Tác giả: X.M. Targ Thể Loại: Vật Lí Nhà xuất bản: NXB đại học và trung học chuyên nghiệp, NXB Matxcơva Số trang: 471 Định dạng: PDF Dung Lượng: 13.43 MB Giới thiệu: Cuốn sách này là sách giáo khoa viết cho sinh viên các trường đại học, song nó cũng bổ ích cho cả những cán bộ chuyên môn nào thấy cần phải bổ sung cho mình những kiến thức về cơ học. Cơ học là khoa học về sự cân bằng và chuyển động của các vật thể. Nó làm phong phú thêm kiến thức của chúng ta về hàng loạt quy luật cơ bản của thiên nhiên, về các phương pháp nghiên cứu nhiều hiện tượng trong thế giới xung quanh ta. Nó giúp ta bắt các hiện tượng trong thế giới xung quanh ta. Nó giúp ta bắt các hiện tượng đó phục vụ con người, tạo cho ta khả năng phát triển tư duy và xây dựng thế giới quan đúng đắn. Môn khoa học này có ý nghĩa đặc biệt đối với người kỹ sư tương lai. Nó là cơ sở lý thuyết vững chắc của hầu hết các lĩnh vực của nền kỹ thuật đã đạt tới những quy mô to lớn và còn đang tiếp tục phát triển, và không chỉ kỹ thuật dân dụng. Ngay từ thế kỷ XVI, từ buổi đầu của sự phát triển học thuyết về chuyển động, nhà bác học nổi tiếng thời đó, đông thời là nhà yêu nước - Nikalo Tartalia, đã khám phá ra vật thể được phóng đi (đạn đại bác_ chuyển động như thế nào và trong điều kiện nào thì cự ly bay sẽ lớn nhất. Khi đó Tổ quốc Vênêxi của ông đang đang bị quân thù đe doạ tấn công. Ông đã quyết định giới thiệu phát minh của mình cho mỗi người công dân chân chính, làm cho mỗi người được vũ trang tốt hơn để bảo vệ Tổ quốc của mình. Trong những thế kỷ vừa qua, cơ học đã phát triển thành môn khoa học cơ sở mạnh mẽ và ý nghĩa của những kiến thức mà nó đem lại cho ta đã tăng lên không thể kể hết được. Nhứng trau Giồi bất kì kiến thức cơ sở nào và biết sử dụng chúng bao giờ cũng đòi hỏi sự lao động miệt mài và nhiều sức lực. Vì vậy những ai quyết tâm học tập để trở thành một cán bộ chuyên môn có ích cho đất nước mình đến phải sẵn sàng lao động như vậy. Đừng tiếc sức lực, hãy trau dồi những kiến thức vì những kiến thức đó sẽ giúp các bạn, những cán bộ chuyên môn tương lai, cùng với nhân dân Việt nam anh hùng xây dựng một tương lai xán lan cho Tổ quốc tươi đẹp của các bạn!
Trang 3hư WLAN XM.lag : - Giáo trình giản yéu cơ học lú thuuết - Phạm Huyển _ Dich tir bdn tiéng Nga
Nha xuat ban Nha xuat ban«Mir»
~ dai hoc Matxcơova
vàtrung học chuyên nghệp
Trang 4Ha BbeTHAMCKOM A3bIKe
©BAn dich ting Vide NR xuat ban <Mir> 1979
Trang 5MUC LUC:
Lời tựa cho lần xuât bản thứ nhật Lời tựa cho lần xuât bản thứ ba Lời tựa cho lần xuât bản thử sáu Mở đầu
Phân thứ nhật
TINH HOC VAT RAN
Chương I Cac khái niệm và tiên để cơ bản của tĩnh học § 1 Đôi tượng của tĩnh hc
Đ 2 Lue ơ
Đ 3 Các tiên để tĩnh học Nà ee Lo
§ 4 Lién két va phan luc liénm kt 2 2
§ 5 Tiên để liên kết
Chương II Hợp lực Hệ lực đồng quy Ốc § 6 Hợp lực bằng phương pháp hình học Hợp lựcc của à hệ lực đồng quy
7 Phân luc De k V VƠ 2
§ - Hình chiêu của lực trên một trục và trên mặt phẳng ¬
9 Phương pháp biểu diễn lực bằng giải tích 10 Phương pháp hợp lực bằng giải tích Kà q TT Ta
II Cân bằng của hệ lực đồng quy
12 Các hệ tĩnh định và siêu tính
13 Giải các bài toán tĩnh học Lo ee
14 Mémen cha lực đôi với một tâm (hay | một điểm),
15 Định lý Varinhông về mômen của hợp lực
16" Phương trình mômen của hệ lực đồng quy - OP UO? COD CO) COP CO) Q02 c0 c0 c0
Chương III Hệ lực song song và hệ ngẫu trên một mặt phẳng
§ 17 Hợp và phân các lực song song Loe
§ 18 Ngẫu lực Mơmen ngẫu “Ha § 19 Sự tương đương của các ngdu luc 2 1 ee ee § 20 Hợp các ngẫu cùng nằm trên một mặt phẳng Điều kiện cân bằng các ngẫu
Trang 66 MỤC LỤC
25 Cách giải các bài toán TH NHA aggaga
26 Cân bằng của hé vat
27* Xác định ứng lực trong + Co ee 28* Các lực phân b6 2 2
Chương V Cơ sở của tĩnh học đồ thị
29 Đa giác lực và đa giác dây Thu hệ lực phẳng về hai lực 30 Xác định hợp lực bằng đồ thị
3I Xác định ngẫu tổng bằng dé thi KT TT Ta
32 Điều kiện cân bằng hệ lực phẳng bằng đồ thị Loe ee 33 Xác định các phản lve cla gOi tua 7 Chương VI Cách tính cỏc gin ơ"
Đ 34 Khai niệm về giàn Tính giàn phẳng bằng phương prin aii tich
§ 35* Tính giàn phẳng bằng đồ thị ¬
§ 36* Biểu đồ Măäcxoen — Crémén oe
Chuong VII Ma st daiaiaẳaiaiaẳaaa
§ 37 Các định luật về ma sát trượt Ta
§ 38 Phan lực liên kêt nhám Góc ma SÁI ee
§ 39 Cân bằng khi có ma sat 2 ) ee en
§ 40* Ma sat cha day dOi vOi mat tu 2 § 41* Ma sat lAn va ma sét xoay 2.2 2 Q02 OA CO? (OA OP WOR OP
Chương VIII Hệ ngẫu lực và hệ kực phân bỗ bât kỳ trong không ¿ gian
42 Mômen của lực đồi với tâm là một vectơ 43 Mômen của lực đôi với trục ko ae 44 Hệ thức giữa mômen của lực đôi với tâm và đổi với trục
45 Mémen cla ngẫu lực là một vecto 2.) 2 ee
46* Hop cac ng4u lye trong khéng gian Điều kiện cân bằng của các ngẫu
47 Thu hệ lực không gian về một tâm 48* Các trưởng hợp thu gọn hệ lực không gian về dạng tôi gián
49 Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian bât kỳ Trường hợp các lực
song song 2 6 ee La Lee
50 Định lý Varinhông vể mômen của hợp lực _ với một trục 51 Những bài toán về cân bằng của vật thể dưới tác dụng của hệ lực không gian
52*_ Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do Khái niệm về tinh Ổn định của cân bằng Ta tứ? UP CƠ tơn 202 072 (02 Q02 002 WO
Chương IX Trọng tâm ¬
53 Tâm của các lực song song Ce
54 Trong tam cha vat rfn 2 ee en
55 Tọa độ trọng tâm của các vật đồng chat Lo eee
Trang 79 (2 c0 G02 (02 CƠ G22 WO? GO) Ls LO cœ cor 59 60* 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71* 721 MỤC LỤC
Các phương pháp xác định chuyến động của một điểm Quy dao Chuyển từ phương pháp cho chuyển động bằng tọa độ sang phương pháp
tự nhiên ¬—
Vectơ vận tôc của điểm
Vectơ gia tôc của điểm Le ee Định lý về hình chiêu của đạo hàm của vedơ
Xác định vận tôc và gia tôc của điểm theo phương pháp tọa độ
GiẢi các bài toán động học điểm
Xác định van téc của điểm theo phương pháp tự nhiên
Gia tôc tiềp tuyền và gia tôc pháp tuyên của đểm
Một sô trường hợp riêng về chuyển động của điểm
Các biểu đồ chuyển động, vận tôc và gia tốc của điểm
Cách giải các bài tốn
Vận tơc trong tọa độ cực
Khảo sát chuyển động của điểm bằng để thị Ce ee Chương XI Chuyển động tỉnh tiền và chuyển động quay của vậtrắn § § § § 73 74, 75 76 Chuyén déng tinh tim 2 ee Chuyén déng quay cia vat rin Van téc goc va gia tc gic
Chuyển động quay đều và chuyển động quay biên đổi đều
Vận tôc và gia tôc của các điểm thuộc vật quay
Chương XII Chuyển động song phẳng của vật rắn § MUIR MUNN 71 78 79 80 81 82 83." 84 85* Phương trình chuyển động song phẳng Phân tích chuyển động thành chuyển động tịnh tiên và chuyển động quay ¬ ee Xác định quỹ đạo của các điểm của vật thể
Xác định vận tôc của các điểm của vật th
Định lý về hình chiều các vận tôc của hai điểm trong vật thể
Xác định vận tôc của các điểm trong vật thể theo tâm vận tôc tức thời Khái niệm về đường tâm tích
Cách giải các bài toán Ce Téc d6 2 we en re Xác định gia tôc các điểm của vat the 2 .Q
Tâm gia tôc tức thời Q QO TQ Q1 ki Chương XIII Chuyển động của vật rắn quanh điểm cô định và chuyển động của vật rin § § 86 88 _ n n d da Ĩ&%Ÿä Chuyển động của vật rắn có một điểm cơ định § 87+ Vận tơc và gia tôc của các điểm thuộc vẬt -
Trường hợp tổng quát của chuyển động của vật rắn tự do =5 Chương XIV Chuyển động phức hợp của điểm :
Trang 8MỤC LỤC § 9%6.* Hợp các chuyển động quay quanh các trục đồng quy § 971% § 98% Các phường trình dộng học ỚỞile Q0 Hợp chuyển động tịnh tiền với chuyển động q quay ' Chuyển động vít Phần thw ba ĐỘNG LỰC HỌC ĐIÊM Nụ Chương XVL Mở đầu động lực học Các định luật động lye hoc | § 99 § 100 hở § 101 : owe § 102 : § 103 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản Các định luật động lực học Qua Hé don vi 2 V
Các bài toán động lực học đối: với chât điểm tự đo và khong tự do Giải bài toán thứ nhât của động lực học (xác định lực theo chuyển động )
lừ _Chương XVIH Các phương trình vì phân chuyển động của điểm và các tích phân của § 104 § 105 § 106* § 107 § 108 ching 2 QOQ Q Q oo Chuyển động thẳng của diém ¬ Cách giải các bài tán ¬
Vật rơi trong môi trường cản (trong khơng khí) ¬" ee
Chuyển động cong của điểm ¬
Chuyển động của điểm trong trường trọng lực đồng nhật ¬ ee FL OV) chuone XVII Các định lý tổng quát của động lực học điểm § 109 § 110 § 111 § 112 § 113 § 114 § H5 § 116 § 117
Động lượng và động năng của điểm
Xung lượng của luc TL
Định lý về sự biền thiên động lượng của điểm „ ¬ ee
Cơng của lực Công su Và NV Các thí dụ về phép tính công
Định lý về biền thiên động năng của điểm
Cách gidi cdc bai toan 2 ee
Dinh lý biên thiên mômecn động lượng của điểm (định ý các mômen) Chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tầm Định luật các điện tích
Chương XIX Chuyển động khơng tự do của điểm
§ 118
§ 119 Phương trình chuyển động của điểm trên đường cong cô định Xac dinh cac phan Ic lien k@t 2
Chương XX Chuyển động tương đơi của điểm
§ 120 § 121
§ 122%
Phương trình chuyển động và đứng yên tương đồi của điểm
Ảnh hưởng của chuyển động quay của trái đầt đồi với cân bằng và chuyển
déng cha cac vat 2 2 xa
Độ lệch của điểm rơi so với ¡ phương thẳng đứng do sự quay của trái dat, Chương XXI Dao động thing cha dim 2 2 Dee
§ 123 § 124 § 125
Các dao động tự do không có lực cẩn
Các đao động tự do có lực cản tỷ lệ với vận tôc (các dao động tắt dan)
Dao động cưỡng bức Cộng hưởng
Chương XXII* Chuyên động của vật trong trường lực hút ca trỏi ait ơ
Đ 126 Chuyển động của chât điểm được phóng nghiêng một góc so với đường
Trang 9MỤC LỤC 9
§ 127 Vé tinh nhan tao cla trai dat Quy daoclip 2 322
§ 128 Khai niém vé khong trong lwong 2 0 ee ee 326 Phần thứ: tứ " ĐỘNG LỰC HỌC HỆ VÀ VẬT RẤN & ) Chương XXIII Mở đầu về động lực học hệ Mômen quán tính của vat rin 332
§ 129 Cơ hệ Lực ngoài vả lực trong te, 332
§ 130 Khơi lượng của hệ Khôi tâm 333
§ 131 Mơmen qn tính của vật thể đồi với một trục Bán kinh quán tính 334
