Tính siêu khả tích của bài toán micz kepler chín chiều

Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ TÍNH SIÊU KHẢ TÍCH CỦA BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU PHAN NGỌC HƯNG* , LÊ VĂN HOÀNG** TÓM TẮT Bài toán MICZ-Kepler chín chiều với đơn cực SO (8) khẳng định có đối xứng SO (10) Trên sở sử dụng đối xứng này, hệ gồm toán tử độc lập giao hoán chứa Hamiltonian xây dựng tường minh Một toán tử bất biến độc lập khác Sự tồn đồng thời hai toán tử cho phép khẳng định tính siêu khả tích tối đa toán Từ khóa: toán MICZ-Kepler, đối xứng ẩn, siêu khả tích, không gian chín chiều, đối xứng SO (10) ABSTRACT Superintegrability of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem The nine-dimensional MICZ-Kepler system with the SO (8) monopole potential has been regarded to have SO (10) symmetry recently Based on this symmetry, in the present paper, a set of nine functionally independent, commutative each to other, and invariant operators including the Hamiltonian of the system is built explicitly Also, another set of eight invariant operators is built From the combination of those set, which are seventeen operators we conclude that the considered MICZ-Kepler problem is maximally superintegrable Keywords: MICZ-Kepler problem, hidden symmetry, superintegrability, ninedimensional space, SO (10) symmetry Khái niệm siêu khả tích Trong nghiên cứu hệ vật lí, việc xây dựng mô hình toán học khảo sát tính chất mô hình hướng tiếp cận thông dụng Cách tiếp cận thu nhiều thành công vật lí cổ điển lẫn vật lí lượng tử Tuy nhiên, mô hình toán học thường dẫn đến phương trình hệ phương trình vi phân phức tạp, mà đa phần lời giải giải tích, giải số Chỉ có số toán có lời giải xác tường minh, gọi toán khả tích Một nhóm chí nhiều toán có đồng thời lời giải giải tích lời giải đại số, gọi toán siêu khả tích Các toán siêu khả tích đóng vai trò quan trọng phát triển lí thuyết vật lí học, thường xem * ** ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hungpn@hcmup.edu.vn PGS TSKH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 13 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 _ toán sở để tính toán cho hệ phức tạp nhờ lí thuyết nhiễu loạn Một ví dụ toán siêu khả tích toán Kepler, xem toán để phát triển tính toán quỹ đạo thiên thể vật lí cổ điển, hay tính toán mức lượng nguyên tử vật lí lượng tử Một ví dụ khác toán dao động tử điều hòa, xem sở tính toán cho hệ boson Tuy hệ có tính siêu khả tích toán Kepler-Coulomb hay dao động tử điều hòa quan tâm nghiên cứu từ lâu, lí thuyết đại cấu trúc phân loại hệ xem công trình Smorodinsky, Winternitz cộng năm 1965 [2, 3] Tính siêu khả tích hệ xác định thông qua việc khảo sát đối xứng toán, thường liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Các hệ siêu khả tích thừa nhận có đối xứng tối đa, dẫn đến khả giải phương pháp đại số lẫn giải tích [1-4, 7] Xét hệ lượng tử có phương trình Schödinger dừng không gian N -chiều: H   E, hệ gọi khả tích, tồn n toán tử độc lập tuyến tính X a thỏa: [ X a , X b ]  0, a, b  1, , n, đó, toán tử X  H Hamiltonian hệ Hệ gọi siêu khả tích n toán tử X a kể trên, tồn k toán tử {Y1 ,,Yk } bảo toàn, tức [ H , Y j ]  0, j  1,, k , đồng thời 2n  toán tử gồm {H , X ,, X n , Y1 ,, Yk } độc lập với Ở đây, toán tử Y j không cần giao hoán với toán tử X a không cần giao hoán với Số lượng toán tử Y j thỏa:  k  n  Trường hợp k  , hệ gọi “siêu khả tích tối