Thị Hamilton

Định nghĩa.

 Chu trình đơn chứa tất cả các đỉnh của đồ thị gọi là chu trình Hamilton.

 Đường đi đơn chứa tất cả các đỉnh của đồ thị gọi là đường đi Hamilton.

 Đồ thị được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa một chu trình Hamilton. Ví dụ.

Hình 6.24 – Đồ thị vô hướng và tính Hamilton

Đồ thị có chu trình Hamilton nên nó l{ đồ thị Hamilton. Đồ thị có đường đi Hamilton. Đồ thị không có chu trình Hamilton lẫn đường đi Hamilton.

Bổ đề. Nếu là một đồ thị Hamilton, khi đó, với mỗi tập con khác rỗng , ta có

( )

Định lý ORE. Cho là một đồ thị có cấp , và giả sử , trong đó là hai đỉnh không liền kề trong G và thỏa mãn

( ) ( )

Khi đó, là đồ thị Hamilton.

CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

98

Hệ quả. Giả sử là một đơn đồ thị liên thông có cấp . Khi đó là đồ thị Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng

Định lý. Mọi đồ thị có hướng đầy đủ là đồ thị nửa Hamilton.

Định lý Dirac. Đơn đồ thị liên thông n đỉnh. G là đồ thị Hamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng ⌊ ⌋.

Hệ quả. Nếu G là đơn đồ thị có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn

⌊ ⌋ thì G là đồ thị nửa Hamilton.

Định lý. Nếu G là đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh là có số đỉnh cùng bằng

và bậc của mỗi đỉnh lớn hơn thì G là một đồ thị Hamilton.

Định lý. Đồ thị đầy đủ với n lẻ và có đúng chu trình Hamilton phân biệt.