Một mô hình véctơ cho trường hấp dẫn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮTEEP: Nguyên lý tương đương của Einstein Einstein Equivalence PrincipleSM: Mô hình chuẩn Standard ModelSUSY: Siêu đối xứng supersymmetry MOND: Động lực học Newton

VÕ VĂN ỚN

MỘT MÔ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN

Chuyên ngành : VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Mã số : 1.02.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VÕ VĂN ỚN

MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT & VẬT LÝ TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi Các kết quả nêu trong luận án làtrung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy tôi, Giáo sư Tiến sĩNguyễn Ngọc Giao, người đã dạy tôi từ những năm đại học, rồi những năm caohọc Nếu thiếu sự dạy dỗ và hướng dẫn tận tâm của Thầy, chắc chắn tôi không thểhoàn thành luận án này

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Nguyễn Quốc Khánh, người cũng

đã dạy dỗ tôi từ những năm học đại học, những năm học cao học và cũng đã tậntình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học nghiên cứu sinh và làm luận án Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Nguyễn Nhật Khanh, người cũng

đã dạy dỗ tôi từ những năm học đại học, những năm học cao học Thầy cũng đónggóp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong quá trình làm luận án

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy Hoàng Dũng, người cũng đã dạytôi từ những năm học đại học, những năm học cao học người đã giúp đỡ tôi thậtnhiều trong khi làm luận án

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn thật nhiều đến Thầy Hoàng Ngọc Long ởViện Vật Lý và Điện Tử, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong thời gian làm việc

ở Viện, người đã có những phản biện sâu sắc đối với đề tài này trong các buổisêmina ở viện

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn thật nhiều đến Thầy Đặng Văn Soa ởĐHSP1 Hà Nội, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong thời gian làm việc ở viện,người cũng đã có những phản biện sâu sắc đối với đề tài này trong các buổisêmina ở viện

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Huỳnh Thành Đạt, người đã chotôi nhiều ý kiến quý báu trong khi học nghiên cứu sinh

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Tiến sĩ Đỗ Hoàng Sơn, người đã giúp đỡtôi nhiều trong khi học nghiên cứu sinh, người cũng đã góp cho tôi nhiều ý kiếnthật chân tình và quý báu.

Tôi cũng xin được cảm ơn đến Tiến sĩ Võ Hoàng Văn, người đã giúp đỡ và cónhững ý kiến quý báu

Tôi cũng xin được cảm ơn đến Tiến sĩ Vũ Quang Tuyên, người đã có nhữnggiúp đỡ quý báu cho tôi

Tôi xin được cảm ơn đến Thạc sĩ Nguyễn Thị Huyền Nga, người bạn đồnghọc cao học, người đã giúp đỡ tôi thật nhiều trong khi học nghiên cứu sinh

* * *

Con xin thành kính dâng lên hương hồn Ba Má công trình tâm huyết của con.Con xin mãi mãi khắc ghi công ơn trời biển của Ba Má, những người đã cả mộtđời cuốc bẩm, cày sâu nuôi dạy con nên vóc nên hình

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, các bạn hữu trong

tổ Vật lý, cô Thịnh của trường THPT Tân Phước Khánh đã giúp đỡ tôi nhiều trongthời gian học cao học và làm nghiên cứu sinh

Mục lục

Trang

TỜ BÌA LUẬN ÁN ……… i

LỜI CAM ĐOAN ………ii

LỜI CẢM ƠN ……… …….iii

MỤC LỤC……… v

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ……… ix

DANH MỤC CÁC BẢNG……… .ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ ………x

MỞ ĐẦU……… …… 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN ………3

….1.1 SƠ LƯỢC VỀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN ……… 3

1.2 SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT ………5

1.2.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN……… 5

1.2.2 CÁC HỆ QUẢ SUY RA TỪ PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN………6

1.2.3 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN VỚI HẰNG SỐ VŨ TRỤ……….8

1.2.4 CÁC HẠN CHẾ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT………9

1.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC……… 11

1.3.1 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VƠ HƯỚNG……… 11

1.3.2 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VÉCTƠ……… 13

1.3.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ……… 15

1.3.4 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN LƯỠNG MÊTRÍC……….16

1.3.5 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ – VƠ HƯỚNG………18

1.3.6 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENXƠ- VÉCTƠ……… 22

1.3.7 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN GAUGE……….22

1.3.8 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN VỚI XOẮN………25

1.4 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN……… 28

1.4.1 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU ĐỐI XỨNG………28

1.4.2 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN……… 31

1.5 SƠ LƯỢC VỀ THẾ GIỚI MÀNG (BRANE)……… …33

1.5.1 SỰ RA ĐỜI CỦA THẾ GIỚI MÀNG ………33

1.5.2 MƠ HÌNH RANDALL- SUNDRUM……… 34

CHƯƠNG 2 MỘT MƠ HÌNH VÉCTƠ CHO TRƯỜNG HẤP DẪN……….37

… 2.1 CÁC VẤN ĐỀ LÊN QUAN ĐẾN KHOIÁ LƯỢNG HẤP DẪN……… 37

2.2 MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG HẤP DẪN……… …42

2.2.1 CƯỜNG ĐỘ TRƯỜNG HẤP DẪN……….42

2.2.2 VÉCTƠ CẢM ỨNG HẤP DẪN……… 43

2.2.3 MẬT ĐỘ DỊNG HẤP DẪN- CƯỜNG ĐỘ DỊNG HẤP DẪN……….43

2.2.4 VÉTƠ TỪ HẤP DẪN……… 43

2.3 HỆ THỐNG TIÊN ĐỀ……… 44

2.4 PHƯƠNG TÌNH TRƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI TƯƠNG ĐỐI………44

2.4.1 TÍCH CHẬP……….45

2.4.2 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG PHI TƯƠNG ĐỐI……46

2.4.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG PHI TƯƠNG ĐỐI……… 49

2.5 PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG-PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI 52

2.5.1 THẾ 4 CHIỀU- MẬT ĐỘ DỊNG 4 CHIỀU………52

2.5.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH……… 53

2.5.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG DẠNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH………55

2.6 MỘT TIẾP CẬN TỚI NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ BẢN CHẤT CỦA CÁC.LỰC QUÁN TÍNH……….56

2.6.1 CÁC QUAN ĐIỂM CHÍNH VỀ LỰC QUÁN TÍNH……… 56

2.6.2 VÙNG KHƠNG GIAN CHUẨN ĐẲNG THẾ HẤP DẪN… 57

2.6.3 MỘT TIẾP CẬN TỚI BẢN CHẤT CÁC LỰC QUÁN TÍNH………59

2.6.4 BÀN LUẬN……… 65

2.7 MỘT TIẾP CẬN ĐẾN 3 KIỂM TRA KINH ĐIỂN CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT ………66

2.7.1 MỘT TIẾP CẬN TỚI TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG - THỜI GIAN KHI CĨ MẶT TRƯỜNG HẤP DẪN ………67

