Phương trình toán lý và cơ sở toán ứng dụng Lê Xuân Đại

PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2015 PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 1/1 Giới thiệu môn học Nội dung môn học Nội dung môn học Môn học trang bị cho sinh viên kiến thức phương trình tốn lý sở tốn ứng dụng Mơn học giúp sinh viên hiểu vai trị ứng dụng phương trình tốn lý ngành khoa học sống Kết thúc môn học sinh viên biết ứng dụng mơ hình phương trình tốn lý đơn giản cho toán chuyên ngành TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 2/1 Giới thiệu môn học Nội dung môn học Nội dung bao gồm chương sau: Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai Bài tốn Cauchy phương trình sóng Chuỗi Fourier ứng dụng Phương pháp tách biến Bài toán biên ứng dụng Bài toán biên cấp cao Hàm Green tốn biên Phương pháp biến đổi tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 3/1 Giới thiệu môn học Nhiệm vụ sinh viên Nhiệm vụ sinh viên Đi học đầy đủ (nếu vắng phân nửa số buổi học học kỳ, giáo viên có quyền đề nghị cấm thi) Tham dự giảng lớp làm tất tập Đọc trước đến lớp Nghiên cứu phần mềm tính tốn MatLab để tính tốn mơ TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 4/1 Giới thiệu môn học Phương pháp đánh giá Phương pháp đánh giá Thi kỳ tự luận - 40% Thi viết tự luận cuối kỳ (90 phút) - 60% TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 5/1 Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Thiện Phương trình tốn lý NXB GIÁO DỤC VIỆT NAM (2010) Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực Phương pháp toán cho vật lý, tập NXB ĐHQG HÀ NỘI (2007) Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa Phương pháp toán cho vật lý, tập NXB ĐHQG HÀ NỘI (2008) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 6/1 Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Kim Đính Phép biến đổi Laplace NXB ĐHQG TPHCM (2011) Đặng Đình Áng Biến đổi tích phân NXB GIÁO DỤC VIỆT NAM (2009) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers Birkhauser, Boston, Basel, Berlin (2007) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 7/1 Những kiến thức Định nghĩa Định nghĩa Phương trình đạo hàm riêng phương trình có dạng F (x, y , , u, ux , uy , , uxx , uxy , ) = 0, (1) F −là hàm nhiều biến với biến số x, y , , u, ux , uy , , uxx , uxy , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 8/1 Những kiến thức Định nghĩa Ta phải tìm hàm số u(x, y , ) cho phương trình (1) đồng thức theo biến này, ta thay u(x, y , ) đạo hàm riêng vào phương trình ∂u ∂u , uy = , ux = ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u uxx = , uxy = , ∂x ∂x∂y Lúc hàm số u(x, y , ) gọi nghiệm phương trình đạo hàm riêng (1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 9/1 Những kiến thức Định nghĩa Chúng ta khơng tìm nghiệm riêng lẻ mà nghiên cứu tập hợp nghiệm, trường hợp riêng chọn nghiệm riêng với điều kiện bổ sung vào phương trình (1) Phương trình đạo hàm riêng (1) trở thành phương trình vi phân thơng thường, có biến số Cấp đạo hàm cao phương trình vi phân, gọi cấp phương trình vi phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 10 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Hyperbolic Đối với phương trình Hyperbolic B − AC > nên ta có đường cong tích phân ξ(x, y ) η(x, y ) a11 = a22 = Lúc phương trình thu có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) Đây dạng tắc thứ phương trình loại Hyperbolic Nếu đổi biến thêm lần ξ+η ξ−η α= ,β= , ta uξ = (uα + uβ ), 2 1 uη = (uα − uβ ), uξη = (uαα − uββ ) Vậy uαα − uββ = 4Φ1 Đây dạng tắc thứ hai phương trình loại Hyperbolic TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 21 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Parabolic Đối với phương trình Parabolic B − AC = nên ta có đường cong tích phân ξ(x, y ) a√ = A(ξ√2 + 2Bξx ξy + C (ξy )2 = 11 x) ( Aξx + C ξy )2 = Từ suy a√ = Aξx√ + B(ξx ηy + ξy ηx ) + C ξy ηy = ηx 12 √ √ ( Aξx + C ξy )( Aηx + C ηy ) = Lúc phương trình thu có dạng uηη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) Đây dạng tắc phương trình loại Parabolic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 22 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Phương trình loại Elliptic Đối với phương trình Elliptic B − AC < nên ta có đường cong tích phân phức ξ(x, y ) = ϕ(x, y ) η(x, y ) = ϕ(x, y ) a11 = a22 = Lúc phương trình thu có dạng uξη = Φ(ξ, η, uξ , uη ) giống phương trình loại Hyperbolic Để khơng gặp biến ξ+η phức, ta đổi biến thêm lần α = , ξ−η β= , ta uξη = (uαα + uββ ) Vậy 2i uαα + uββ = 4Φ1 Đây dạng tắc phương trình loại Elliptic TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 23 