§ 132 Mơmen qn tính của vật thể đồi với các trục song song Định lý Huyghen 338 § 133* Mômen quán tỉnh ly tâm Trục quán tính chính của vật thể 340
(® Chương XXIV Định lý về chuyển động khôi tâm của hệ 343
, § 134 Phương trình vi phân chuyển động của hệ 343
§ 135 Định lý về chuyển động của khôi tâm 344
; § 136 Định luật bảo tồn chuyển động của khơi tâm 345
ye § 137 Cach gidi cac bai toam 2 ee - 341 WD Chuong XXV Định lý về biền thiên động lượng của hệ " 351 § 138 D6ng lvong cha hé 2 2 2 2 ot ee _ 351 § 139 Định lý về biên thiên động lượng của hệ 352
§ 140 Định luật bảo toàn động lượng QC Qui 353 § 141 Cachgidicacbaitoan 2 2 ee, 354 ˆ § 142* Vật thể có khôi lượng biền đổi Chuyển động của tênlửa : 357
^) Chương XXVI Định lý về biên thiên mômen động lrợng của hệ Vay ee 360 § 143 Mơmen chính của động lượng củahệ 360
§ 144 Định lý về biên thiên mômen chính của động lượng của hệ (định lý các mômen) Q2 ko 362 § 145 Dinh luat bao todn mémen chinh chad6nglrgng 2 364 § 146 Cachgidicacbaitodn 2 2 2 ee 367 ® Chương XXVII Định lý về biền Yhiên động năng củahệ 369 § 147 Déngnangebahé 2 2 ee 369 § 148 Métsdtrronghoptinhcéng 2 2 ee 373 § 149 Định lý về biên thiên động năng của hệ 375
§ 150 Cách giải các bải tốn ee 378 § 151 Trường lực có thề và hàm lực So 383 § 152, Thé nang ., ơ 386
Đ:153 nh lut bảo toản cơ năng Q Q Q Q Q2 387 Chương XXYVIII Ứng dụng các định lý tổng quát cho động lực học vậtrắn 389
§ 154 Chuyến động quay của vẬậtrẪn Q Q Q Q2 389 § 155 Conl&cvatlhy 2 da .aaa a &g 391 § 156 Chuyển động song phẳng củavậtfn 394
§ 157* Lý thuyêt gần đúng về hiện tượng gyrôscôp (con quay) 401
§ 158* Chuyển động của vật rắn quanh một điểm cô định và chuyển động của
vatrantudo 2 6 406
Trang 1010 MỤC LỤC
§ 159 Phương trình cơ bản của lý thuyềt vachạm - 410 § 160 Những định lý tổng quát của lý thuyêt vachạm oe 411 § 161 HésSphychéivacham .-0.02 220- 413 § 162 Va chạm của vật với vật cản cơ định 414 § 163 Va chạm xuyên tâm thẳng của hai vật (va chạm của các khôicẩu) 416
§ 164 Sự mầt động năng khi hai vật va chạm không đàn hồi Định lý Cacn6d 418
§ 165* Vacham vao vắtquay 2 ee 420 X⁄ Chương XXX Nguyên lý Đalămbe Ấp lực lên trục của vật quay „424
x § 166 NguyénlyDalimbe 0.2 2 0022058 424
§ 167 Vecto chính và mômen chính của các lực quán tỉnh của vậtrắn .'.' 426 § 168 Cách giải cácbàitoán gan HH kg Ha 428 § 169* Phản lực động của vật quay tác đụng lên trục Cân bằng động các khôi
I0 ((44a ẼẼ - 433
xX Chương XXXI Nguyén ly dé dei kha di va phworng trinh téng quat cha d6ng lyrc hoc 438
§ 170 Dodsikhddichahé.Sébictrdo 2.0.0.0 008% 438 § 171 Nguyên lý độ dời khảđi Ta 440
§ 172 Cách giải các bài toán QC Là và ki 441
§ 173 Phương trình tổng quát của độnglựchọc 446
Chương XXXII* Điều kiện cân bằng và các phương trình chuyển động của hệ
trong các tọa đỘSHuYyFTỘN 2 450
Trang 111]
LOI TWA CHO LAN XUAT BAN THU’ NHAT
Giáo trình cơ hoc lp thuyét nay viét cho đôi tượng chính là học sinh các trường dai hoc kỹ thuật (hệ chính quy và hệ tại chức) theo chương trình thu gon Vi chương trình học tập rât khác nhau, nên khi viêt giáo trình này, trước hêt chúng tôi cỗ gắng
để nó được trọn vẹn và trình bầy được đây đủ các phương pháp cơ bản của cơ học
mà các kỹ sư cần biềt và các lĩnh vực ứng dụng của nó Ngoài ra giáo trình phải phục vụ được cả các chương trình giản yêu nhật cũng như' các chương trình mở rộng hơn Về nội dụng cuồn sách, bạn đọc có thể xem trong phần mục lục Mặc dù giáo trình
là giản yêu, nhưng ở đây ở mức độ tôi thiểu có xét cả các bài toán chuyển động trong
trường lực hút (vệ tỉnh nhân tạo và quỹ đạo elip), chuyển động của các vật có khỗi lượng biên đổi (chuyển động tên lửa), lý thuyềt sơ giản về hiện tượng con quay, v.v
Đây là những vẫn đề hiện dại cần phải được trình bẩy trong cả các giáo trình rúi gọn
Khi viêt, dựa vào kừuh nghiệm sâu sắc của nhiều năm giảng dậy, chúng tôi thây rằng giáo trình giản yêu cần được trình bày theo phương pháp đi từ trường hợp riêng tới trường hợp chung, Do đó, trong sách chúng tôi trình bẩy tĩnh học phẳng trước phân tĩnh học không gian, nghiên cứu động lực học điểm trước phân động lực học hệ, nghiên cứu chuyển động thẳng trước phần chuyên động cong, v.v Phương pháp
này giúp cho học sinh hiểu và tiềp thu vân để nhanh và sâu sắc hơn, do đó làm cho quả
trình học tập được hiển nhiên và có trình tự '
Trong giáo trình, ngoài phương pháp hình học và giải tích, đã dùng phương pháp
vectơ là phương pháp hiện dang sử“ dụng rộng rãi, có nhiều wu điểm và xem nhự là phương pháp cơ bản Nhưng ở đây mới sử dụng những phép tính vectơ có tỉnh
chất giông như' các phép tính trên các đại hượng vô hướng và không đòi hỏi ở bạn dọc "những khải niệm mới
Giáo trình cũng dành nhiêu trang cho các ví dụ và các phương pháp giải bài tập Khôi lượng bài tập chiêm trên một phần ba tổng sỗ trang sách Khi chọn các bài tập,
chúng tôi tập trung chủ ý sao cho chúng làm sảng tỏ các hiện tượng cơ học, và chỉ xét
những dạng bài tập chính giải được bằng một trong các phương pháp trình bày trong
giáo trình Những lời chỉ dẫn cách giải bài tập rât bé ich cho cdc hoc sinh tự học, do - đó sách này có thể phục vụ cho học sinh của mọi chuyên ngành và nhật là đôi với các
Trang 1212 LOI TWA CHO LAN XUAT BAN THU BA
Khi đọc sách này, cần chủ y là các tiềt mục đánh dầu sao khi cẩn có thể bỏ qua (mà không ảnh hưởng đền quả trình học tập toàn bộ phần còn lại) ; tuy nhiên giữa các tiêt, mục này vẫn có thê có các chủ giải liên quan Các công thức trong mỗi phần được đánh
số một cách liên tục, các công thức được sử: dụng trong cùng một phần được ghi bằng sô thứ: tự của chúng, khi dùng trong các phần khác nhau, ta viềt kèm theo chỉ sỗ của tiét hay đê mục có các công thức đó
Tác giả xin cảm ơn các 6ng F R Ganmakhe, A Iu Islinxki va G N Xvénhicép vi đã góp nhiều ý kiền bổ ích cho giáo trình Tác giả cũng xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp
đã lưu ý tới giáo trình và chỉ cho nhiều ý kiền thích đáng Tác giả cũng mong các bạn đọc gửi cho nhà xuât bản ý kiền phê bình hoặc nguyện vọng
*
LOI TU'A CHO LAN XUAT BẢN THỨ BA
Lân xuât bản thứ ba cuén Giáo trình giản yêu cơ học lý thuyềt có khác với sách
cũ ở' chỗ có một sô bô sung, sửa chữa và thay đổi trong hầu hêt các chương
Phẩn bê sung cơ bản là thêm các mục về chuyển động của vật rắn xung quanh một
điểm cỗ định (các phương trình động học và động lực học Ởle), và chương cơ sở: của phương pháp tọa độ suy rộng (phương trình Lagrăng) Sở: dĩ có sự bê sung ti liệu này, là vì giáo trình phải phục vụ yêu cầu đào tạo cán bộ chuyên môn cho nhiêu lĩnh vực
khác nhau Trong sách vẫn trình-bảy một ÍL ly thuyềt cơ bản về gyrôscôp ( con quay)
và những văn đê cấp thiềt hiện nay như chuyên động trong trường trọng lực (các quỹ đạo elip và các cuộc bay vũ trụ) và chuyển động của các vật có khôi lượng biên đổi (chuyển
động của tên lửa) Trong giáo trình còn bỗ sung thêm một tiềt về khải niệm không trọng
lượng ĐỀ có khái niệm về nội dung toàn bộ cuồn sách cũng như thứ" tự' trình bày, bạn
đọc có thể xem ở: phần mục lục
Cũng nhự Ò' các lần xuất bản trướ‹c, lần này cũng chú ý đền nhiều ví dụ và các phương
pháp giải bải tập với khôi lượng chiêm tới trên một phần ba cuồn sách Khi chọn ví đụ, chúng Yôi xuÂI phái từ yêu cầu làm sáng tỏ thực chât của các hiện tượng cơ học và hướng dẫn cách sử dụng các phương pháp trình bày trong giáo trình Ngoài vi du,
trong sách còn có tới 176 bài tập với các chỉ dẫn cách giải nhằm giúp học sinh tự học
Đo đó cuồn sách có thể phục vụ cho học sinh của mọi ngành chuyên môn, nhật là đổi với các học sinh hệ tại chức và những người tự học
Sách được soạn để phục vụ cho công tác giảng đậy theo chương trình rút gọn cũng nhw các chương trình mở' rộng Do đó, khi cân có thể bỏ qua toàn bộ các chương, tiềt và đê mục có đánh dầu sao, nhưng cũng cần chú ý rằng giữa các tiềt và các để mục
này vẫn có sự: liên quan nhàt định Mặc di trong sách sử dụng rộng rãi các ký hiệu
Trang 13LỞI TỰA CHO LẦN XUAT BAN THỨ SÁU 13
Các công thức trong bồn phần của cuồn sách đêu được đánh sồ thứ tự: liên tục
Khi trích dẫn công thức trong cùng một phần, chỉ viêt số thứ" tự của chúng Chỉ những công thức của các phần khác mới được ghỉ chú thêm mục trích dẫn
MATXCOVA
Thang 5 ndm 1963
X TARG
LỞI TỰA CHO LAN XUAT BAN THU’ SAU
Trong lén xudt ban thir 6 ndy Gido trinh gidn yéu co hoc lý thuyêềt cũng có một sô thay đổi, bội sung và sửa chữa nhỏ nhưng không ảnh hưởng đền nội dụng cơ bản và trình tự' cuôn sách, Chỉ có các tiệt § 91 và § 128 thuộc phần thứ hai là có những - thay đổi đáng kẻ,
Khi bỗ sung và sửa chữa, chúng tôi đã chủ ý tới các ÿ kiên phê bình và đề nghị do
các bạn đọc gửi tới Túc giả chân thành cám ơn các bạn đọc đó
Trang 14GỬI CÁC BẠN ĐỌC VIỆT NAM
Cuén sách này là sách giáo khoa 0iềt cho sinh uiên các trường đại học, song nó
cũng bộ ích cho cả những cán bộ chuy ên môn nào thấy cần phải ôn vd bd sung cho minh những kiên thức 0ễ cơ học
Cơ học là khoa học oề sự cân bằng nà chuyên động của vat thé N6é lam phon phú thêm kiền thức của chúng ta uề hàng loạt quy luật cơ bản của thiên nhiên, oề các
phương pháp nghiên cứu nhiều hiện tượng trong thê giới xung quanh ta Nó giúp ta
bắt các hiện tượng đó phục tụ con người, tạo cho ta khẻ năng phát triển tư duy nà xấy dựng thê giới quan đúng đắn,
Môn khoa học này có ý nghĩa đặc biệt đôi uới người kỹ sư tương lai Nó là cơ
sở lý thuyêt uững chắc của hầu hệt các lĩnh tực của nên kỹ thuật đã đạt tới những quy
mồ to lớn bà còn đang tiễp tục phát triển, nà không chỉ kỹ thuật dân dụng
Ngay từ thê kỳ XVI, từ buôi đầu của sự phát triển học thuyệt bề chuyển động, nhà bác học nỗi tiềng thời đó, đồng thời là nhà yêu nước — Nikalo Tartalia, đã khám phá ra oột thê được phóng đi (đạn đại bác) chuyên động-như thê nào uà trong điểu kiện nào thì cự lụ bay sẽ lớn nhất Khi đó Tô quốc Vênêxi của ông đang bị quần thù đe đọa tẳn cơng Ơng đã quyêt định giới thiện phát mình của minh cho œnỗi người công đẩn chân chính, làm cho mỗi người ẩược 0ũ trang tốt hơn để bảo uệ Tô quốc của mình.»