2.7.2 BÀN LUẬN……….71

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN TRONG MƠ HÌNH ………… HẤP DẪN VÉCTƠ………73

3.1 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN……… ….73

3.1.1 LAGRANGIAN VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỆ GIỮA TRƯỜNG HẤP DẪN VỚI MÊTRÍC CỦA KHƠNG – THỜI GIAN……… 74

3.1.2 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN CẢI TIẾN CHO VẬT ĐỐI XỨNG CẦU

……… DỪNG……… 76

3.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG HẤP DẪN TRONG KHƠNG-THỜI GIAN CONG……….77

3.3 TENXƠ MÊTRÍC CỦA KHƠNG-THỜI GIAN BÊN NGỒI MỘT VẬT ĐỐI XỨNG CẦU DỪNG ………77

3.3.1 TENXƠ MÊTRÍC TỰA SCHWARZSCHILD ……… 77

3.3.2 BÀN LUẬN……….88

3.4 MỘT MƠ HÌNH VŨ TRỤ KHƠNG DỪNG………88

3.4.1 MÊTRÍC TỰA FRIEDMAN – ROBERTSON – WALKER………88

3.4.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH FRIEDMAN CẢI TIẾN……… ….89

3.4.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA VŨ TRỤ……… 95

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VŨ TRỤ HỌC……… 102

4.1 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ……… 102

4.1.1 VỀ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ……… ………102

4.1.2 MẬT ĐỘ NĂNG LƯỢNG VŨ TRỤ……….103

4.1.3 BÀN LUẬN ……… 105

4.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI… 105

4.2.1 CÁC HƯỚNG CHÍNH TIẾP CẬN ĐẾN VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI……… 105

4.2.2 MỘT DIỄN TẢ THỐNG NHẤT TỚI VẬT CHẤT TỐI VÀ NĂNG LƯỢNG TỐI……… 108

4.2.3 BÀN LUẬN VÀ SO SÁNH VỚI THỰC NGHIỆM……….….117

4.3 TỪ HẤP DẪN……… 122

4.3.1 SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN……….… 122

4.3.2 TỪ HẤP DẪN TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT……….123

4.3.3 VÀI HIỆU ỨNG CỦA TRƯỜNG TỪ HẤP DẪN TRONG MƠ HÌNH NÀY …125

4.3.4 VIỆC XÁC NHẬN THỰC NGHIỆM CÁC HIỆU ỨNG TỪ HẤP DẪN……….131

PHẦN KẾT LUẬN KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN………136

1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC TRONG LUẬN ÁN……… …… 136

2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CẦN BÀN LUẬN THÊM VÀ CÁC KIẾN NGHỊ……….137

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ………138

TÀI LIỆU THAM KHẢO………140

PHỤ LỤC ……….150

…… PHỤ LỤC I.………150

…… PHỤ LỤC II………152

PHỤ LỤC III……… 156

PHỤ LỤC IV……… 159

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮTEEP: Nguyên lý tương đương của Einstein (Einstein Equivalence Principle)SM: Mô hình chuẩn (Standard Model)

SUSY: Siêu đối xứng (supersymmetry)

MOND: Động lực học Newton cải tiến (Modified Newton Dynamics)

BGT: Lý thuyết hấp dẫn lưỡng mêtríc (Bimetric Gravitation Theory)

AdS: Không gian phản de Sitter (Anti-de Sitter Space)

COBE: Vệ tinh khảo sát bức xạ nền Vũ trụ (Cosmic Background Explorer)MACHOs: Vật chất tối có nguồn gốc baryon như sao nơtrôn, lỗ đen…

(Massive Astrophysical Compact Halo Objects)

WIMPs: Vật chất tối có nguồn gốc không baryon như axion, nơtrino,…

(Weakly Interacting Massive Particles.)

CDM: Mô hình vật chất tối lạnh có hằng số vũ trụ

(- Cold Dark Matter Model)

LAGEOS: Vệ tinh địa động lực định vị laser (Laser Geodynamic Satellite)

NASA: Cơ quan quản trị hàng không và không gian quốc gia Hoa Kỳ

(National Aeronautics and Space Administration)

GP-B: Vệ tinh thăm dò hấp dẫn B (Gravity Probe – B)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 4.1: bảng khối lượng các hạt vật chất tối được đề nghị ………122

và vị trí của mặt trời trong thiên hà……… ….114HÌnh 4.3: Hình ảnh đường cong quay của các thiên hà

thu được từ quan sát……….….115Hình 4.4: Sự phân bố và tỉ lệ các vùng quanh thiên hà theo góc br ……….116

Hình 4.5: Sự phân bố các vùng theo khoảng cách từ tâm thiên hà r trở ra…117

Hình 4.6: Hình vẽ mặt phẳng quỹ đạo của vệ tinh và mặt phẳng

xích đạo của trái.đất……… 127Hình 4.7: Minh họa các luồng vật chất có vận tốc rất cao bắn mạnh

vào không gian từ hai hướng ngược nhau ở các sao nơtrôn

hay các lỗ đen siêu.nặng quay nhanh do trường từ hấp dẫn …… 134Hình 4.8: Các đĩa vật chất quay quanh các lỗ đen quay nhanh

cũng bị lắc lư do trường từ hấp dẫn ……… 135

Vào năm 1998 người ta lại phát hiện ra năng lượng tối, một dạng vật chấtchiếm hơn 70% tổng lượng vật chất của Vũ trụ chúng ta Tương tác hấp dẫn là mộtphương cách trực tiếp nhất để chỉ ra sự tồn tại của dạng vật chất này thông quatính chất phản hấp dẫn của nó.

