SKKN Hệ phương trình toán THPT

HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ĐƠN VỊ:TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT HỆ PHƯƠNG TRÌNH Họ tên người thực hiện: Lưu Quí Hiền Môn, lĩnh vực: Toán Phước Long ngày 22 tháng 02 năm 2015 I.Đăt vấn đề: Hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình toán phổ thông Hệ phương trình có nhiều dạng cách giải khác Đơn giản hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn.Hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh học cấp hai, đến lớp 10 ôn tập lại học hệ ba phương trình bậc ba ẩn.Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác học sinh không tìm hiểu thức chương trình học nhà trường.có biết thông qua tài liệu tham khảo, tự học Với mong muốn giới thiệu đến em học sinh dạng hệ phương trình, cách giải chúng số hệ phương trình không mẫu mực, biên soạn chuyên đề này.Mặc dù cố gắng không tránh khỏi thiếu sót, mong quý đồng nghiệp, em học sinh chân thành góp ý để hoàn thiện chuyên đề năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn! II.Nội dung 1.Hệ hai phương trình bậc hai ẩn  ax + by = c a)Dạng:  ' ' ' a x + b y = c b)Cách giải: Dùng phương pháp cộng phương pháp c)Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình: 2 x + y =  x − y = Giải: C1: Phương pháp cộng 2 x + y = 4 x + y = ⇔ Ta có  x − y = x − y = 5 x = 15 x = ⇔ ⇔  x + y =  y = −3 C2:Phương pháp thế: 2 x + y =  x = + y ⇔ Ta có  x − y = 2 ( + y ) + y = x = + y x = ⇔ ⇔ 5 y = −15  y = −3 Áp dụng: Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = 1)   x + y = −1 2 x − y = 2)  x + y = 4 x + y = 3)  x + y =  x−3 −  4)   +  x − =5 y+2 = −4 y+2 2.Hệ ba phương trình bậc ba ẩn  a1 x + b1 y + c1 z = d1  a)Dạng:  a2 x + b2 y + c2 z = d a x + b y + c z = d 3  b)Cách giải: Dùng phương pháp cộng phương pháp biến đổi dạng tam giác c) Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình: x + y + z =  2 x + y − z = 3 x + y + z = 10  Giải: x + y + z = 3x + y =   Ta có  x + y − z = ⇔ 2 x + y = 3 x + y + z = 10 x + y + z =   x = x =   ⇔ 2 x + y = ⇔  y = x + y + z = z =   Áp dụng: Giải hệ phương trình sau: 2 x + y − z =  1) 3 x + y + z = 14 2,1,3 x − 5y + z =   x + y + z = 11  2)  x + y + z = 20 3 x − y − z = −1  3, 2, x + 3y + z =  3)  x − y + z = −1 3 x − y − z =  2, 2, −1 3.Hệ đối xứng loại I:  f ( x, y ) = a)Dạng:  với f ( y , x ) = f ( x, y ) g ( y, x ) = g ( x, y )  g ( x, y ) = b)Cách giải  p = xy Biến đổi hệ phương trình xuất x + y xy đặt ẩn phụ  s = x + y điều kiện s − p ≥ trực tiếp để giải c)Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình: 2  x y + xy = 30 (I)  3  x + y = 35 Giải: Ta có 2  xy ( x + y ) = 30  x y + xy = 30 ⇔   3  x + y = 35 ( x + y ) − xy ( x + y ) = 35  x =   xy ( x + y ) = 30 x + y = y = ⇔ ⇔ ⇔  x =  xy = ( x + y ) = 125    y = Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + xy + y = −3  2  x + xy + y = Giải 2 ( x + y ) + xy = −3 2 ( x + y ) + xy = −3  x + xy + y = −3 ⇔ ⇔ Ta có   2 x + y − xy = ( )  x + xy + y =  ( x + y ) + 