Trong những thê kỳ uừa qua, cơ học đã phát triển thành môn khoa học cơ sở
mạnh mẽ nà ý nghĩa của những kiền thức mà nó đem lại cho ta đã tăng lên không thể kê hêt được Nhưng trau giỗi bắt kỳ kiên thức cơ sở nào 0à biết sử dung ching bao giờ cũng đòi hồi sự lao động miệt mài oà nhiều sức lực
Vì oậy những dì quyết tâm học tập để trẻ thành một cán bộ chuyên môn có ích
cho đất nước mình đều phải sẵn sàng lao động nhw vay
Đừng tiệc sức lực, hãy trau giỏi những kiền thức 0ì những kiên thức đó sẽ giúp
các bạn, những cán bộ chuyên môn tương lai, cùng uới nhân dân Việt Nam anh hing xdy dựng một tương lai xán lạn cho Tô quốc tươi đẹp của các bạn!
Trang 1515”
MỞ ĐẦU
Sw phat trién của kỹ thuật hiện dại dang đặt ra cho các kỹ sư: nhiều vần đề có liên
quan đền tỉnh tốn cơng trình (nhà cửa, cầu công, kênh đập v.v ), thiềt kề, sản xuầt và sử: dụng các máy móc, thiềt bị, động cơ, kê cả các phương tiện vận tải như' ôtô, xe lửa, tâu thủy, máy bay, tên lửa, các con tầu vũ trụ v.v Các vần đề đó tuy nhiều vẻ, nhưng lại có thê giải quyét bằng những nguyên lý, những cơ sở khoa học chung Đây
là vì phần lớn các bài toán này đêu nghiên cứu các quy luật chuyển động và cân bằng
của các vật thé
Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyên động và cân bằng của các tật và về sự tương tác giữa chúng với nhau gọi là cơ học lý thuyêt (hay cơ học đại cương) Cơ học lý thuyềt là một trong các cơ sử: khoa học của các ngành kỹ thuật hiện đại
Cơ học theo nghĩa rộng, là khoa học nhằm giải quyềt các bài toán về chuyển động hay cân bằng của các vật thể và sự: tương tác của chúng Cơ học lý thuyềt là phần cơ học nghiên cứu
về các quy luật chung của chuyên động và sự tương tác của các vật thể, tức là về các quy
luật có thể áp dụng được cho cả chuyển động của trải đât xung quanh mặt trời cũng như: chuyển
động của tên lửa và các quả đạn v.v Phần khác của cơ học bao gồm các chuyên ngành kỹ
thuật khác nhau có nhiệm vụ thiềt kê và tỉnh tốn các cơng trình cũng như các máy móc, các cơ câu và chỉ tiềt cụ thể Tôi cả các chuyên ngành kỹ thuật này đếu đặt cơ sở trên các định
luật và phương pháp của cơ học ly thuyềt
Trong cơ: học, chuyển động được xem là chuyên động cơ học, tức là sự thay déi vị trí tương đỗi của các vật thé trong không gian theo thời gian Tác động cơ học giữa các vật là sự tương tác mà kêt quả thể hiện ở sự' thay đổi trạng thải chuyến động hoặc hình dáng của các vật (sự biên dạng) Đại lượng dịnh lượng sự tương tác cơ
bọc của các vật gọi là lực
Nhiệm vụ chính của cơ học lý thuyêt là nghiên cứu các quy luật tổng quát của chuyển động và cán bằng của các vật thê dưới tác dụng của lực đặt lên chúng
Theo tỉnh chất của bài toản, người ta phân cơ học lý thuyêt thành tĩnh học, động
học và động lực học Trong tĩnh học nghiên cứu các lực và điểu kiện cân bằng của
các vật thê dưới tác dụng của lực T rong động học nghiên cứu các tính chât hình học tông quát của chuyến động, còn trong động lực học sẽ nghiên cứu các quy luật chuyên
Trang 1616 MỞ ĐẦU
Theo tính chât của đỗi tượng nghiên cứu, người ta phân cơ bọc lý thuyềt thành : a) cơ học chất điểm (vật điểm) và cơ học hệ chất điểm, trong đó chất điểm được xem như một vật thể có kích thước không đáng kẻ khi nghiên cứu chuyển động (hay cân
bằng) của nó ; b) cơ học vật rắn là các vật thê có biền dạng không đáng kẻ khi nghiên
- cứu chuyển động hoặc cân bằng ; c) cơ học các vật thể có khôi lượng biền đổi (các vật thể mà khôi lượng của nó thay đổi theo thời gian do thành phần cầu tạo của nó thay đổi, d) cơ học các vật biền dạng (lý thuyềt đàn hổi và đẻo); đ) cơ hoc chat lỏng (thủy động lực học) và e) cơ bọc chat khí (khí động lực bọc)
Trong giáo trình cơ học lý thuyềt thường chỉ nghiên cứu cơ học chât điểm và vật
rắn và những quy luật tổng quát về chuyển động của hệ chât điểm
Cơ học lÿ thuyêt là một môn khoa học tự nhiên dựa trên những định luật rút ra từ kinh nghiệm đã tích lũy được về một lớp các hiện tượng thiên nhiên có liên quan
tới chuyển động của các vật thể Bởi vậy, vai trò và ý nghĩa của cơ học lý thuyềt không những chỉ ở chỗ nó là cơ sở khoa học của nhiêu ngành kỹ thuật hiện đại, mà còn ở chỗ có thể dùng các định luật và phương pháp cơ học đẻ nghiên cứu và giải thích nhiều
hiện tượng quan trọng trong thê giới xung quanh ta, góp phần thúc dẫy sự' phát triển của toàn bộ kiên thức về tự nhiên cũng như' xây dựng thê giới quan duy vật dúng dắn
Cơ học ) đã xuât hiện và phát triển cùng với lịch sử: phát triển của các lực lượng
sản xuât xã hội, có quan bệ chặt chẽ với trình độ sản xuât và kỹ thuật trong mỗi giai
đoạn phát triển
Ở thời cỗ đại, yêu cầu của sản xuât cơ bản là nhằm thỏa mãn cho nh cẩu xây
dựng công trình, nên mới phát triển lý thuyềt về các máy đơn giản (như rong roc,
đôn bẩy, tời, mặt phẳng nghiêng) và về sự: cân bằng của các vật (tĩnh học) Cơ sở: của
tĩnh học đã được trình bày trong các công trình của nhà bác học vĩ đại thời cổ đại Acsimet (287 — 212 trước công nguyên)
Động lực học thì mãi về sau này mới được phát triển Sự' xuất hiện và phát triển
các quan hệ tư bản chủ nghĩa ở các nước Tây Âu và Trung Au trong cdc thé ky 15
— ló đã thúc đẩy các ngành thủ công nghiệp, thương nghiệp, hàng hải và kỹ thuật quân sự phát triển mạnh (như: đã xuất hiện súng), cũng như: thúc đây những phát kiền quan trọng trong thiên văn học Tât cả những cải đó đã tạo điều kiện tích lũy, hệ thông
hóa và tổng hợp các kiên thức thực tề và dẫn đền những phát mình các định luật của động lực học vào thê kỷ 17 Những người có công xây dựng cơ sở cho động lực học là các nhà bác học thiên tài Galilêô Galilê (1564 — 1642) và lxắc Niuton (1643 — 1727) Trong công trình « Cor sé tốn học của triêt học tự: nhiên » xuât bản ndm 1687,
Nhươn đã trình bày một cách có hệ thông những định luật cơ bản của cơ học cỗ điển (các định luật Niutơn) Các định luật này đã được tiềp tục kiểm nghiệm trong thực
1) Danh tw «co hoc » lần đầu xuât hiện trong công trình của nhà triềt học cổ đại vĩ đại Aristôten (384 — 322 trước công nguyên) Nó bắt nguồn ti chir Hy lap pyyovy, ma ngày
Trang 17
Sty
Ma MỞ ĐẦU 17
té va đã được gấu hoại động thực tiễn của sản xuât xã hội của loài người khẳng định Điều này cho phép chúng ta khẳng định những kiên thức cơ học xây dựng trên cơ sở: các định luật Nhơn là những kiên thức đúng đắn mà các kỹ sư có thể mạnh
dạn sử dụng trong hoạt động thực tiễn của minh ')
Trong thê kỷ 18, các phương pháp giải tích trong cơœ học bắt đầu phát triển mạnh
mẽ Các phương pháp này dựa trên cơ sở các phép tính vị phân và tích phân Nhà toán học và cơ học vĩ dại L le (1707 —— 1783) đã vạch ra các phương pháp giải
các bài toán động lực học điểm và vật rắn bằng cách thiệt lập và tích phân các phương
trình vi phân chuyển động Trong sô những công trình nghiên cứu khác về lĩnh vực
này, thì các công trình của hai nhà bác học lỗi lạc Pháp có giá trị hơn cả đổi với sự
phát triển của cơ học : D Đalămbe (1717 — 1783) đã dé xuÃt nguyên lý cơ học mới và Œ Lagrðng (1736 — 1813) đã đê ra phương pháp giải tích tổng quát trong động lực học dựa trên nguyên lý Đalămbe và nguyên lý độ dời khả dĩ Ngày nay phương
pháp giải tích là phương pháp cơ bản trong động lực học
Động học là phần cơ học mới được tách riêng vào nửa đầu thê kỷ 19 do yêu cầu của ngành chê tạo máy dang phat triển Hiện nay động học đã có vai trò độc lập tương xứng trong công tác nghiên cứu chuyển động của các cơ chu va may móc
Các công trình của nhà bác học, nhà tự tưởng thiên tài M V Lômônôxôp (1711 — 1765) và các tác phẩm của L Ơle là người đã sông và làm việc nhiều năm ở Pêtecbua đã có ảnh hướng lớn dên sự phát triển cơ bọc đầu tiên ở' nước Nga Trong
sô các nhà bác học của Nga có công phát triển các lĩnh vực cơ học lý thuyêt, trước
hềt phải kế đền M V Ơstrơgratxki (1801 — 1861) có nhiêu công trình nghiên cứu
quan trọng về phương pháp gidi tich trong co hoc; P L Tsébwsep (1821 — 1894) đã dé ra phương hướng mới trong việc nghiên cứu chuyển động của các cơ cu ;
X V Côvalepxkaia (1850 — 1891) giải một trong số các bài toán khó nhật của động
lực học vật rắn; A M Liapunôp (1857 — 1918) dé ra các phương pháp mới nghiên cứu tinh én dinh cia chuyén déng ; I V Méserxki (1859 — 1935) đặt nên móng cho cơ học các vật thé cd khéi lweng bién déi; K E Xiéncépxki (1857 — 1935) 06 nhiéu
phat minh co bản về lý thuyêt chuyển động phản lực; A N Crưlôp (1863 — 1945)
để ra lý thuyêt tàu thủy và phát triển lý thuyêt về các thiềt bị gyrưscơp (con quay) Những công trình của ( Người khai sinh ngành hàng không Ngo» N E Giu-
