LỜI GIẢI CHÍNH xác bài TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU TRONG tọa độ PARABOLIC

Không những thế, tôi còn xây dựng mối liên hệ giữa lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic với lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler trong tọ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



LÊ ĐẠI NAM

L ỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU

TRONG T ỌA ĐỘ PARABOLIC

LU ẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ



LÊ ĐẠI NAM

L ỜI GIẢI CHÍNH XÁC BÀI TOÁN MICZ – KEPLER CHÍN CHIỀU

TRONG T ỌA ĐỘ PARABOLIC

L ời cảm ơn

Để thực hiện được khóa luận với một khối lượng lớn kiến thức vật lí cũng như kĩ thuật tính toán giải tích này, xin cho tôi được gửi lời tri ân sâu sắc đến người

thầy hướng dẫn của tôi – PGS TSKH Lê Văn Hoàng Thầy đã tận tình hướng dẫn,

tạo điều kiện tốt nhất và giúp tôi hoàn toàn tự tin để tôi hoàn thành khóa luận này Không chỉ nâng cao về kiến thức, tôi còn học được ở Thầy phương pháp làm việc khoa học, sự tự tin khi theo đuổi mục tiêu của mình và sự kiên trì khi thực hiện công việc của mình

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy, cô ở khoa Vật lí, trường Đại học Sư phạm Tp

Hồ Chí Minh và đặc biệt là các thầy, cô ở bộ môn Vật lí lí thuyết đã truyền thụ

những kiến thức khoa học trong suốt thời gian tôi học tập tại đây Nhờ những kiến

thức đó, tôi mới có thể nắm bắt được vấn đề và hoàn thành khóa luận này

Khóa luận này khó có thể hoàn thành được nếu không nhận được sự giúp đỡ

của các bậc đàn anh, những người đi trước trong lĩnh vực mà tôi nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Nguyễn Thành Sơn, giảng viên trường Đại học Kiến trúc Tp HCM, anh Thới Ngọc Tuấn Quốc, giáo viên trường Phổ Thông Năng Khiếu, Đại học Quốc gia Tp.HCM và thầy Phan Ngọc Hưng, giảng viên trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã mang lại cho tôi những đóng góp quý báu cũng như đã hỗ trợ đắc lực trong quá trình tôi thực hiện khóa luận này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè luôn quan tâm, động viên và khích lệ tinh thần cho tôi, giúp tôi an tâm và tập trung hoàn thành khóa luận

Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 4 năm 2015

Lê Đại Nam

i

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục i

Danh mục các hình iii

Danh mục các bảng iv

M ở đầu 1

Chương 1 Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler 6

1.1 Đơn cực từ trong không gian 9 chiều 7

1.1.1 Đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang 7

1.1.2 Quá trình tìm kiếm đơn cực từ Dirac bằng thực nghiệm 11

1.1.3 Đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều 14

1.2 Bài toán MICZ - Kepler 9 chiều 15

1.2.1 Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều và 5 chiều 15

1.2.2 Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều 17

ii

Chương 2 Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic 20

2.1 Phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic 21

2.2 Lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic 26

2.2.1 Hàm cầu suy rộng trong bài toán MICZ – Kepler 9 chiều 26

2.2.2 Hàm sóng và năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều 34

2.3 Liên hệ lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu và trong tọa độ parabolic 38

Kết luận và hướng phát triển 41

Kết luận 41

Hướng phát triển 41

Danh mục công trình của tác giả đã công bố 43

Tài liệu tham khảo 44

Tiếng Anh 44

Tiếng Đức 53

Tiếng Pháp 53

Phụ lục tính toán 54

Phụ lục 1 Toán tử Laplace – Beltrami trong tọa độ parabolic 9 chiều 54

Phụ lục 2 Hàm siêu bội tổng quát 55

Phụ lục 3 Giải các phương trình (2.15) 55

iii

Chương I

Hình 1.1 Đơn cực từ và kì dị dây Dirac 9

Hình 1.2 Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc LHC [80] 12

Hình 1.3 Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [12] 13

Hình 1.4 Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac [45] 13

Hình 1.5 Mô phỏng đơn cực từ Dirac trong thí nghiệm của nhóm D Hall [74] 13

Chương II Hình 2.1 Mô tả hình học của đơn cực như một cầu S7đính vào không gian R9 37

