LÝ THUYẾT VÀ BÀI tập NGUYÊN HÀM

§1 NGUYÊN HÀM Câu hỏi bình thường '' ngun hàm gì? '' chưa có cách giải đáp thỏa đáng mặt ý nghĩa, đa phần '' buộc '' định nghĩa ngun hàm cơng thức, khái niệm tốn học Trong làm quen với khái niệm ngun hàm Đây khái niệm bản, quan trọng giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Bài tốn ngun hàm tốn ngược với tốn đạo hàm Việc tìm ngun hàm hàm số thường đưa tìm ngun hàm hàm số đơn giản MỤC TIÊU Kiến thức - Hiểu định nghĩa ngun hàm hàm số K , phân biệt rõ ngun hàm với họ ngun hàm hàm số - Biết tính chất ngun hàm Kỹ - Tìm ngun hàm số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng ngun hàm tính chất ngun hàm A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Cho hàm số f ( x ) xác định khoảng K Hàm số F ( x ) gọi ngun hàm hàm số f ( x ) F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Nhận xét Nếu F ( x ) ngun hàm f ( x ) F ( x ) + C , (C ∈ ℝ ) ngun hàm f ( x ) Ký hiệu: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Tính chất (∫ f ( x ) dx ) = f (x ) / ∫ a f ( x ) dx = a.∫ f ( x ) dx (a ∈ ℝ, a ≠ 0) ∫  f ( x ) ± g ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Bảng ngun hàm số hàm số thường gặp Bảng ngun hàm ∫ kdx = kx + C , k số x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x α dx = ∫ dx = ln x + C x ∫e ∫ x dx = e x + C a x dx = ax +C ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x ∫ sin x dx = tan x + C α +1 (ax + b ) ∫ (ax + b ) dx = a α + + C 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C a mx +n mx +n a d x = +C ∫ m.ln a ∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C ∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C 1 ∫ cos2 (ax + b ) dx = a tan (ax + b ) + C α ∫ sin dx = − cot x + C 1 dx = − cot (ax + b ) + C a (ax + b ) B VÍ DỤ MINH HỌA Bài a) Tính đạo hàm hàm số F ( x ) = sin x − x cos x + C , với C số b) Từ suy ∫ x sin xdx Lời giải / a) Ta có F ( x ) = (sin x ) − ( x ) cos x + x (cos x )      = cos x −  cos x + x (− sin x ) = x sin x b) Từ kết câu a theo định nghĩa ta suy F ( x ) ngun hàm / / / hàm số f ( x ) = x sin x Vậy ∫ x sin xdx = sin x − x cos x + C Bài a) Tính đạo hàm hàm số F ( x ) = ln x + x + + C , với C số b) Từ suy dx ∫ x +1 Lời giải a) Theo cơng thức (ln u ) = / / u , ta có F / u ( x + 1) (x + (x ) = = x +1 1+ = / x +1 + x x x +1 ) x + x +1 / x/ + x +1 = x +1 = x + x +1 x + x +1 x + x +1 x +1 b) Từ kết câu a theo định nghĩa ta suy F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) = Vậy ∫ x +1 dx x +1 2 = ln x + x + + C e x ; x ≥0 Bài Chứng minh hàm số F ( x ) =  ngun  x + x + ; x < e x ; x ≥0 hàm hàm số f ( x ) =  ℝ  2 x + ; x < Lời giải Để tính đạo hàm hàm số F ( x ) ta xét hai trường hợp sau: e x ; x >0 ● Với x ≠ , ta có F ' ( x ) =   2 x + ; x < ● Với x = , ta có ( x + x + 1) −(e ) F ( x ) − F (0 ) − F ' (0 ) = lim− = lim− = lim− ( x + 1) = 1; x →0 x →0 x →0 x −0 x x x F ( x ) − F (0 ) e −e e −1 F ' (0+ ) = lim+ = lim+ = lim+ = x →0 x → x → x −0 x x Ta có