côpxki (1847 —- 1921) và của học trò gần gũi của ông là XY A Tsaplwgyn (1869 —
1942) đã có tác dụng to lớn đôi với sự phát triển sau này của cơ học, Đặc điểm sáng
1) Những phát minh khoa học về sau cho biêt, chuyển động của các vật có vận tơc gần bằng tưc độ ánh sáng, tuân theo quy luật cơ học của lý thuyêt tương đồi, còn chuyển động của các hạt vi mô (hạt điện tử, .) thì theo các định luật cơ học lượng tử Các phát minh
này chỉ làm sáng tỏ thêm phạm vi ứng dụng của cơ học cổ điển và khẳng định một lần nữa sự đúng đắn của các định luật cơ học cổ điển đồi với các chuyển động của các vật không
phải là vi mô và có vận tưc khơng gần bằng vận tôc ánh sáng Đây là các chuyển động đã
và đang có ý nghĩa thực tiễn to lớn trong k g cơ học thiên thể,
ee a i %
Trang 18
18 MỞ ĐẦU
tạo của Giucôpxki là ứng dụng các phương pháp cơ học để giải quyềt các nhiệm vụ
kỹ thuật cấp thiêi Những ý kiên của Giucôpxki đã có ảnh hưởng lớn cả trong việc
giảng dạy cơ hoc ly thuyét & các trường dại học kỹ thuật của Liên xô
Ngày nay, khoa học và kỹ thuật phải gúp phần vào việc phái triển và boàn thiện
không ngừng nên sản xuât xã hội chủ nghĩa và áp dụng kỹ thuật mới vào sản xuâit
Muôn vậy đòi hỏi phải tiềp tục nâng cao chỗit lượng dào tao can bộ kỹ thuật và mổ: - rộng thêm cơ sở lý thuyềt trong kiền thức của họ Một trong những nội dụng và phương pháp dễ giải quyề! nhiệm vụ này là nghiên cứu có' học lÿ thuyềt — một trong
Trang 19PHAN THỨ NHẤT ly
TINH HOC VAT RAN
CHƯƠNG ï
NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC § 1 Đồi tượng của tĩnh học 7ï học là phần cơ học trình bày lý
_ thuyêt tông quát về các lực và nghiên cứu các điều kiện cân bằng của các
vật thể dưới tác dụng của lực
Cân bằng được hiểu là trạng thái đứng yên của vật thể này đôi với
các vật thể khác Nều có thể bỏ qua được chuyển động của vật thể dùng
làm vật chuẩn để xét cân bằng thì cân bằng được quy ước gọi là cân bằng
tuyệt đôi, còn trong trường hợp ngược lại ta có cân bằng tương đôi
Trong tĩnh học chỉ khảo sát các trường hợp cân bằng tuyệt đôi của vật
thể Trong thực tê tính toán kỹ thuật, ta có th xem cân bằng đôi với trải
đầt hoặc đôi với các vật trên trái đầt là can bằng tuyệt đổi Trong phần động lực học ta sẽ chứng minh sự đúng đắn của điều khẳng định này, ở
đầy ta sẽ có khải niệm chặt chẽ hơn về cân bằng tuyệt đôi, đồng thời cũng
khảo sát cả bài toán về cân bằng tương đôi của các vật
Điều kiện cân bằng của vật thể chủ yêu phụ thuộc vào việc chúng là vật rắn, chât lỏng hay chât khí Cân bằng của chât lỏng và chât khi là đôi
tượng nghiên cứu trong các giáo trình thủy và khí tĩnh lực học Trong
cơ học lý thuyêt thường chỉ xét các bài toán về cân bằng của các vật rắn
Tât cả các vật rắn trong tự nhiên đều ít nhiều bị biên dạng khi chịu các tác động bên ngoài Độ biên dạng của chúng phụ thuộc vào vật liệu, vào hình dáng và kích thước của các vật và vào lực tác dụng Do đó để tạo độ bền cho các công trình kỹ thuật, người ta phải chọn vật liệu va
kích thước cho các chỉ tiềt sao cho độ biên dạng của chúng khá nhỏ khi bị lực tác dụng 1) Do đó, khi nghiên cứu điều kiện cân bằng, ta hoàn toàn : có thê bỏ qua các biên dạng nhỏ của các vật rắn đó, xem chúng như những vật thê không biên dạng hay vật rắn tuyệt đôi Vậy vật rắn tuyệt đổi là vật
) Thí dụ, người ta chọn vật liệu và kích thước các thanh trong kêt: cầu, sao cho khi
chịu lực độ đân hoặc độ co không được lớn hơn một phẩn nghìn chiều dài ban đầu Đôi với các biên dang uôn vả xoăn v.v cũng quy định độ cho phép tương tự
Trang 2020 NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIỀN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC Ch 1
mả khoảng cách giữa hai điểm bãt kỳ nào đó của nó luôn luôn không đổi
Sau này, khi giải các bài toán tĩnh học, ta sẽ coi tât cả các vật là vật rắn
tuyệt đôi mà nhiều khi để nói gọn ta chỉ gọi chúng là vậtrán ') Chẳng hạn
& cudi §3, ta có thế áp dụng điểu kiện cân bằng đôi với vật rắn tuyệt đôi
cho cả các vật thể ít biên dạng và bât kế các vật thể biên hình nào Như
vậy, lĩnh vực ứng dụng thực tê của tĩnh học vật rắn khá rộng rãi Khi tính toán độ bền của các chỉ tiêt công trình hoặc máy móc, chúng
ta phải tính đền sự bién dang cia cdc vật Những vần để này được đề
cập tới trong các giáo trình sức bền vật liệu và lý thuyêt đàn hồi
Để vật rắn được cân bằng (hay đứng yên) khi chịu lực, thì các lực
phải thỏa mãn các điểu kiện nhât định về cân bằng hệ lực Tìm ra các điều kiện nảy là một trong những nhiệm vụ cơ bản của tĩnh học Nhưng để tìm ra các điều kiện cân bằng của hệ lực cũng như để giải các bài toán cơ học, ta cần biêt cộng các lực tác dụng lên vật thể, biêt thay thê hệ lực này bằng hệ lực khác, biêt đưa hệ lực khảo sát về dạng đơn giản nhât Bởi vậy trong tĩnh học vật rắn, cẩn phải xét hai vân để cơ bản sau đây : 1) hợp lực và đưa các lực tác dụng lén vật rắn về dạng tôi giản ; 2) xác định điều kiện cân bằng của các hệ lực tác dụng lên vật rắn
Ta có thể giải bài toán tĩnh học bằng cách xây dựng các đồ thị (phương pháp hình học hay đồ thị) hoặc bằng các phép tính bằng sö (phương pháp
giải tích) Trong giáo trình nảy sẽ trình bây cả hai phương pháp nảy,
nhưng cần chú ý rằng phương pháp đổ thị bao giờ cũng đóng vai trò đặc biệt trong việc giải các bài toán cơ học
§ 2 Lực Trạng thái cân bằng hay chuyên động của vật thể khảo
sát phụ thuộc vào tính chât tương tác cơ học giữa vật thể này với các vật thể khác, tức là phụ thuộc vào áp lực, sức hút hoặc sức đẩy mà vật phải chịu khi có tương tác Trong cơ học, đại lượng định lượng cho sự tương tác cơ học giữa các vật thể gọi là lực
Ta có thể phân các đại lượng khảo sát trong cơ học thành các đại lượng vơ hướng (hồn tồn xác định được bằng trị sỐ) và đại lượng vectơ (các đại lượng ngồi trị sơ còn có cả chiều trong không gian)
Lực là đại lượng vectơ Tác đụng của lực lên vật thể được xác định
bởi : 1) tri sé hay médun cha he, 2) hướng của lực, 3) điểm đặt lực
Có thể xác định trị sô của lực bằng cách so sánh lực này với một lực được dùng làm đơn vị Trong cơ học người ta lây đơn vị lực là {| Niutơn
(1M) hay 1 kilôgam lực (1k G), trong dod 1kG = 9,81 N (xem cu thé trong
Trang 21§? LỰC : 2I
§101) Để đo lực, ta có thê dùng một thiêt bị gọi là lực kê
Hướng và điểm đặt của lực phụ thuộc vào tính chât tương tác giữa các vật và vào vị trí tương hỗ của chúng Thí dụ, trọng lực tác dụng lên các
vật bao giờ cũng có chiều thắng đứng từ trên xuông dưới Áp lực do hai
quả cầu nhẫn ép vào nhau tie giờ cũng hướng theo pháp tuyên của các mặt cẩu tại tiềp điểm và đặt tại chính tiêp điểm đó v.v
Trên đồ thị người ta biểu diễn lực bằng ‘ một đoạn thẳng có hướng (có mũi tên) Độ dài
của đoạn thẳng (đoạn thẳng 4Ø trên hinh 1) biểu diễn trị sồ của lực theo một tỷ lệ xích nào đó, chiều của đoạn thẳng là chiéu của lực,
gôc (là điểm 4 trên hình I) thường lầy ngay
tại điểm đặt lực Đôi khi người ta biểu diễn lực sao cho điểm đặt trùng với điểm đầu mút
của lực, tức là trùng với đầu mũi tên (như trên Hình 1
hình 4c) Đường thẳng DE mà trên đó đặt
lực gọi là đường tác dụng của lực Cũng như
các đại lượng vectơ khác, chúng ta quy ước ký hiệu lực bằng một chữ đậm nét (chữ E) hoặc bằng hai chữ nhưng có gạch ngang bên trên
(4Ø) Trị sồ của lực ký hiệu là I F ! hoặc bằng chữ thanh nét (chữ Z) (Trong
các công thức viềt tay người ta hay thay chữ đậm nét bằng chữ thanh nét
có gạch ngang bên trên) ,
Sau này ta quy ước gọi hé lc 1a tap hợp các lực tác dụng lên một
vật rắn nào đó Ta còn sử dụng thêm các định nghĩa sau đây :
1 Một vật không bị ràng buộc với các vật thể khác và có thể thực
hiện mọi dịch chuyển trong không gian (từ một vị trí nào đó) gọi là vá/ tu’ do
2 Néu co thé thay hé luc tác dụng lên vật rắn tự do bằng một hệ lực
khác mà không làm thay đổi trạng thái đứng yên hoặc chuyển động ban
đầu của vật, thì hai hệ lực đó gọi là øơng đương nhau
3 Hệ lực mà dưới tác dụng của nó vật rắn tu do cé thé & trang thai
đứng yên gọi là hệ /c cân bằng hay hệ lực tương đương không 4 Nều hệ lực khảo sát tương đương với một lực thì lực đó gọi là hợp lực của hệ lực Do đó, hợp lực là lực mà nó có thể thay thê cho cả hệ lực tác dụng lên vật thé
Lực có trị sô bằng trị sô của hợp lực, ngược chiều với hợp lực và tác
dung doc theo cùng đường thẳng gọi là /c cân bằng
5 Có thể phân các lực tác dụng lên vật thể thành lực trong và lực ngoài
Trang 2222 NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC Ch 1