1

1 Trong lí thuyết trường điện từ cổ điển, hệ các phương trình Maxwell mô tả

rất tốt trường điện từ Bằng phép biến đổi đối ngẫu, điện trường biến thiên có thể sinh ra từ trường và ngược lại, từ trường biến thiên có thể sinh ra điện trường Tuy nhiên, theo hệ phương trình Maxwell, điện trường có nguồn phát là điện tích còn từ trường không có nguồn phát tường minh Điều này làm mất đi tính đối ngẫu của điện – từ

P A M Dirac là người đầu tiên giải quyết được vấn đề này về mặt lí thuyết Năm 1931, Dirac đưa ra khái niệm “từ tích” hay còn gọi là đơn cực từ Dirac [14] Dirac đã chứng minh được rằng sự lượng tử hóa điện tích đòi hỏi sự lượng tử hóa từ tích thông qua điều kiện lượng tử hóa Dirac Đơn cực từ Dirac giúp hệ phương trình Maxwell không mất đi tính đối ngẫu của điện – từ Trong lí thuyết trường gauge, trường đơn cực từ Dirac được nhìn nhận là nhómU( )1

Vào giữa thập niên 1950, lí thuyết trường gauge được tái sinh qua các công trình của C N Yang và R Mills Lí thuyết trường gauge cho phép các nhà vật lí đưa thêm các chiều không gian dư để mở rộng không gian vật lí từ 3 chiều lên

những số chiều cao hơn Năm 1978, C N Yang mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac trong không gian 3 chiều lên đơn cực từ Yang trong không gian 5 chiều [83] Trong

lí thuyết trường gauge, trường đơn cực từ Yang được nhìn nhận là nhómSU( )2

Đơn cực từ trong không gian 9 chiều được đề xuất bởi B Grossman vào năm

1984, khi ông giải phương trình Yang – Mills trong không gian 8 chiều tương ứng

với trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [17] Năm 2003, nhóm nghiên cứu của

S Zhang đã dẫn ra đơn cực từ trong không gian 9 chiều mà trong lí thuyết trường gauge được nhìn nhận làSO( )8 [5, 72, 88].Năm 2009, các tác giả Lê Văn Hoàng, Nguyễn Thành Sơn và Phan Ngọc Hưng đã đưa ra được bộ thế đơn cực của đơn cực

2

từ SO( )8 trong không gian 9 chiều khi nghiên cứu về mối quan hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều với bài toán Kepler 9 chiều và định lí Hurwitz [37,

38, 89] Từ đó, nhóm tác giả trên đã chỉ ra đơn cực từ SO( )8 là sự mở rộng trực

tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9 chiều

Cho đến thời điểm hiện tại, ngoài các đơn cực từ vừa nêu, còn một số các đơn cực từ khác được xây dựng về mặt lí thuyết mà có thể kể đến như đơn cực từ

Wu – Yang[84], đơn cực từ ‘t Hooft – Polyakov [70, 79], đơn cực từ BPS [71]

Việc đưa ra giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ đã giúp giải thích hợp lí rất nhiều

vấn đề vật lí hóc búa Đơn cực từ xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết vật lí ngày nay như lí thuyết thống nhất lớn [86], lí thuyết siêu đối xứng [85], lí thuyết hấp dẫn lượng tử [22], lí thuyết siêu dây [30, 86] và trong vũ trụ học [11, 16] Do đó, tuy

rằng chưa có bằng chứng thực nghiệm xác thực, các nhà vật lí lí thuyết vẫn tin vào

sự tồn tại của đơn cực từ Các bài toán có sự có mặt của đơn cực từ, vì vậy, cũng được các nhà vật lí lí thuyết xây dựng và khảo sát

Đặc biệt hơn cả, các đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ

( )8

SO có liên hệ mật thiết với sự tồn tại của các phân thớ Hopf [90, 91], sự tồn tại

của các đại số chia và định lí Hurwitz [62, 89] Dođó, tôi tập trung nghiên cứu vào các bài toán có sự có mặt của các đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ

( )8

SO

2 Bài toán MICZ – Kepler là bài toán điển hình có tính đến sự có mặt của đơn

cực từ Bài toán MICZ – Kepler thực chất là bài toán Kepler (hay bài toán Coulomb) được đưa thêm thế đơn cực Bài toán được đưa ra lần đầu tiên vào những năm 1960 bởi D Zwanziger, McIntosh và Cisneros khi mở rộng bài toán Kepler 3 chiều bằng cách thêm vào thế đơn cực của đơn cực từ Dirac [44, 87] Đây là một bài toán quan trọng, được khảo sát nhiều bằng các phương pháp khác nhau trong vài

thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được các nhà vật lí lí thuyết quan tâm