2( x + y ) =   x =    y = −  x + y =  2 ( x + y ) + xy = −3  xy = −   x = −   ⇔  x + y = ⇔ ⇔    x + y = −2  x + y = −2  y =       xy =   x = −1   y = −1  Bài 3: Giải hệ phương trình: 1  x + y + x + y =    x2 + y2 + + =  x2 y2 Giải Đk x ≠ 0; y ≠ Ta có 1  1  x+ y+ + = x + y + + =   x y x y   ⇔   x2 + y2 + + =  x + + y +  −  x +   y +  = ÷ ÷  ÷   x2 y2 x y x  y   1   x + =2 x + y + x + y = x = x   ⇔ ⇔ ⇔ y =1  x +   y +  = y + =  ÷  ÷ y   x  y Bài 4: Giải hệ phương trình:  x y − xy =  3  x − y = Giải  xy ( x − y ) =  x y − xy = ⇔ Ta có   3  x − y = ( x − y ) + xy ( x − y ) =   x = −1   xy ( x − y ) =  xy =   y = −2 ⇔ ⇔ ⇔   x − y =   x = ( x − y ) =    y = Hệ đối xứng loại II:  f ( x, y ) = a)Dạng:  với f ( y , x ) = g ( x, y ) g ( y, x ) = f ( x, y )  g ( x, y ) = b)Cách giải Lấy hai phương trình hệ trừ biến đổi phương trình dạng ( x − y ) f1 ( x, y ) = , kết hợp với hai phương trình hệ lập hệ phương trình giải tìm nghiệm c)Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình:  x − y + =   y − x + = Giải Ta có  x − y =  x − y + =  x − y + 3( x − y ) =  ( x − y ) ( x + y + 3) = ⇔ ⇔ ⇔  x + y + =   y − x + =  y − x + =   y − x + =  y − 3x + =  x = y  x = y  x =    y =1  y − y + =   y = 1; y = ⇔ ⇔ ⇔  x = x = − y − x = −y −3        y + 3( y + 3) + =   y + y + 11 = ( )   y = Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + x = y (II)   y + y = x Giải  x + x = y  x − y + 3( x − y ) = ( x − y )( x + xy + y + 3) = ⇔ ⇔ Ta có   y + y = x  y + y = x  y + y = x   x + xy + y + = 0(vn) x = y  x = ⇔  x − y = ⇔ ⇔ y = y + y =  y + y = x  Bài 3: Giải hệ phương trình:  x2 +  y = 3x    y + = 3y  x Giải Đk: x ≠ 0; y ≠  x2 + 2  y = 3x  x + = xy   x − y = xy ( y − x ) ( x − y ) ( x + y + 3xy ) = ⇔ ⇔ ⇔ Ta có     2 2  y + = 3x y  y + = 3y  y + = x y  y + = x y  x  x = y  x − y =  x − y =   2   3 y − y − =  y + = 3x y  ⇔  x + y + 3xy = ⇔  ⇔ x + y + xy = x + y + xy =   2     y + = 3x y   y + = − x ( x + y )   y + = x y    x = y  x = y  ( y − 1) ( y + y + ) = x =  ⇔ ⇔  y − = ⇔ y =1  3 y + y + = (vn)   x + y + 3xy =     x + xy + y + = (vn)  5.Hệ đẳng cấp bậc hai :  a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ( 1) a)Dạng :  (I)  a2 x + b2 xy + c2 y = d ( ) b)Cách giải 2 2 Từ (1) (2) suy d1 a2 x + b2 xy + c2 y = d a2 x + b2 xy + c2 y biến đổi rút gọn dạng ( ) ( ) ax + bxy + cy = (3) Kiểm tra y = có thỏa mãn hệ (I) hay không (hoặc x = ) x Xét y ≠ , chia hai vế (3) cho y đặt t = ta phương trình at + bt + c = giải tìm t, biểu diễn y x theo y (hoặc ngược lại) kết hợp với hai phương trình hệ lập hệ phương trinh giải tìm nghiệm y (Tương tự xét x ≠ , chia hai vế (3) cho x đặt t = ) x Nhận xét: Ta xem phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn x (y tham số) c)Bài tập Bài 1: Gải hệ phương trình:  x + xy − y = ( 1) (I)  2  x − xy − y = ( ) Giải 2 2 Từ (1) (2) suy x + xy − y = x − xy − y ⇔ 16 x − 29 xy − y = (3) ( ) ( ) x x ⇔ 16  ÷ − 29 − = ( y = không thỏa hệ (I)) y  y x x = 2y y =2  ⇔ ⇔ x = − y x 16   y = − 16  x = y x = y ⇔ *Với x = y