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ Ví dụ Đưa phương trình sau dạng tắc x 2uxx − y 2uyy = A = x 2, B = 0, C = −y B − AC = x 2y > Đây phương trình thuộc dạng Hyperbolic Phương trình đặc trưng x 2(dy )2 − y 2(dx)2 = ⇒ xy = C1 xdy + ydx = y ⇔ = C2 xdy − ydx = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 24 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ y Thực phép đổi biến ξ = xy , η = Khi ta y x có ux = uξ ξx + uη ηx = uξ y − uη , x uy = uξ ξy + uη ηy = uξ x + uη x uxx = (ux )x = ∂ 2u ∂ 2u y ∂ 2u y ∂u y y −2 + + ∂ξ ∂ξ∂η x ∂η x ∂η x 2 ∂ u ∂ u ∂ 2u + uyy = (uy )y = x + ∂ξ ∂ξ∂η ∂η x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 25 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ Thay giá trị đạo hàm riêng vào phương trình ban đầu, ta ∂u y ∂ 2u y ∂ 2u y 2 ∂ u y −2 + + − x ∂ξ ∂ξ∂η x ∂η x ∂η x 2 ∂ u ∂ u ∂ u x +2 + 2 = ⇔ y2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η x ∂ u ∂u y ∂ 2u ∂u −4 y +2 =0⇔ − = ∂ξ∂η ∂η x ∂ξ∂η 2ξ ∂η TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 26 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ Ví dụ Đưa phương trình sau dạng tắc ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u sin x − 2y sin x +y = ∂x ∂x∂y ∂y Phương trình đặc trưng sin2 x(dy )2 + 2y sin xdxdy + y 2(dx)2 = ⇒ x y tan = C đường cong tích phân đặc trưng x Thực phép đổi biến ξ = y tan , η = y (hàm 2 ∂ u ∂u tùy ý), ta y = sin x ∂ η ∂ξ TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 27 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ tan x x ξ tan = nên Vì sin x = + tan2 x η 2ξη sin x = Vậy phương trình dạng ξ + η2 tắc ∂ 2u 2ξ ∂u = ∂η ξ + η ∂ξ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 28 / Đưa PTĐHR cấp dạng tắc Ví dụ Ví dụ Đưa phương trình sau dạng tắc ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −2 + 2 = ∂x ∂x∂y ∂y Phương trình đặc trưng (dy )2 + 2dxdy + 2(dx)2 = ⇒ dy = (−1 ± i)dx ⇒ y + x − ix = C1, y + x + ix = C2 đường cong tích phân đặc trưng Thực phép đổi biến ξ = y + x, η = x, ta ∂ 2u ∂ 2u + = ∂ 2ξ ∂η TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 29 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Định nghĩa Định nghĩa Nghiệm PTVPĐHR miền D không gian biến độc lập hàm số có tất đạo hàm riêng chứa phương trình thỏa mãn phương trình điểm D Nói chung, PTVPĐHR có tập nghiệm rộng Đối với phương trình tuyến tính u1, u2 nghiệm c1u1 + c2u2, c1, c2 ∈ R nghiệm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 30 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Ví dụ ∂u = với hàm chưa biết ∂x u(x, y ) có nghiệm u(x, y ) = x + ϕ(y ) với ϕ(y ) hàm Ví dụ Các hàm u = x − y u = e x cos y nghiệm phương trình Laplace ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x ∂y Ví dụ Phương trình TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 31 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Điều kiện đầu, điều kiện biên Trong tập nghiệm PTĐHR, để xác định nghiệm cần phải đưa thêm điều kiện Giả sử hàm cần tìm u(x, t) với t thời gian Khi điều kiện u(x, 0) = f (x) với f (x) hàm cho trước gọi điều kiện đầu TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 32 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Điều kiện đầu, điều kiện biên Giả sử hàm cần tìm u(x, y ) cho biết số kiện biên γ miền D ví dụ u(x, y ) |γ = f (x, y ), có nghĩa u(x, y ) = f (x, y ), ∀(x, y ) ∈ γ, điều kiện gọi điều kiện biên Dirichlet TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 33 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Điều kiện đầu, điều kiện biên Còn biên γ biết đạo hàm theo hướng véc − tơ pháp tuyến → biên γ n ∂u − |γ = g (x, y ) ∂→ n → − → − − có nghĩa → = n1 i + n2 j n ∂u − = ux n1 + uy n2 = g (x, y ), ∀(x, y ) ∈ γ Lúc ∂→ n điều kiện gọi điều kiện biên Neuman TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 34 / Những khái niệm chung tập hợp nghiệm Điều kiện đầu, điều kiện biên THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TỐN LÝ VÀ CƠ SỞ TỐN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 35 / ... Hùng, Lê Văn Trực Phương pháp toán cho vật lý, tập NXB ĐHQG HÀ NỘI (2007) Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa Phương pháp toán cho vật lý, tập NXB ĐHQG HÀ NỘI (2008) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG... sung vào phương trình (1) Phương trình đạo hàm riêng (1) trở thành phương trình vi phân thơng thường, có biến số Cấp đạo hàm cao phương trình vi phân, gọi cấp phương trình vi phân TS Lê Xuân Đại... g = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNG HCM — 2015 TP 14 / Những kiến thức Ví dụ ∂ 2u ∂ 2u Phương trình Laplace + = ∂x ∂y phương trình eliptic ∂u 2∂ u Phương