Cùng với việc mở rộng đơn cực từ trong không gian nhiều chiều, bài toán MICZ – Kepler cũng được mở rộng trong không gian nhiều chiều và khảo sát bằng

3

các phương pháp khác nhautrong các công trình [37, 38, 39, 44, 47, 48, 49, 50, 51,

52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 63, 64, 69 ,81 ,87] Như đã nói ở trên, các đơn cực từ Dirac, đơn cực từ Yang và đơn cực từ SO( )8 là những trường hợp đặc biệt hơn cả Chính vì lẽ đó, bài toán MICZ – Kepler 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều là những bài toán đặc biệt Riêng đối với trường hợp 2 chiều, bài toán MICZ – Kepler cũng chính

là bài toán Kepler Trong bốn trường hợp vừa kể trên, bài toán MICZ – Kepler

2h+ 1 chiều (h=0,1, 2,3) được chứng minh là tương đương với bài toán dao động

Đơn cực Phép biến đổi Đại số chia

chuẩn hóa Phân thớ Hopf

2 chiều Không có Levi – Civita Đại số thực ( ) 1 1

0th :S →S

3 chiều Đơn cực Dirac

Kustaanheimo – Stiefel Đại số phức ( ) 1

1st :S →S S

5 chiều Đơn cực Yang Davtyan

Đại số quartenion ( ) 3

sẽ tách biến trong tọa độ cầu, tọa độ parabolic và một số loại tọa độ cong trực giao khác Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều và 5 chiều đã có lời giải giải tích chính xác

4

trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến [44, 48, 56, 57]

Do vậy, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được tin rằng sẽ có lời giải giải tích chính xác trong tọa độ cầu và tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến Riêng lời giải

giải tích chính xác hàm sóng và năng lượng của bài toán mới đưa ra gần đây trong

tọa độ cầu 9 chiều [63] Đó chính là cơ sở để tôi thực hiện khóa luận “Lời giải chính xác c ủa bài toán MICZ – Kepler chín chiều trong tọa độ parabolic”

3 Mục tiêu của khóa luậnnày là tìm lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic thông qua việc xây dựng hàm sóng và phổ năng lượng của bài toán trong tọa độ parabolic 9 chiều Ngoài ra, tôi còn so sánh hàm sóng, phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và của bài toán Kepler 9 chiều để nghiên cứu ảnh hưởng của thế đơn cực SO( )8 đối với bài toán Không những thế, tôi còn xây dựng mối liên hệ giữa lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic với lời giải chính xác của bài toán MICZ – Kepler trong tọa độ cầu

Những mục tiêu trên được hoàn thành thông qua các công việc sau:

− Tìm hiểu tổng quan về đơn cực từ SO( )8 như một sự mở rộng trực

tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9 chiều;

− Tìm hiểu tổng quan về bài toán MICZ – Kepler 9 chiều và mối liên hệ

với bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều;

− Tìm hiểu tổng quan về lời giải chính xác của bài toán Coulomb nhiều chiều bằng phương pháp tách biến trong tọa độ parabolic;

− Thành lập phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic;

− Xây dựng lời giải giải tích chính xác của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic bằng phương pháp tách biến nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của thế đơn cực SO( )8 lên hàm sóng và phổ năng lượng của bài toán;

− Xây dựng phép biến đổi giữa hàm sóng của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic và trong tọa độ cầu

5

4 Cấu trúc của khóa luận:

Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận và hướng phát triển, khóa luận này

gồm có 2 chương:

Chương 1: Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler

Chương này gồm hai phần Phần thứ nhất giới thiệu tổng quan về khái niệm

đơn cực từ Dirac và mở rộng của đơn cực từ Dirac trong không gian nhiều chiều

cùng với quá trình tìm kiếm đơn cực từ của giới khoa học Phần thứ hai giới thiệu

tổng quan về bài toán MICZ – Kepler trong không gian nhiều chiều, những tính

chất của bài toán MICZ – Kepler cũng như mối liên hệ giữa bài toán MICZ –

Kepler 2, 3, 5, 9 chiều với bài toán dao động tử điều hòa 2, 4, 8, 16 chiều thông qua

định lí Hurwitz Qua đó, tôi sẽ giải thích tại sao ta nên khảo sát các bài toán MICZ –