Thuyết tương đối tổng quát của Einstein ra đời vào năm 1917 của thế kỷ trướcđến nay đã gần một trăm năm Trong gần một trăm năm đó nó đã gặt hái được rấtnhiều thành công và đã trở thành một thuyết chính thống để mô tả tương tác hấpdẫn Tuy nhiên, bên cạnh các thành tựu không thể bàn cãi như: giải thích chínhxác hơn chuyển động của các hành tinh trong hệ Mặt trời, tiên đoán sự tồn tại củacác lỗ đen, cho khả năng giải thích sự giãn nở tăng tốc của Vũ trụ và gần đây nhất

là được kiểm chứng đúng về trường từ hấp dẫn vào năm 2007, Thuyết tương đốitổng quát vẫn còn gặp phải một số khó khăn mà theo nhiều người là không thểvượt qua được trong khuôn khổ của lý thuyết này Các khó khăn này có thể kểnhư: không có được định luật bảo toàn năng – xung lượng của trường hấp dẫn, vấn

đề kỳ dị hấp dẫn, vấn đề thống nhất tương tác hấp dẫn với các tương tác khác…Do

đó việc tiếp cận đến tương tác hấp dẫn bằng một con đường khác hơn Einstein đãlàm nhưng vẫn giữ lại được các thành quả của thuyết này nhất là trong bối cảnhcác phát hiện gần đây của vật lý thiên văn đầy bí ẩn lý thú là một việc làm vô cùngcấp thiết

Luận án này là sự kế tục của luận văn tốt nghiệp đại học năm 1987 và luận văntốt nghiệp cao học năm 2003 của chúng tôi Mục tiêu nghiên cứu của luận án là :

- Chúng tơiphát triển hướng tiếp cận của Einstein đến tương tác hấp dẫn, dùngtrường véctơcùng với một trường tenxơ để mơ tả tương tác hấp dẫn, gĩp phần tìm

hiểu bản chất của trường hấp dẫn

- Chúng tơi cũng chỉ ra vai trị của tương tác hấp dẫn trong sự phát triển của Vũtrụ Đưa ra một cách nhìn mới đến các vấn đề thời sự của vật lý thiên văn hiện đại

là vật chất tối và năng lượng tối, gĩp phần tìm hiểu về Vũ trụ

Luận án được bố cục như sau: trong chương 1, chúng tơi trình bày phần tổngquan nhằm đánh giá lại các ưu, khuyết điểm của các hướng tiếp cận khác đếntương tác hấp dẫn từ trước đến nay Chương 2, chúng tơi trình bày phần cơ sở củamột mơ hình véctơ để mơ tả tương tác hấp dẫn, chúng tơi cũng chỉ ra trong chươngnày rằng bản chất các lực quán tính chính là lực hấp dẫn như Nguyên lý tươngđương Einstein cơng nhận, chúng tơi cũng rút ra được một tenxơ mêtríc của khơng– thời gian mà ở gần đúng bậc nhất nĩ trở về được gần đúng tenxơ mêtrícSchwarzschild Trong chương 3, chúng tơi đưa ra một Phương trình Einstein cảitiến để mơ tả mối liên hệ giữa trường hấp dẫn với mêtríc của khơng- thời gian.Chúng tơi cũng rút ra được tenxơ mêtríc tựa –Schwarzschild, tenxơ mêtríc này chophép khả năng tồn tại của một loại đối tượng Vũ trụ mới lý thú Chúng tơi cũngchỉ ra rằng dáng điệu phát triển của Vũ trụ trong mơ hình này là giống như trongThuyết tương đối tổng quát Trong chương 4, chúng tơi khảo sát một số vấn đề Vũtrụ học từ mơ hình này như: tính mật độ năng lượng Vũ trụ và năng lượngvacuum, cho một diễn tả thống nhất tới vật chất tối, năng lượng tối và vật chấtthơng thường, khảo sát vài hiệu ứng của trường từ hấp dẫn Trong phần kết luận,chúng tơi đánh giá lại những gì đã làm được trong luận án, nêu lên một số hướngnghiên cứu tiếp tục sau này

CHƯƠNG 1

PHẦN TỔNG QUAN

1.1 SƠ LƯỢC VỀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN

Lực hấp dẫn, biểu hiện của tương tác hấp dẫn đã được Newton phát hiện ratừ năm 1667, nhưng cho đến nay bản chất của lực hấp dẫn là gì vẫn còn là mộtcâu hỏi nan giải trước trí tuệ của cả loài người Các biểu hiện của tương tác hấpdẫn mà ta có thể “cảm nhận” được là:

-Tương tác hấp dẫn là tương tác tầm xa, bán kính tác dụng là vô cực nhưtương tác điện từ Biểu thức lực hấp dẫn theo Newton là:

1 2 2

r (m)là khoảng cách giữa 2 chất điểm 1 và 2

F (N) là lực hấp dẫn giữa hai chất điểm 1 và 2

-Trong trường hấp dẫn, sự rơi tự do (chuyển động tự do) của các vật là nhưnhau nếu cùng các điều kiện ban đầu, không phụ thuộc vào bản chất của cácvật Đây chính là định luật rơi tự do của Galileo và sau này được tổng quát hóathành sự bằng nhau tuyệt đối giữa khối lượng quán tính mivà khối lượng hấpdẫn mgcủa cùng một vật

-Tương tác hấp dẫn là phổ quát (universal): tất cả các vật đều tham giatương tác hấp dẫn

Trong bốn loại tương tác: mạnh, điện từ, yếu, hấp dẫn thì tương tác hấp dẫnlà yếu nhất Cường độ tương đối như sau:

Mạnh: 1; điện từ 10– 2– 10– 3; yếu 10– 14– 10– 15; hấp dẫn 10– 39

Nếu nói một cách hình tượng như Giáo sư Nguyễn Ngọc Giao thì: “Nếu xem lựchấp dẫn là trọng lượng của một sợi lông nheo của các bạn gái, thì lực tương tácyếu sẽ là trọng lượng một khối lập phương bằng chì cạnh 25km, lực tương tácđiện từ là trọng lượng của toàn bộ các hành tinh của hệ mặt trời, còn lực tươngtác mạnh là trọng lượng của chính mặt trời”

Tương tác hấp dẫn tuy là yếu nhất trong 4 loại tương tác nhưng lại cĩ vai trịchủ yếu trong sự vận động của các thiên thể và của Vũ trụ nĩi chung, do trong Vũtrụ luơn cĩ mặt những khối lượng rất lớn

Biểu thức lực hấp dẫn Newton (1.1) tuy đơn giản nhưng cũng đủ để giải thíchnhiều hiện tượng trong tự nhiên như thủy triều, quỹ đạo của các hành tinh, chuyểnđộng của các sao chổi, giúp tìm ra Hải dương tinh …

Từ năm 1916 trở về sau này, Thuyết tương đối tổng quát vẫn được xem là một

mơ hình chuẩn nhất để mơ tả tương tác hấp dẫn cho dù cĩ nhiều hướng tiếp cậnkhác nữa đến tương tác này

Từ năm 1980, vai trị của tương tác hấp dẫn trong Vũ trụ càng nổi rõ hơn, khi

nĩ gần như là phương cách duy nhất để phát hiện sự tồn tại của vật chất tối, chiếmmột tỉ lệ khối lượng lớn (khoảng 23% ) của Vũ trụ qua việc quan sát các đườngcong quay phẳng của các thiên hà