sát Lực trong là lực mà các phần tử của vật khảo sát tác dụng lẫn nhau
6 Lực tác dụng lên vật thể tại một điểm nào đó gọi là #c tập trung
Lực tác dụng lên tât cả các điểm trong một thể tích hay lên một phần bể
mat cha vat thé goi la lec phan bd
Khai niệm về lực tập trung chi có tính chât quy ước, vì trong thực
tê không thể đặt lực lên vật thể tại một điểm Lực tập trung xét trong cơ
học thực chất là hợp lực của các hệ lực phân bô nào đó
Thí dụ, trong cơ học, trọng lực tác dụng lên vật thê là hợp lực các
trọng lực của các phần tử của vật Đường tác dụng của hợp lực này di
qua một điểm gọi là trọng tâm cua vat ')
§ 3 Các tiên để tĩnh học Tât cả các định lý và phương trình tĩnh học
đều rút ra từ một sô khởi điểm được công nhận không có chứng minh toán học và được gọi là các tiên để hay nguyên lý tĩnh học Tiên đề tĩnh
học là kêt quả tổng hợp của vô sô thí nghiệm và quan sát về cân bằng và
chuyển động của các vật đã được thực tê kiếm nghiệm nhiều lần Trong
các tiên để đó, có một sô là hệ quả của các định luật cơ bản của cơ học
mà sau này sẽ được giới thiệu trong phần động lực học
Tiên để 1 Nêu trên một vật rắn tuyệt đôi tự do có hai lực tác dung, thì vật chỉ có thế cân bằng khi và chỉ khi các lực nảy bằng nhau về trị sé
(F¡ = F¿), cùng hướng theo một dường thắng và ngược chiều nhau (hình 2)
Tiên đề l cho ta một ví dụ về hệ lực cân bằng đơn giản nhât Thực tê cho thay rằng nêu vật rắn tự do chỉ chịu một lực tác dụng thi không
thê cân bằng được
Tiên để 2 Tác dụng của hệ lực lên vật rắn tuyệt đồi không bị thay đỗi nều thêm vào hoặc bớt đi một hệ lực cân bằng
Theo tiên đề này, hai hệ lực nêu chỉ khác nhau bởi một hệ lực cân bằng thì tương
4 đương nhau
Hệ quả của tiên để 1 và 2 Tác dụng của lực lên vật rắn tuyệt đỗi không bị thay dỗi
‘ nều dem dịch chuyển điển đặt của lực dọc
_ theo đường tác dụng của nó tới một điểm bãi
kỳ nào khác của vật
Hình 2
) Van đề xác định trọng tâm của vật thể sẽ được khảo sát ở chương IX Ta sơ bộ
thay rằng : nêu vật đồng chat có tâm đồi xứng (như thanh chữ nhật, thanh trụ, khôi cầu
Trang 23$3 CAC TIEN DE TINH HOC 23
Thực vậy, giả thử có lực F tac dung lén vat thé tai điểm 44 (hình 3) Khi
đó nêu trên đường tác dụng của lực ta lây một điểm Ø nào đó và đặt vào đó hai lực cân bằng là F¿ và F, sao cho F, = F, F, = -F, thi tac dung
của lực F vẫn được giữ nguyên không
đổi Nhưng theo tiên đề 1, các lực F và
F, tạo thành một hệ cân bằng, nên có
thể loại bỏ Kêt quả là vật chỉ chịu
tác dụng một lực F; bằng F nhưng tác dụng tại điểm B
Bởi vậy, vectơ mô tả lực F có thể đặt
tại bât kỳ điểm nảo trên đường tác dụng
của lực (những vectơ như thê gọi là
vector tfrượ')) Hình 3
Kêt quả trên chỉ đúng đồi với các lực e tác dụng lên vật rắn tuyệt đôi Ta chỉ có
thể sử dụng kêt quả này trong tính toán kỹ thuật để xác định các điều kiện
cân bằng của kêt cầu chứ không để tính các lực trong của các bộ phận kêt
cầu ,
Thi du thanh AB vé trén hinh 4a sẽ cân bằng khi F, = F, Néu doi
điểm đặt của cả hai lực về một điểm € nảo đó (hình 4) hoặc dời điểm đặt
của lực E; về điểm Z, lực E; về điểm 4 (hình 4c) thì thanh vẫn cân bằng Tuy nhiên, lực trong của thanh ở mỗi trường hợp sẽ khác nhau, ở trường hợp thử nhât thanh bị kéo, ở trường hợp thứ hai trong thanh không xuât
hiện lực trong, ở trường hợp thứ ba thanh bị nén ?) Do đó, để xác định
các lực trong ta không thể di chuyển điểm đặt lực dọc theo đường tác dụng
của chúng
Tiên đề 3 (tiên để hình bình hành lực) Hzi /ực tác dụng vào một điểm trên vật thế có hợp lực đặt tại cùng điểm đó và được biểu diễn bằng đường
chéo hình bình hành mà các cạnh chính là các hực đó
Vectơ R bằng đường chéo hình bình hành dựng trên các vectơ E; và
F; (hình 5) gọi là tổng hình học của các vectơ F¿ và E; :
R = F, + F, *
1) Những lực bị loại bỏ hoặc bị đi chuyên trên các hình vẽ có vẽ thêm dầu gạch chéo
Trang 2424 NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIỀN ĐỀ Co’ BAN CUA TINH HOC Ch | Hinh 4 Hình 5 Do đó, ta còn có thể diễn đạt tiên để 3 như sau: Aai luc tac dung lén cùng một điểm của vật có hợp lực bằng tổng hình học (tông vectơ) của các lực và đặt tại cùng điển đó Ta cần phân biệt khái niệm về tổng các lực và hợp lực của chúng Thí dụ, xét hai lực E¿ và E¿ tác dụng lên vật tại các điểm 4 và Ö (hình 6) Lực Q trên hỉnh 6 là tổng hình học của các lực F¡ và E; (Q = F¡ + E;) bằng đường chéo hình bình hành tương ứng Nhưng Q
không phải là hợp lực của các lực đó Hình 6 — vị có thể thây một lực Q không thé tac
dụng thay cho cả hai lực E¡ và E¿,
Ngoài ra như ta thây, hai lực nảy nói chung không có hợp lực ( §48,
bài tập 42)
Tiên đề 4 Ứng với mỗi tác dụng của vật thê này lên vật thê khác bao giờ
cũng có phẩn tác dụng với cùng trị sô nhưng ngược chiễu
I3ịnh luật về sự bằng nhau giữa tác dụng và phản tác dụng là một
trong những định luật cơ bản của cơ học Theo định luật nảy, ta suy ra : nêu vật 4 tác dụng lên vật Z một lực E, thì đồng thời vật Z cũng tác dụng lên vật 4 một lực F=-—F
có cùng trị sô, cùng hướng theo một đường thẳng
nhưng ngược chiều nhau (hình 7) Nhưng các lực -
F và F' không tạo thành một hệ lực cân bằng vì
chúng đặt vào các vật khác nhau
Tính chat cia các lực trong Theo tiên đề 4, hai phần tử bât kỳ của vật thể sẽ tác dụng lên nhau
Trang 2554 LIEN KET VA PHAN LU’C LIEN KET 25
Vì khi nghiên cứu các điều kiện cân bằng, ta xem vật thể như một vật rắn
tuyệt đôi, nên (theo tiên đề I) tât cả các lực trong khi đó, sẽ tạo thành một
hệ lực cân bằng mà (theo tiên đề 2) ta có thể bỏ qua Bởi vậy, khi nghiên cứu các điều kiện cân bằng của vật thể (kêt cầu) chỉ cần tính đền các /c
ngoài tác dụng lên vật thể hoặc kêt cầu đó Do đó sau này, khi nói đền các lực tác dụng, nêu không có chú ý gì đặc biệt thì ta hiểu ngầm đây là các lực ngoài
Tiên đề 5 (nguyên lý hóa rắn) Sự cân bằng của vật thé bién hình (vật
biền dạng) dưới tác dụng của hệ lực vẫn được giữ nguyên sau khi vật thé
được hóa rắn (thành rắn tuyệt đồi)
Điều khẳng định ở tiên đề này là hiển nhiên Thí dụ, rõ rang la néu day
xích cân bằng thì khi hàn các mắt xích lại dây xích vẫn cân bằng v.v Vì trước và sau lúc hóa rắn vẫn chỉ có cùng một hệ lực tác dụng lên vật cân
bằng, nên ta còn có thể phát biểu tiên đề 5 như sau: các /ực tác dụng lên moi vật biên hình (vật biền dạng) khi cân bằng cũng thỏa mãn những diéu kiện như' đỗi với các vật rắn tuyệt đôi; nhưng đổi với các vật biền hình thì
các điêu kiện cẩn này có thể không là điêu kiện đủ
Thí dụ, đôi với cân bằng của một dây mềm dưới tác dụng của hai lực đặt ở hai đầu, điều kiện cần vẫn là các điều kiện như đôi với thanh cứng (các lực này phải có trị sô bằng nhau, nhưng ngược chiều đọc theo dây) Tuy nhiên đây không phải là điều kiện đủ Để dây cân bằng ta còn phải yêu cầu thêm là các lực này phải là lực kéo, tức là phải có chiều như vẽ
trên hình 4a
Nguyên lý hóa rắn được sử dụng rộng rãi trong các tính toán kỹ thuật
Nguyên lý này cho phép ta khi thiềt lập các điều kiện cân bằng có thể xem mọi vật biên hình (dây curoa, chão, xích v.v ) hay mọi cầu trúc biên hình như những vật rắn tuyệt đôi và do đó có thể áp dụng các phương pháp
tĩnh học vật rắn để thiềt lập các điều kiện cân bằng Nều bằng cách đó sô phương trình thu được vẫn chưa đủ để giải bài toán thì phải thiêt lập thêm các phương trình theo điều kiện cân bằng của từng bộ phận kêt câu
hoặc theo sự biên dạng của chúng (bài toán có kể đên sự biên dạng sẽ được xét trong giáo trình sức bền vật liệu)
§ 4 Liên kềt và phản lực liên kêt Theo định nghĩa một vật không liên quan gì với các vật khác và từ vị trí đang xét có thể thực hiện mọi độ
đời trong không gian gọi là vật ø do (thí dụ, quả bóng bay trong không khí) Vật mà dịch chuyển của nó trong không gian bị các vật khác có liên
quan hoặc tiềp xúc không chê — gọi là các vật không tự do Tât cả những
đôi tượng có tác dụng không chề dịch chuyển của vật khảo sát trong không
Trang 2626 NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIÊN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC Ch 1
Thí dụ về các vật không tự do như : vật đặt trên mặt bàn, cánh cửa
treo trên bản lề v.v Liên kết trong các trường hợp này là : mặt bàn — không cho phép vật di chuyển theo phương thẳng đứng hướng xuông
dưới, bản lé — khong cho cánh cửa rời khỏi khung
Vật có liên kêt khi chuyển động dưới tác dụng của lực sẽ tác dụng lên liên kềt những lực nảo đó gọi là áp lực lên liên kêt Đồng thời theo tiên đề 4 khi đó liên kêt cũng tác dụng lên vật một lực cùng trị sô nhưng ngược