Kepler 3 chiều, 5 chiều và 9 chiều

Chương 2: Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic

Chương này gồm ba phần Phần thứ nhất, tôi trình bày về tọa độ parabolic 9

chiều và áp dụng hệ tọa độ này để thành lập phương trình vi phân đạo hàm riêng từ

phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều Ngoài ra, tôi còn

chỉ ra sự tách biến của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic Phần

thứ hai, tôi trình bày lời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic

bao gồm hàm sóng, năng lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán Đối

chiếu với bài toán Kepler 9 chiều, tôi sẽ chỉ ra ảnh hưởng của thế đơn cực lên bài

toán như thế nào Phần cuối cùng, tôi giới thiệu về lời giải của bài toán MICZ –

Kepler 9 chiều trong tọa độ cầu đã được xây dựng gần đây bao gồm hàm sóng, năng

lượng và bậc suy biến của năng lượng trong bài toán Sau đó, tôi trình bày cách thức

và kết quả của việc xây dựng mối liên hệ giữa lời giải của bài toán MICZ – Kepler

9 chiều trong tọa độ cầu và trong tọa độ parabolic

5 Một số kết quả trình bày trong khóa luận đã được công bố trong 01 bài báo

quốc tế và 01 bài báo trên tạp chí khoa học chuyên ngành của Việt Nam

6

Chương 1

Đơn cực từ và bài toán MICZ – Kepler

Được Dirac đưa ra lần đầu tiên vào năm 1931 nhằm đảm bảo tính đối xứng

giữa điện và từ, giả thuyết về sự tồn tại đơn cực từ là một trong những vấn đề lớn

nhất của vật lí lí thuyết đương đại Sự tồn tại của đơn cực từ cho phép các nhà vật lí

lí thuyết giải quyết được những câu hỏi hóc búa nhất và do đó, các lí thuyết vật lí đương đại đều đề cập đến sự tồn tại của đơn cực từ bất chấp việc các nhà thực nghiệm vẫn chưa có được bằng chứng về sự tồn tại của nó

Cùng với dòng chảy của lí thuyết trường gauge và quá trình đưa thêm những chiều không gian dư, đơn cực từ Dirac trong không gian 3 chiều cũng được mở rộng

trực tiếp lên những không gian nhiều chiều hơn Sự mở rộng trực tiếp của đơn cực

từ Dirac trong không gian 5 chiều là đơn cực từ Yang và trong không gian 9 chiều

là đơn cực từ SO( )8 Sự tồn tại của 3 đơn cực từ trên gắn liền với những vấn đề thuần túy toán học như sự tồn tại các phân thớ Hopf trong topology, các đại số chia chuẩn hóa trong đại số và các phép biến đổi song tuyến dạng Hurwitz

Một trong những bài toán cơ bản nhất có mặt đơn cực từ chính là bài toán MICZ – Kepler Là bài toán Kepler có chứa thêm thế đơn cực, bài toán MICZ – Kepler với các số chiều tương ứng là 2, 3, 5, 9 lần lượt tương ứng với các trường

hợp: không có đơn cực từ, đơn cực Dirac, đơn cực Yang và đơn cực SO( )8 là

những bài toán hết sức đặc biệt khi chúng được chứng minh là tương đương với các bài toán dao động tử điều hòa có số chiều tương ứng là 2, 4, 8, 16 Trong đó, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều mới được quan tâm và khảo sát trong vài năm trở lại đây

7

1.1 Đơn cực từ trong không gian 9 chiều

1.1.1 Đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang

Từ những kiến thức thông thường về điện từ học, chúng ta đều dễ dàng biết

rằng điện trường được sinh ra bởi các điện tích còn từ trường được sinh ra bởi sự chuyển động của các điện tích Chính điều này đã dẫn đến hàng loạt những câu hỏi hóc búa liên quan đến tính đối ngẫu giữa điện và từ như tại sao lại tồn tại các hạt điện tích sinh ra điện trường mà không tồn tại các hạt từ tích sinh ra từ trường; tại sao các hạt điện tích hoặc dương hoặc âm có thể tồn tại riêng rẽ trong khi các nguồn sinh ra từ trường luôn dưới dạng lưỡng cực từ bắc – nam; tại sao không thể “bẻ”

một lưỡng cực từ bắc – nam thành các hạt từ tích “bắc” hoặc từ tích “nam”? Ý tưởng đầu tiên về đơn cực từ được đưa ra vào năm 1269 khi P P Maricourt đã đặt

ra những câu hỏi trên trong công trình “The Epistola de Magnete”[94]