Năm 1998, với việc khám phá ra sự giãn nở tăng tốc của Vũ trụ, vai trị củatương tác hấp dẫn một lần nữa lại nổi lên như là một phương cách trực tiếp để chỉ

ra một dạng vật chất mới là năng lượng tối, nĩ chiếm một tỉ lệ khối lượng rất lớn ( khoảng trên 70% ) trong Vũ trụ

1.2 SƠ LƯỢC VỀ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT

Trong Thuyết tương đối tổng quát của Einstein các hiệu ứng hấp dẫn được quycho độ cong của khơng – thời gian thay cho lực Một cơ sở của Thuyết tương đốitổng quát là Nguyên lý tương đương của Einstein Nĩ được phát biểu như sau: “tính tương đương của hệ có gia tốc và trường hấp dẫn là tồn tại đối với tất cảmọi hiện tượng và mọi quá trình vật lý chớ không chỉ riêng đối với các quá trình

cơ học” Một hệ quả của nguyên lý này là nĩ đặt ngang bằng chuyển động rơi tự

do với chuyển động quán tính Điểm đặc biệt của hệ quả này là các vật rơi tự do cĩthể gia tốc đối với nhau Trong vật lý Newton, sự gia tốc như vậy chỉ cĩ thể xảy rakhi một trong các vật rơi chịu tác dụng của một lực và do đĩ nĩ khơng chuyểnđộng quán tính Để tránh khĩ khăn này, Einstein cho rằng khơng – thời gian bịcong với sự cĩ mặt của vật chất và rằng các vật rơi tự do chuyển động dọc theocác đường trắc địa của khơng – thời gian cong Einstein đã đưa ra một phươngtrình xác định liên hệ giữa vật chất và độ cong của khơng – thời gian Các nghiệmcủa phương trình này là các thành phần của tenxơ mêtríc của khơng – thời gian.Các đường trắc địa của khơng – thời gian được suy ra từ tenxơ mêtríc

Phương trình Einstein cũng cĩ thể được xây dựng từ một Lagrangian(Lagrangian Hilbert – Einstein), hoặc từ các cách tiếp cận khác, dạng cụ thể của nĩnhư sau [1, 5, 104]:

R  là tenxơ độ cong hạng 2 của không – thời gian

g  là tenxơ mêtríc của không – thời gian

R là độ cong vô hướng của không – thời gian

T  là tenxơ năng – xung của vật chất

G là hằng số hấp dẫn của Newton

c là vận tốc ánh sáng

1.2.2 Các hệ quả suy ra từ phương trình Einstein

1.2.2.1 Mêtríc Schwarzschild diễn tả khơng – thời gian

……… quanh một vật đối xứng cầu khơng quay, khơng tích điện

Từ phương trình Einstein, đối với một vật đối xứng cầu không quay, khôngtích điện ta có mêtríc Schwarzschild sau [1, 5, 104]:

r r

dr d

d r

dt c r

r ds

)1

(

2 2

2 2

2 2 2

ở đây: rg=2Gm/c2là bán kính hấp dẫn của vật có khối lượng m

Từ mêtríc này, người ta tìm được 3 hiệu ứng hấp dẫn kinh điển không cótrong lý thuyết của Newton (thật ra cả 3 hiệu ứng này đều suy ra được từ địnhluật hấp dẫn của Newton, tuy nhiên không phù hợp tốt hoàn toàn với thựcnghiệm)

a Sự lệch của tia sáng khi đi gần đĩa mặt trời

Từ mêtríc Schwarzschild, người ta tìm được góc lệch của tia sáng khi nó điqua gần đĩa mặt trời là [1, 5, 104]ø: θ  1 , 75 "

Giá trị thực nghiệm đo được năm 1952[104]: θ  1 , 70 "

b Sự dịch chuyển điểm cận nhật của các hành tinh

Từ mêtríc Schwarzschild, người ta tìm thấy rằng[1, 5, 104]: quỹ đạo của cáchành tinh khi quay quanh Mặt trời không phải là một elip kín mà hở Các trụccủa elip quay quanh tiêu điểm của nó

Tính toán góc dịch chuyển cho 100 năm đối với sao Thủy và Trái đất nhưsau [1, 5, 104]:

c Sự chậm lại của thời gian trong trường hấp dẫn

Từ mêtric Schwarzschild, ta thấy được rằng thời gian sẽ trôi chậm nơi trườnghấp dẫn mạnh và trôi nhanh ở nơi có trường hấp dẫn yếu [1, 5, 104]

-Độ dịch chuyển tần số của một vạch quang phổ khi phát ra ở hai nơi cóhiệu thế là:

1092,

d Sự trễ thời gian của ánh sáng khi đi gần một vật thể nặng

Tiên đốn này được thực nghiệm do Irwin Shapiro tiến hành vào năm 1964 xácnhận [104]

đ Bức xạ hấp dẫn

Trong Thuyết tương đối tổng quát, sự nhiễu loạn của mêtríc của khơng – thờigian sinh ra sĩng hấp dẫn Sự tồn tại của sĩng hấp dẫn được tiên đốn bởi lýthuyết này và đã được khẳng định gián tiếp qua sự nghiên cứu các sao đơi [46]

1.2.2.2 Mêtric Friedman-Robertson - Walker

Với giả thiết rằng vật chất trong Vũ trụ phân bố thuần nhất, đẳng hướng, từphương trình Einstein người ta tìm được mêtríc Friedman-Robertson -Walkersau [1, 5, 104]:

+ k = -1 ứng với hình học Bolya – Lobasepki

+ k = 0 ứng với hình học phẳng của Minkowski

+ k = +1 ứng với hình học Riemann

+ R (t) là nhân số giai có thể hiểu như bán kính của Vũ trụ

Từ mêtríc Friedman-Robertson - Walker người ta giải thích được sự dịchchuyển đỏ của Vũ trụ

Từ mêtríc Friedman-Robertson- Walker, người ta cũng dẫn ra được các môhình Vũ trụ cĩ khả năng sau:

* R (t) = const: mô hình Vũ trụ dừng, không được phần lớn các nhà vật lýcông nhận

* R (t) phụ thuộc thời gian: mô hình Vũ trụ không dừng, được phần lớncác nhà vật lý công nhận

1.2.3 Phương trình Einstein với hằng số Vũ trụ

Vào năm 1998, các nhà thiên văn học bằng các con đường nghiên cứu độclập đã đi đến kết luận rằng Vũ trụ của chúng ta thực sự đang giãn nở tăng tốc [81,

84] Phương trình Einstein với hằng số Vũ trụ giải thích được sự giãn nở tăng tốcnày, dù rằng vấn đề khác biệt lớn giữa thực nghiệm và lý thuyết đối với độ lớn củahằng số Vũ trụ vẫn chưa được giải quyết Phương trình Einstein với hằng số Vũtrụ là:

1.2.4 Các hạn chế của Thuyết tương đối tổng quát

Mặc dù Thuyết tương đối tổng quát cho các kết quả rất đẹp đã kể ở trên, nóvẫn còn một số tồn tại chưa giải quyết được thỏa đáng cho đến nay như vấn đềnăng – xung lượng của trường hấp dẫn, vấn đề kỳ dị…

1.2.4.1 Vấn đề năng – xung lượng của trường hấp dẫn

Ta biết rằng, khái niệm năng lượng và định luật bảo toàn giữ một vị trí trungtâm trong một lý thuyết vật lý bất kỳø Trong lý thuyết trường, đại lượng mô tảtính chất năng lượng của hệ là tenxơ năng – xung lượng

Trong không – thời gian phẳng, định luật bảo toàn năng – xung lượng củavật chất suy ra từ hệ thức:

ở đây T là tenxơ năng – xung lượng của vật chất

Trong không – thời gian cong, từ phương trình Einstein, khi chú ý đến đồngnhất thức Bianchi ta thấy tenxơ năng – xung của vật chất thỏa:

Khác với (1.9), ở đây (1.10) nói chung không biểu hiện định luật bảo toàncái gì cả do biểu thức khai triển của (1.10) là:

1.2.4.2 Vấn đề kỳ dị của trường hấp dẫn

Một vấn đề nghiêm trọng khác mà lý thuyết hấp dẫn của Einstein gặp phảilà tính kỳ dị hấp dẫn Một kỳ dị hấp dẫn hoặc kỳ dị khơng thời gian là một nơi màcác đại lượng dùng để đo trường hấp dẫn như độ cong của khơng – thời gian haymật độ vật chất trở nên vơ hạn

Theo lý thuyết của Hawking – Penrose [52] thì ở trong phần lớn các nghiệmhợp lý về mặt vật lý của phương trình Einstein đều có mặt kỳ dị chớ khơng riêng

gì nghiệm Schwarzschild

Như vậy, trong khuôn khổ của lý thuyết Einstein sự tồn tại những điểm kỳ dịlà vấn đề tất yếu, song điều đó chưa có nghĩa là nhất thiết phải tồn tại nhữngđiểm kỳ dị thật sự với mật độ vật chất vô hạn Vấn đề là ta chưa tính đến cáchiệu ứng lượng tử, các hiệu ứng này nhất thiết phải xuất hiện ở lân cận các điểmkỳ dị Cơ học lượng tử khơng cho phép một vật cĩ kích thước khơng, nĩ chỉ rằngtại tâm của lỗ đen khơng phải là một điểm kỳ dị mà chỉ là nơi cĩ một khối lượngrất lớn được nén vào trong một thể tích nhỏ nhất cĩ thể được Lý thuyết dây hiệnđại cũng khơng cho phép một vật cĩ kích thước khơng

Phát hiện của Hawking về sự “bay hơi” của các lỗ đen cũng có một ý nghĩaquan trọng đặc biệt Ý nghĩa của nó là ở chổ ông ta đã bác bỏ quan niệm chorằng lỗ đen là cái gì đó bất di bất dịch, mà dần dần do “bay hơi”, các lỗ đen sẽbiến mất khỏi không – thời gian

1.3 CÁC LÝ THUYẾT HẤP DẪN KHÁC

Từ ngay sau khi Thuyết tương đối tổng quát ra đời, do các hạn chế khơng khắcphục được kể trên, cĩ nhiều hướng tiếp cận đến tương tác hấp dẫn Người ta dùngcác trường vơ hướng, các trường véctơ, các trường tenxơ, các trường tenxơ-vơhướng, các tenxơ-véctơ để mơ tả tương tác hấp dẫn Sau đây ta sẽ xét qua rất sơlược những hướng tiếp cận khác này

1.3.1 Các lý thuyết hấp dẫn vơ hướng

Theo như Page và Tupper (1968) [80], lý thuyết trường vơ hướng tổng quátđến từ nguyên lý tác dụng tối thiểu:

 f(/c2)ds 0

ở đây trường vơ hướng là:  GM / r ( 1.13)

Vận tốc ánh sáng c cĩ thể phụ thuộc vào trường 

Trong Bergmann (1956) [13]:

f(/c2) exp[/c2 (/c2)2/2],cc (1.14)

ở đây c là vận tốc ánh sáng tại vơ cùng.

Trong Whitrow và Morduch (1960) [102]:

1 ) /

Trong Whitrow và Morduch (1965) [103]:

f (  / c2)  exp(   / c2) , c2  c2  2 (1.16)Trong Page và Tupper (1968) [80]:

2 2 2

2

) / ( /

) /

2 2 2

2 2

)/)(

215()/(41

… Ni (1972) [73] đã tóm tắt một vài lý thuyết và cũng đề xuất 2 lý thuyết mớikhác Trong lý thuyết đầu tiên, một không – thời gian của Thuyết tương đối hẹptồn tại trước Một tọa độ thời gian Vũ trụ tác động lên vật chất và các trườngkhông hấp dẫn để sinh ra một trường vô hướng Trường vô hướng này tác độnglên tất cả phần tĩnh còn lại để sinh ra mêtríc Tác dụng là:

41

Misner và cộng sự (1973) [65] cho tác dụng này mà không có số hạng  R

Ở đây Sm là tác dụng vật chất, phương trình chuyển động là:

](

Trong lý thuyết thứ hai của Ni (1973) [74], có hai hàm bất kỳ f( ) và k( ) liên

hệ với mêtríc như sau:

) ( 2 2 ) ( 2 2

dz dy dx e

dt e

)(

dz dy dx dt

1.3.2 Các lý thuyết hấp dẫn véctơ

Kế đến, ta sẽ xem xét một số hướng tiếp cận tương tự điện từ đến hấp dẫn từtrước đến nay Do có sự tương tự hình thức giữa định luật hấp dẫn Newton vàđịnh luật tĩnh điện Coulomb nên từ trước đến nay cũng có nhiều tác giả cố gắngtiếp cận theo hướng này Đầu tiên là Maxwell, sau đó đến Heaviside [51] chú ýđến khả năng phát triển một lý thuyết hấp dẫn trong dạng tương tự với cácphương trình trường điện từ Tuy nhiên vấn đề năng lượng âm của trường hấpdẫn do lực hút tương hỗ giữa các vật, tạo nhiều khó khăn, nó cản trở các tác giảnày đi tiếp theo hướng này Holzmuller và Tisserand [99a] đã tiên đề rằng lựchấp dẫn của mặt trời có một thành phần từ nữa, thành phần từ hấp dẫn này cóthể đã gây ra sự dịch chuyển điểm cận nhật của sao Thuỷ Kết quả tính toán chỉbằng 1/6 giá trị thực nghiệm