thiểu” Trường hợp k  n  , hệ gọi “siêu khả tích tối đa” [4] Trong trường hợp cổ điển, khái niệm khả tích, siêu khả tích có định nghĩa tương tự trên, quan hệ giao hoán tử toán tử thay ngoặc Poisson Các hệ siêu khả tích nhận quan tâm đặc biệt tính chất sau [4], [5]: Trong học cổ điển, hệ siêu khả tích tối đa chứng tỏ có quỹ đạo khép kín chuyển động mang tính chu kì Về mặt lí thuyết, quỹ đạo hệ siêu khả tích cổ điển thu mà không cần giải phương trình vi phân 14 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng tgk _ Theo định lí Bertrand, hệ đối xứng cầu, có hai trường hợp có quỹ đạo khép kín: dao động tử điều hòa hệ Kepler-Coulomb Trong trường hợp đại số đại lượng bảo toàn bậc hai, phương trình Hamilton-Jacobi Schödinger tương ứng hệ siêu khả tích tách biến Với hệ lượng tử, tính siêu khả tích dẫn đến tăng suy biến mức lượng, gọi “suy biến ngẫu nhiên” (accidental degenaracy) Sự gia tăng bậc suy biến giải thích tính siêu khả tích có liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Đối với hệ siêu khả tích cực đại lượng tử biết, lượng hệ giải phương pháp đại số giải tích Đối xứng toán MICZ-Kepler chiều Bài toán MICZ-Kepler mở rộng toán Kepler-Coulomb, hệ xét gồm hạt có điện tích isospin chuyển động dyon (một hạt có điện tích từ tích) Bài toán MICZ-Kepler chín chiều mở rộng cách tự nhiên từ toán ba chiều năm chiều với đơn cực tương ứng thỏa tính chất đại số SO (8) giới thiệu công trình nhóm tác giả Van-Hoang Le năm 2009 [5, 6], nhóm tác giả gọi đơn cực SO (8) Trong mục này, tóm tắt kết đáng ý công trình [6] nhóm đối xứng toán để làm sở khảo sát tính siêu khả tích Phương trình Schödinger dừng toán hệ đơn vị nguyên tử ( m  c    e  ) có dạng: 1 Q2 Z  H          E , 8r r 2 (1) đó,      , (   1,  ,9 ) với thành phần xung lượng   có dạng tường minh:   j  i  Ak ( r )Qkj , j , k  1,,8, x j   i  x9 Các số hạng Ak (r )Qkj đặc trưng cho tương tác hạt có isospin với đơn cực SO (8) với vector có dạng tường minh: Ak ( r )  xk r ( r  x9 ) Toán tử Q  QkjQkj ( j, k  1,  ,8) với Qkj vi tử nhóm so(8) , nghĩa thỏa mãn hệ thức giao hoán: Q jk , Qmn   i jmQkn  i knQ jm  i jnQkm  i kmQ jn , 15 Số 9(87) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ đó,  jk kí hiệu delta Kronecker Cũng giống trường hợp toán MICZ-Kepler ba chiều năm chiều, bổ sung đơn cực không làm phá vỡ tính chất đối xứng hình học SO (9) toán Kepler-Coulomb chín chiều Cụ thể, nhóm đối xứng hình học toán MICZKepler chín chiều biểu diễn N ( N  1) /  36 thành phần moment xung lượng độc lập dạng tensor:    x  x    ir   ,   ,  ,  1, ,9,    (2) Các hệ thức giao hoán thành phần chứng tỏ toán có đối xứng SO (9)    , H   0,    ,    i    i    i    i   (3) Đối xứng ẩn toán thể qua vector Runge-Lenz suy rộng 9-chiều với thành phần có dạng tường minh: M  x            Z  ,  r   1, ,9 (4) Các thành phần thỏa mãn hệ thức giao hoán:  M  , H   0,    , M    i  M  i M  ,  M  , M   2iH   Nhóm đối xứng so(10) toán MICZ-Kepler chín chiều xác định từ 45 ˆ , Mˆ } Trong hệ thức trên, H đóng vai trò “hằng số” thành phần {   nhóm đối xứng Các thành phần nhóm đối xứng sử dụng để khảo sát tính siêu khả tích toán phần Tính siêu khả tích tối đa toán MICZ-Kepler chiều Trong trường hợp toán MICZ-Kepler chín chiều, N  nên để hệ khả tích, cần toán tử độc lập tuyến tính giao hoán với (trong có Hamiltonian H ) Thêm vào đó, để hệ siêu khả tích, ta cần thêm k toán tử bảo toàn khác tạo với toán tử trước tạo thành độc