Giải Điều kiện : x , y   x Ta có PT (1)  2.2 2 y   x  2.2   3 y Xét hàm số : f (t )  2.t  3t t  0  f '(t )  8t   Chứng tỏ f(t) đồng biến Do để phương trình (1) có nghiệm : x  y  x  4y  5y  Thay vào (2) :   5y   Xét hàm số : f(t)= 2 t4 3  t  f '(t )  4t   2  Suy t = nghiệm 2   y  x  4y       x ; y    ;         5   5y     x        Nhận xét : f(1) = +      x  x  y  y2    Bài 95 Giải hệ phương trình:   27x  x  8y     Giải Ta có PT (1)  x  x   2y    2y  Hàm số f t   t   t đồng biến R nên 1  x  2y Thế vào PT (2) ta có: * 1 (2) 27x  x  4x   3x  x  4x   x  1  x  1  x  4x   x  4x  3 3 Lại xét : g t   t  t , đồng biến R nên:  3  x   x  4x   3x  x   x   13 2y  y  2x  x   x   Bài 96 Giải hệ phương trình:    2y   y   x     (x, y  ) Giải Điều kiện: 4  x  1; y   Ta có PT (1)  2y  y   x  2x  x   x  2y  y  2(1  x )  x   x Xét hàm số f (t )  2t  t, ta có f '(t )  6t   0, t    f (t ) đồng biến  Vậy y   (1)  f (y )  f (  x )  y   x    y   x    Thế vào (2) ta  2x   x   x  (3) Xét hàm số g(x )   2x   x  x  4, liên tục [-4;1], ta có g '(x )      x  (4;1)  g(x ) nghịch biến [-4;1] Lại có  2x  x x  g(3)  nên x  3 nghiệm phương trình (3)  x  3 Với x  3 suy y  Vậy hệ có nghiệm   y    x (y  1)(x  y  1)  3x  4x  1(1)  Bài 97 Giải hệ phương trình:   xy  x   x    (2) Giải Nhận xét x = khơng thỏa mãn phương trình (2) nên ta suy y   x2 1 (3) x Thay (3) vào (1) ta x2  x2 1 x2 1 (x  )  3x  4x   (x  1)(x  1)(2x  1)  (x  1)(3x  1) x x x   2  (x  1)(2x  2x  4x )   2x (x  1) (x  2)   x   x  2 5  Loại nghiệm x = 0, phương trình có hai nghiệm: 1;  1 ,  2;   2  2x y  y  2x  x   Bài 98 Giải hệ phương trình:   x  2 y   x  1    Giải   y  x 2x  y  yx  x  2x y  x  y  x      Ta có hệ      x 2 y 1  x 1 x  2 y   x  12                 Trường hợp 1: y = x , thay vào (2) : x  2   x   x   2x  t  x  2t  2x   t  2; t  x  2  x 1   x   x     x2   x  x    Trường hợp 2: 2x  y  yx  x   y  yx  2x  x      y  x  2x  x  3x  8x   x  R  y   f (, y )  2x  y  yx  x   x, y Phương trình vơ nghiệm   Do hệ có hai nghiệm : (x;y)=  3; , 3;  Chú ý: Ta cịn có cách giải khác Phương trình (1) x = y = không nghiệm không thỏa mãn (2) y  y  Chia vế phương trình (1) cho x   1        2x  x     x  x        Xét hàm số : f t   2t  t  f ' t    3t  t  R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để phương trình có nghiệm xảy :  y  x  y  x Đến ta giải phần x     x   x y   y2   Bài 99 Giải hệ phương trình:   x 6x  2xy   4xy  6x     Giải       x   x  y   y 2          (nhân liên hợp) Ta có hệ    x 6x  2xy   4xy  6x       Xét hàm số : f (t )  t   t  f '(t )   t  t2   t2  t  t2  Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f  x   f   y  xảy x   y (*) t t  t2  t  R Thay vào phương trình (2) :  x 25  x 6x  2x   4x  6x    2x  6x     x     2   2   2x  6x   3x   2x  6x   2x  x  x      2x  6x   3x    x  1; y  1   2x  6x   9x 7x  6x         x  x    2x  6x   2x      2x  6x   4x 2x  6x          Trường hợp :  Trường hợp :  11 3  11  11 3  11 ;y  ; Vậy hệ có hai nghiệm : (x; y) = (1;-1),( ) 2 2  8x  2x   y  4y    1  Bài 100 Giải hệ phương trình:   4x  8x  2y  y  2y   2    x  Giải Điều kiện : x  Ta có PT (1)  8x  3 2x   y  4y * Đặt t  2x   2x  t   8x  3 2x   4 t  1  3 t  4t  1 t  4t  t   Do (*) : 4t  t  4y  y Xét hàm số : f(u) = 4u  u  f ' u   12u   0u  R Chứng tỏ hàm số đồng biến Do phương trình có nghiệm : f(t) = f(y)  2x   y  2x  y  1(**) Thay vào (2) : y  1  y  1  2y  y  2y    y  2y  y  2y       y y  2y  y    y y  1 y  3y    y y  1y  2y  1  y   y  y       y      Vậy :    x ; y    ; 0,    x ; y   1;1       2x  y    2x  y  x  x             y  2  y  1 y  2 y     5           x ; y   1; 0 ,      x ; y    ; 2 2   2x  y  x  2x  y  x  2             Hết Đồng Xoài, ngày 05 tháng năm 2014 Chúc quý thầy em học sinh có tài liệu bổ ích  ... Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y)  y  x  thay vào phương trình (2) ta có: 4x    x  x  từ ta có y = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2) x  y     Bài Giải hệ phương. .. thay vào phương trình thứ nhất, y=1 x  Với xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, y=0 (loại) Với xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, y=-2 x   x  y  4x  2y  Bài 29 Giải hệ phương trình... sau vào phương trình (3) kết   x  y   Bài 37 Giải hệ phương trình:    4x  3x  57  y(3x  1)   25   (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân vế phương trình (1) với 25 nhân vế phương trình