Trong những năm 70 và 80 của thế kỷ trước cũng có một số tác giả tiếp cậnđến tương tác hấp dẫn bằng con đường véctơ tựa Maxwell Các tác giả này đãthay thế điện tích và hằng số điện môi dương trong phương trình Maxwell hoặcbởi tích hấp dẫn ảo như ở Majernik [66, 67], hoặc bởi hằng số điện môi âm như

ở Brillouin [99b] Mật độ năng lượng trường hấp dẫn đều âm trong các hướng

tiếp cận này Majernik cũng đã tìm lại được dịch chuyển điểm cận nhật của saoThuỷ đúng khi tính đến sự tự hấp dẫn của năng lượng trường hấp dẫn (tính toánnày có nhiều chổ còn phải đưa tham số ngoài vào bằng tay) Ông ấy cũng chứngtỏ được rằng nhờ liên kết giữa trường hấp dẫn và trường điện từ, tất cả các kiểmtra liên quan đến chuyển động của ánh sáng trong trường điện từ đều tính đúngnhư trong thuyết hấp dẫn Einstein Sự phù hợp của lý thuyết hấp dẫn véctơ cũngđược thực hiện bởi Singh [99c], ông ấy đã bổ xung cho Hamiltonian tương táccủa 2 vật một số hạng đặc trưng cho sự tự tương tác giữa vận tốc hạt và thếvéctơ của nó để giải thích dịch chuyển điểm cận nhật của các hành tinh, sự lệchcủa tia sáng trong trường hấp dẫn mặt trời và dịch chuyển đỏ hấp dẫn Mộthướng tiếp cận mới đây của S Ulrych [99] cũng đáng quan tâm Tác giả xâydựng lý thuyết véctơ tựa điện từ bằng cách mở rộng trực tiếp đối xứng gaugeU(1,C) của điện từ thành nhóm unita hyperbolic U(1,H) Các kết quả của hướngtiếp cận này gần giống với hướng của Singh.

Một số tác giả khác như L Nielsen [75] cũng đã rút ra được một hệ phươngtrình rất gần giống với hệ phương trình phi tương đối của chúng tôi ở đây Tácgiả cũng tiên đề khối lượng hấp dẫn bất biến Lorentz nhưng lại chỉ có dấudương, còn dấu âm lại gắn kết với phần năng lượng âm của trường hấp dẫn Tácgiả cũng đưa ra cách giải thích cho nhiều hiện tượng của Vũ trụ

Các phương trình của L Nielsen cĩ dạng

ở đây:

-G

là trường hấp dẫn Newton

-N

là trường hấp dẫn thứ hai được tác giả gọi là trường đơn cực

- j v là véctơ mật độ dòng khối lượng quán tính

Lý thuyết cũng tìm lại được 3 kiểm chứng kinh điển của Thuyết tương đối tổngquát trong ý nghĩa còn các tham số điều chỉnh Một hiệu ứng đặc biệt của lý thuyết

là tương tác spin – spin gây bởi phần phản xứng của tenxơ năng – xung, tương tácnày nếu tồn tại sẽ góp phần tách siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử.Một lý thuyết tenxơ khác cũng đáng quan tâm là lý thuyết tenxơ của A A.Logunov [60] Trong tiếp cận này, tác giả công nhận hình học của không thời gian

là hình học phẳng Minkowski để có được định luật bảo toàn năng – xung lượngcho trường hấp dẫn như các trường bình thường khác Tác giả cũng công nhậnthêm Nguyên lý đồng nhất, theo đó các phương trình chuyển động của vật chấtdưới ảnh hưởng của trường hấp dẫn trong một không thời gian Minkowski hoàntoàn đồng nhất với các phương trình chuyển động của vật chất trong một khôngthời gian Riemann hiệu dụng Mật độ Lagrangian của trường hấp dẫn được chọnlà:

1.3.4 Các lý thuyết hấp dẫn lưỡng mêtríc

Các lý thuyết lưỡng mêtríc chứa cả tenxơ mêtríc cong chuẩn và tenxơ mêtrícphẳng Minkowski hoặc một mêtríc của không gian có độ cong không đổi, nó cũng

có thể chứa cả các trường vô hướng hoặc các trường véctơ Lý thuyết lưỡng mêtríccủa N.Rosen (1971, 1973, 1975)[85, 86, 87] là lý thuyết lưỡng mêtríc đáng quantâm nhất đầu tiên

Trong phiên bản đầu tiên 1971 [85], tác giả công nhận Nguyên lý tương đươngnhưng không thừa nhận tính tương đương của mọi hệ quy chiếu Tác giả côngnhận sự tồn tại của một hệ quy chiếu hoàn hảo được xác định bởi sự phân bố vậtchất trong Vũ trụ trên những giai khoảng cách lớn Trong hệ hoàn hảo này, mêtríc

ở đây  , , là các hằng số.

Lý thuyết cũng thu được 3 kiểm tra kinh điển của Thuyết tương đối tổng quát

trong ý nghĩa  còn chưa xác định Lý thuyết cũng tiên đoán sự tồn tại của bức xạ

(1.36)Trong lý thuyết Rastall (1979)[88], mêtríc là một hàm đại số của mêtrícMinkowski và một trường véctơ Tác dụng là:

(1.37)

ở đây F N( )  N/(2 N) và N g  K K   với K  là một trường véctơ.

Các lý thuyết lưỡng mêtríc của Rosen (1975), Lightman và Lee (1973), Rastall(1979) có được các kiểm chứng kinh điển của lý thuyết Einstein nhưng tất cả đềusai đối với các kiểm tra kết hợp với trường hấp dẫn mạnh

1.3.5 Các lý thuyết hấp dẫn tenxơ – vô hướng

Tất cả các lý thuyết tenxơ – vô hướng đều chứa ít nhất một tham số tự do tráivới Thuyết tương đối tổng quát là không chứa tham số tự do nào Các lý thuyếttenxơ – vô hướng gồm của Brans và Dicke (1961) [16], Bergman (1968) [17],Nordtveldt (1970) [76], Wagoner (1970) [105], Bekenstein (1977) [18, 19] vàBarker (1978) [20]

Dạng tác dụng tổng quát cho các thuyết tenxơ- vô hướng này là:

ở đây  ( )là một hàm không thứ nguyên, nó được chọn khác nhau đối với từng

lý thuyết, hàm  ( )giữ vai trò như hằng số Vũ trụ trong Thuyết tương đối tổngquát, G N là một hằng số chuẩn hóa không thứ nguyên, nó bằng với hằng số hấpdẫn Newton hiện nay Một hàm thế bất kỳ cũng có thể được đưa vào trong