F ' (0− ) = F ' (0+ ) = nên suy F ' (0) = nghĩa hàm số F ( x ) có đạo hàm điểm x = e x ; x ≥0 Tóm lại F ' ( x ) =  = f (x ) 2 x + ; x < Vậy F ( x ) ngun hàm hàm số f ( x ) ℝ Bài Tìm ngun hàm hàm số F ( x ) = ∫ (2 x + 1) dx , biết F (1) = Lời giải x2 + x +C = x + x +C Mà F (1) = ⇔ 12 + + C = ⇔ C = Ta có F ( x ) = ∫ (2 x + 1) dx = Vậy F ( x ) = x + x + Bài Tìm số thực m để hàm số F ( x ) = mx + (3m + 2) x − x + ngun hàm hàm số f ( x ) = x + 10 x − Lời giải Cách Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ (3 x + 10 x − 4) dx = x + x − x + C m = m =  u cầu tốn ⇔ 3m + = ⇔   C = 3 = C Vậy m = giá trị cần tìm thỏa u cầu tốn Cách Ta có F ' ( x ) = (mx + (3m + 2) x − x + 3) / = 3mx + (3m + 2) x − Vì F ( x ) ngun hàm f ( x ) nên ta có F ' ( x ) = f ( x ), ∀x Do 3mx + (3m + 2) x − = x + 10 x − m = Đồng hệ số hai vế ta có  ⇔ m =1 2 (3m + 2) = 10  Bài Tìm ngun hàm hàm số sau: a) + 5x − 3x + x b) f ( x ) = 2x 3x − x 2 + 5x − f (x ) = x3 Lời giải a) Ta có Vậy ∫ ∫ f ( x ) dx = ∫ 3x − x  + 5x − 3 dx = ∫ 3 − + −  dx  x x x x    = ∫ 3 − + x −2 − x −3  dx = x − ln x − + + C   x x 2x f ( x ) dx = x − ln x − + + C x 2x b) Ta có ∫  1 + 5x − 3x + x x +  dx dx = ∫  + −  x 2x 2x 2x  1 x = ∫  x −3 + x −2 − +  dx  2 2x  f ( x ) dx = ∫ x2 − − ln x + + C x 2x x2 f ( x ) dx = − − − ln x + + C 4x 2x =− Vậy ∫ Bài Tìm ngun hàm sau: a) c) ∫ x2 + x x dx x b) ∫ ∫ x + x +1 dx x d) ∫ x x+ x dx x2 x− x x −1 dx Lời giải a) Ta có ∫  17  x2 + x x x2 + x  x + x 12  dx = x + 12 x 12 + C dx = dx =   ∫ ∫  17 x  x3 = Vậy ∫ b) Ta có Vậy x2 + x x x x 12 x 12 x d x = + +C 17 x ∫ ∫ x x 12 x 12 x + +C 17 − − x x+ x 1 dx = dx + dx = x dx + x ∫ x ∫x x ∫ ∫ dx x2 1 − = 2x − 2x +C = x − +C x x x+ x dx = x − +C x x 1 − x + x +1 x + x +1 c) Ta có ∫ dx = ∫ dx = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ x dx x x3 3 76 23 = x + x + x +C 7 x + x +1 3 6 23 Vậy ∫ dx = x + x + x +C x d) Ta có ∫ x− x x −1 dx = ∫ = Vậy x ( ) x −1 x −1 dx = ∫ xdx = ∫ x dx 45 4x x x +C = +C 5 x− x 45 4x x dx = x + C = +C 5 x −1 ∫ Bài Tìm ngun hàm hàm số sau: a) 1 − x  b) f ( x ) =   x     f ( x ) =  x −  + x    x  x a) Ta có ∫ Lời giải    f ( x ) dx = ∫  x −  + x  dx = ∫ (−1 + x − x −3 ) dx   x  x x4 = −x + + + C 2x x Vậy ∫ f ( x ) dx = −x + + + C 2x 2 1 − x       −1 dx =  − + 1 dx = − − ln x + x + C b) Ta có ∫  dx =  ∫ ∫     x   x  x   x x Vậy ∫ f ( x ) dx = − − ln x + x + C x Bài Tìm ngun hàm sau: x − x −1 a) ∫ dx 3x + a) Ta có ∫ x − x −1 dx = ∫ 3x + 2 =∫ b) ∫ x −1 dx x +1 Lời giải 3x + x − x − + dx 3x + x (3 x + ) − (3 x + 2) + dx 3x +   x2 = ∫  x − + dx = − x + ln x + + C    3x +  Vậy ∫ x − x −1 x2 dx = − x + ln x + + C 3x + 2  x −1 x +1− 2  = dx ∫ x +1 ∫ x +1 dx = ∫  x − x + 1− x +1 dx x3 x2 = − + x − ln x + + C 3 x −1 x x2 Vậy ∫ dx == − + x − ln x + + C x +1 b) Ta có Bài 10 Tìm ngun hàm sau: a) ∫ dx x − 5x − a) Ta có ∫ dx = ∫ x − 5x − = b) ∫ x dx x − 5x + Lời giải 1 ( x + 1) − ( x − 6) dx = ∫ dx ( x + 1)( x − 6) ( x + 1)( x − 6)  1  −  dx  ∫ x − x + 1 1 x −6 +C (ln x − − ln x + ) + C = ln 7 x +1 1 x −6 Vậy ∫ dx = ln + C x − 5x − x +1 ( x − 2) − ( x − 3) x b) Ta có ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx x − 5x + x −3 x −2 ( x − 2)( x − 3) = = 3∫ Vậy ∫ 1 dx − ∫ dx = ln x − − ln x − + C x −3 x −2 x dx = ln x − − ln x − + C x − 5x + Bài 11 Tìm ngun hàm sau: a) ∫ sin (2016 x + 2017)dx b) ∫ cos dx (2 x + 3) Lời giải a) Áp dụng cơng thức ∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C , ta có ∫ sin (2016 x + 2017)dx = − 2016 cos (2016 x + 2017) + C b) Áp dụng cơng thức ∫ cos ∫ cos 1 dx = tan (ax + b ) + C , ta a (ax + b ) 1 dx = tan (2 x + 3) + C (2 x + 3) Bài 12 Tìm ngun hàm sau: a) ∫ cos a) Ta có ∫ x dx b) ∫ (1 + sin x ) dx Lời giải + cos x dx = ∫ (1 + cos x ) dx cos xdx = ∫  sin x  =  x +  + C = x + sin x + C   ∫ cos xdx = x + sin x + C Ta có ∫ (1 + sin x ) dx = ∫ (1 + sin x + sin x ) dx Vậy b) 2 2  − cos x  = ∫ 1 + sin x +  dx = ∫ (3 + sin x − cos x ) dx   = x − cos x − sin x + C Vậy ∫ (1 + sin x ) dx = x − cos x − sin x + C Bài 13 Tìm ngun hàm sau: a) ∫ sin 3x cos 5xdx b) ∫ (8 cos 2 x −1) sin xdx Lời giải a) Ta có 1  cos x cos x  +  +C  ∫ sin 3x cos 5xdx = ∫ (sin x − sin x ) dx = −  cos x cos x  +  +C   + cos x 1 − cos x  b) Ta có ∫ (8 cos 2 x −1) sin xdx = ∫ 8 −1  dx    2 = ∫ (3 + cos x )(1 − cos x ) dx = ∫ (3 − 3cos x + cos x − cos x cos x )dx = ∫ (3 − 5cos x + cos x − cos x )dx x 5sin x sin x sin x = − + − + C x 5sin x sin x sin x Vậy ∫ (8 cos 2 x −1) sin xdx = − + − +C Vậy ∫ sin 3x cos 5xdx = − Bài 14 Tìm ngun hàm sau: a) ∫ dx sin x cos x b) ∫ cos dx x − cos x + Lời giải a) Ta có ∫ dx = ∫ dx dx = ∫ 2 sin x cos x sin x sin 2 x   = − cot x  + C = −2 cot x + C   Vậy ∫ dx = −2 cot x + C sin x cos x 1 dx = ∫ dx b) Ta có ∫ 2 cos x − cos x + cos x − ( ) tan x dx = +C cos x tan x dx = + C 4 cos x − cos x + =∫ Vậy ∫ Bài 15 Tìm ngun hàm sau: a) 2x ∫ 10 dx b) ∫ x −1 dx ex Lời giải 100 x a) Ta có ∫ 10 x dx = ∫ 100 x dx = +C ln100 Cách Áp dụng cơng thức ∫a mx +n a mx +n dx = + C , ta có m.ln a 10 x 100 x ∫ 10 dx = ln10 + C = ln100 + C x   x −1 2x b) Ta có ∫ dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫   dx − ∫ e − x dx  e  ex e e 2x      e  2x = + e −x + C = x + e −x + C e (ln −1) ln e x −1 2x d x = + e −x + C x x e e (ln −1) x Vậy ∫ C – BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  1 Bài Tìm hàm số f ( x ) biết f ' ( x ) = 2 x +  f (1) =  x Hướng dẫn đáp số Theo giả thiết tốn, ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x )dx Đáp số: f ( x ) = 4x3 + 4x − − x Bài Cho hàm số f ( x ) = x e x Tìm a, b, c để F ( x ) = (ax + bx + c ).e x ngun hàm hàm số f ( x ) Lời giải Ta có F ' ( x ) = =  ax + (2a + b ) x + c  e x Vì F ( x ) ngun hàm f ( x ) nên ta có F ' ( x ) = f ( x ), ∀x Đáp số: (a; b; c ) = (1;−2;0) Bài Tìm ngun hàm hàm số sau: 16 x − a) f ( x ) = b) f ( x ) = x − 4x −5 2x − Hướng dẫn đáp số ( )( ) 2 x − x + (4 x + 3) 16 x − (4 x − 3)(4 x + 3) a) Ta có f ( x ) = = = 2x − 2x − 2x − 3 