Những nghiên cứu về điện từ học được phát triển mạnh mẽ vào cuối thế kỉ

18, đầu thế kỉ 19 Thành tựu nổi bật nhất chính là lí thuyết trường điện từ cổ điển

của J C Maxwell Maxwell đã thống nhất điện – từ vào hệ phương trình nổi tiếng

của ông

,,0,

t B

B

t

ρe

lần lượt là cường độ điện trường và cảm ứng từ, ,e µ lần lượt là

hằng số điện môi tuyệt đối và độ thẩm từ tuyệt đối của môi trường và ρe,J e

là mật

độ điện tích và mật độ dòng điện từ Các phương trình của Maxwell mô tả các định

8

luật cơ bản của điện và từ cũng như thể hiện được nguồn gốc và tính chất của điện trường và từ trường Hệ phương trình Maxwell mô tả rất tốt và rất đẹp điện trường

và từ trường Điện trường và từ trường được thống nhất thành điện từ trường trong

hệ phương trình này Tuy nhiên, nếu ta chú ý vào phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba của hệ phương trình (1.1), chúng ta dễ dàng nhận thấy sự bất cân xứng

giữa điện trường và từ trường, điều này làm cho tính đối ngẫu giữa điện trường và

từ trường bị mất đi [77] Nhằm khắc phục điều này, năm 1894, P Curie đã đưa ra

giả thuyết về sự tồn tại của đơn cực từ trong tự nhiên [93] Với giả thuyết này, tính đối ngẫu giữa điện và từ được khôi phục và hệ phương trình Maxwell trở nên đối

xứng hơn

,

,,

,

e

m m

B

t

ρe

µµρ

Năm 1931, khi khảo sát đóng góp của thừa số pha vào hàm sóng, Dirac đã

chứng minh rằng cần thiết phải có một nguồn sinh ra từ trường – gọi là từ tích hay đơn cực từ [14] Đồng thời, Dirac cũng chỉ ra rằng sự lượng tử hóa từ tích phải đi kèm với sự lượng tử hóa điện tích Từ tích g của đơn cực từ Dirac được chỉ ra là số nguyên lần từ tích nguyên tố g D Điều kiện lượng tử hóa Dirac xác định giá trị của

từ tích nguyên tố là

9

2 0

2

2

D

c ec g

10

Năm 1921, trong nỗ lực thống nhất trường hấp dẫn và trường điện từ, T Kaluza đã mở rộng lí thuyết tương đối tổng quát lên không thời gian năm chiều Năm 1926, O Klein đưa ra giả thuyết rằng chiều không gian thứ tư mà Kaluza đưa

ra thực chất bị cuộn lại thành tập compact với bán kính rất bé Lí thuyết mà Kaluza đưa ra và được Klein bổ sung được công nhận là thuyết Kaluza – Klein Đây chính

là lí thuyết đầu tiên đưa ra khái niệm chiều không gian cao hơn và bị cuộn lại thành

tập compact Trong lí thuyết trường gauge, chiều không gian cao hơn mà Kaluza đưa ra có thể được mô tả bằng nhóm U( )1 Bằng cách thay đổi nhóm U( )1 bằng các nhóm Lie khác, ta có thể có được các lí thuyết trường gauge khác nhau Năm

1954, Yang và Mills làm sống lại lí thuyết trường gauge bằng cách mở rộng lí thuyết cho nhóm giao hoán sang các nhóm không giao hoán Hiện tại, mô hình chuẩn cũng dựa trên lí thuyết trường gauge để biểu diễn không gian và các hạt cơ

bản Dựa trên những ý tưởng cơ bản như thế, các nhà vật lí đã đưa thêm 6 chiều không gian cao hơn, tạo thành không thời gian 10 chiều (9 chiều không gian + 1 chiều thời gian) trong lí thuyết dây Năm 1995, E Witten đã thống nhất các lí thuyết dây trong không thời gian 10 chiều thành lí thuyết siêu dây trong không thời gian 11 chiều (10 chiều không gian + 1 chiều thời gian) mà các nhà vật lí ngày nay gọi là thuyết M Thuyết M được xem là có khả năng mô tả toàn bộ thế giới chúng ta, là ứng cử viên sáng giá nhất trở thành “lí thuyết dành cho vạn vật”1