Lagrangian Dạng đầy đủ được giữ lại trong các lý thuyết của Bergman (1968) vàWagoner (1970) Các trường hợp đặc biệt là:

-Trong Barker (1978):

(1.46)Việc điều chỉnh  ( )cho phép các lý thuyết tenxơ – vô hướng tiến đến Thuyết

tương đối tổng quát trong giới hạn khi   trong giai đoạn hiện tại Tuy nhiên,

có thể có những khác biệt đáng kể với Thuyết tương đối tổng quát trong Vũ trụsớm, các lý thuyết tenxơ- vô hướng cũng tìm được các kiểm tra kinh điển củaThuyết tương đối tổng quát trong ý nghĩa còn các tham số điều chỉnh

Trong lớp lý thuyết tenxơ- vô hướng này có thể kể thêm lý thuyết Động lựchọc Newton cải tiến ( MOND) được Milgrom khởi xướng vào năm 1983 [69, 22],

nó là một tiếp cận khác đến vấn đề vật chất tối Trong lý thuyết này, các sai biệtvới lý thuyết hấp dẫn Newton bị chi phối bởi một giai gia tốc chớ không phải giaikhoảng cách Cụ thể MOND cho rằng để giải thích các đường cong quay phẳng

của các thiên hà ta có thể không cần phải thêm vào giả thuyết vật chất tối mà hiệuchỉnh lại định luật II của Newton MOND giả thiết rằng định luật II :

F  m a (1.47)phải được đổi thành: F  ma  ( / a a0) (1.48)

sự khác biệt lớn lao trong sự quay của các thiên hà lùn

Có nhiều vấn đề với phiên bản đầu tiên của MOND: nó không bao hàm đượccác hiệu ứng tương đối tính, nó vi phạm định luật bảo toàn năng – xung lượng vàmômen góc, nó cho các quỹ đạo thiên hà khác nhau đối với khí và đối với các sao,

nó không chỉ ra được làm thế nào để tính đến các hiệu ứng gương hấp dẫn từ cáccụm thiên hà, nó cho phép sự mở rộng đến vô cùng của các quầng (halo) thiên hàĐến năm 1984, hai khó khăn đầu tiên đã được giải quyết nhờ việc đưa vào mộtLagrangian [22] Lagrangian dạng không – tương đối là:

(1.52)

ở đây  là một trường vô hướng, f là một hàm bất kỳ được chọn sao cho MOND

có giới hạn Newton Lagrangian dạng tương đối tính được dựa trên lý thuyếttenxơ- vô hướng, nó có dạng:

(1.53)Dạng Lagrangian này có nhược điểm là cho phép các sóng trong trường vô hướnglan truyền với vận tốc nhanh hơn ánh sáng

Vào năm 1988, một trường vô hướng thứ hai được đưa thêm vào, nó khắc phụcphần nào các khó khăn của MOND kể trên nhưng nó không phù hợp với chuyểnđộng tiến động của Thủy tinh

Vào năm 1997, MOND đã xây dựng thành công phiên bản tương đối tínhnhưng đây lại là lý thuyết thuộc nhóm lý thuyết hệ quy chiếu hoàn hảo và nó lạigặp phải những khó khăn riêng của lớp lý thuyết này

* Vào năm 2002, Moffat xây dựng một lý thuyết hấp dẫn lưỡng mêtríc tenxơ –

vô hướng (BGT)[70] Tác dụng được phân thành các phần hấp dẫn, trường vôhướng và vật chất Phần hấp dẫn và trường vô hướng tương tự như lý thuyết Brans– Dicke với một hằng số Vũ trụ và một thế vô hướng nhưng được áp dụng vớimêtríc Minkowski Chỉ có phần vật chất mới dùng mêtríc không phẳng g  với

g     B   (1.54)

ở đây B có thứ nguyên của độ dài bình phương Lý thuyết này có hằng số G thayđổi Đây là một trong nhiều lý thuyết hấp dẫn trong đó tốc độ ánh sáng là nhanhhơn hiện tại trong Vũ trụ sớm Các lý thuyết này được xây dựng với mục đíchtránh được vấn đề horizon mà không cần viện đến lạm phát Lý thuyết cũng cốgắng giải thích sự mờ của các sao siêu mới ở xa theo một cách khác hơn là sự giãn

nở tăng tốc của Vũ trụ và vì vậy gặp khó khăn trong việc tiên đoán một tuổi quánhỏ cho Vũ trụ.

1.3.6 Các lý thuyết hấp dẫn tenxơ - véctơ

Hai tiếp cận tenxơ – véctơ của Will và Nordtvedt (1972) [106] cùng vớiHellings và Nordtvedt (1973) [54] là những tiếp cận tenxơ-véctơ đầu tiên Trongcác lý thuyết này, bên cạnh tenxơ mêtríc còn có một trường véctơ tựa thời gian

K  Tác dụng hấp dẫn là:

(1.55)

ở đây    , , , là những hằng số và:

(1.56)-Will và Nordtvedt (1972) là một trường hợp đặc biệt với:

1.3.7 Các lý thuyết hấp dẫn gauge

Các lý thuyết gauge (lý thuyết trường chuẩn) là đặc biệt quan trọng trong lýthuyết trường và vật lý hạt cơ bản Ba tương tác không hấp dẫn còn lại (điện từ,

yếu và mạnh) được diễn tả hoàn toàn bởi các lý thuyết gauge trong khuôn khổ của

mô hình chuẩn Sau các công trình mở đầu của Utiyama [100], Sciama [90, 91]

và Kibble [57] người ta bắt đầu tin tưởng rằng tương tác hấp dẫn cũng cóthể đượcdiễn tả bằng lý thuyết gauge Chúng ta xét sơ lược về hướng tiếp cận này, mộttrình bày đầy đủ hơn cóthể tìm thấy ở [1, 4] Ta xét phép biến đổi tọa độ tổng quátsau:

( )

dx   dx U   x dx  (1.59)

1[U ( x ) ]

Trong đó  là ký hiệu Christoffel, nó đóng vai trò như là trường chuẩn Ta yêucầu  biến đổi sao cho đạo hàm hiệp biến biến đổi như trường, nghĩa là:

Đây là quy luật biến đổi của trường chuẩn Ta thấy rằng đạo hàm hiệp biến D   

và tenxơ mêtríc biến đổi như tenxơ dưới biến đổi tọa độ tổng quát Có thể thấyrằng Lagrangian sau là bất biến:

chính là tenxơ độ cong Riemann Từ đây người ta xây dựng tác dụng bất biến củatrường hấp dẫn Với định nghĩa độ cong vơ hướng:

1

2  với g det(g ) (1.73)

Tùy theo nhĩm G được chọn là nhĩm nào, ta cĩ các tiếp cận trường chuẩn khácnhau đến tương tác hấp dẫn Nhĩm G thường được chọn là nhĩm Lorentz [1, 100],nhĩm Poincaré [21, 115, 36], nhĩm de Sitter [116, 78], nhĩm affine[47], nhĩmgauge hấp dẫn G (gravitation gauge group)[107]

1.3 8 Các lý thuyết hấp dẫn với xoắn

Lý thuyết hấp dẫn với xoắn được phát triển đầu tiên trong các công trình củaCartan vào các năm 1922,1923 [30, 6] Ở đó, ông ấy khảo sát mô hình không –thời gian của đa tạp 4 chiều với mêtríc giả Riemann và liên kết không đối xứng

 

   Trong các công trình sau đó, ông ấy giả thiết rằng xoắn được liênkết với mật độ mômen góc nội tại của môi trường vật chất, tức là thực tế vớispin Nhưng vào thời gian này, spin chưa được biết và vì vậy ý tưởng củaCartan không được chú ý Nó bắt đầu được quan tâm chỉ vào cuối những năm

1940 Một cách độc lập với Cartan, các ý tưởng tương tự cũng đã được đề cập tớibởi Sciama, Kibble và Heyl trong các năm từ 1958 tới 1966 [57] Giai đoạn quantrọng nhất của lý thuyết hấp dẫn với xoắn được bắt đầu với các tiếp cận gaugecủa trường hấp dẫn Lý thuyết gauge đã chứng minh được rằng: nguồn gốc vậtchất của trường xoắn là spin của vật chất [120] Công cụ toán học của lý thuyết

không gian với xoắn là hình học Riemann – Cartan Trong đó cả độ cong và độxoắn của không – thời gian đều có thể khác không.

Phương trình của đường trắc địa trong không gian Riemann – Cartan có cùngdạng ngoài như phương trình đường trắc địa trong không gian giả Riemann.Nhưng khác là liên kết trong nó chứa cả ký hiệu Christoffel lẫn tenxơ xoắn:

  là ký hiệu Christoffel thơng thường, k    là tenxơ đồng xoắn

(contorsion tensor) Nĩ được biểu diễn qua tenxơ xoắn bởi:

k    Q    Q    Q   (1.75)

Như vậy, đường trắc địa ở trong không gian với xoắn (được gọi là các đườngtự song song) không trùng với đường trắc địa trong không gian giả Riemann vàkhông là những đường ngắn nhất Đường ngắn nhất trong không gian với xoắnlà quỹ đạo chuyển động của hạt điểm không spin

Để nhận được Lagrangian toàn phần của lý thuyết hấp dẫn với xoắn, cầnphải bổ sung vào Lagrangian của trường vật chất Lagrangian của trường hấpdẫn và trường xoắn.Trong các lý thuyết hấp dẫn cổ điển với xoắn, lý thuyếtEinstein – Cartan được ủng hộ rộng rãi nhất

Lagrangian có dạng:



R g x

ở đây :

- là hằng số tương tác không hấp dẫn với trường xoắn

-L là Lagrangian của trường Dirac trong không gian với xoắn

- Q là trường xoắn; R là độ cong vô hướng.

Biến thiên L theo trường hấp dẫn cho phương trình Einstein với vế phải của nólà tenxơ năng – xung của fermion và trường xoắn

Biến thiên L theo tenxơ xoắn dẫn đến phương trình đại số biểu diển xoắnqua dòng fermion spinơ:

(.8

Cần chú ý ở đây là nguồn của trường xoắn chính là spin của trường vật chất,trường điện từ và các trường calip khác dù có spin 1 không là nguồn của xoắn.Một nguồn của xoắn nữa thường gặp trong lý thuyết Einstein – Cartan làchất lỏng spin Nó mô hình hóa vật chất của các sao và thiên hà, là chất lỏng lý

tưởng, mỗi phần tử của nó được đặc trưng bằng xung lượng, năng lượng vàmômen góc nội tại khác zero trong hệ quy chiếu gắn với phần tử đang xét.

* Cuối cùng, các hiệu ứng nào có thể so sánh với Thuyết tương đối tổngquát khi tính đến xoắn? Trước hết, đó là chuyển động của các hạt với spin trongtrường xoắn Xoắn có thể gây nên sự mở rộng bổ sung của vạch điện tử trongnguyên tử, phá vỡ bất biến -CP trong phân rã các hạt Tất cả các hiệu ứng nàycó thể được dùng để phát hiện xoắn Tuy nhiên, một vấn đề còn bỏ ngõ là độlớn của hằng số liên kết của trường xoắn Nếu nĩ quá nhỏ, các kiểm tra thựcnghiệm trong các phịng thí nghiệm hiện nay chưa thể phát hiện được

1.4 SƠ LƯỢC VỀ SIÊU HẤP DẪN

1.4.1 Sơ lược về siêu đối xứng

Ta biết các lý thuyết thống nhất lớn đều dựa vào các nhóm Lie với biểu diễnđược lấp đầy bởi những hạt với spin cố định Tuy nhiên các lý thuyết này khôngthiết lập được quan hệ giữa các hạt spin khác nhau Hơn nữa, nguyên lý gaugechỉ cố định được các tương tác véctơ, còn tương tác Yukawa và tương tác vôhướng vẫn không chịu một ràng buộc nào cả Do đó sự mở rộng các lý thuyếtthống nhất lớn cần phải theo hướng xây dựng một đối xứng liên quan giữa cáchạt có spin khác nhau Đối xứng này được gọi là siêu đối xứng (SUSY)

Trước đây người ta cũng tìm cách kết hợp các đối xứng định xứ không – thờigian với đối xứng bên trong nhưng không thực hiện được do một chứng minhtổng quát của Coleman và Mandula (định lý no – go) [1] khẳng định rằng: sựkết hợp của đối xứng khơng – thời gian bên ngồi P và đối xứng nội tại bên trong

G chỉ là sự kết hợp tầm thường, tức là tích trực tiếp P G

Trong siêu đối xứng, sự kết hợp này là khơng tầm thường nhờ đưa vào 2 spinơthỏa các hệ thức (phản) giao hốn:

Q , là các phần tử lẻ.

Để xây dựng biểu diễn của đại số Lie phong cấp, người ta dùng tính chất cácspinơ Q  , Q  khi tác dụng lên boson sẽ cho ta fermion và ngược lại

- Xét trước tiên trường hợp không khối lượng Khi đó P sẽ thỏa:

Từ trạng thái không khối lượng với helicity thỏa:………