chiều Lực mà liên kêt tác dụng lên vật có tác dụng cẩn trở chuyển động của vật, gọi là phần lực liên kềt (lực phản tác dụng)
Sau này, ta gọi các lực không phải là phản lực liên kết (thí dụ như trọng lực) là các lực chủ động Đặc điểm của các lực chủ động là trị sô và chiều
của chúng không phụ thuộc trực tiềp vào các lực khác cùng tác dụng lên
` vật đó Phản lực liên kêt khác các lực chủ động ở chỗ trị sô của nó bao
giờ 'cũng phụ thuộc vào các lực chủ động và là lực chưa được xác định
(nều không có lực chủ động nào tác dụng thì phản lực liên kêt bằng không) Để xác định phản lực liên kêt ta phải giải các bài toán tĩnh học tương ứng Phản lực liên kêt hướng ngược với chiều mà liên kêt cản trở vật di
chuyển Khi liên kêt cản trở vật dịch chuyển theo nhiều chiều thì chiều
của phản lực liên kêt cũng chưa biết và chỉ được xác định sau khi giải
bài tốn
Đơi với các bài toán tĩnh học, việc xác định đúng chiều của phản lực _ liên kêt rât quan trọng Do đó ta sẽ xét tỷ mỷ hơn chiều phản lực của một sö dạng liên kêt cơ bản (xem thêm các thí dụ ở §25)
1) Mặt phẳng (mặt cong) hay gôi tựa nhẫn Mặt được gọi là nhẫn
nêu ở gần đúng thứ nhât có thể xem như không có ma sát đôi với vật Mặt này chỉ không cho vật di chuyên đọc theo phương pháp tuyên chung
của mặt tiềp xúc của các vật tại tiếp điểm (hình 8a) `) Do đó phản Iựưc N
của mặt nhẫn hay gôi tựa nhân xế hướng theo pháp tuyên chung của các mặt tiêp xúc tại tiêp điểm và dặt ngay tại tiềp điển đó Khi một trong các mặt tiệp xúc nào đó là một điểm (hình 86) thi phản lực hướng theo pháp tuyên của mặt kia
2) Dây treo Liên kêt được thực hiện bởi dây mềm không dẫn (hình 9),
không cho vat M roi khỏi điểm treo theo hướng 4X Bởi vậy phản lực T của dây hướng dọc theo dây về phía điểm treo
) Trên các hình 8- I1 không vẽ các lực chủ động Trong các trường hợp vẽ trên hình
Trang 27$4 LIEN KET VA PHAN LUC LIEN KET 27 ⁄ ⁄ A 4) Hình 8 Hình 9
3) Khớp trụ (ô trục) Nều hai vật liên kêt với nhau bằng bulông bắt
qua các lỗ khoan của các vật, thì liên kêt loại này gọi là liên kêt khớp hay là khớp Đường trục của bulông gọi lả trục khớp Vật 48 được liên kêt khớp với gôi tựa D (hình 10a) có thể quay tự do xung quanh trục khớp (trên mặt phẳng hình vẽ) Trong trường hợp này, đầu 4 không
thể dịch chuyển vuông góc với trục khớp theo bât kỳ một hướng nào
Vì vậy phản lực R của khớp trụ có thể có chiều bằt kỳ trên mặt phẳng vuông góc với trục khớp, tức là trên mặt phẳng 4xy Trong trường hợp
nay, cA trị sô lần hướng (góc ø) của lực R đều chưa biêt
4) Khớp cầu và khớp côi Loại liên kêt này cô định một điểm nào đó của vật, không cho nó dịch chuyển trong không gian Thí dụ về loại liên
kêt này : khớp cầu ở chân máy ảnh (hình 102) hay khớp côi (khớp trụ có đáy) (hình 10c) Phản lực R của khớp cầu hay khớp côi có chiều tùy ý trong không gian Đôi với phản lực này ta không biêt trước cả về trị
Trang 2828 NHỮNG KHÁI NIỆM VÀ TIÊN DE Co’ BAN CUA TINH HỌC Ch 1
3) Thanh Giả thử trong một cầu trúc
nào đỏ liên kêt là thanh 4# có khớp ở
hai đầu (hình 11) Giả thử thanh có trọng
lượng bé không đáng kể so với các lực
mà thanh phải chịu Khi đó trên thanh chỉ có hai lực đặt tại các khớp A va B
Nói chung, các lực này có chiều tùy ý,
nhưng nều thanh 4Ö cân bằng thì theo tiên để 1, các lực đặt tại 4 và Ö phải
hướng dọc theo cùng một đường thẳng, tức là dọc theo trục thanh (hỉnh 4a, c) Hình 11 Điều đó chứng tỏ, thaửh chịu lực ở hai đầu, nều đọng lượng của nó không đáng kế so với các lực tác dụng, thì thanh chỉ bị kéo hoặc bị nén Nều
dùng các thanh đó làm liên kêt thì phản lực N của thanh sẽ hướng dọc
theo trục thanh
§ 5 Tiên để liên kêt Trong tĩnh học, người ta khảo sát cân bằng của các vật không tự do dựa trên tiên để sau đây : mọi vật không tu do
có thể xem như vật tự do nều vứt bỏ liên kêt và thay tác dụng của chúng ˆ
bằng các phản lực liên kêt
Thí dụ, có thể xem dầm 4ÿ trọng lượng P (hình 122) với các liên kêt là mặt phẳng OE, gôi tựa D va day KO nhw vat tự do (hình 125)
đang cân bằng dưới tác dụng của lực chủ động P và các phản lực liên két N,, N, va
T Có thê xác định trị sô của
các phản lực liên kêt theo các điểu kiện cân bằng của các
lực tác dụng lên vật tự do
Đây là phương pháp cơ bản để giải các bài toán tĩnh học
Hình 12
Việc xác định phản lực liên kêt còn có ý nghĩa thực tê ở chỗ, nêu biêt được chúng, thì theo tiên
đề 4 ta có thể biêt được cả áp lực lên liên kêt, tức là những sô liệu ban
Trang 29$6 HỢP LỰC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 29 CHƯƠNG II
HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY
§ 6 Hợp lực bằng phương pháp hình học Hợp lực của các lực đồng quy
Trong nhiều bài toán cơ học ta phải cộng các vectơ, thí dụ cộng các lực
Chúng ta nghiên cứu tĩnh học bắt đầu bằng bài toán cộng lực ') theo phương pháp hình học Sau này sẽ quy ước gọi vectơ bằng tổng hình học các lực của
một hệ lực nào đó là vec£z chính của hệ lực ây Như đã nói ở §3 (xem
hình 6), không nên lẫn lộn khái niệm tổng hình học của các lực với khái
niệm hợp lực Sau này ta sẽ thây đôi với hệ lực nào cũng có thể tìm được tổng hình học (vectơ chính), nhưng có nhiều hệ lực nói chung không có hợp lực
1) Hep hai lực Có thể xác định tổng hình học R của hai lực E; và F, theo quy tắc hình bình hành (hình 13a) hoặc bằng tarn giác lực (hình
13) là một nửa của hình bình hành đó Để dựng tam giác lực, từ điểm
tùy ý 4; ta dựng vectơ lực thứ nhât, rồi từ điểm mút của vectơ này dựng vectơ lực thứ hai Nôi điểm đầu của vectơ thứ nhât với điểm mút của vectơ thứ hai, ta sẽ được vectơ lực R
Tri s6 R bằng cạnh 4; C; của tam giác 4; 8¡C; được xác định theo công thức
R? « F{ + Fi — 2F, Fy cos (180° — a),
trong đó ø là góc giữa hai lực Do đó :
R-~VF + FR — 2F,F, cosa (1)
Trang 3030 cà, HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY ` Ch
2) Hợp ba lực không nằm trên cùng một mặt phẳng Tống hình học
R của ba lực F,, F,, F; không nằm trên cùng một mặt phẳng chính là đường chéo của hình hộp dựng được từ các lực đó (quy tắc hình hộp) Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng liên tiêp quy tắc hình
bình hành ( hình 14)
3) Hợp hệ lực Có thể xác định tổng hình học (hay vectơ chính) của mọi hệ lực tùy ý bằng-cách cộng liên tiêp các lực theo quy tắc hình bình hành hoặc bằng đa giác lực Phương pháp thứ hai đơn giản và tiện
lợi hơn Muôn tìm tổng các lực F¡, F2, F3, F, (hinh 15a) bing phương
pháp này,từ điểm tùy ý Ở ta dựng một vectơ Ốø biểu diễn lực F; (hình
15b ), từ điểm ¿ dựng vectơ ab biểu diễn lực F;, từ b dựng vector bcbiéu
diễn lực F;,v.v từ mút ø: của vectơ gần cuôi cùng ta dựng vectơ ‘mn biéu di&n luc F, N6i O voi mút của vectơ cuôi cùng, ta được vectơ
"Ôn = R biểu diễn tổng hình học hay vectơ chỉnh của các lực thành phần:
R=F,+F,+ + F, hayR = DP, (3)
Trị sô và chiều của R không phụ thuộc vào thứ tự các vectơ lực được
cộng Dễ dàng thây là phương pháp dựng vừa rồi chính là kêt quả áp dụng liên tiệp quy tắc tam giác
lực
Hình vẽ trên hình l§b được goi la da gidc lực (hay gọi
chung là đ¿ giác vectơ) Do đó,
tổng hình học hay vectơ chỉnh
của các lực là cạnh khép kín của
đa giác lực dựng trên các lực
đó (quy tắc đa giác lực) Khi Hình 15 dựng, đa giác vectơ cần chú ý
rằng tât cả các mũi tên của các _
vectơ thành phần phải được dựng cùng một chiều theo chu vi của đa
giác, còn vectơ R thì có chiểu ngược lại
Hợp lực của hệ lực đồng quy Chúng ta sẽ nghiên cứu tĩnh học một
cách tuần tự từ hệ lực đơn giản đên hệ lực phức tạp hơn Hãy bát đầu
từ hệ lực đồng quy là hệ lực mà đường tác dụng của chúng cắt nhau ở cùng một điểm (hình 15a) Theo hệ quả của hai tiên để đầu thì hệ lực đồng
quy tác dụng lên vật rắn tuyệt đôi sẽ tương đương với hệ lực đặt tại cùng -
một điểm (điểm 4 trên hình 152)
Nêu áp dụng liên tiêp tiên để bình hành lực, ta sé thay hé luc déng
Trang 31§7 PHÂN LỰC 31
A (hình 15a), thì vectơ lực R được dựng theo phương pháp đa giác
lực và đặt tại điểm 4 sẽ là hợp lực của hệ lực đó Nêu các lực đồng quy tại một điểm nằm ngoài hình vẽ thì có thể tìm điểm đặt hợp lực bằng phương pháp đổ thị trình bày ở § 30
§ 7 Phân lực Phân một lực thành nhiều lực thành phần, có nghĩa là tìm một hệ lực mà lực đó là hợp lực của nó Bài toán này bât định, nó chỉ có lời giải duy nhât nêu có thêm các điều kiện Ta xét hai trường
hợp riêng quan trọng nhât
1) Phân lực theo hai hướng đã cho Giả sử phân lực E (hình 16) theo
các hướng song song với các đường thẳng 4B và 4Ð đã cho (lực và các đường thằng đều nằm trên một mặt phẳng) Bài toán này tương tự bài