x + 3x + 3x + C 1  ( x + 1) − ( x − 5) b) Ta có f ( x ) = = =  x − x − ( x + 1)( x − 5)  ( x + 1)( x − 5)  Đáp số: ∫ f ( x ) dx = x + Đáp số: ∫ f ( x ) dx = (ln x − − ln x + ) + C Bài Tìm ngun hàm sau: a) ∫ x + x −4 + dx x3 b) ∫ Hướng dẫn đáp số dx x + + x −1 ( x + x −2 ) x + x −4 + a) Ta có ∫ dx = ∫ x3 Đáp số: ln x − + C 4x ∫ b) Ta có Đáp số: x3 dx = ∫ x + + x −1 ( ( − ( x + x −2 ) x3 x + − x −1 x + + x −1 ( x + 1) x + ( x −1) x −1 dx = ∫ )( dx ) x + − x −1 ) dx +C Bài Tìm ngun hàm sau: a) ∫ sin x tan xdx b) ∫ tan x dx Hướng dẫn đáp số sin x +C b) Ta có tan x = −1 Đáp số: tan x − x + C cos x a) Đáp số: x − Bài Tìm ngun hàm sau: a) ∫ (cos x + sin x + cos 3x cos x )dx b) ∫ sin 5x cos7 xdx Hướng dẫn đáp số cos x sin x sin x a) Đáp số: sin x − + + +C  cos12 x cos x  b) Đáp số: − +   12  Bài Tìm ngun hàm sau:   b) ∫ sin x +  dx  sin x  a) ∫ (3 − cos x ) dx Hướng dẫn đáp số 19 sin x a) Đáp số: x − 3sin x + +C 21x sin x b) Đáp số: − − 25cot x + C Bài Tìm ngun hàm sau: a) ∫ sin x dx b) ∫ sin x dx Hướng dẫn đáp số a) Đáp số: − cos x + cos x + C 24 1 − cos x  b) Ta có ∫ sin xdx = ∫ (sin x ) dx = ∫   dx   x sin x sin x Đáp số: − + +C 32 2 Bài Tìm ngun hàm hàm số sau: e 3x − a) f ( x ) = x b) f ( x ) = (3 x + x ) e −2 Hướng dẫn đáp số x 2x x 3x e − (e − 2)(e + 2e + 4) a) Ta có f ( x ) = x = = e x + 2e x + x e −2 e −2 2x e Đáp số: ∫ f ( x ) dx = + 2e x + x + C 9x 2.12 x 16 x b) Đáp số: ∫ f ( x ) dx = + + +C ln ln12 ln16 Bài 10 Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f ( x ) = 3cos x − x −1 b) f ( x ) = e x + 2 x.3x.5− x e 2x Hướng dẫn đáp số 3x −1 a) Đáp số: ∫ f ( x ) dx = 3sin x − +C ln x  12  3x  b) Ta có f ( x ) = e +    5e   12  1 f ( x ) dx = e x +   + C  ln12 − ln −  5e  x Đáp số: ∫ [...]... các nguyên hàm sau: a) ∫ sin 2 x tan xdx b) ∫ tan 2 x dx Hướng dẫn và đáp số sin 2 x +C 2 1 b) Ta có tan 2 x = −1 Đáp số: tan x − x + C cos 2 x a) Đáp số: x − Bài 6 Tìm các nguyên hàm sau: a) ∫ (cos x + sin 2 x + 2 cos 3x cos x )dx b) ∫ sin 5x cos7 xdx Hướng dẫn và đáp số cos 2 x sin 4 x sin 2 x a) Đáp số: sin x − + + +C 2 4 2 1  cos12 x cos 2 x  b) Đáp số: − +  2  12 2  Bài 7 Tìm các nguyên. .. 3sin 2 x + +C 2 8 21x sin 2 x b) Đáp số: − − 25cot x + C 2 4 Bài 8 Tìm các nguyên hàm sau: a) ∫ sin 3 2 x dx b) ∫ sin 4 x dx Hướng dẫn và đáp số 3 1 a) Đáp số: − cos 2 x + cos 6 x + C 8 24 1 − cos 2 x  b) Ta có ∫ sin xdx = ∫ (sin x ) dx = ∫   dx   2 3 x sin 2 x sin 4 x Đáp số: − + +C 8 4 32 4 2 2 2 Bài 9 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 e 3x − 8 a) f ( x ) = x b) f ( x ) = (3 x... − 8 (e − 2)(e + 2e + 4) a) Ta có f ( x ) = x = = e 2 x + 2e x + 4 x e −2 e −2 2x e Đáp số: ∫ f ( x ) dx = + 2e x + 4 x + C 2 9x 2.12 x 16 x b) Đáp số: ∫ f ( x ) dx = + + +C ln 9 ln12 ln16 Bài 10 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f ( x ) = 3cos x − 2 x −1 b) f ( x ) = e 5 x + 2 2 x.3x.5− x e 2x Hướng dẫn và đáp số 3x −1 a) Đáp số: ∫ f ( x ) dx = 3sin x − +C ln 3 x  12  3x  b) Ta có f ( x