Cuốntheo dòng

chảy của sự phát triển, khái niệm đơn cực từ, vì lẽ đó, cũng được mở rộng lên

những không gian có số chiều cao hơn là đơn cực từ Yang trong không gian 5 chiều

và đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều [17,83]

Năm 1978, khi khảo sát phương trình Yang – Mills, Yang đã đưa ra bộ thế đơn cực SU( )2 [83] Bộ thế đơn cực mà Yang đề xuất là

1 TOE – Theory of Everything

O [83] Bộ thế (1.8) của đơn cực từ Yang tương tự như bộ thế (1.6) của đơn cực

từ Dirac và các tính chất của từ trường gây ra bởi đơn cực từ Yang cũng giống như

từ trường gây ra bởi đơn cực từ Dirac nên đơn cực từ Yang chính là sự mở rộng trực

tiếp của đơn cực từ Dirac trong không gian 5 chiều [83] Trong lí thuyết trường gauge, bộ thế đơn cực Dirac được nhìn nhận là có đối xứng U( )1 và đơn cực từ Yang có đối xứng là SU( )2 [76, 83] Sự mở rộng trực tiếp đơn cực từ Dirac và đơn

cực từ Yang là đơn cực từ SO( )8 sẽ được trình bày ở mục1.1.3

1.1.2 Quá trình tìm ki ếm đơn cực từ Dirac bằng thực nghiệm

Đơn cực từ đóng vai trò rất quan trọng trong các lí thuyết vật lí đương đại như lí thuyết thống nhất lớn GUT [86], lí thuyết siêu đối xứng SUSY [85], lí thuyết

hấp dẫn lượng tử [22], lí thuyết siêu dây [30, 86] và trong cả vũ trụ học[11, 16]

Dạng thức động lực của trường đơn cực còn xuất hiện trong vật lí hệ ngưng tụ [20, 46] Đây cũng là lĩnh vực mở ra nhiều triển vọng tìm thấy đơn cực từ trong tự nhiên

Tầm quan trọng của đơn cực từ đã khiến quá trình tìm kiếm đơn cực từ trong tự nhiên trở thành những vấn đề thời sự Nó thu hút sự chú ý của các nhà vật lí thực nghiệm [15, 76] Hiện tại, các máy gia tốc hiện đại nhất tại các trung tâm nghiên

cứu lớn trên thế giới (CERN, RHIC) đang thực hiện nhiều thí nghiệm để tìm kiếm đơn cực từ [12, 41, 80] CERN bố trí hẳn một khu vực riêng thuộc LHC nhằm phát

hiện đơn cực từ thông qua các va chạm hạt được gia tốc đến năng lượng lớn cỡ 8

12

TeV (trong tương lai có thể đạt mức 14 TeV) [9, 80] Bên cạnh đó, nhiều nhóm nghiên cứu khác tìm kiếm đơn cực từ thông qua phân tích các bức xạ vũ trụ Từ năm 2009, nhiều thí nghiệm với độ chính xác cao nhằm tìm kiếm đơn cực từ đã được tiến hành và cho kết quả khả quan Công trình thực nghiệm do Morris và các

cộng sự đăng trên tạp chí Science vào năm 2009 cho biết tinh thể một chiều dyprosyum titanate được làm lạnh đến nhiệt độtrong khoảng từ 0.6 đến 2 Kelvin được quan sát bằng tán xạ neutron hành xử như một giả đơn cực từ2 [46] Năm 2010 nhóm nghiên cứu H.-B Braun đãcông bố ảnh chụp các dây Dirac trong băng spin trên tạp chí Nature Physics [45] Năm 2011, cũng trên tạp chí Nature Physics, nhóm nghiên cứu Giblin thực hiện với cùng đối tượng thí nghiệm với nhóm của Morris nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, 0.35 Kelvin cho kết quả tương tự [20] Gần đây nhất vào tháng 01 năm 2014, nhóm nghiên cứu của D Hall tại Massachusetts đã công bố quan sát được đơn cực từ Dirac trong hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein bằng cả

thực nghiệm và mô phỏng [74] Công trình là một bước đột phá lớn trong việc tìm

kiếm đơn cực từ Tuy nhiên, nhóm tác giả vẫn chưa đo được khối lượng của “hạt từ tích” tìm thấy và chưa thể kết luận hạt được quan sát là đơn cực từ thực thụ [74]