toán dựng một hình bình
hành mà đường chéo là lực
F, còn các cạnh thì song
song với các đường thẳng
AB và AD Muôn vậy, từ
điểm đầu và điểm mút của lực E, ta dựng hai đường thẳng song song với 4 và AD Lực P và Q chính là các lực thành phần cần tìm Hình l6 vi P+Q =F
Ta cũng có thể phân lực bằng cách dựng tam giác lực (hình 165)
Muôn vậy, từ điểm tùy ý z ta dựng lực E và qua hai đầu của lực F dựng các đường thẳng song song 4P và 4D cho tới khi chúng cắt nhau Các
lực P và Q tìm được thay thê cho lực E nêu đặt chúng vào điểm 44 hoặc
vào bãt cứ điểm nào đó trên đường tác dụng của lực E
2) Phân lực theo ba hướng đã cho Nều các hướng này không nằm trên một mặt phẳng thì đây là bài toán tĩnh định mà nội dung là
dựng một hình hộp mà đường chéo là lực E, còn các cạnh thì song song với các hướng đã cho (xem hình 14) ,
Dưới đây bạn đọc hãy tự xét các trường hợp phân một lực F đã cho
thành hai lực P và Q nằm trên cùng một mặt phẳng với lực F nêu biêt
các trị sô của lực P và Q sao cho P+: Q> F Bài toán có hai cách giải
Cách giải bài toán Ta có thể dùng phương pháp phân lực để xác định ap lực của lực đã cho [én lién két Nhu vay, mu6én tim 4p lic lién két
Trang 3232 HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY Ch H
(vi theo tiên để 4 áp lực liên kêt và phản lực liên kêt cùng đọc theo một
đường thẳng) Do đó, để áp dụng phương pháp này ta cần xác định
trước hướng của phản lực liên kêt tương ứng
Bài tập 1 Xích đông gồm các thanh 4C và ĐC liên kết với tường và với nhau bằng các khớp sao cho< BAC = 90°,x⁄.4BC = z (hình I7) Tại khớp € treo vật có trọng lượng
P Bỏ qua trọng lượng của các thanh, hãy xác định lực nén lên thahh BC
Bài giải CẢ hai thanh đều bị lực P tác dụng Phản lực của chúng trong trường hợp
này hướng đọc theo các thanh Do đó, để tìm lực nén, ta đặt lực P vào điểm C, rồi phân
P thành các thành phần theo các hưởng 4C và 8C Phân lực S, chính là lực nén cần tìm
Theo tam giác CDE, ta có :
Cũng theo tam giác đó, ta thây thanh 4C bị kéo bởi lực :
S, = P tga
Khi góc ø tăng lên, các lực tác dụng lên cả hai thanh cũng tăng lên, khi z gần bằng 90° chang sé rat lon Thi du, khi P = 100 kỚ, a = 85°, ta cé Sy= 1150 KG, Sy~ 1140 kG DE giảm lực tác dụng ta cần giảm góc #
Hình 17 Hình 18
Theo kết quả trên ta thãy, đôi khi có thể xẩy ra trường hợp lực bé nhưng lại tạo ra áp lực rât lớn lên các bộ phận riêng rẽ của cầu trúc (xem thêm: bài tập 2) Đầy là vi các lực
được hợp và phân theo quy tắc hinh bình hành, mà trong hình bình hành thì đường chéo
có thể ngắn hơn các cạnh Do vậy, nêu khí giải bài toán tính được những phản lực rât lớn
so với các lực tác dụng, thì điều đó không có nghĩa là giải sai
Cuôi cùng ta chứng mính vì sao khi giải các bài toán tương tự, ta nhât thiệt phải phân
lực tác dụng theo phương các phản lực liên kết Trong bài tập vừa khảo sát, ta phái xác
định lực ở thanh ØC Ta hãy đặt lực P vào điểm C (hỉnh 18) rồi phân P theo phương dọc
thanh BC va phương vuông góc với BC Ta được
Ó\ = Pcosa, Q; = Psina /
Trang 33§7 _ PHÂN LỰC 33 Thi dụ này chứng tỏ, nêu phân lực không theo phương của phản lực liên kt, thì không thu được lời giải cần tìm
Bài tập 2 Chụp đèn trọng lượng P = 20 kG (hình 19) được treo vào hai dây 4C và
BC lập với phương nằm ngang những góc như nhau bằng a = 5° Hãy xác định sức căng ở các dây
Bài giải Tại điểm € ta dựng lực P rồi phân lực này theo các phương đọc theo đây Ta sẽ được hình bình hành lực có dạng hình thoi Các đường chéo của hình thoi vuông
góc với nhau tại điểm giữa Theo tam giác aCb, ta có: P : — = T, sina 2 “ k, P Do đó : T, = 7, = - = 115 kG 2 sina
Từ công thức này ta thầy góc ø càng giảm thì sức căng ở các dây càng tăng nhanh (thí dụ
khi œ = I°, 7z 573kG) Nều cô căng cho dây
nằm ngang thì dây sẽ bị đứt, vì khi đó với a0,
T— o°7
Bài tập 3 Hãy xác định ứng lực vòng tại điểm
B va áp lực lên trục O ở cơ cầu thanh truyền tay
quay vẽ trên hình 20 Cho biết ứng với các góc
œ và có lực P tác dụng lên pittông 44 ; tay quay
OB và thanh truyền 4Ö có trọng lượng không
đáng kể
Bài giải Để xác định các lực cần tìm, ta phải
biêt lực Q do thanh truyền 4Ø tác đụng lên khớp
B Để tìm Q ta phân lực P theo các phương 4#
Trang 3434 HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY Ch
Góc Ÿ là góc ngoài của tam giác 2A bằng a + 8 Do đó, cuỗi cùng ta được
rE pShn(@LÐø p €9 (41 8) cos @ cos @
Via + B< 180° va a< 90° nén bao gid ciing cé F> 0, tic 1a luc F bao gid cing co hướng
như trên hinh vé Con lc R cé hvéng tr B vé O khi a + B< 90° ; khia-+ B>90° thi chiều của lực R hoàn toàn ngược lại Khi @ + B = 90°, tacd R = 0
Qua ví dụ này ta thầy có thể áp dụng phương pháp phân lực ngay cả khi các lực tác dụng lên vật không cân bằng nhau Trong trường hợp này để xác định áp lực lên liên kêt,
ta phải phân lực theo phương phản lực liên kêt và theo phương dịch chuyển của điểm đặt
lực (như đã làm ở điểm Ø) Ấp lực lên lên kêt xác định được bằng cách này gọi là áp lực tĩnh, vì khi tính áp lực này không tính đền khôi lượng, vận tôc và gia tốc của các vật chuyển
động Trong thực tÊ ta chỉ có thể sử dụng các kềt quả tính tốn này khi vận tơc và gia tôc
của các vật đều có giá trị bé Ấp lực lên liên kêt có kể đền khôi lượng, vận tôc, gia tôc của các vật chuyển động được gọi là áp /ưc động Đề tính áp lực này, ta phải áp dụng các phương
pháp của động lực học (§ 169)
§ 8 Hình chiều của lực trên một trục và trên mặt phẳng Ta hãy xét cách giải các bài toán tĩnh học theo phương pháp giải tích (phương pháp
sô) Phương pháp này dựa trên khái niệm về hình chiều của lực trên các trục Theo định nghĩa, hình chiều của lực trên trục là đại lượng vô hướng
bằng chiều dài của đoạn thẳng kẹp giữa các hình chiều của điểm đầu và
điểm múi của vectơ lực trên trục kèm theo dầu tương ứng Hình chiêu
có dâu đương nêu chiều từ đầu đên mút của nó trùng với chiều dương
của trục và có dầu âm trong trường hợp ngược lại Theo định nghĩa, ta thay hình chiều của lực trên các trục song song và cùng chiều bao giờ
cũng bằng nhau Điều khẳng định này rât có lợi khi tìm hình chiêu của
lực trên trục không nằm trên cùng mặt phẳng với lực Ta ký hiệu hình chiêu của lực F trên trục Øx bằng chữ #„ Khi đó đôi với các lực vẽ trên
hình 21, ta có 1) :
Fy = AB, = ab: € == ED, sx — ed,
Nhưng qua hình vẽ ta thầy :
A4AB\ = Fcosa; ED) = Q cosọ = — Qcosa, Do đó :
Fy = Foosa; Q, = —- QCOS0 = Qcosa,, (4)
tức là hình chiều của luc trén truc bang tich tri sô của lực với côy của góc
_ giữa phương của lực với chiều dương của trục Như vậy, hình chiều sẽ
1) Chiéu dong cha truc 14 chi@u huéng tir diém O (gdc trục) về phía có chữ x (ký
Trang 35s9 PHƯƠNG PHÁP BIÊU DIỄN LỰC BẰNG GIẢI TÍCH 35
fn
Hình 21
có dầu dương nêu góc giữa phương của lực và chiều dương của trục
là góc nhọn và có dâu âm nêu góc nảy tù Nêu lực vuông góc với trục thì
hình chiêu trên trục bằng không
Hình chiêu của lực F trên mặt phẳng Oxy là vectơ Fyy = OB, kep
giữa hình chiêu của điểm đẩu và điểm mút của lực E trên mặt phẳng đó
(hình 22) Do đó, khác với hình chiêu của lực trên trục, hình chiêu của lực
trên mặt phẳng là đại lượng vectơ, vì
nó không những được thể hiện bằng
trị sõ mà cả bằng chiều trên mặt phẳng
Oxy Vé tri sé thi Fyy = F cos@,
trong đó 6 là góc giữa phương lực
E với hình chiéu F xy
Trong một sö trường hợp, để tìm
hình chiêu của lực trên trục, đầu tiên người ta tìm hình chiều của lực trên
mặt phẳng chứa trục đó, sau đó mới
chiều hình chiêu này lên trục Thí dụ
bằng cách đó, từ hình 22 ta tìm được :
F, = Fyy cosp = Feos 9 cos 9,
Fy ~ Fyy sing = Fcos@ sing 6) z § 9 Phương pháp biêu diễn lực bằng
giẢi tích Để biểu diễn lực bằng giải Al oF
tích, ta cần dựng một hệ trục tọa độ ⁄
Oxyz để xác định chiểu của lực trong Ai # Z
không gian Trong cơ học, người ta 5 dùng hệ tọa độ thuận, tức là hệ tọa độ „;
mà nêu nhìn từ đầu dương của trục j_——————ứ
Oz ta thay dé chap truc Ox với trục ,
Oy thì phải xoay trục x một góc quay
Trang 3636 HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY Ch 1
Có thể đựng vectơ biểu diễn lực F nêu ta biêt trị sô # của lực và các
ĐÓC az› 8+ Y tạo bởi lực với các trục tọa độ Qua các đại lượng #, a: 8: Y t4
xác định được lực F Vị trí điểm đặt 4 phải được xác định thêm bằng
các tọa độ x, ÿ, z
Khi giải các bài toán tĩnh học, ta nên biểu diễn lực bằng các hình chiều của nó Muôn vậy ta chứng minh rằng, nêu biêt được các hỉnh chiều F,, Fy, F của lực trên các trục của một hệ tọa độ vuông góc đêcac