kết hợp vơi (1) ta có hệ pt:  2  x + xy − y = y =1  x =  x = y y =1 ⇔ ⇔   x = −2  y = ±1    y = −1 *Với x = − y kết hợp vơi (1) ta có hệ pt: 16 Vậy hệ (I) có hai nghiệm ( 2;1) ; ( −2; −1)  x = − y 16 ( vô nghiệm)   x + xy − y =  Áp dụng: Giải hệ phương trình sau 3 x + xy − y = 38 1)  2 5 x − xy − y = 15  x − xy + y = 2)  2  x − 13 xy + 15 y = 6 x − 19 xy + 15 y = 3)  2 5 x + 15 xy − 31 y = 2   x + xy − y = 4)  2  2 x − xy + y = III Một số cách giải hệ phương trình không mẫu mực: 1)Phương pháp đặt ẩn phụ: Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  x − y − x − y = (1)   x + y + − y = x x − y ≥ x ≥ y ⇔ Đk:  (*) x + y + ≥  y ≥ −1 u = x − y (u ≥ 0; v ≥ 0)  Đặt v = x + y + ⇒ x + y = v2 −  u =  u =   u − u =  u = v = ⇔ ⇔ Hệ (1) trở thành   u = v − v − =  v =    v = −1 ( l )  v =   x − y = x = y x = ⇔ ⇔ thỏa( *)   x + y + = 2 y + =  y =  x= x − y =1   u = x = y +1   ⇔ ⇔ *Với  ta có:  thỏa( *) v = 2 y + =   x + y + =  y =  3 1 Vậy hệ (1) có nghiệm ( 1;1) ;  ; ÷ 2 2 u + v − − ( u − 1) ( v − 1) =  u + v − 2uv − uv + 2uv − u + v + = ( ) ( ) ( ) ⇔  u + v = u + v = Bài 2: Giải hệ phương trình: u = *Với  ta có: v =  x + y − xy = (2)   x + + y + = Giải  x ≥ −1  Đk:  y ≥ −1  xy ≥  2 u = x +  xy = ( u − 1) ( v − 1) ( u ≥ 0; v ≥ ) ⇒  Đặt  2 v = y +  x + y = u + v − Khi (2) trở thành 11 − 2uv ≥  uv + 2uv − 15 = 11 − 2uv  2 ( ) ⇔ ⇔ ( uv ) + 2uv − 15 = ( 11 − 2uv ) u + v = u + v =  11  ≤ uv ≤  11   0 ≤ uv ≤  uv =   x + = uv = u = x =  ⇔ 3 ( uv ) − 46uv + 136 = ⇔  ⇔ ⇔ ( n) ⇒  ⇔ 34 u + v = v = y =  y + = u + v =  uv = (l )    u + v =  x = Vậy hệ (2) có nghiệm  y = *Nhận xét:  x ≥ −1  Đk:  y ≥ −1  xy ≥   x + y − xy =  x + y − xy =  x + y − xy = ⇔ ⇔ Ta có  (3)  x + + y + =  x + y + ( x + 1) ( y + 1) − 14 =  x + y + xy + x + y + − 14 = u = x + y ⇒ xy = v Đặt  v = xy (v ≥ 0) Hệ (3) trở thành u = v + u − v = u = v +  ⇔ ⇔   11 − v ≥ 2 u + v + u + − 14 = 2 v + v + = 11 − v  2 4 ( v + v + ) = ( 11 − v )    u = v + u = v + u =   ⇔ 0 ≤ v ≤ 11 ⇔ 0 ≤ v ≤ 11 ⇔  v = 3v + 26v − 105 =   v = n ( )    35 v = − ( l )    x + y = x = − y x =  x = − y ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ y = y − 6y + = ( − y ) y =  xy = x = Vậy hệ (2) có nghiệm  y = Bài 3: Giải hệ phương trình:   x + y + x y + xy + xy = − (1)   x + y + xy ( + x ) = −  Giải 5   ( x + y ) − ( x + y ) ( xy + 1) = x + y + x y + xy + xy = − x + y xy + + xy = − ( ) ( )  ⇔  4⇔ Ta có     x + y + xy ( + x ) = − ( x + y ) + xy = − ( x + y ) + xy = −    4  x2 + y =   x2 + y = 2  ( x + y ) + xy = − ( ) ( x + y ) ( x + y − xy − 1) =       x + y − xy − = ⇔ ⇔ ⇔   2 ( x + y ) + xy = −    x + y − xy − = x + y + xy = −  ) (  ( 3)  ( x + y ) + xy = −  10  x=3  x2 + y =    x =  ⇔ *Ta có (2) ⇔  ⇔  xy = −  y = − x2  y = − 25    16   x + y − xy − = xy = −   xy = −3   ⇔ ⇔ *Ta có (3) ⇔  2  x + xy = − x ( x ≠ 0) ( x + y ) + x + y + =  x + y = −    xy = −3 x =  xy = −3 2 xy = −3   x − = ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ 2 x + x − =   x + x + = (vn)  y = − ( x − 1) ( x + x + 3) =   25  3  Vậy hệ (1) có hai nghiệm  ; − ;  1; − ÷ ÷ ÷ 16  2   *Nhận xét:  ( x + y ) ( xy + 1) + xy = − u = x + y Sau biến đổi hệ (1) hệ  ta đặt ẩn phụ  v = xy ( x + y ) + xy = −   u ( v + 1) + v = − Khi ta hệ phương trình  giải tìm u, v từ suy nghiệm x, y u + v = −  Bài 4: Giải hệ phương trình: 1 + xy + ( xy ) = 13 y (1)  1 + x + xy = y Giải Ta có y= không thỏa hệ (1),   x 1 x  y + y + x = 13  y + x ÷ − y = 13    ⇔  (1) ⇔  (2) x 1   + +x=7 x  y y  y = − y + x÷     u = y + x  Đặt  đk: u − 4v ≥ x v =  y  u = −5 (l )  u = −   v = 12 u − v = 13 u + u − 20 =   ⇔ ⇔  u = ⇔  Khi (2) trở thành   u = v = − u v = − u   v = − u    v = 11  x = x = 3y 1  +x=4    y = x = 3y u = y  y = ⇔ ⇔  ⇔   Vói  ta có  x y − y + =  v =   =3  y =   x =    y   y =  1 Vậy hệ phương trình (1) có nghiệm ( 3;1) ; 1; ÷  3 Bài 5: Giải hệ phương trình: ( x + y − ) ( x + 1) = y (1)   x + + y ( x + y ) = y Giải   x2 +  x + y − ( )   ÷= y    Ta thấy y= không thỏa hệ (1), đo :(1) ⇔  (2)  x +1 + x + y − = ( )  y  u = x + y − uv = u =  ⇔ Đặt  x + , (2) trở thành ⇔  u + v = v = v = y   x =  x = x + y − =     x + x − =  y = x = − ⇒  x +1 ⇔ ⇔ ⇔    x = −2  y = x +  y =1    y = x +  y =   Vậy hệ phương trình (1) có nghiệm ( 1; ) ; ( −2;5 ) Bài 6: Giải hệ phương trình:  1  x + + y + =2 x y    + = −1  x + y xy HD: 2 (1) ⇔ ( x + ) − + ( y + ) − = x y x+ y 1 = −( x + y ) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = −6 (2) ⇔ + xy x y 12  a + b = −6 Ta có  2  a − + b − = Bài 7: Giải hệ phương trình:  y ( x − 7) + x + =  2  21y − x = ( xy + 1) ( 1) ( 2) ( I) HD Ta thấy y = không thỏa (I) Lần lượt chia (1) cho y chia (2) cho y ta hệ :  1 x  x + ÷+ = y y   2 x  ( x + y ) +  y ÷ = 21     u = x + y u + v =  Đặt  ta hpt  2 u + v = 21 v = x  y Bài 8: Giải hệ phương trình: 2  x + y + xy + = y  2  y ( x + y ) = x + y + ( 1) ( I) ( 2) HD: 2  x + = − y − xy + y  x + = − y − xy + y ⇔ Ta có ( I ) ⇔  (II) 2 2  y ( x + y ) = ( x + 1) + y  y ( x + y ) = −2 y − xy + 15 y Ta thấy y = không thỏa (II) Chia vế phương trình hệ (II) ta hệ phương trình :  x2 + 2 = − ( x + y)  x +1  x +1  = −y − x +  y = − ( x + y)   y ⇔ ⇔  y ( x + y ) = −2 y − x + 15 ( x + y ) + ( x + y ) − 15 =   x + y = −3     x + y =    x + y = −3   x + =   y ⇔ Giải hệ phương trình tìm nghiệm kết luận  x + y =    x + = −1   y Bài 9: Giải hệ phương trình: (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6(2 x − y ) =   2 x + x − y = − y  HD: 13 (2 x + y ) − 5(4 x − y ) + 6(2 x − y ) = (2 x + y ) − 5(2 x + y )(2 x − y ) + 6(2 x − y ) =   ⇔ 1  2 x + x − y = − y 2 x + y + x − y =   u − 5uv + 6v = u = x + y Đặt  ta hpt  v = x − y u + v = Tương tự giải hệ phương trình:  x + y + x + y = 1)   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = ( x + y ) ( x − y ) = 13  2)  2 ( x − y ) ( x + y ) = 25 3 x + y = 3)   x + y + − x + y =  x + xy + x − =  4)  ( x + y ) − + = x   x + y = 5)   x + + y + = 10 2)Sử dụng phương pháp hàm số * Cơ sở phương pháp Nếu f ( x ) đơn điệu khoảng (a; b) x, y ∈ (a; b) : f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Bài :Giải hệ phương trình sau: 3 (1)  x − x = y − y  2 (2)  x + y = Giải 2 Từ (2) ta có x + y = ⇒ x, y ∈ [ −1;1] ' Hàm số f (t ) = t − 3t có f '(t ) = 3t − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1;1] ; f (t ) = ⇔ t = ±1 ⇒ f (t ) = t − 3t nghịch biến đoạn [ −1;1] Với x, y ∈ [ −1;1] , ta có (1) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y vào pt (2) ta x = y = ±  2  2 ; ;− Vậy hệ pt có hai nghiệm  ÷;  − ÷   2   14 Bài : Giải hệ phương trình sau:  x3 = −3 x + y ( y + 3)  2  y ( y + 1) + x + y + x + − = (1) (2) (I) Giải Đk : x ≥ PT (1) ⇔ x3 + 3x = y + y Xét hàm f (t ) = t + 3t Ta có f ' (t ) = 3t + > ∀t ∈ R ⇒ f (t ) = t + 3t đồng biến R Từ (1) suy f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào (2) ta x + x + x + x + x + − = (3) Ta có x = không thỏa (3) ; x = thỏa (3) Xét hàm số f ( x ) = x + x + x + x + x + − ( 0; +∞ ) ' Ta có f ( x ) = x + + + 2x +1 x2 + x + ⇒ f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ⇒ (3) có nghiệm x = ⇒ y = x = Vậy hpt (I) có nghiệm  y =1 x > ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Bài Giải hệ phương trình sau:  x − x = ( y − 1)3 − 9( y − 1)  1 + x − = y − (1) (2) HD: Từ điều kiện từ phương trình (2) có x ≥ 1; y − ≥ (1) ⇔ x − 3x = ( y − 1)3 − y − , xét hàm số f (t ) = t − 3t [1; +∞) Hàm số đồng biến [1; +∞) , ta có f ( x) = f ( y − 1) ⇒ x = y − x = x = , Với x = y − thay vào (2) giải x = 1; x = ⇒  y = y = Bài Giải hệ phương trình sau:  x − x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  ( 1) ( 2) HD 2 Ta có (2) ⇔ ( x − ) + ( y + ) = 2 1   −1 ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ ⇒ ⇔  −1 ≤ y − ≤  − ≤ y − ≤ 2   15 Ta có (1) ⇔ ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1) nên xét f (t ) = t − 12t [ Chỉ f(t) nghịch biến Có f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇒ x − = y + 1 −3 −1 - Nghiệm ( x; y ) = ( ; ); ( ; ) 2 2 Bài Giải hệ phương trình sau: −3 ; ] 2  x − y + y − x − =  2  x + − x − y − y + m = HD - Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ (1) ⇔ x − x = ( y − 1)3 − 3( y − 1) - Hàm số f (t ) = t − 3t nghịch biến đoạn [−1;1] x, y − ∈ [ −1;1] nên f ( x) = f ( y − 1) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thế vào pt (2) ta x − − x = − m (3) Hệ có nghiệm ⇔ Pt (3) có nghiệm x ∈ [ −1;1]   2 Xét g ( x) = x − − x , x ∈ [ −1;1] , g '( x) = x 1 + ÷ − x2   g '( x) = ⇔ x = g (0) = −2, g (±1) = Pt (3) có nghiệm x ∈ [ −1;1] ⇔ −2 ≤ − m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Bài Giải hệ phương trình sau:  x5 + xy = y10 + y   x + + y + = (1) ( 2) (I) HD: Thay y = vào hệ (I) ta thấy không thỏa mãn x x ⇒ y ≠ , chia vế (1) cho y ta ( )5 + = y + y (3) y y Xét hàm số f (t ) = t + t , ( t ∈ R) ⇒ f '(t ) = 5t + > nên hàm số đồng biến R x x Từ (3) suy f ( ) = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y y y Thay vào (2) ta có PT x + + x + = ⇒ x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Bài Giải hệ phương trình sau:  x − y = ( y − x)( xy + 2)  2  x + y = HD Thay = x + y vào phương trình thứ ta 16 x − y = ( y − x)( xy + x + y ) ⇔ x − y = y − x3 ⇔ x + x = y + y (1) Xét hàm số f (t ) = 2t + t , t ∈ ¡ Ta có f '(t ) = 2t ln + 3t > 0, ∀t ∈ ¡ suy f (t ) đồng biến ¡ (1) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y vào pt thứ hai ta x = Giải tìm x , suy y kết luận nghiệm hệ phương trình Tương tự giải hệ phương trình:  x − y = y − x 1)  2  x + xy + y =  x + x − = y + y + y 3)   x + y + = 1  x − = y − x y 5)  ( x − y )(2 x − y + 4) = −36   x − y = x − y 2)   x + y = 1  x − x = y − y 4)  2 y = x3 +  (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = 6)  2  x + y + − x = Trên sơ lược hệ thống dạng hệ phương trình cách giải.Hai cách giải hệ phương trình không mẫu mực phổ biến phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hàm số.Ngoài có phương pháp đánh giá chưa giới thiệu đây.Mặc dù cố gắng viết nhiều hạn chế, mong quý đồng nghiệp góp ý bổ sung để hoàn thiện chuyên đề năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn! Phước Long ngày 25 tháng 02 năm 2015 Lưu Quí Hiền 17 Mẫu 02 HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Đơn vị: TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Trang cuối SKKN) Kết chấm điểm: /100 điểm a) Về nội dung: - Tính mới: ./30 điểm - Tính hiệu quả: ./35 điểm - Tính ứng dụng thực tiễn: ./20 điểm - Tính khoa học: ./10 điểm b) Về hình thức: ./05 điểm Xếp loại: Phước Long, ngày tháng năm 2015 HIỆU TRƯỞNG 18 HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Đơn vị: THPT VÕ VĂN KIỆT PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Trang cuối SKKN) Kết chấm điểm: /100 điểm a) Về nội dung: - Tính mới: ./30 điểm - Tính hiệu quả: ./35 điểm - Tính ứng dụng thực tiễn: ./20 điểm - Tính khoa học: ./10 điểm b) Về hình thức: ./05 điểm Xếp loại: Bạc Liêu, ngày tháng năm 20 CHỦ TỊCH HĐKH 19 [...]... y = x3 + 1  (4 x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 6)  2 2  4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 Trên đây là sơ lược hệ thống các dạng hệ phương trình và cách giải.Hai cách giải hệ phương trình không mẫu mực phổ biến là phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số.Ngoài ra còn có phương pháp đánh giá chưa được giới thiệu ở đây.Mặc dù đã cố gắng nhưng bài viết chắc còn nhiều hạn chế, rất mong quý đồng nghiệp... v = x  y Bài 8: Giải hệ phương trình: 2 2  x + y + xy + 1 = 4 y  2 2  y ( x + y ) = 2 x + 7 y + 2 ( 1) ( I) ( 2) HD: 2 2  x 2 + 1 = − y 2 − xy + 4 y  x + 1 = − y − xy + 4 y ⇔ Ta có ( I ) ⇔  (II) 2 2 2 2  y ( x + y ) = 2 ( x + 1) + 7 y  y ( x + y ) = −2 y − 2 xy + 15 y Ta thấy y = 0 không thỏa (II) Chia 2 vế của các phương trình trong hệ (II) ta được hệ phương trình :  x2 + 1 2 2... u + v = 3 Tương tự giải các hệ phương trình:  x 2 + y 2 + x + y = 4 1)   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 ( x 2 + y 2 ) ( x − y ) = 13  2)  2 2 ( x − y ) ( x + y ) = 25 3 x + 2 y = 4 3)   2 x + y + 1 − x + y = 1  x 2 + xy + x − 3 = 0  4)  5 2 