Dù các công trình nghiên cứu trên vẫn chưa tìm thấy đơn cực từ thực thụ, nó vẫn

tạo được một niềm tin rất lớn trong việc tìm kiếm đơn cực từ trong tương lai

Hình 1.2 Thí nghiệm LHCb với máy dò MOEDAL tại máy gia tốc LHC [80]

2 magnetic monopole quasiparticle

13

Hình 1.3Mặt cắt máy dò đơn cực tại RHIC [12]

Hình 1.4Sự tạo ra và tách các cặp đơn cực và các dây Dirac3

14

1.1.3 Đơn cực từ SO(8) trong không gian 9 chiều

Đơn cực từ trong không gian 9 chiều được đề xuất bởi B Grossman vào năm

1984, khi ông giải phương trình Yang – Mills trong không gian 8 chiều tương ứng

với trường hợp cuối cùng của phân thớ Hopf [17] Bộ thế đơn cực mà Grossman đưa ra có dạng [17]

= + + − − + − − ++

= + − + − + + − −+

= − − − + + + + −+

= − − + + − − + ++

15

Không những thế, các tác giả trên còn tham số hóa các vi tử trên theo 7 biến số góc

phụ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ       [38] Nhóm tác giả trên đã chỉ ra đơn cực từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 SO( )8 là sự

mở rộng trực tiếp của đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang trong không gian 9 chiều [38]

1.2 Bài toán MICZ - Kepler 9 chi ều

Bài toán MICZ – Kepler (được đặt tên theo McIntosh, Cisneros và Zwanziger) là bài toán mô tả chuyển động của một electron quanh một hạt vừa mang điện tích, vừa mang từ tích gọi là dyon Dyon tương tác với electron thông qua tương tác tĩnh điện Coulomb và tương tác của thế đơn cực Do đó, bài toán MICZ – Kepler thực chất là bài toán Kepler có đưa thêm thế của đơn cực từ

1.2.1 Bài toán MICZ – Kepler 3 chi ều và 5 chiều

Bài toán MICZ – Kepler được Zwanziger, McIntosh và Cisneros xây dựng từ

những năm 1960 [44, 87] bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ này trường đơn cực từ Dirac Đây là một bài toán quan trọng được khảo sát nhiều bằng các phương pháp khác nhau trong vài thập niên qua và đến bây giờ vẫn còn được quan tâm.Bài toán MICZ – Kepler 3 chiều trong hệ đơn vị = =e m e =1 [32]là 4

2 2

2

ˆ1

từ những năm 1970 và được chứng minh là có thể tách biến trong tọa độ cầu và tọa

độ parabolic Ngoài ra, bài toán còn được tiếp cận theo các cách đại số như tách nhóm đối xứng SO( )4 ~ SO( )3 ⊕SO( )3 hoặc sử dụng các toán tử bất biến Casimir

của nhóm SO( )4 [44]

Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều được nhóm của Mardoyan xây dựng và

khảo sát từ những năm 1998bằng cách mở rộng bài toán Kepler khi thêm vào hệ này trường đơn cực từ Yang [54] Bài toán MICZ – Kepler 5 chiều

2 2

tọa độ parabolic Hàm Green của bài toán cũng đã được xây dựng [69] Ngoài ra, bài toán còn được tiếp cận theo các cách đại số như sử dụng các toán tử bất biến Casimir của nhóm SO( )6 [55]

1.2.2 Bài toán MICZ – Kepler 9 chi ều

Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều được nhóm các tác giả Lê Văn Hoàng, Nguyễn Thành Sơn và Phan Ngọc Hưng xây dựng và khảo sát từ những năm 2009khi áp

dụng phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz được Lê Văn Hoàng và Komarov đưa ra vào năm 1993 vào bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều [34, 35,

36, 37, 40] Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều là bài toán Kepler 9 chiều có đưa thêm

thế đơn cực SO( )8 Bài toán MICZ – Kepler 9 chiều có dạng [38]

2

2 9

Một số so sánh giữa 3 bài toán MICZ – Kepler 3, 5 và 9 chiều được tôi trình bay trong bảng Bảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler

19

B ảng 1.1 So sánh một số tính chất của 3 bài toán MICZ – Kepler

Bài toán MICZ – Kepler

Đã chứng minh Cầu, parabolic

5 chiều

SO(6) SO(6,2)

Đã chứng minh Cầu, parabolic

9 chiều

SO(10) SO(10,2)

Cần được

chứng minh Cầu

dựa trên mô hình cơ bản để giải quyết một bài toán lượng tử:

− Đưa ra phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong hệ tọa độ hệ tọa độ parabolic chín chiều có chứa cầu đơn vị S7

;

− Sử dụng phương pháp tách biến, đưa phương trình Schroedinger của bài toán về các phương trình vi phân thường và giải các phương trình vi phân đó;

− Quá trình giải hàm cầu của bài toán đòi hỏi xuất hiện khai triển Clebsch – Gordan nên tôi phải xác định hệ số Clebsch – Gordan của khai triển để tìm được hàm cầu suy rộng trong bài toán MICZ – Kepler;

− Sau khi giải được các phương trình vi phân, tôi xây dựng hàm sóng chuẩn hóa của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong hệ tọa độ parabolic;

− Xác định sự lượng tử hóa của năng lượng và sự suy biến tương ứng với

một mức năng lượng để có một bức tranh toàn cảnh về trạng thái của hệ trong bài toán MICZ – Kepler chín chiều

− Đối chiếu với trường hợp không có trường đơn cực, tức là bài toán Kepler 9 chiều

− Liên hệ hàm sóng và các số lượng tử của lời giải trong tọa độ parabolic

với hàm sóng trong tọa độ cầu đã biết

Các thành phần của moment góc ˆL t kj ạo thành đại số kín SO( )8

Toán tử ˆQ kj được biểu diễn dưới dạng tham số hóa thông qua 7 biến góc

{ } ϕs s=0,6của cầu đơn vị 7

S nên hàm sóng của hạt trong bài toán MICZ – Kepler 9 chiều phụ thuộc vào 16 biến: 9 biến số tọa độ và 7 biến số góc [63]

22

Phương trình (2.4) là phương trình vi phân 16 biến số có lời giải giải tích phụ thuộc vào tọa độ cong mà ta chọn để tách biến nó Ở đây, do ˆQ kj được biểu diễn dưới

dạng tham số hóa thông qua 7 biến góc { } ϕs s=0,6 của cầu đơn vị 7

S nên tọa độ cong

mà ta chọn nên chứa là một tọa độ cong trực giao có chứa cầu đơn vị 7

S [63] Trong khóa luận này, tôi chọn hệ tọa độ cong trực giao cụ thể là tọa độ parabolic vì

nó có chứa cầu đơn vị 7

S Tìm lời giải của bài toán toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic chính là giải phương trình (2.4) trong tọa độ parabolic 9 chiều có dạng

u v x

Để thuận tiện cho việc tính toán, các biến góc phụ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ      0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

trong biểu diễn tham số của các vi tử ˆQ kj được chọn sao cho cầu đơn vị 7

S của trường đơn cực có dạng [63]

h h h h h h h h

trong đó, ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ      6, 5, 4, 3, 2, 1, 0∈[0, 2π] Cầu đơn vị 7

S (2.6) của trường đơn cực có

dạng tương tự như cầu đơn vị 7

S trong (2.5) sẽ thuận tiện cho việc coupling các toán tử ˆQ và ˆ kj L sau này kj

Phương trình (2.4) có dạng tường minh trong hệ tọa độ (2.5)(xem phụ lục 1)

24

2 2

4 4

5 5

6 6 6

2 6

4 4

5 5

6 6 6

tôi đưa vào toán tử [63]

26

4 3

4 3

61

0,

61

L J có dạng là L L( +6 ,) (J J +6) và do đó, khi các biến góc ,ϕ ϕs  trong s

phương trình (2.13) thì sẽ xuất hiện L L( +6 ,) (J J+6) trong hệ phương trình (2.15) và phương trình trị riêng (2.16) như trên Hàm riêng D(ϕ ϕs, s) của hai toán

tử L J ˆ2, ˆ2 còn được gọi là hàm cầu suy rộng

Như vậy, bài toán MICZ – Kepler 9 chiều tách biến được trong tọa độ parabolic và chỉ cần giải các phương trình đã tách biến (2.15) và (2.16) là có thể thu được hàm sóng Ψ(u v, ,ϕ ϕs, s) và năng lượng E

2.2 L ời giải bài toán MICZ – Kepler 9 chiều trong tọa độ parabolic

2.2.1 Hàm c ầu suy rộng trong bài toán MICZ – Kepler 9 chiều

Để giải phương trình Schroedinger của bài toán MICZ – Kepler 9 chiều, việc đầu tiên là phải tìm được hàm cầu suy rộng D( ϕ ϕs, s), tức là ta phải giải phương