thì lực F hoàn toàn được xác định Thực vậy, theo công thức (4) suy ra :
F, = Foosa, Fy = FeosB, F, = Fcosy
Bình phương các đăng thức đó rồi cộng lại, ta được #2 + FR + FB =
= Ƒ2 vì cos? ø + cos? B + cos? y = l Do đó ta cỏ :
F= VF}+F24+F?;
F Fy F,
cOS @ = > cos B = — cos ¥ = FO (6)
Các công thức (6) cho thây nêu biêt các hình chiêu của lực trên các trục tọa độ, thì có thể tìm được trị sô và các góc của lực với các trục, tức
là có thể xác định được lực Cần chú ý rằng ở công thức thứ nhât,đằng trước dầu căn bao giờ cũng mang dầu dương vì công thức này xác định
trị sô của lực ˆ c
Nều phân lực F theo các hướng song song với các trục tọa độ (xem
hình 23), thì các hành phần F;, Fy, E¿ sẽ có trị sô bằng hình chiều của
lực trên các trục tương ứng Từ đây suy ra nêu biêt hình chiều của lực trên các trục tọa độ thì có thể dựng vectơ lực bằng hình học theo quy tắc
hình hộp
Nêu tât cả các lực khảo sát cùng nằm trên một mặt phẳng thì có thể xác định từng lực bằng các hình chiều của nó trên hai trục Ởx và Óy Khi đó công thức xác định lực theo các hình chiêu sẽ có đạng :
Trong trường hợp nảy, nêu
Trang 37§10 PHƯƠNG PHÁP HỢP LỰC BẰNG GIẢI TÍCH 37
§ 10 Phương pháp hợp lực bằng giải tích Ta có thể chuyển từ hệ thức giữa các vectơ sang các hệ thức giữa các hình chiêu của chúng bằng định lý hình học sau đây : hừnh chiêu của vecto tông trên một trục nào đó bằng tổng đại sô các hình chiều của các vectơ' thành phần cũng trên trục đỏ Đo đó, vì lực là một vectơ ta suy ra: nều R = F¡+- F¿ + Fạ + Fy
(hình 24, th: R, = Fy + Fy + Fy, + Fax , trong do:
Fi => ab , Fx = be , Fx =cd, Fay = de, Ry = ae
Gọi R là tổng của hé le (vecto chinh) F,, F>, ,F ,,trongdd R = » F,, theo định lý trên ta có :
ÑR= 2Ƒu.Ñ = ÐƑy,R, = Xu, (8)
Néu biét R,, R,, Rz, theo công thức (6) ta được : R= VR2+R}+ R?: Rx Ry R, (9) =—, ¢ =—, coy = — cos @ R cos Ð R Y R Các công thức (8) (9) cũng cho phép giải bài toán cộng lực bằng giải “tích : Đôi với các lực cùng nằm trên một mặt phẳng các công thức tương ứng có dạng : R, = DF kx, Ry = DF ry; (10) R Ry R =VR2+ R?, cos @ = e cos B = z:
Néu các lực đã được cho trước trị sô và các góc hợp với các trục, thì để áp đụng phương pháp giải tích cộng lực, ta cần tính trước hình
chiều của các lực đó trên các trục tọa độ
Trang 3838 - HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY chu
Két qua la: R = 15N,@ = 21°,B = 9740 Y 70 30°
Bải tập 5 Tìm hợp lực của ba lực cùng nằm trên một mặt phẳng (hình 252), nêu cho :
F = 17,32kG, T = 10kG, P = 24kG, 9 = 30,u = 60° Bài giải Tính hình chiều của các lực đó trên các trục tọa độ, ta có :
F, = Fcos p= I5kG, T, =—Tcos y = —5kG; P, = 0; F, = — Fsin 9 = — 8,66kG, T, = Tsin yp = 8,66kG, P, = — P = — 24kG Khi đó, theo công thức (10) : , R, = 15— 5 = 10kG;R, = — 8,66 + 8,66 — 24 = — 24kG Nên : R = VIDF TC? ~ 26kG; cosa = 5008 § - i Két qué la R = 26kG,a = 67°20’, B = 157°20’
Mu6n gidi bai nay bằng phương pháp hình học, ta phái chọn một tỷ lệ xich (thi du lem
tương ứng với 10kG, rồi dựng đa giác lực bằng các lực P, F và T (hình 25b) Cạnh khép
kín ađ cho ta trị sô và chiều của lực R theo tỷ lệ xích tương ứng Thí dụ,nêu khi đo ta có ad~ 2,5 cm, thì R~‹ 25kGŒ Sai sô so với lời giải chính xác gần bằng 4 +
§ I1 Cân bằng của hệ lực đồng quy Theo các định luật cơ học,ta
biêt rằng nêu vật thể bị tác dụng của các lực bên ngoài cân bằng nhau
thì nó có thể đứng yên hoặc chuyển động « theo quán tính » Thí dụ vật
có thể chuyển động tịnh tiên thẳng đều Từ đây ta có hai kêt luận quan trọng :
1) Các lực tác dụng lên vật đứng yên cũng như lên vật chuyển động
«theo quán tính » đều thỏa mãn các điều kiện cân bằng của tĩnh học
(xem bài tập 6)
2) Sự cân bằng của các lực tác dụng lên vật rắn tự do là điều kiện
cần, nhưng chưa đủ đôi với sự cân bằng (đứng yên) của bản thân vật
thể đó Do đó vật thể sẽ chỉ đứng yên nều như trước khi chịu tác dụng
của các lực cân bằng nó đã ở trạng thái đứng yên
Để hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn được cân bằng thì điều kiện cẩn và đủ là hợp lực của các lực đó bằng không Ta có thể biểu điễn điều kiện mà các lực cân bằng phải thỏa mãn dưới dạng hình học hoặc giải
tích
lL Điều kiện cân bằng dưới dạng hình học Vì hợp lực R của hệ lực đồng quy là cạnh khép kin của đa giác lực dựng từ các lực đó, nên R chỉ
có thể bằng không khi và chỉ khi nào điểm mút của lực cuôi cùng trong đa giác lực trùng với điểm đầu của lực đầu tiên, tức là khi đa giác lực tự
khép kín
Trang 39gi CAN BANG CUA HE LU'C DONG QUY 39
2 Điều kiện cân bằng đưới đạng giải tích Dưới dạng giải tích, hợp
lực của hệ lực đồng quy xác định theo công thức :
R = VRệ + RỆ + RỆ
Vì biểu thức dưới dâu căn là tổng các sô hạng dương, nên R chi bang không khi nảo đồng thời R, = 0, Ry¿ = 0, R, =0, tức là khi các lực tác dụng lên vật rắn sẽ thỏa mãn các đắng thức (suy từ công thức (®)) :
Fa = 0, Fy = 0, Far = 0 (11)
Các đẳng thức (11) mô tả các điều kiện cân bằng dưới dạng giải tích :
để hệ lực đồng quy trong không gian được cân bằng, thì điều kiện cẩn và
đủ là tông các hình chiều của các lực đó trên cả ba trục tọa độ phải bằng không
Nêu các lực đồng quy tác dụng lên vật thể nằm trên cùng một mặt phẳng thì chúng lập thành hệ lực phẳng đồng quy Rõ ràng trong trường hợp hệ lực phẳng đồng quy ta chỉ có hai điều kiện cân bằng :
Fa = 0, Fy = 0 (12)
Các đẳng thức (11) và (12) cũng là các điểu kiện cần (hay các phương
trình) đôi với sự cân bằng của vật rắn tự do đưới tác dụng của các lực đồng quy
3 Định lý về ba lực Nhiều khi để giải các bài toán tỉnh học, ta nên sử dụng định lý sau đây : nễu vật rắn tự do mà cân bằng dưới tác dụng
của ba lực không song song nằm trên
cùng một mặt phẳng, thì đường tác dụng
của chúng cắt nhau tại một điểm
Dé chứng minh định lý, đầu tiên ta
dựng hai lực nào đó, thí du F, va F
Theo điều kiện của định lý, các lực này cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song, nên đường tác dụng của chúng sẽ cắt nhau tại điểm 4 nào đó
(hình 26) Đưa các lực F¿, F; về điểm
A rồi thay chúng bằng bợp lực R Vật Hình 26
bây giờ chịu tác dụng của hai lực là lực R và lực E¿ đặt tại điểm 8 nào
đó của vật Khi đó nêu vật cân bằng thì theo tiên đề 1, các lực R va F; phải hướng theo cùng một đường thằng dọc theo AB Do do lực F;
cũng phải đi qua điểm 44 Đó là điều cẩn chứng minh
Ta chủ ý rằng, định lý này không có định lý đảo, tức là đù cho đường
tác dụng của ba lực có cắt nhau tại một điểm, nhưng vật dưới tác dụng
Trang 40
40 Hình 27 & SOQ SS ¬»Đ HỢP LỰC HỆ LỰC ĐỒNG QUY Ch II
của các lực đó có thê vẫn không cân bằng
Do đó định lý này chỉ là điểu kiện cẩn
không phải là điều kiện đu đôi với sự cân bằng của vật rắn tự do dưới tác dụng của ba lực
Thí dụ Dầm 48 gắn khớp tại điểm 4 và tỳ trên
cạnh tường D (hình 27) Nều giải phóng liên kêt, thay tác dụng của chúng bằng các phản lực tương ứng ta sẽ được dầm tự do Dầm cân bằng dưới tác dụng
của ba lực P, Nụ và R, mà đường tác dụng của chúng
theo định lý vừa chứng minh, phải cắt nhau tại một điểm Ta đã biêt đường tác dụng của các lực P và N; cắt nhau tại điểm K Do đó phản lực R, của khớp
đặt tại 4 cũng phải đi qua điểm K tức là phải hướng
dọc theo đường thẳng 4K Định lý về ba lực trong
trường hợp này cho phép ta xác định hưởng của
phản lực của khớp 4 mà ta không biểt trước
§ 12 Các hệ tĩnh định và siêu tĩnh Khi giải các bài toán về cân bằng của vật thể không tự đo, ta thây phản lực liên kêt là những đại lượng chưa biêt Sô các đại lượng chưa biêt đó phụ thuộc vào sô lượng và tính chat cla các liên kêt Bài toán tĩnh học chỉ có thể giải được khi sô phản
lực liên kêt chưa biêt không nhiều quá sô phương trình cân bằng chứa các phản lực đó Những bài toán như vậy gọi là các bai todn tinh dinh,
còn hệ các vật có tính chât đó gọi là hệ tĩnh định
Bài tốn trong đó sơ các phản lực liên kêt chưa biêt nhiều hơn sô
Hinh 28
phương trình cân bằng chứa các phản lực đó
gọi là bài toán siêu tĩnh, còn hệ các vật có tính
chât đó gọi là hệ siêu tĩnh
Thí dụ về hệ siêu tĩnh : một vật nặng treo
trên ba dây cùng nằm trên một mặt phẳng
(hình 28) Trong bài toán này có ba đại lượng
chưa biêt (là sức căng của các dây 7\, 7; và T›) còn trong trường hợp hệ phẳng đồng quy ta có thể chỉ lập hai phương trình cân bằng |công thức (12)] Những thí dụ khác về hệ siêu tĩnh có thê xem trong §25
Rõ ràng tinh chat siéu tinh là do có các liên kêt thừa Trong thí dụ vừa rồi, để có cân bằng với các góc ø và B tùy ý, ta chỉ cẩn treo trọng lượng