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 x   x + y = 8 5)  2 2  x + 9 + y + 9 = 10 2)Sử dụng phương pháp hàm số * Cơ sở phương pháp Nếu f ( x ) đơn điệu... hệ phương trình sau:  x 3 − 3 x = ( y − 1)3 − 9( y − 1)  1 + x − 1 = y − 1 (1) (2) HD: Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x ≥ 1; y − 1 ≥ 1 (1) ⇔ x 3 − 3x = ( y − 1)3 − 3 y − 1 , xét hàm số f (t ) = t 3 − 3t trên [1; +∞) Hàm số đồng biến trên [1; +∞) , ta có f ( x) = f ( y − 1) ⇒ x = y − 1 x = 1 x = 2 , Với x = y − 1 thay vào (2) giải được x = 1; x = 2 ⇒  y = 2 y = 5 Bài 4 Giải hệ phương. .. 2   y = x + 1  y = 5   Vậy hệ phương trình (1) có 2 nghiệm ( 1; 2 ) ; ( −2;5 ) Bài 6: Giải hệ phương trình:  2 1 1 2  x + 2 + y + 2 =2 7 x y    6 + 1 = −1  x + y xy HD: 1 2 1 2 (1) ⇔ ( x + ) − 2 + ( y + ) − 2 = 2 7 x y x+ y 1 1 = −( x + y ) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = −6 (2) ⇔ 6 + xy x y 12  a + b = −6 Ta có  2 2  a − 2 + b − 2 = 2 7 Bài 7: Giải hệ phương trình:  y ( x − 7) + x + 1 =... TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Trang cuối của SKKN) 1 Kết quả chấm điểm: /100 điểm a) Về nội dung: - Tính mới: ./30 điểm - Tính hiệu quả: ./35 điểm - Tính ứng dụng thực tiễn: ./20 điểm - Tính khoa học: ./10 điểm b) Về hình thức: ./05 điểm 2 Xếp loại: Phước Long, ngày tháng năm 2015 HIỆU TRƯỞNG 18 HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Đơn vị: THPT. .. +x=4    y = 1 x = 3y u = 4 y  y = 1 ⇔ 2 ⇔  ⇔   3 Vói  ta có  x 3 y − 4 y + 1 = 0  1 v = 3   =3  y =   x = 3   3  y   y = 1  1 Vậy hệ phương trình (1) có 2 nghiệm ( 3;1) ; 1; ÷  3 Bài 5: Giải hệ phương trình: ( x + y − 2 ) ( x 2 + 1) = y (1)  2  x + 1 + y ( x + y ) = 4 y Giải   x2 + 1  x + y − 2 ( )   ÷= 1 y    Ta thấy y= 0 không thỏa hệ (1), đo đó... x x 2 Từ (3) suy ra f ( ) = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y y y Thay vào (2) ta có PT 4 x + 5 + x + 8 = 6 ⇒ x = 1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) Bài 7 Giải hệ phương trình sau:  2 x − 2 y = ( y − x)( xy + 2)  2 2  x + y = 2 HD Thay 2 = x 2 + y 2 vào phương trình thứ nhất ta được 16 2 x − 2 y = ( y − x)( xy + x 2 + y 2 ) ⇔ 2 x − 2 y = y 3 − x3 ⇔ 2 x + x 3 = 2 y + y 3 (1) Xét hàm số f (t ) = 2t + t 3 ,... có f '(t ) = 2t ln 2 + 3t 2 > 0, ∀t ∈ ¡ suy ra f (t ) đồng biến trên ¡ (1) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y thế vào pt thứ hai ta được x 2 = 1 Giải tìm x , suy ra y và kết luận nghiệm của hệ phương trình Tương tự giải hệ phương trình:  x 3 − y 3 = y − x 1)  2 2  x + xy + y = 1  x 3 + x − 2 = y 3 + 3 y 2 + 4 y 3)  5 3  x + y + 1 = 0 1 1  x − 3 = y − 3 x y 5)  ( x − 4 y )(2 x − y + 4) = −36 ... y ) 2 = −2 y − 2 x + 15 ( x + y ) 2 + 2 ( x + y ) − 15 = 0   x + y = −3     x + y = 5    x + y = −3  2  x + 1 = 7   y ⇔ Giải các hệ phương trình mới tìm nghiệm và kết luận  x + y = 5  2   x + 1 = −1   y Bài 9: Giải hệ phương trình: (2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0  1  2 x + 2 x − y = 3 − y  HD: 13 (2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 =