lập (  k  n  ) 3.1 Tính khả tích Nhóm đối xứng không gian so(9) (và đầy đủ nhóm đối xứng so(10) ) toán xây dựng dựa toán tử bất biến sở tốt để xây dựng nên toán tử thỏa mãn tính chất khả tích toán, nhóm 16 Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ cấu tạo từ toán tử bất biến Cụ thể, nhóm đối xứng không gian so(9) toán MICZ-Kepler chín chiều biểu diễn tường minh qua ma trận  :    21   31    41     51    61   71    81   91 12 13 14 15 16 17 18  32  23  24  34  25  35  26  36  27  37  28  38  42  43  45  46  47  48  52  62  53  63  54  64  65  56  57  67  58  68  72  73  74  75  76  78  82  83  84  85  86  87  92  93  94  95  96  97  98 19   29   39    49   59    69   79    89   đó, thành phần ma trận thỏa mãn tính chất phản đối xứng  ij   ji Trên sở nhóm đối xứng này, chọn nhóm bất biến gồm {so(2), so(3),  , so(9)} theo quy tắc: nhóm so( m ) gồm thành phần ma trận khối m  m góc bên trái ma trận  , với biểu diễn tường minh sau:    21     31      m1 12 13  32  23   m2  m3  1m    m    3m        Với cách chọn nhóm vậy, từ tính chất ma trận  , dễ dàng nhận thấy X ( m ) ma trận hoàn toàn phản đối xứng với thành phần tạo thành nhóm kín thỏa mãn tính chất giao hoán (3) đại số SO ( m ) Ứng với nhóm so( m ) , toán tử S ( m ) định nghĩa toán tử Casimir bậc nhóm đối xứng so( m ) : S (m )   X (m)ij X (m ) ji    ij2 , 1i  j  m m  2,, 9, (5) đó, số i , j lặp lại hiểu lấy tổng từ đến m Vì toán tử Casimir nhóm đối xứng, nên toán tử hoàn toàn thỏa mãn tính chất bất biến: [ S ( m ) , H ]  (6) Ngoài ra, cách chọn nhóm thỏa mãn so(2)  so(3)   so(9) , nên toán tử Casimir tương ứng nhóm hoàn toàn độc lập với Đặc biệt, toán tử Hamiltonian H có vai trò “hằng số” nhóm so kể trên, 17 Số 9(87) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ xem vi tử nhóm so(1) nhóm bất biến tất nhóm này, nên H độc lập với toán tử S ( m ) Giao hoán tử toán tử bình phương moment xung lượng tính trực tiếp từ hệ thức giao hoán nhóm so(9) : [ ij2 ,  mn ]  i im { ij ,  mn ,  jn }  i jn { ij ,  mn ,  im } i in { ij ,  mn ,  jm }  i jm { ij ,  mn ,  in }, (7) đó, kí hiệu { A, B}  AB  BA phản giao hoán tử { A, B, C }  { A,{B , C }} Tính toán trực tiếp từ đinh nghĩa toán tử bất biến S ( m ) sử dụng hệ thức (7), thu kết quả: [ S ( m ) , S ( n ) ]  0, (8) m, n  2, ,9, tức toán tử S ( m ) hoàn toàn tạo thành giao hoán với Như vậy, nhóm toán tử {H , S (2) , S (3) , , S (9) } tạo thành toán tử bất biến độc lập, giao hoán với nhau, cho phép kết luận toán MICZ-Kepler chín chiều có tính khả tích 3.2 Tính siêu khả tích tối đa Một cách khác để xây dựng nhóm {so(2) , so(3) , , so(9)} theo quy tắc: nhóm so( m ) gồm thành phần ma trận khối m  m góc bên phải ma trận  , với biểu diễn tường minh sau:         7,10m    8,10m   9,10m  10m,7 10m ,8      78    87  97  98 10 m,9     79    89   Một cách tương tự phần trước, định nghĩa toán tử bất biến toán tử Casimir bậc nhóm này: S( m )   Y (m )ij Y (m ) ji    ij2 ,  m i  j  m  2, ,9 (9) Từ định nghĩa ma trận X ( m ) Y ( m ) , dễ nhận hai ma trận X (9) Y (9) trùng (và trùng với ma trận  ), đó, S (9)  S(9)   Đối với hệ toán tử lại {S( 2) ,, S(8) } , tính toán trực tiếp dựa định nghĩa toán tử này, nhận thấy phương trình 18 Phan Ngọc Hưng tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ S( m )  aH   b j S ( j )   c j S( j ) , j m  2,  ,8, (10) j j m nghiệm (a , b j , c j ) , tức biểu diễn toán tử số bảy toán tử {S( 2) ,, S(8) } dạng tổ hợp toán tử lại {H , S ( m ) } Từ đây, kết luận 16 toán tử {H , S (2) ,, S (9) , S(2) , , S(8) } độc lập với Ngoại trừ Hamiltonian H , toán tử lại tạo từ nhóm đối xứng so(9) đặc trưng cho đối xứng không gian toán Toán tử cuối chọn để hoàn thiện 17 toán tử bất biến độc lập thành phần A  M vector Runge-Lenz, đặc trưng cho đối xứng ẩn toán Toán tử toán tử bậc giống 16 toán tử {H , S (2) ,, S (9) , S(2) , , S(8) } Toán tử A cấu tạo từ thành phần nhóm thương so(10) / so(9) nên chắn độc lập với 16 toán tử nêu Như vậy, toán tử bậc {H , S (2) ,, S (9) } độc lập giao hoán phần (3.1), xác định thêm k    toán tử bậc độc lập khác gồm {S( 2) ,, S(8) , A} Chúng kết luận toán MICZ-Kepler chín chiều có tính siêu đối xứng tối đa bậc Chúng lưu ý rằng, cách chọn 17 toán tử Chẳng hạn, ta chọn toán tử độc lập giao hoán { X , X , , X }  {H , S(2) , , S( 9) } , cộng thêm toán tử bất biến độc lập khác {Y1, Y2 , ,Y8 }  { A, S (2) , , S (8) } , đó, A tổ hợp thành phần vector Runge-Lenz Kết luận Dựa tính chất đối xứng SO (10) toán MICZ-Kepler, cách xây dựng tường minh toán tử bất biến độc lập giao hoán, qua khẳng định toán khả tích Bên cạnh đó, xây dựng tường minh toán tử bất biến độc lập khác cho phép kết luận toán có tính chất siêu khả tích cực đại bậc Đây kết khẳng định thêm cho nhận định trước khả có lời giải đại số khả tách biến toán theo nhiều hệ tọa độ khác Ghi chú: Công trình phần Đề tài Khoa học Công nghệ cấp Bộ Bộ Giáo dục Đào tạo, mã số B2015.19.13 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 9(87) năm 2016 _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Ballesteros, A et al (2011), “Superintegrable Oscillator and Kepler Systems on Space of Nonconstant Curvature via the Stäckel Transform”, SIGMA 7, 048-15 Fris, I., Mandrosov, V., Smorodinsky, J A., Uhlír, M., & Winternitz, P (1965), “On higher symmetries in quantum mechanics”, Phys Lett 16, 354–356 Fris, I., Smorodinsky, J A., Uhlír, M., & Winternitz, P (1966), “Symmetry groups in classical and quantum mechanics”, Yad Fiz 4, 625-635 Kalnins, E G., Kress, J M., & Miller Jr., W (2006), “Second order superintegrable systems in conformally flat spaces V Two- and Three-dimensional quantum systems”, J Math Phys 47, 093501 Le, V H., Nguyen, T S., & Phan, N H (2009), “A hidden non-Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J Phys A 42(17), 175204 Phan, N H & Le, V H (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and a hidden symmetry of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J Math Phys 53, 082103 Rodriguez, M A & Winternitz, P (2002), “Quantum Superintegrability and Exact Solvability in N Dimensions”, J Math Phys 43 (3), 1309-1322 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 22-4-2016; ngày phản biện đánh giá: 11-6-2016; ngày chấp nhận đăng: 13-9-2016) 20 ... sát tính siêu khả tích toán phần Tính siêu khả tích tối đa toán MICZ- Kepler chiều Trong trường hợp toán MICZ- Kepler chín chiều, N  nên để hệ khả tích, cần toán tử độc lập tuyến tính giao hoán với... tính siêu khả tích có liên quan đến “đối xứng ẩn” hệ Đối với hệ siêu khả tích cực đại lượng tử biết, lượng hệ giải phương pháp đại số giải tích Đối xứng toán MICZ- Kepler chiều Bài toán MICZ- Kepler. .. hợp toán MICZ- Kepler ba chiều năm chiều, bổ sung đơn cực không làm phá vỡ tính chất đối xứng hình học SO (9) toán Kepler- Coulomb chín chiều Cụ thể, nhóm đối xứng hình học toán MICZKepler chín chiều