Giáo trình toán rời rạc

ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH ĐẶNG NGỌC HOÀNG THÀNH GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC Huế, 2011 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 2 MỤC LỤC CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 4  4  10  16 CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN ĐẾM 29  29  31   33 CHƯƠNG 3. BÀI TOÁN TỒN TẠI 41  41  44 3.2. Nguyên lý Dirichlet 46 CHƯƠNG 4. BÀI TOÁN LIỆT KÊ 48  48  49 CHƯƠNG 5. BÀI TOÁN TỐI ƯU 53  53  53 CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 72 6. 72 6.1.1.  73 6. 76 6.1.3.  81 6.1.4. Hành trình và chu trình 82 6.2.  90 6. 90  93  95 6.3.  96 6. 96 6. 97 6.4 98 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 3 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1. Tập hợp 1.1.1. Khái niệm tập hợp                       các    t là tp. Ví d tp hp A hay tp A. Cho mt tp hp A, và mt phn t a ca tp hp A. Ta nói rng, phn t a thuc tp hp A. Kí hiu    tp hp A thì ta nói rng, phn t b không thuc tp hp A và kí hiu  Các cách biểu diễn tập hợp  a)  t c hoc mt phn các phn t trong tp hp      - Tp các s t nhiên chn    b)  CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 5  không lit kê tt c các phn t ca nó mà ch nêu các tính cha tp hp.     Hay     1.1.2. Tập hợp con, Tập hợp rỗng và Tập hợp bao trùm a. Tập hợp coni phn t ca tp hp A thuc vào tp hp B. Kí hiu .  Nu tp hp A là con ca tp h gi tp hp B là cha ca tp hp A. u  s c thay bng kí hiu .        Nu tp hp  và  thì ta nói rng tp . Nu tp hp  hoc  thì ta nói A là tp con hoc bng B và kí hiu . Trong nhing hi ta s gi   tp A là con ca tp B và     . b. Tập hợp rỗng    c. Tập hợp bao trùmbao trùm (hay t). Tp hp bao c kí hiu là . a tp hp rng và tp bao trùm, ta có mt s  + Tp hp rng là con ca mi tp hp bi tp hp rng không cha phn t nào.  là tp con ca tp bao trùm.  CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 6 Lng ca tp hp. S ng các phn t ca mt tp hc gi là lng ca tp hp. Kí hiu  - c là lng ca tp hp A. Mt tp hp có n phn t, thì có     có    tp con ca A. Các tp hp này bao gm:                                  Tp các tp hp con ca tp hc kí hiu là . 1.1.3. Các phép toán trên tập hợp     . Hình 1.1   a. Phép toán hợp  p B. Kí hiu .    Trong hình minh ha  trên, hp ca hai tp hp A và B là tp hp cha ba phn 1, 2 và 3. Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hp ca hai tp hp A và B.     1 2 3 B A CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 7  l    b. Phép toán giao   chung p hp. Kí hiu     Trong hình minh ha  trên, giao ca hai tp hp A và B là tp hp cha phn 3. Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hp ca hai tp hp A và B.             A. c. Phép toán hiệu  B\ . Trong   phân bit gia hai kí hiu này 1 .  Trong hình minh ha  trên, hiu ca hai tp hp A và B là tp hp cha phn 1. Ví d: Gi s ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hiu ca hai tp hp A và B.     Nu tp hp A là con ca tp hp B, thì hiu ca hai tp hp A và B là tp hp rng. Phần bù tập hợp. Gi s tp hp A là con ca tp hp B và nm lt hn trong tp hp B. 1 Nếu A thì hiệu của A và B được kí hiệu là A\B. Nếu  thì hiệu của A và B được kí hiệu là A-B. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 8 Hình 1.2  Minh ha phn bù trên Tp hp   n bù ca tp hp A i vi tp hp  gin là phn bù ca B). Kí hiu   . Nu tp hp B là tp bao trùm, ta có th kí hiu phn bù ca tp hp A là . d. Phép toán hiệu đối xứng  ha các phn t thuc tp hp A mà không thuc tp hp B và các phn t thuc tp hp B mà không thuc tp hp A. Kí hiu  .       1  1 và 2.   ta có tp hp A và B. Yêu cu tìm hiu i xng ca hai tp hp A và B.               . 1.1.4. Các tính chất của các phép toán trên tập hợp 1 2 A B CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 9          Định lý. Gi s A, B, C là các tp hp. E là t có các tính cht  a) Luật giao hoán         b) Luật kết hợp                       c) Luật phân phối + Phân phối trái                              + Phân phối phải                                 d) Luật đồng nhất      e) Luật nuốt       f) Luật làm đầy      g) Luật lũy đẳng    